《线性方程组》练习题
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
初中数学练习题线性方程组的解法
初中数学练习题线性方程组的解法初中数学练习题：线性方程组的解法一. 概述线性方程组是初中数学中重要的内容之一，它涉及到多个未知数的线性关系，并且在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的定义、解法和解的唯一性等内容，帮助读者更好地理解和掌握线性方程组的解法。
二. 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。
一般形式如下：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = bm其中，a₁, a₂, ..., an 和 b₁, b₂, ..., bm 均为已知常数，而 x₁, x₂, ..., xn 则为未知数。
三. 线性方程组的解法对于线性方程组，可以通过消元法、代入法或矩阵法等方式求解。
下面将详细介绍这三种解法。
1. 消元法消元法是最常用和基础的解法，主要分为两步：步骤一：通过适当的变换，将线性方程组转化为简化的形式，即求得未知数的系数矩阵为单位矩阵，并且每个方程的常数项为零。
步骤二：反向代回，从最后一个方程开始，依次代入已求得的解，通过替换的方式求得其他未知数的值。
2. 代入法代入法是在消元法的基础上，直接将含有一个未知数的方程代入到其他方程中，从而减少未知数的个数，使问题更易解。
具体步骤如下：步骤一：选取一个方程，将其表示为 x₁或 x₂等一个未知数的表达式。
步骤二：将选定的方程代入其他方程，并进行消去操作，得到简化后的方程组。
步骤三：使用消元法或代入法继续求解新得到的方程组，直至得到全部未知数的值。
3. 矩阵法矩阵法是将线性方程组表示为矩阵形式，并通过矩阵的运算求解。
步骤如下：步骤一：将线性方程组的系数矩阵 A 和常数矩阵 B 分别写出。
步骤二：建立增广矩阵 [A|B]，对其进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。
步骤三：根据行阶梯形矩阵，求得线性方程组的解。
线性方程组练习培养解决实际问题的能力
线性方程组练习培养解决实际问题的能力线性方程组习题：培养解决实际问题的能力解答一：1. 某家电商平台上有两种品牌的手机 A 和 B，品牌 A 的手机售价为 2000 元，品牌 B 的手机售价为 1800 元。
已知在某次促销活动中，共售出了 200 台手机，总收入为 365000 元。
问品牌 A 和 B 分别售出了多少台手机？假设品牌 A 售出了 x 台手机，品牌 B 售出了 (200 - x) 台手机。
根据题意可得：2000x + 1800(200 - x) = 365000化简方程得：2000x + 360000 - 1800x = 365000200x = 5000x = 25所以，品牌 A 售出了 25 台手机，品牌 B 售出了 175 台手机。
2. 甲、乙两人共同炒菜，甲需要 2 个小时炒一道菜，乙需要 3 个小时炒一道菜。
他们决定分工合作，先由甲炒 2 个小时，然后由乙接着甲的菜继续炒，问多长时间后两人一起炒完 5 个菜？设炒完 5 个菜所需时间为 x 小时。
根据题意可得：甲炒菜的速度为 1/2 个菜/小时乙炒菜的速度为 1/3 个菜/小时根据分工合作的情况可得方程：2 * (1/2) + x * (1/2) + x * (1/3) = 5化简方程得：1 + x/2 + x/3 = 5x/2 + x/3 = 45x/6 = 4x = 4.8所以，两人一起炒完 5 个菜需要 4.8 小时。
练习二：1. 小明在一家工厂上班，他每天加工 A、B 两种产品。
加工 A 型产品每个需要 3 小时，加工 B 型产品每个需要 2 小时。
已知他每天加工的总时间为 8 小时，加工 A 型产品共计 5 个，加工 B 型产品共计 10 个。
问小明一天加工 A、B 型产品各多少个？设加工 A 型产品的个数为 x，加工 B 型产品的个数为 y。
根据题意可得：3x + 2y = 8x = 5y = 10化简方程得：3(5) + 2y = 815 + 2y = 82y = -7y = -3.5由于个数不能为负数，所以 y 没有实际意义。
解决线性方程组的练习题
解决线性方程组的练习题1. 解题思路：线性方程组是由多个线性方程组成的一组方程，我们通过求解方程组中的未知数，即找到使得所有方程都成立的解，来解决线性方程组。
在解决线性方程组的过程中，我们可以借助高斯消元法、矩阵法等方法来简化计算步骤，提高解题效率。
2. 练习题一：解下列线性方程组：2x + 3y = 84x - y = 5解答：首先，我们可以通过观察发现，第二个方程可以很容易通过乘以一个适当的常数使系数与第一个方程相加减而消去y，然后我们可以继续解得x的值。
将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 10将这个方程与第一个方程相加，得到：2x + 3y + 8x - 2y = 8 + 1010x + y = 18现在，我们得到一个只包含x和y的新方程，通过解这个方程即可求得x和y的值。
将上述方程重新整理，得到：y = 18 - 10x将y的值代入第一个方程中，得到：2x + 3(18 - 10x) = 82x + 54 - 30x = 8-28x = -46x = 46/28x ≈ 1.643将x的值代入y的表达式中，得到：y = 18 - 10(1.643)y ≈ 0.569因此，这个线性方程组的解为：x ≈ 1.643y ≈ 0.5693. 练习题二：解下列线性方程组：3x - y + 2z = 52x + y - z = -3x + 4y + z = 4解答：对于这个线性方程组，我们可以借助矩阵法来进行求解。
首先，我们可以将这个方程组表示为增广矩阵的形式：[ 3 -1 2 | 5 ][ 2 1 -1 | -3 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对矩阵进行初等行变换，将其变换为行阶梯形矩阵。
通过对第二行乘以2，并与第一行相减，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 3 -3 | -11 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对第三行减去第一行，并对第二行除以3，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 5 -1 | -1 ]最后，通过对第三行减去5倍的第二行，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 0 4 | 13.667 ]现在，我们得到了一个上三角矩阵，我们可以通过回代法来求解未知数。
初中数学练习题线性方程组
初中数学练习题线性方程组线性方程组是初中数学中的重要概念之一，通过解线性方程组可以帮助我们找出未知数的具体值。
本文将通过几个例子来介绍线性方程组的解法。
例一：解下面的线性方程组：2x + 3y = 7x - y = 1解法：首先，我们可以通过消元法来解这个线性方程组。
为了消去y的系数，我们可以将第二个方程两边同时乘以3，得到3x - 3y = 3。
现在，我们可以将第一个方程和这个新得到的方程相加，即：(2x + 3y) + (3x - 3y) = 7 + 35x = 10得到x = 2。
将x = 2代入第一个方程，我们可以求得y的值：2(2) + 3y = 74 + 3y = 73y = 7 - 4y = 1。
所以，这个线性方程组的解为x = 2，y = 1。
例二：解下面的线性方程组：3x + 4y = 102x - y = 3解法：这个线性方程组可以使用代入法来解。
首先，我们可以将第二个方程变形为y = 2x - 3。
然后，将这个表达式代入到第一个方程中：3x + 4(2x - 3) = 103x + 8x - 12 = 1011x - 12 = 1011x = 22x = 2。
将x = 2代入到第二个方程中，我们可以求得y的值：2(2) - y = 3-y = 3 - 4-y = -1y = 1。
所以，这个线性方程组的解为x = 2，y = 1。
例三：解下面的线性方程组：4x + y = 122x + 3y = 10解法：这个线性方程组可以使用消元法来解。
为了消去x的系数，我们可以将第一个方程两边同时乘以2，得到8x + 2y = 24。
然后，将这个新得到的方程和第二个方程相减，即：(8x + 2y) - (2x + 3y) = 24 - 106x - y = 14。
现在我们有一个新的方程，可以再次使用消元法。
为了消去y的系数，我们可以将这个方程两边同时乘以2，得到12x - 2y = 28。
线性方程组基础训练
第三章 线性方程组基础训练在以下, 我们总假设非齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 , (1) 其导出组或齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a . (2) 1.设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.A .必有r 个列向量线性无关；B .任意r 个列向量线性无关；C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示2. 若（ ），则n 元齐次线性方程组(2)有非零解.A . s n <B .A 的秩等于nC ．s n >D .A 的秩等于s.3.齐次线性方程组(2)仅有零解的充分必要条件是( ).A . A 的行向量组线性相关B .A 的行向量组线性无关C ．A 的列向量组线性相关D .A 的列向量组线性无关4. 对于非齐次线性方程组(1)，当s=n, 即系数矩阵是n n ⨯矩阵, 如下结论正确的是（ ）. A .若方程组无解，则系数行列式0=A ；B .若方程组有解，则系数行列式0≠A 。
C ．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；D .系数行列式0≠A 是方程组有惟一解的充分必要条件5. 设线性方程组的增广矩阵是10721012110242200015⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦，则这个方程组解的情况是（ ）. A .有唯一解 B .无解 C ．有四个解 D .有无穷多个解6. 当λ=（ ）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性方程基础练习题
线性方程基础练习题1. 求解下列线性方程组：(a) 2x + y = 53x - 4y = 2(b) x - 3y = 1-2x + 5y = -42. 求解下列线性方程：(a) 4x - 3 = 5(b) -2(y + 1) = 6 - y3. 某商店出售价格为x元的鞋子和y元的鞋垫，小明购买了2双x元的鞋子和3双y元的鞋垫，共花费了35元。
已知鞋垫的价格是鞋子价格的一半，求鞋子和鞋垫的价格。
4. 小明和小华一起去商场购物，小明购买了1个手机和2个耳机，共花费了2000元；小华购买了3个手机和4个耳机，共花费了4000元。
已知手机的价格是耳机价格的2倍，求手机和耳机的价格。
5. 某公司的固定成本为5000元，每制造一个产品的成本为120元，售价为160元。
设x为产品的数量，求：(a) 制造3个产品的总成本和售价之差。
(b) 公司需要销售多少个产品才能达到盈亏平衡。
6. 某物业公司有2个员工，按照工作小时支付工资。
员工A每小时获得10元，员工B每小时获得8元。
设员工A工作x小时，员工B工作y小时，已知总共支付了160元，求：(a) 员工A工作了几个小时？(b) 员工B工作了几个小时？7. 某书店购进苹果和香蕉，苹果售价为3元/个，香蕉售价为2元/个。
已知苹果的进价为2元/个，香蕉的进价为1元/个。
书店共购进了30个水果，共花费了70元。
设购进了x个苹果，求：(a) 购进了多少个香蕉？(b) 书店按照进价计算，则购进了多少个苹果、香蕉？8. 解方程组：(a) 3x - 4y = 25x + 2y = 10(b) 3x - 2y = 8-4x + 3y = -12(c) 2x + 5y = 124x - 2y = 109. 解方程：(a) 2(3x - 1) + 3(2x + 4) = 20(b) 4(2x - 3) - 3(3x + 4) = 5(c) -2(5 - x) + 3(4 + 2x) = 17。
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《线性方程组》练习题
一、单项选择题
1．设n元齐次线性方程组0AX的系数矩阵的秩为r，则0AX有非零解的充
分必要条件是（ ）
(A) rn (B) rn
(C) rn (D) rn
2．设A是mn矩阵，则线性方程组AXb有无穷解的充要条件是（ ）
(A) ()rAm (B) ()rAn
(C) ()()rAbrAm (D) ()()rAbrAn
3．设A是mn矩阵，非齐次线性方程组AXb的导出组为0AX，若mn，
则（ ）
(A) AXb必有无穷多解 (B) AXb必有唯一解
(C) 0AX必有非零解 (D) 0AX必有唯一解
4．方程组
123
23
3
2422(2)(3)(4)(1)xxxxxx
无解的充分条件是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．方程组
123
23
3
3
1224(1)(3))(1))xxxxxxx
有唯一解的充分条件是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
6．方程组
123
23
23
2132(3)(4)(2)xxxxxxx
有无穷解的充分条件是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
7． 已知
12,是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解，12
,
是导出组
0AX的基本解系，12,kk为任意常数，则AXb
的通解是（ ）
(A)
1211212()2kk (B) 12
11212
()2kk
(C)
1211212()2kk (D) 12
11212
()2kk
8．设A为mn矩阵，则下列结论正确的是（ ）
(A) 若0AX仅有零解 ，则AXb有唯一解
(B) 若0AX有非零解 ，则AXb有无穷多解
(C) 若AXb有无穷多解 ，则0AX仅有零解
(D) 若AXb有无穷多解 ，则0AX有非零解
9．设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充要条件为（ ）
(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关
(C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
10．线性方程组123123123123047101xxxxxxxxx （ ）
(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只
有零解
二、填空题
1. 设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有0AX，则A的
秩为 .
2. 线性方程组
123
12
123
20200kxxxxkxxxx
仅有零解的充分必要条件是 .
3. 设
12,,sXXX和1122ss
cXcXcX
均为非齐次线性方程组AXb的解
（12,,sccc为常数），则12sccc .
4. 若线性方程组AXb的导出组与0(())BXrBr有相同的基础解系，则
()rA
.
5. 若线性方程组
mnAXb
的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 .
6. 设1015矩阵的秩为8，则0AX的解向量组的秩为 .
7. 如果n阶方阵A的各行元素之和均为0，且()1rAn，则线性方程组
0AX
的通解为 .
8. 若n元齐次线性方程组0AX有n个线性无关的解向量，则A .
9. 设
1
2
3
1211232,3,120x
Aabxxax
，若齐次线性方程组0AX只有零解，
则a .
10. 设
1
2
3
1211232,3,120x
Aabxxax
，若线性方程组AXb无解，则
a
.
11. n阶方阵A，对于0AX，若每个n维向量都是解，则()rA .
12. 设54矩阵A的秩为3，
123
,,
是非齐次线性方程组AXb的三个不同的
解向量，若123122(2,0,0,0),3(2,4,6,8)TT，则AXb的通解
为 .
13. 设A为mn矩阵，()min(,)rArmn，则0AX有 个解，有 个线
性无关的解.
三、计算题
1. 已知
123
,,
是齐次线性方程组0AX的一个基础解系，问
122331
,,
是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
2. 设
54331012263211311111A，12010560011210012320B
，已知B的行向量都是线
性方程组0AX的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为
什么？
3. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：
12
24
00xxxx
1）求（Ι）的一个基础解系
2）如果
12
(0,1,1,0)(1,2,2,1)TTkk
是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）
和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。
4. 问,ab为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部
解（用基础解系表示全部解）。
1）12312321231xaxxaaxxxxxaxa 2）
123
2
123
123
424xxbxxbxxbxxx
5. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为
1
21212
3
112133.(,)321xxccccx
为任意实数
6. 设
22139528A
，求42一个矩阵B，使得0AB，且()2rB。