2017届高三数学理一轮总复习课时跟踪检测：17弧度制及任意角的三角函数(江苏专用).doc

课时跟踪检测（十七） 弧度制及任意角的三角函数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为________cm2.

解析：∵72°＝2π5，∴S扇形＝12αr2＝12×2π5×202＝80π(cm2)．
答案：80π
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

解析：因为点P在第三象限，所以 tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．
答案：二
3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．

解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，

∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.
答案：－5π6
4．(2016·南京六校联考)点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限．
解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)
＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．
答案：三

5．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x，则tan
α＝________.
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x＜0，

即x＜0.又cos α＝15x＝xx2＋16.
解得x＝－3，所以tan α＝4x＝－43.
答案：－43
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.
即为－16×2π＝－π3.
答案：－π3
2．(2016·宿迁模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于
________．

解析：因为r＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝
－cos 2.
答案：－cos 2
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为
________．
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，
∴α＝3.
答案：3
4．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________．
(2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________．
解析：(1)设圆心角为θ，半径为r，

则 2r＋rθ＝10，12θ·r2＝4，解得 r＝4，θ＝12或 r＝1，θ＝8.(舍去)
故扇形圆心角为12.
(2)设圆心角为θ，半径为r，
则2r＋rθ＝40.

S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)
＝－(r－10)2＋100≤100，
当且仅当r＝10时，Smax＝100.
此时圆心角θ＝2.

答案：(1)12 (2)2
5．(2016·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直
线y＝2x上，则cos 2θ＝________.

解析：取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos
2θ＝2cos2θ－1＝－35.
答案：－35
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°
＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以
180°－α是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O是原点，A(3，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B
点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)．
答案：(－1，3)
8．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为____________________．

解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sinπ4＝cosπ4＝
22，sin5π4＝cos5π4＝－2
2
.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的

角x∈π4，5π4.
答案：π4，5π4
9．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝k2＋－3k2＝10|k|.
当k>0时，r＝10k，

∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 kk＝10，
∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；
当k<0时，r＝－10k，∴sin α＝－3k－10k＝310，
1
cos α＝－10kk
＝－10，

∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.
综上，10sin α＋3cos α＝0.
10．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

(1)由题意可得 2r＋l＝8，12lr＝3，解得 r＝3，l＝2或 r＝1，l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝12lr＝14l·2r
≤
14l＋2r22＝1
4
×822＝4，

当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝12lr＝12r(8－2r)＝r(4－r)
＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝lr＝2时，
扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若A是第三象限角，且sin A2＝－sin A2，则A2是第________象限角．
解析：因为A是第三象限角，
所以2kπ＋π

所以kπ＋π2所以A2是第二、四象限角．
又因为sin A2＝－sin A2，
所以sin A2<0，
所以A2是第四象限角．
答案：四
2．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的
值为________．
解析：由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的概念知，
角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，
所以角θ是第四象限角，
所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
答案：－1
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；

(2)求α2终边所在的象限；

(3)试判断 tanα2sin α2cosα2的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，

其集合为α 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，
得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
故α2终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，
sin α2＞0, cos α2＜0，
所以tanα2 sinα2 cosα2取正号；
当α2在第四象限时， tanα2＜0，
sinα2＜0, cosα2＞0，
所以 tanα2sinα2cosα2也取正号．
因此，tanα2sin α2cos α2取正号．