单位圆的对称性与诱导公式
人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0， 得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.
k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变 ，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？
2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,
略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2
=
解：原式
cos sin sin sin
2
5.3诱导公式课件(人教版)
追问1
上述推导过程中用到点P1所在位置的条件了吗？如果点P1在第二象
限，那么点P2的坐标与点P1的坐标之间有什么关系？如果点P1在y轴负
半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的大小是多少？
回顾推导过程，发现不论点P1在哪里，点P2的坐标与点P1的坐标之
间的关系都不变.
可以是任意角；对于正切的诱导公
的三角函数值之间的关系即可.
因此，只要探究角 与角
设 P1 ( x1 , y1 ), P4 ( x4 , y4 )
y
因为P4 是点 P1 关于y轴的对称点
所以 x4 x1 , y4 y1.
P4 ( x4 , y4 )
O
P1 ( x1 , y1 )
x
作点 关于y轴的对称点P4
分析：
题目中的角与那个特殊角接近？
拆分之后应该选择哪个诱导公式?
例1 利用公式求下列三角函数值
（1）cos 225
8
（2）sin
3
16
（3）sin(
)
3
（4）tan(2040 )
解：
例1 利用公式求下列三角函数值
（1）cos 225
8
（2）sin
3
16
（3）sin(
)
3
（4）tan(2040 )
＝cos(180°－α)
＝－cos α，
−cos ·sin
所以，原式＝(−tan )·(−cos )＝－cos α．
小结
思考：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？
你学习了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质.
高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式
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解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
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基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
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知识点三 化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
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基础知识点对点
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高中数学人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
P1
边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对
称点P2．
O P2
x
（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？
y
以OP2为终边的角都是与角 终边相同的角，
即 2k ( )(k Z ).
因此，只要探究角 与的三角函数值之间的关系即可 P2 O
(x2 , y2 ) 设P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 ).
高中数学 高一 人教A版(202X)必修第一册
圆是第一个最简单、最完善的图形。
—— 布龙克尔
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么：
1、正弦 sin y
2、余弦 cos x
3、正切 tan y (x 0)
公式一
x
y
p
α
O
x
sin( 2k ) _s_i_n_a____ cos( 2k ) _c_o_s_a____ tan( 2k ) _t_a_n_a____
作用：
将 2角 化到0 上
函数名不变，符号看象限
把a看成锐角时的符号
利用公式求下列三角函数值 (1) cos 210o
解：原式 cos(180o 30o ) cos 30o 3 2
(2) o ) cos 45o 2 2
作点P1关于x轴的对称点P3，
作用：
将角化到0 2上
圆的对称性
角的终边 的对称性
对称点的 数量关系
角之间的 数量关系
诱导公式
“对称是美的基本情势”
1.借助单位圆的对称性，推导出诱导公式。
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数 化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求 值和化简问题。
高中数学第一章三角函数1.4.31.4.4单位圆的对称性与诱导公式学案北师大必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]． 当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解． 【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝si n(180°－45°)cos(360°－45°)＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α.【精彩点拨】 解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 三角函数式本着怎样的思路化简？【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数． 探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】 含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式． (1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】 由诱导公式知D 正确． 【答案】 D2．cos 2π3的值是( )【导学号：66470011】A ．－32B ．32C.12D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______． 【解析】 在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π24．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________.【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4.【解】 原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π11 ＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝sin π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝34.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
高中数学 1.4.3+4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式课件 北师大
诱导公式(gōngshì)的综合应用
已知 cosπ6－α＝m(|m|≤1)， 化简 cos56π＋α＋sin23π－α. [思路分析] 观察角的特点，由于56π＋α＝π－π6－α，故可 运用 π－α，π2＋α 的诱导公式求正弦、余弦值．
第三十三页，共38页。
[规范解答] cos56π＋α＋sin23π－α ＝cosπ－π6－α＋sinπ2＋π6－α ＝－cosπ6－α＋cosπ6－α＝－m＋m＝0. [规律总结] 观察已知角和未知角之间的关系，运用诱导公 式(gōngshì)将不同名的函数化为同名的函数，将不同角化为同角 是解决问题的关键．
第二十一页，共38页。
[规范解答] (1)解法一：sin(－1665°)＝－sin1665° ＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
解法二：sin(－1665°)＝sin(135°－5×360°)
＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝
＋120°)＝－sin45°＋cos30°＋sin60°＝
3－
2 2.
第十二页，共38页。
5．若 f(n)＝sinn4π(n∈N)，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(9)＝
__________.
[答案] [解析]
2 2
f(1)＝sinπ4＝ 22，f(2)＝sinπ2＝1，f(3)＝sin34π＝ 22，
D．4cosα
[答案(dáàn)] A [解析] 原式＝cosα＋cosα－cosα－cosα＝0.
第十一页，共38页。
4 ． 计 算 (jì suàn)sin315° ＋ cos( － 330°) － sin( － 480°) ＝ __________.
必修四1-4-1单位圆与诱导公式
宝石学校活页课时教案(首页)班级:高一年级科目:数学周次教学时间2015年3月日月教案序号课题1-4-1单位圆与诱导公式课型新授教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：通过单位圆中的角的对称性理解和记忆诱导公式并能进行简单的化简；能力目标：通过自主探究、小组合作等多种学习方式，培养学以致用的能力.情感目标：认识事物之间的普遍联系与相互转化；培养学生用联系的观点看问题.教学重点及难点重点：记忆诱导公式并会进行简单的化简.难点：理解诱导公式的来源教学方法观察、思考、交流、讨论、概括。
教学反馈板书设计1-4-1 单位圆与诱导公式sin()sin,cos()cos.αααα-=--=sin(2)sin,cos(2)cos πααπαα-=--=sin()sin,cos()cos.πααπαα+=-+=-sin()sin,cos()cos.πααπαα-=-=-sin()cos,cos()sin.22ππαααα+=+=-sin()cos,cos()sin.22ππαααα-=-=高中必修4教案 第 2 页 共 5 页一、交流订正1、填空1）诱导公式一：=+)2sin(παk ________；=+)2cos(παk _______； 2）诱导公式二：=-)sin(α_________；)cos(α-=___________； 3）诱导公式三：=-)sin(απ_________；=-)cos(απ________； 4）诱导公式四：=+)sin(απ_______；=+)cos(απ_________；5）诱导公式五：=-)2sin(απ___________；=-)2cos(απ_______________；6）诱导公式六：=+)2sin(απ___________；=+)2cos(απ________________；2、这些公式是怎样推导出来的？二、展示点拨1、角α与α-的正、余弦函数关系（关于x 轴对称）sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=2、角α与απ±的正、余弦函数关系（关于原点对称）sin()sin ,cos()cos .sin()sin ,cos()cos .απααπααπααπα+=-+=--=--=-3、角α与πα-的正、余弦函数关系（关于y 轴对称） sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=- 也可以由1、2两组公式推出sin()sin()(sin )sin ,cos()cos()cos .πααπααπααπα-=--=--=-=-=- x yoP (x ,y )P 1 (-x ,-y )xyoP (x ,y )P 1 (x ,-y )P 2 (-x ,y )高中必修4教案 第 3 页 共 5 页4、角α与2πα+的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=-5、角α与2πα-的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-=6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式（1）2k πα+：sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈ （2）α-：sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=（3）2πα-：sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--= （4）πα±：sin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=-sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=- （5）2πα±：sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=- sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-= 补：32πα±： 33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=-+= 33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=--=- 2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。
高一数学《单位圆的对称性与诱导公式二》上课学习上课学习教案
高一数学《单位圆的对称性与诱导公式二》教案课件www.5y 【学习目标】、理解408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）的正余弦函数的关系的推导，并熟记诱导公式；2、能用诱导公式进行简单的应用。
【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【学习过程】一、预习自学阅读书第21页——23页练习部分以前内容，通过对408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）的正弦函数、余弦函数关系408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）正弦函数、余弦函数关系二、合作探究探究1、已知408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）分别求下列的值：（1）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（2）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（3)408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）探究2:求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。
（1）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（2）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）探究3、化简：408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）（先逐个化简，再代值）三、学习小结（1）说说将任意角的正（余）弦函数转化为锐角正（余）弦函数的一般思路：（2）我的疑惑：【达标检测】、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（-408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二），408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二））,则sinα=;cos=;cos=2.已知sin=408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）,则sin=3、408[导学案]<wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（二）课件www.5y。
单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式第1课时 单位圆与诱导公式（1）（2）（3）南昌八中 王海燕教学目标知识和技能：学习诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征，并学会运用公式。
过程与方法：通过诱导公式的掌握，培养学生观察力、分析归纳能力，领会教学的化归思想方法，使学生体验和理解从特殊到 一般的数学归纳的推理方法。
重 点：用联系的观点，发现并证明诱导公式。
难 点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边上的点的对称性，发现问题，提出研究方法。
教学过程：一、复习引入要求学生画出单位圆，并找出点P （12 ，2），P ´（—12 ，2），P ´´（—12 ，。
要求学生观察这三点的对称性，以及画出这三点所代表的角a 的终边，所表示的a 角以及它们的正弦值、余弦值。
设计意图：本人教学对象是教学基础薄弱的学生，所以先从他们熟悉简单的点的坐标以及对称性，再到角a落在单位圆中的终边，再到正弦值、余弦值的关系。
二、发现探索1、填空（用0~2π）1）∠MOP= ，∠MOP´= ，∠MOP´´= ，=π— =π+= (用负角表示) 2）Sin∠MOP= Sin∠MOP´= Sin(π- )= Sin∠MOP´´= Sin(π+ )Cos∠MOP= Cos∠MOP´= Cos (π- )= Cos∠MOP´´= Cos (π+ )3) Sin∠MOP´= Sin∠MOP´´Cos∠MOP´= Cos∠MOP´´三、公式的推导和归纳归纳由学生得出，当∠MOP=a时，能得出的结论，教师归纳并板书，提示a±π与角a的终边有何关系。
诱导公式：（1）Sin （—a ）= —Sin aCos （—a ）= —Cos a（2）Sin （a+π）= —Sin a Cos （a+π）= —Cos a Sin （a-π）= —Sin a Cos （a-π）= —Cos a(3) Sin （π- a ）= Sin a Cos （π- a ）= —Cos a四、诱导公式的概括及理解引导学生注意公式两边的角的共同点及符号规律，得出“函数名不变，符号看象限”。
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题（重点）。
2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用。
3.理解诱导公式的推导过程(重点）.4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点）．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1］周期2π在［0,2π]上的单调性在错误!，错误!上是增加的；在错误!上是减少的在［π,2π］上是增加的；在[0,π］上是减少的（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R。
（√）(2）函数y＝sin x在［0，π］上是单调减函数．(×)（3）函数y＝cos x在［0，π］上的值域是[0，1］．(×)（4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√）知识点2 2kπ±α，－α，π±α（k∈Z)的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α)＝sin α,cos(2kπ＋α）＝cos α.（1。
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N
P(u,v) o
M 1
x
P'(-u,-v)
3.合作探究，推导公式
问题探究（3）
①角 的终边和角
的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角 的终边和单位圆的交点 P ，那 p 和 P 有什么关系？ 么， p 与 P 关于y轴对称, P u, v ③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p 的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即 与
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角 的终边和角
的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角 的终边和单位圆的交点 P ，那 p 和 P 有什么关系？ 么， p与 P 关于原点对称, P u, v ③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p 的坐标。
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos
4.应用公式，解决问题
例1.求下列各角的正（余）弦函数值
7 2 (1) sin( ) (2) cos( ) 4 3 7 7 解 (1) sin( ) sin sin(2 ) 4 4 4
任意负角的正 （余）弦函数 用公式 一或二 任意正角的 正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余） 弦函数 用公式 三或四 正 （余）弦函数
0 ~ 2
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题 （2）选做题
从单位圆关于直线
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式四
r 1
sin v
cos u
P cos ,sin
P cos ,sin
y P'(-u, v)
由P(u,v)与P‘(u,-v)知
sin( ) sin cos( ) cos
轴对称点的坐标是什么?
， y ，关于 点 Px，y 关于原点对称点 P 1 x
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同；
除此之外还有一些角，已知角 正（余）弦函
数值，那么，能否用它表示相关角（如 ，
N
P(u,v)
1 M
o
x
公式一：
公式二：
sin( k 2 ) sin sin( ) sin cos( k 2 ) cos cos( ) cos (k Z )
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos
p，角 的终边和单位圆的交点 P ，那么， p 和 P 有什么关系？ p与 P 关于x 轴对称, P u, v ③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p 的坐标。
④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即 与 正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即 与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
r 1 sin v
公式三
cos u
y
P cos ,sin
P cos ,sin
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
求 sin 3 的值 解 sin(3 ) sin(4 3 )
1 sin( ) 3
4.应用公式，解决问题
练习1.求下列各角的三角函数值
11 (1) sin 3
31 (2) cos( ) 6
5.提炼方法，升华认识 小结
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及 化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦 函数的一般思路吗？
复习回顾
1.任意角正（余）弦函数的定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ， 终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作
角 的正弦函数，记作 v 函数，记作
sin ；
P(u,v)
点P的横坐标u叫作角 余弦
yபைடு நூலகம்
u cos.
M o
1 x
2.对称性
y 已知点 Px，y ，那么点 P 关于原点、 x 轴、
y x ， y x对称性
出发，可以得到正（余）弦函数的那些性质？
r 1
公式二
cos u
o
y
P(u,v)
M1
sin v
P cos ,sin P cos ,sin
x
P'(u,-v)
由P(u,v)与P‘(u,-v)知
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数 y cos x 是 偶函数。
2 sin( ) sin sin 4 4 4 2
2 1 (2) cos( ) cos cos 3 3 3 2
4.应用公式，解决问题
1 例2 已知 sin ， 3
， ）的正（余）弦函数值？
得出公式（一）
sin( 2k ) sin (k Z )
cos( 2k ) cos (k Z )
3.合作探究，推导公式
问题探究（1）
①角 的终边和角 的终边有什么关系？ ② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点