导数研究函数含参数单调性5种题型总结(原卷版)
第11讲 导数研究函数含参数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论 ①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③x 系数有未知数a ，先考虑x 系数0=a 的情况；再考虑0,0<>a a 情况，求出()0='x f 的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式∆，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）已知函数()ln af x x x=+. (1)讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数()ln f x x ax a =+-(R)a ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；【例3】（2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习）设m 为实数，函数()ln f x x mx =+． (1)求函数()f x 的单调区间；【例4】（2022·江西·二模（文））己知函数()()R a x ax x f ∈++=1ln ，讨论()f x 的单调性。
【题型专练】1．（2022·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））已知函数()=ln f x x mx m -+，R m ∈． (1)求()f x 的单调区间；2.（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；3.（2022·广东·模拟预测）已知函数()()()R m mx x x f ∈--=1ln ，讨论函数()f x 的单调性。
4.（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数()ln 1f x a x x =+-（其中a 为参数）． (1)求函数()f x 的单调区间；题型二：导函数为准一次函数型【例1】（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）已知()e 1,()(1)1(0,e x f x a ax g x a x a =-+=-+≠为自然对数的底数).(1)讨论函数()f x 的单调性；【例2】已知函数()e xf x ax -=+.讨论()f x 的单调性；【例3】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数()e (1),()x f x a x a =+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性；【例4】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数()2e 1x f x ax =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；【题型专练】1．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）已知函数()e 2x f x a x -=+-． (1)讨论()f x 的单调性；2.（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3xR f x ax a =-+∈（e 为自然对数的底数）．求函数()f x 的单调区间；3.设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．4.（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；5．（2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习）已知函数()e x f x ax =-（e 为自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的单调区间；题型三：导函数为二次可分解因式型【例1】（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()(1)ln 2()af x a x x a x=-++-∈R ． (1)试讨论()f x 的单调区间；【例2】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.【例3】（2022·河南·扶沟县第二高中高三阶段练习（理））已知函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =---∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；【例4】（2021·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）已知()22ln f x ax x =-，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；【例5】（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））已知函数()()221ln f x ax a x x=-+-()a R ∈.(1)讨论()f x 的单调性.【题型专练】1．（2022·浙江·高二期中）已知函数()323f x x ax =-．(1)讨论()f x 的单调性；2.（2022·贵州·高三阶段练习（理））设函数()2ln f x x ax =+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若直线y x =-是曲线()y f x =的切线，求a 的值.3．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（理））已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性；4.（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；5.（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a =-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；6.设函数()2ln f x ax a x =--，其中a R ∈．讨论()f x 的单调性.题型四：导函数为二次不可因式分解型【例1】（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）已知2()ln (R)f x x x ax a =++∈ (1)讨论()f x 的单调区间；【例2】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；【例3】（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数()()2e 23x f x x a x a =-+++⎡⎤⎣⎦(1)讨论()f x 的单调性；【例4】已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >，讨论()f x 的单调性；【题型专练】1.（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；2．（2022·福建·福州三中高二期末）设函数()1ln f x x a x x=-+ (1)求函数()f x 的单调区间；3.（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；题型五：导函数为准二次函数型【例1】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）已知函数2e ()e 22xx f x mx m =--．(1)讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数()()R a ax ax ex x f x ∈-+=22， 讨论()f x 的单调性。
【例3】（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知函数()()2e 2e x x f x m m x =+-- ．(1)当0m =时，求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性；【例4】（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；【题型专练】1．（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）已知函数()e e x x f x a -=+.(1)讨论()f x 的单调性；2.（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x xf x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；3.（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；4.【2021年新高考2卷】已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；5.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数2()2(1)e x f x a x x =--（其中,e a ∈R 为自然对数的底数）． (1)讨论()f x 的单调性；。
利用导数研究函数的单调性的题型分析
利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间．(1)y ＝2x 3－3x (2)f (x )＝3x 2－2ln x . 解：(1)由题意得y ′＝6x 2－3. 令y ′＝6x 2－3＞0，解得x ＜－22或x ＞22， 当x ∈(－∞，－22)时，函数为增函数，当x ∈(22，＋∞)时，函数也为增函数．令y ′＝6x 2－3＜0，解得－22＜x ＜22，当x ∈(－22，22)时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)．(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x.令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x ＞0.且x ＞0，可解得x ＞33； 令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x＜0，由x ＞0得，0＜x ＜33， ∴f (x )的增区间为(33，＋∞)，减区间为(0，33)． 规律总结：1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间． 变式训练：求下列函数的单调区间：(1)求函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3的单调区间； (2)求函数y ＝x 3－2x 2＋x 的单调区间． 【解】(1)此函数的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．令6(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2， 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2)．令6(x －1)(x －2)＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)． (2)此函数的定义域为R .y ′＝3x 2－4x ＋1，令3x 2－4x ＋1＞0，解得x ＞1或x ＜13.因此y ＝x 3－2x 2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)．再令3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 因此y ＝x 3－2x 2＋x的单调递减区间为(13，1)．例：讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x ∈(0,1)上的单调性，能否判断f ′(x )在(0,1)上的正负？b 的取值对其有影响吗？解：因f (x )的定义域为(－1,1)；函数f (x )是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．∵f ′(x )＝222)1()1(-+-x x b当0＜x ＜1时，x 2＋1＞0，(x 2－1)2＞0，∴0)1()1(222<-+-x x ∴当b ＞0时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(0,1)上是减函数； 当b ＜0时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在(0,1)上是增函数；又函数f (x )是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知： 当b ＞0时，f (x )在(－1,1)上是减函数； 当b ＜0时，f (x )在(－1,1)上是增函数． 规律方法：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f ′(x )；②判断f ′(x )的符号；③给出单调性结论．2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论． 变式训练：求函数y ＝x ＋b x(b ≠0)的单调区间．【解】 函数y ＝x ＋b x(b ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，y ′＝1－b x2＝x 2－b x 2.①当b ＜0时，在函数定义域内y ′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和 (0，＋∞)；②当b ＞0时，令y ′＞0，解得x ＞b 或x ＜－b ，所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)；令y ′＜0，解得－b ＜x ＜b 且x ≠0，所以函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b ).题型二：利用函数单调性求参数例：(2013·郑州模拟)函数f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点))1(,1(ef e 处的切线斜率为1(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 的值；(2)设()()1f x xg x x -=-，研究函数g (x )的单调性解：(1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，依题意)1('ef ＝a ＝1，所以a ＝1.(2)因为()()1f x xg x x -=-＝x ln xx －1，所以g ′(x )＝x －1－ln x x －12. 设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x.当x >1时，φ′(x )＝1－1x>0，φ(x )是增函数，对∀x >1，φ(x )>φ(1)＝0，即当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数； 当0<x <1时，φ′(x )＝1－1x<0，φ(x )是减函数，对∀x ∈(0,1)，φ(x )>φ(1)＝0，即当0<x <1时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,1)上为增函数． 方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．2．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：(1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )，转化为不等式恒成立求解．训练：1. 若函数()1ln 212+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间()1,1+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______________.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(2)1(21)(21)'()2222x x x f x x x x x-+-=-==， 由'()0f x >得12x >，由'()0f x <得102x <<，要使函数在定义域内的一个子区间()1,1+-k k 内不是单调函数，则有10112k k ≤-<<+，解得312k ≤<，即k 的取值范围是3[1,)2.2.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f (x )＝(x ＋a )2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a ≠0.(1)若b ＝1时，f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)当b ＝47a 2时，讨论f (x )的单调性．【解】(1)∵b ＝1，∴f (x )＝(x ＋a )2－7ln x ＋1，∴f ′(x )＝2x ＋2a －7x.∵当x >1时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＝2x ＋2a －7x≥0在x >1时恒成立．即a ≥72x－x 在x >1时恒成立．∵当x >1时，y ＝72x －x 是减函数，∴当x >1时，y ＝72x －x <52，∴a ≥52.故a 的取值范围是[52，＋∞)．(2)∵b ＝47a 2，∴f (x )＝(x ＋a )2－4a 2ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)．∴f ′(x )＝2x 2＋2ax －4a 2x ＝2（x －a ）（x ＋2a ）x.当a >0时，f ′(x )>0，得x >a 或x <－2a ，故f (x )的减区间为(0，a )，增区间为(a ，＋∞)； 当a <0时，f ′(x )>0，得x >－2a 或x <a ，故f (x )的减区间为(0，－2a )，增区间为(－2a ，＋∞)．3.设函数f (x )＝ax －a x－2ln x .(1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(2)＝0，且f ′(x )＝a ＋a x2－2x，∴a ＋a4－1＝0，∴a ＝45.3分∴f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x 2(2x 2－5x ＋2)，由f ′(x )＞0结合x ＞0，得0＜x ＜12或x ＞2，∴f (x )的递增区间为(0，12]和[2，＋∞)，递减区间为(12，2).6分(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0对x ＞0恒成立，8分∵f ′(x )＝a ＋ax 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax2，∴需x ＞0时ax 2－2x ＋a ≥0恒成立10分 化为a ≥2x x 2＋1对x ＞0恒成立，∵2xx 2＋1＝2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1时取等号．∴a ≥1，即a ∈[1，＋∞).12分4.已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x ，其中a 为常数．(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 解：(1)若a ＝1时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x＝(41)(1)x x x-+- (x >0)．当f ′(x )>0，x ∈(0,1)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x， 若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立．即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.题型三：利用导数解决不等式例：定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数且(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是A.12()()f x f x <B.12()()f x f x =C.12()()f x f x >D.不确定解析： 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C. 变式训练：1.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()1(x f x f +=-，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则（D ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<2.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)a f a f f <<D.2(log )(2)(3)a f a f f <<解： 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)a f a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C.3.已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f解：因为函数2()=f x x cos x -为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x x sin x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<(0.6)f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B.4．[2013·太原三模] 已知函数f (x ＋1)是偶函数，且x >1时，f ′(x )<0恒成立， 又f (4)＝0，则(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－6，－3)∪(0，4)C ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D ．(－6，－3)∪(0，＋∞)解：函数f (x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y ＝f (x )的图象，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x >1时，f ′(x )<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f (4)＝0可得当x >4时，f (x )<0，根据对称性可得当x <－2时，f (x )<0，当－2<x <1或1<x <4时，f (x )>0.不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x ＋4>4或x ＋4<－2，解得x >0；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2<x ＋4<1或1<x ＋4<4，解得－6<x <－3.故不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．5.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1()02f -=，则不等式()0f x <的解集为____．解：因为函数()f x 为奇函数。
高考数学提分：利用导数解决单调性中求参数问题(选填)含答案
利用导数解决单调性中求参数问题(选填)热点题型归纳 1题型一：已知函数y =f (x )在区间D 上单调 1题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间 6题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调 8题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D 11题型五：已知函数f x 有三个单调区间 13最新模考题组练 16热点题型归纳题型一：已知函数y =f (x )在区间D 上单调【典型例题】例题1.(2022·重庆市第七中学校高二阶段练习)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]例题2.(2022·全国·高二课时练习)若函数f (x )=x 2-ax +a e x 在区间(-1,0)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]例题3.(2022·陕西咸阳中学高三阶段练习(理))已知函数f x =ax 2+2x -e x ，若对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n <2成立，则a 的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,1C.-∞,e2D.-∞,e 【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上单调①已知f x 在区间D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f x ≥0恒成立.②已知f x 在区间D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f x ≤0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式演练】1.(2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))若f (x )=-12x 2+(a +2)x +ln x 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C.[-2,+∞)D.-∞,-22.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(0,1]D.[1,+∞)3.(2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中(理))若函数h x =2x -kx在1,+∞ 上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.-2,+∞B.2,+∞C.-∞,-2D.-∞,24.(2022·山西临汾·高三期中)设函数f (x )=ln x +mx ，若对任意b >a >1，f (b )-f (a )b -a <1恒成立，则m 的取值范围是( )A.0,+∞B.0,+∞C.14,+∞D.14,+∞题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间【典型例题】例题1.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(文))若函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A.3,+∞B.3,+∞C.-∞,3D.-∞,3例题2.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=12ax 2+x ln x -x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A.-1e,1 B.-1e,+∞ C.-1,+∞D.-∞,1e【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上存在单调区间①已知f x 在区间D 上存在单调增区间⇔∃x ∈D ，f (x )>0有解.②已知f x 在区间D 上存在单调减区间⇔∃x ∈D ，f (x )<0有解.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.72,+∞D.72,+∞2.(2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习)若函数f (x )=x 2-4ex -ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为__________．题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调【典型例题】例题1.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))已知函数f x =1-x ln x +ax 在1,+∞ 上不单调，则a 的取值范围是( )A.0,+∞B.-∞,0C.0,+∞D.-∞,0例题2.(2022·广西河池·高二阶段练习(理))若函数f x =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间k -1,k +1上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-12,32B.32,2C.1,2D.1,32【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上不单调⇔∃x 0∈D ，使得f x 0 =0(其中x 0为变号零点)【变式演练】1.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤42.(2022·四川省资阳中学高二期中(理))已知函数f (x )=ln x -ax -2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.12,1B.12,1C.13,12D.12,233.(2022·江西·金溪一中高二阶段练习(理))已知函数f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.2,18B.2,18C.-∞,2 ∪18,+∞D.2,184.(2022·上海大学市北附属中学高一期中)若函数y =2x 2-kx +8在区间2,5 上不是单调函数，则实数k 的取值范围________.题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D【典型例题】例题1.(2021·四川省成都市玉林中学高二期中(文))已知函数f (x )=x 2-ax -1 e x -1在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，则函数f (x )在[-2,2]的值域是( )A.[-1,e ]B.[-e ,e 2]C.[e -1,5e -2]D.[5e -2,e 2]例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-1B.-53,-54C.-53,1D.-53,-54【变式演练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f (x )=13ax 3+12bx 2+cx +d (a ,b ,c ,d ∈R )的单调递增区间是(-3,1)，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b2.(2022·福建漳州·高二期末)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-4,-2]，则关于x 的不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集是__________.题型五：已知函数f x 有三个单调区间【典型例题】例题1.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2例题2.(2019·江苏盐城·一模)已知函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________.【提分秘籍】已知函数f x 有三个单调区间⇔f (x )=0有两个不同的实数根.【变式演练】1.(2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末(文))若函数y =-43x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________________．2.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(文))若函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，则a 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.-∞,0D.0，+∞3.(2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习)若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.(-3,+∞)B.-3，+∞C.(-3,0)⋃(0,+∞)D.(-∞,0)⋃(0,3)4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________．最新模考题组练一、单选题1.(2019·四川自贡·高二期末(理))函数f x =ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )A.-∞,115B.0,115C.-∞,0 ∪0,115D.-∞,02.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-23.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))若函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，则k 的取值范围为( )A.12,+∞B.2,+∞C.14,+∞D.4,+∞4.(2021·江苏·张家港高级中学高三期中)若函数f x =ln x +ax 2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A.-2,+∞B.-18,+∞ C.-18,-2D.-2,+∞5.(2023·全国·高三专题练习)若函数f (x )=x 2+x -ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-32,34B.12,3C.-32,3 D.12,346.(2022·福建福州·高三期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞ C.2e,+∞D.2e 3,+∞7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 4+x -1 e x 在区间1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.-e 4,-e 216B.-e 4,-e 216C.-e 336,-e 216D.-e 4,-e 3168.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4二、填空题9.(2016·山东济宁·高二阶段练习(文))若函数f (x )=x 3+bx 2+x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为___________．10.(2015·江苏宿迁·高二期中)若函数y =-43x 3+bx 2-2x +5有三个单调区间，则实数b 的取值范围为______．11.(2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习)已知函数f x =3ln x -kx +kx，若f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为__________________．12.(2022·上海·上外附中高三阶段练习)f x =-13x 3+12x 2+2ax ，若f x 在23,+∞ 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______13.(2022·全国·模拟预测)若函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，则实数a 的取值范围是______.14.(2021·江苏·高二专题练习)已知函数f(x)=x3-ax2在[2,4]上不是单调函数，则实数a的取值范围是_________．利用导数解决单调性中求参数问题(选填)热点题型归纳 1题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调 1题型二：已知函数f x 在区间D上存在单调区间 6题型三：已知函数f x 在区间D上不单调 8题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D 11题型五：已知函数f x 有三个单调区间 13最新模考题组练 16热点题型归纳题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调【典型例题】例题1.(2022·重庆市第七中学校高二阶段练习)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]【答案】A【详解】由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)，f (x)=k-1 x，因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f (x)≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥1x，又函数y=1x在(1，+∞)上单调递减，所以k≥1.故选：A例题2.(2022·全国·高二课时练习)若函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]【答案】D【详解】由f(x)=x2-ax+ae x得f x =e x x2+2-ax=xe x x+2-a，由于函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，即f x ≤0在(-1,0)上恒成立，即x+2-a≥0，即得a≤x+2在(-1,0)恒成立，所以a≤1，故选：D.例题3.(2022·陕西咸阳中学高三阶段练习(理))已知函数f x =ax 2+2x -e x ，若对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n <2成立，则a 的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,1C.-∞,e 2D.-∞,e 【答案】C【详解】因为对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n<2成立，所以对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -2m <f n -2n .设g x =f x -2x =ax 2-e x ，则g x 在0,+∞ 为减函数.g x =2ax -e x ，等价于x ∈0,+∞ ，2ax -e x ≤0恒成立，即x ∈0,+∞ ，2a ≤e xx恒成立.设h x =e x x ，h x =e x x -e xx 2=e x x -1 x 2，所以x ∈0,1 ，h x <0，h x 为减函数，x ∈1,+∞ ，h x >0，h x 为增函数，所以h x min =h 1 =e ，所以2a ≤e ，即a ≤e2.故选：C【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上单调①已知f x 在区间D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f x ≥0恒成立.②已知f x 在区间D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f x ≤0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式演练】1.(2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))若f (x )=-12x 2+(a +2)x +ln x 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.[-2,+∞)D.-∞,-2【答案】D【详解】由题意可得：当x >1时，f x =-x +a +2 +1x ≤0，即a ≤x -1x-2.因为y =x 和y =-1x 在(1,+∞)上单增，所以y =x -1x-2在(1,+∞)上单增，所以y >-2，所以a ≤-2.故选：D2.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(0,1]D.[1,+∞)【答案】B【详解】解：∵函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，∴当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )=1-2ax 2x ≤0，∴a ≥12x 2在x ∈(1,+∞)时恒成立，即a ≥12x 2 max ，x ∈(1,+∞)，又∵y =12x 2在1,+∞ 单调递减，故y max =12×12=12，故a ∈12,+∞ ．故选：B ．3.(2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中(理))若函数h x =2x -kx在1,+∞ 上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.2,+∞C.-∞,-2D.-∞,2【答案】A【详解】h x =2+k x 2=2x 2+kx 2，因为h x 在1,+∞ 上是增函数，所以h x ≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，则2x 2+k x 2≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，所以k ≥-2x 2对x ∈1,+∞ 恒成立，则k ≥-2，即k ∈[-2,+∞).故选：A .4.(2022·山西临汾·高三期中)设函数f (x )=ln x +m x ，若对任意b >a >1，f (b )-f (a )b -a<1恒成立，则m 的取值范围是( )A.0,+∞ B.0,+∞C.14,+∞D.14,+∞【答案】A【详解】由题设f (b )-b <f (a )-a ，且b >a >1，令g (x )=f (x )-x =ln x +mx-x 且x >1，则g (b )<g (a )，故g (x )在x ∈(1,+∞)上递减，所以g(x )=1x -m x 2-1=-x 2-x +m x2≤0恒成立，即m ≥x -x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，而y =x -x 2=-x -12 2+14在x ∈(1,+∞)上值域为(-∞,0)，所以m ≥0.故选：A题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间【典型例题】例题1.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(文))若函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A.3,+∞ B.3,+∞C.-∞,3D.-∞,3【答案】B【详解】函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 的定义域为0,+∞ ，且其导数为g x =1x+x -(b -1)．由g x 存在单调递减区间知g x <0在0,+∞ 上有解，即1x+x -(b -1)有解．因为函数g x 的定义域为0,+∞ ，所以x +1x ≥2．要使1x +x -(b -1)有解，只需要1x+x 的最小值小于b -1，所以2<b-1，即b >3，所以实数b 的取值范围是3,+∞ ．故选:B ．例题2.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=12ax 2+x ln x -x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A.-1e ,1 B.-1e,+∞ C.-1,+∞D.-∞,1e【答案】B【详解】f (x )=ax +ln x ，∴f (x )>0在x ∈0，+∞ 上有解，即ax +ln x >0在x ∈0，+∞ 上有解，即a >-ln x x 在x ∈0，+∞ 上有解．令g (x )=-ln x x ，则g ′(x )=-1-ln x x 2，∴g (x )=-ln xx 在(0，e )上单调递减，在(e ，+∞)上单调递增，∴g (x )=-ln x x 的最小值为g (e )=-1e ，∴a >-1e．故选：B ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上存在单调区间①已知f x 在区间D 上存在单调增区间⇔∃x ∈D ，f (x )>0有解.②已知f x 在区间D 上存在单调减区间⇔∃x ∈D ，f (x )<0有解.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是A.[3,+∞) B.(3,+∞)C.72,+∞D.72,+∞【答案】B【详解】因为函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，故f x <0在区间12,2上有解.即1x +x -b -1 <0在区间12,2 有解.即存在x ∈12,2 ，使得b -1>x +1x ，又y =x +1x 在12,1 单调递减，在1,2 单调递增.且x =12时，y =52；x =1时y =2；x =2时，y =52，故要满足题意，只需b -1>2即可，解得b >3.故选：B .2.(2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习)若函数f (x )=x 2-4ex -ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为__________．【答案】-∞,-2-2ln2【详解】因为f (x )=x 2-4ex -ax ，所以f ′(x )=2x -4ex -a .由题意，f ′(x )=2x -4ex -a >0，即a <2x -4ex 有解．令g (x )=2x -4ex ，则g ′(x )=2-4ex .令g ′(x )=0，解得x =-ln2.当x ∈(-∞，-ln2)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递增；当x ∈(-ln2，+∞)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递减．所以当x =-ln2时，g (x )=2x -4ex 取得最大值-2-2ln2，所以a <-2-2ln2.题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调【典型例题】例题1.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))已知函数f x =1-x ln x +ax 在1,+∞ 上不单调，则a 的取值范围是( )A.0,+∞ B.-∞,0C.0,+∞D.-∞,0【答案】A【详解】依题意f ′x =-ln x +1x +a -1，故f ′(x )在1,+∞ 上有零点，令g (x )=-ln x +1x+a -1，令g (x )=0，得a =ln x -1x +1，令z (x )=ln x -1x+1，则z ′(x )=1x +1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞ 故选：A例题2.(2022·广西河池·高二阶段练习(理))若函数f x =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间k -1,k +1上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-12,32B.32,2C.1,2D.1,32【答案】D【详解】由题意得，函数定义域为0,+∞f x =4x -1x ，令f x =0，解得在定义域内x =12，当x <12时，f x <0，f x 单调递减，当x >12时，f x >0，f x 单调递增，函数在区间k -1,k +1 内不单调，所以k -1<12<k +1，解得-12<k <32，又因为k -1≥0，得k ≥1，综上k ∈1,32 ，故选：D ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上不单调⇔∃x 0∈D ，使得f x 0 =0(其中x 0为变号零点)【变式演练】1.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4 B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .2.(2022·四川省资阳中学高二期中(理))已知函数f (x )=ln x -ax -2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.12,1 B.12,1C.13,12D.12,23【答案】B 【详解】由f (x )=1x -a =1-axx，①当a ≤0时函数f (x )单调递增，不合题意；②当a >0时，函数f (x )的极值点为x =1a ，若函数f (x )在区间(1,2)不单调，必有1<1a <2，解得12<a<1.故选：B ．3.(2022·江西·金溪一中高二阶段练习(理))已知函数f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.2,18B.2,18C.-∞,2 ∪18,+∞D.2,18【答案】A【详解】∵f 'x =2x -a x，f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，故2x -ax=0在1,3 存在变号零点，即a =2x 2在1,3 存在零点，∴2<a <18.故选：A .4.(2022·上海大学市北附属中学高一期中)若函数y =2x 2-kx +8在区间2,5 上不是单调函数，则实数k 的取值范围________.【答案】8,20【详解】解：因为y =2x 2-kx +8，所以函数的对称轴为x =k4，因为函数在区间2,5 上不是单调函数，所以2<k4<5，解得8<k <20，即实数k 的取值范围为8,20 .故答案为：8,20题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D【典型例题】例题1.(2021·四川省成都市玉林中学高二期中(文))已知函数f (x )=x 2-ax -1 e x -1在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，则函数f (x )在[-2,2]的值域是( )A.[-1,e ] B.[-e ,e 2]C.[e -1,5e -2]D.[5e -2,e 2]【答案】A【详解】解：f ′(x )=(2x -a )e x -1+(x 2-ax -1)e x -1=(x 2-ax +2x -a -1)e x -1，∵f (x )在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，∴f ′(-2)=0，即(4+2a -4-a -1)e -3=0，∴a =1，∴f (x )=(x 2-x -1)e x -1，f ′(x )=(x +2)(x -1)e x -1，当2>x >1，x <-2时，f ′(x )>0，当-2<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在[-2，1)上单调递减，在[1，2]，-∞,-2 上单调递增，∴a =1符合题意，又f (-2)=5e -3，f (1)=-1，f (2)=e ，∴函数f (x )在[-2，2]的值域是[-1，e ]．故选：A ．例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-1 B.-53,-54C.-53,1D.-53,-54【答案】B【详解】因为f x =13x 3+ax 2+x +1，则f x =x 2+2ax +1，由题意可知，f x 有两个不等的零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，因为函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则x 1∈0,1 、x 2∈2,3 ，所以，f 0 =1>0f1 =2+2a ≤0f2 =4a +5≤0f3 =6a +10≥0 ，解得-53≤a ≤-54.故选：B .【变式演练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f (x )=13ax 3+12bx 2+cx +d (a ,b ,c ,d ∈R )的单调递增区间是(-3,1)，则( )A.a <b <c B.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b【答案】C【详解】解：由题可得f (x )=ax 2+bx +c ，则f (x )>0的解集为(-3,1)，即f (x )=a (x +3)(x -1)=0，a <0，可得b =2a ,c =-3a ，∴b <a <c ，故选:C ．2.(2022·福建漳州·高二期末)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-4,-2]，则关于x 的不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集是__________.【答案】[-5,-1]【详解】f x =3x 2+2ax +b ，f (x )的单调递减区间是[-4,-2]，则不等式f x ≤0的解集为[-4,-2]，所以-4，-2是f (x )=0的两根，故a =9，b =24，所以f (x )=x 3+9x 2+24x +c ，f (-2)=c -20，f (-4)=c -16.令f (x )≤f (-4)，得x 3+9x 2+24x +16≤0，即(x +4)(x 2+5x +4)=(x +4)2(x +1)≤0，得x ≤-1；令f (-2)≤f (x )，得x 3+9x 2+24x +20≥0，即(x +2)(x 2+7x +10)=(x +2)2(x +5)≥0，得x ≥-5；所以不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集为[-5,-1].故答案为：[-5,-1]题型五：已知函数f x 有三个单调区间【典型例题】例题1.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .例题2.(2019·江苏盐城·一模)已知函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________.【答案】-1e 2,0【详解】f 'x =ln x +1x x -a =ln x +1-ax 函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间即f 'x =0有两个不等实根，即a =x ln x +1 有两个不等实根，转化为y =a 与y =x ln x +1 的图像有两个不同的交点y '=ln x +2令ln x +2=0，即x =1e 2，即y =x ln x +1 在0，1e 2 上单调递减，在1e2，+∞ 上单调递增．y min =-1e 2，当x ∈0，1e 2 时，y <0，所以a 的范围为-1e 2,0 【提分秘籍】已知函数f x 有三个单调区间⇔f (x )=0有两个不同的实数根.【变式演练】1.(2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末(文))若函数y =-43x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________________．【答案】b >0【详解】试题分析：由已知可得y '=-4x 2+b =0在R 上有不等实根⇒b >0．2.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(文))若函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，则a的取值范围是( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.-∞,0D.0，+∞【答案】A【详解】因为函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域R 上有两个不同的零点，由f (x )=3ax 2+1可得3ax 2+1=0，即x 2=-13a，所以只需a <0，方程3ax 2+1=0在R 上有两个不同的实数根.故选：A .3.(2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习)若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.(-3,+∞) B.-3，+∞C.(-3,0)⋃(0,+∞)D.(-∞,0)⋃(0,3)【答案】D【详解】试题分析：由题意得，函数f (x )的导数为f (x )=3ax 2+6x -1，因为函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，所以a ≠0且f (x )=0有两个根，即Δ=62+4×3a >0，解得a <3且a ≠0，故选D .4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a <-1或a >2【详解】分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a 的取值范围．详解：∵函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1，∴f ′(x )=3x 2+6ax +3a +2 ，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，∴3x 2+6ax +3a +2 =0满足：△=36a 2-36a +2 >0，解得a <-1或a >2，故答案为：a <-1或a >2．最新模考题组练一、单选题1.(2019·四川自贡·高二期末(理))函数f x =ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )A.-∞,115B.0,115C.-∞,0 ∪0,115D.-∞,0【答案】A【详解】解：由f (x )=ax 3+x 2+5x -1，得f ′(x )=3ax 2+2x +5，当a =0时，由f ′(x )=0，解得x =-52，函数f (x )有两个单调区间；当a >0时，由Δ=4-60a >0，解得a <115，即0<a <115，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间；当a <0时，Δ=4-60a >0，解得a <115，即a <0，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间．∴综上所述a ∈-∞,0 ∪0,115是函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a ∈-∞,115是其必要不充分条件．故选：A ．2.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .3.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))若函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，则k 的取值范围为( )A.12,+∞B.2,+∞C.14,+∞D.4,+∞【答案】B【详解】f (x )=k -1x ,因为函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，所以f (x )=k -1x≥0在12,+∞ 上恒成立，即k ≥1x 在12,+∞ 上恒成立.因为y =1x 在12,+∞ 上单调递减，所以当x ∈12,+∞ 时，y <2，所以k ≥2，则k 的取值范围为2,+∞ .故选：B4.(2021·江苏·张家港高级中学高三期中)若函数f x =ln x +ax 2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.-18,+∞ C.-18,-2D.-2,+∞【答案】D【详解】∵f (x )=ln x +ax 2-2，∴f (x )=1x+2ax ，若f x 在区间12,2 内存在单调递增区间，则f (x )>0,x ∈12,2 有解，故a >-12x2，令g (x )=-12x 2，则g (x )=-12x2在12,2 单调递增，∴g (x )>g 12=-2，故 a >-2.故选：D .5.(2023·全国·高三专题练习)若函数f (x )=x 2+x -ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-32,34B.12,3 C.-32,3 D.12,34【答案】D【详解】因为函数f (x )的定义域为(0,+∞)，所以2k -1≥0，即k ≥12，f (x )=2x +1-1x =2x 2+x -1x =(x +1)(2x -1)x ，令f (x )=0，得x =12或x =-1(舍去)，因为f (x )在定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，所以2k -1<12<2k +1，得-14<k <34，综上，12≤k <34，故选：D6.(2022·福建福州·高三期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞C.2e ,+∞D.2e 3,+∞【答案】B【详解】不妨设x 1>x 2，由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2，得f x 1 -f x 2 >x 21-x 22，即f x 1 -x 21>f x 2 -x 22，令g (x )=f (x )-x 2，所以对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞),x 1>x 2时，都有g x 1 >g x 2 ，即g (x )在(-∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=ae x -2x +4≥0在x ∈(-∞,+∞)上恒成立，即a ≥2x -4e x．在x ∈(-∞,+∞)上恒成立．令h (x )=2x -4e x．则h (x )=6-2xe x，令h (x )>0，解得x <3，令h (x )<0，解得x >3，所以h (x )在(-∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，所以h (x )max =h (3)=2e 3，所以a ≥2e 3，即实数a 的取值范围是2e 3,+∞ ．故选：B ．7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 4+x -1 e x 在区间1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.-e 4,-e 216 B.-e 4,-e 216C.-e 336,-e 216D.-e 4,-e 316【答案】A【详解】因为f x =ax 4+(a -1)e x 在区间1,3 上不是单调函数，所以f x =4ax 3+xe x =0在区间1,3 上有解，即-4a =e xx2在区间1,3 上有解．令g x =e xx 2，则g 'x =x -2 e xx 3．当x ∈1,2 时，g 'x <0；当x ∈2,3 时，g 'x >0．故g x 在1,2 上单调递减，在2,3 上单调递增．又因为g 1 =e ,g 2 =e 24,g 3 =e 39<e ，且当a =-e 216时，f x =-e 24x 3+xe x =x 3e xx2-e 24 ≥0,所以f x 在区间1,3 上单调递增，所以e 24<-4a <e ，解得-4e <a <-e 216.故选：A8.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4 B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .二、填空题9.(2016·山东济宁·高二阶段练习(文))若函数f (x )=x 3+bx 2+x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为___________．【答案】b <-3或b >3【详解】试题分析：由f (x )=x 3+bx 2+x ， 求导：f (x )=3x 2+2bx +1，恰有三个单调区间则有两个极值， 即令；Δ=4b 2-12>0,b >3或b <-3．10.(2015·江苏宿迁·高二期中)若函数y =-43x 3+bx 2-2x +5有三个单调区间，则实数b 的取值范围为______．【答案】-∞,-22 ∪22,+∞ 【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，y =-4x 2+2bx -2,Δ=4b 2-32>0∴b ∈-∞,-22 ∪22,+∞11.(2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习)已知函数f x =3ln x -kx +kx，若f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为__________________．【答案】32##1.5【详解】由题意知f x =3ln x -kx +k x ,(x >0)，则 f (x )=3x -k -kx2，f x 在定义域内为单调递减函数，则f (x )≤0当x >0时恒成立，则可得： k ≥3x +1xmax， 因为x >0，x +1x ≥2 当且仅当x =1时等号成立，则 3x +1x≤32 ，故 k ≥32 ，即实数k 的最小值为32，故答案为：3212.(2022·上海·上外附中高三阶段练习)f x =-13x 3+12x 2+2ax ，若f x 在23,+∞ 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】-19,+∞【详解】因为f x =-13x 3+12x 2+2ax ，则f x =-x 2+x +2a ，有已知条件可得：∃x ∈23,+∞ ，使得f x >0，即a >12x 2-x ，当y =12x 2-x >1223 2-23 =-19，所以a >-19.故答案为：-19,+∞ .13.(2022·全国·模拟预测)若函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,+∞【详解】y =a 3x 2-1 ，令y =0，得x =±33，由函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，得导函数y =a 3x 2-1 的图象是开口向上的抛物线，所以a >0.故答案为：0,+∞14.(2021·江苏·高二专题练习)已知函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(3,6)【详解】因为f (x )=x 3-ax 2，则f (x )=3x 2-2ax ，若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递增的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≥0在[2,4]上恒成立，即a ≤32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≤3；若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递减的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≤0在[2,4]上恒成立，即a ≥32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≥6；因为函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上个是单调函数，所以3<a <6故答案为：(3,6)。
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
专题05 导数中含参讨论问题总结(解析版)
专题05 导数中含参讨论问题总结一、重点题型目录【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结【题型】一、由函数的单调区间求参数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞【答案】B【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到12和1是方程()0f x '=的两个根，代入解方程即可.【详解】由()2ln x ax f xx =++得()221x ax f x x++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12和1是方程2210x ax x++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32f x x ax bx c =+++，()g x 为()f x 的导函数．若()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ）A ．23a b -有最小值3B ．23a b -有最大值C ．()()010f f ⋅≤D ．()()010g g ⋅≥【答案】D【分析】由()f x 在(0，1)上单调递减，得到()00g b =≤，()1230g a b =++≤，即可判断D ；求出()()()2011f f c a b c ⋅=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅>，可否定C ；记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，利用数形结合求出，判断A 、B.【详解】由题意可得()()232g x f x x ax b ='=++.因为()f x 在(0，1)上单调递减，所以()0g x ≤在(0，1)上恒成立，即()00g b =≤，()1230g a b =++≤，所以()()010g g ⋅≥， 因为()()0,11f c f a b c ==+++，()f x 在(0，1)上单调递减， 所以1c a b c >+++，即10a b ++<，所以()()()()20111f f c a b c c a b c ⋅=+++=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅> 所以C 错误，D 正确.记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，作出可行域如图示：由2300a b b ++=⎧⎨=⎩解得：3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当抛物线21133a z b -=，经过点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时94z =最小，没有最大值.故A 、B 错误.故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 【答案】AD【分析】由条件可得()f x 在(1,)+∞上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a 的范围，由此确定正确选项.【详解】设1ln (1)y x x x =-->，则110y x'=->， 所以1ln y x x =--在(1,)+∞上单调递增，所以1ln 0x x -->， 所以ln 1,(1,)x x x <-∈+∞，∴0ln 1x x <<-， ∴110ln 1x x >>-． 又11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()21()1e 0x f x a x -=--≥'对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即211e x x a --≥恒成立．令111(),()eex x xxg x g x ---='=，当1x >时，()0g x '<，故()(1)1g x g <=，∴211a -≥，解得a ≥a ≤所以a 的值可以为， 故选：AD.【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先求出函数的定义域(0,)+∞，则有210k -≥，对函数求导后，令()0f x '=求出极值点，使极值点在(21,21)k k -+内，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以210k -≥，即12k ≥， 2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==， 令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去）， 因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数， 所以121212k k -<<+，得4143k -<<， 综上，1324k ≤<， 故选：D例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()324f x x ax x =-++在区间()0,2上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】将问题转化为()0f x '≥在()0,2上恒成立，采用分离变量法可得423a x x ≥-，由434x x-<可构造不等式求得结果. 【详解】()f x 在()0,2上单调递增，()23240f x x ax '∴=-++≥在()0,2上恒成立，即234423x a x x x-≥=-在()0,2上恒成立， 又43y x x =-在()0,2上单调递增，43624x x ∴-<-=，24a ∴≥，解得：2a ≥，即实数a 的取值范围为[)2,+∞. 故选：A.例7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）A ．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是[]1,2 B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x <D ．“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件【答案】BD【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出参数a 的范围，即可判断A ，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C ，求出函数的导数，由()0f x '≥恒成立求出a 的取值范围，再根据集合的包含关系判断D 即可； 【详解】解：对于A ：当B =∅，即23a a >+，解得3a >时满足B A ⊆， 当B ≠∅，因为B A ⊆，所以352223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得12a ≤≤，综上可得[][)1,23,a ∈+∞，故A错误；对于B ：由1a >，1b >则1ab >，故“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，即B 正确； 对于C ：命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤，故C 错误；对于D ：因为()()e 23xf x a x -=--，所以()()e 2x f x a =-'-，若()f x 在R 上单调递增， 则()()e 20xf x a -'=-≥恒成立，所以20a -≤，解得2a ≤，因为(],2-∞ (],5-∞， 所以“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：BD例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是___________【分析】原问题等价于()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数求最值即可.【详解】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2+136x π-≤-≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥m【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点 B ．当a<0时，()f x 无极大值点和极小值点 C ．当0a >时，()f x 有最大值 D ．当a<0时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【分析】讨论0a >、a<0，利用导数研究()f x 在定义域上的单调性，进而判断极值点及最值情况，即可确定答案. 【详解】由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误； 当a<0时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增；所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数()g x 的导函数，分解12a ≤和12a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a<<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC【分析】根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解.【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.【题型】四、根据极值点求参数例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】B【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在(0,1)内，从而可求出b 的取值范围【详解】由题意，得2()33f x x b '=-，当0b ≤时，()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上递增，函数无极值， 所以0b >，令()0f x '=，则x ＝，∴函数在（）上()0f x '<，+∞）上()0f x '>，函数递增 ∴x =∴函数3()3f x x bx b =-+在区间（0，1）内有极小值，∴01， ∴b ∴（0，1） 故选：B ．例13．（2023·全国·高三专题练习）若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．1174【答案】C【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可. 【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =， 所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C【题型】五、有导数求函数的最值（含参）例14．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12CD 【答案】B【分析】由题意，函数()()22ln y f x g x x x =-=-的最小值即|MN |达到最小值时，再求导分析()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点即可【详解】设函数()()22ln y f x g x x x =-=-，求导数得()()212114x x y x x x+-'=-= 因为0x >，故当102x <<时，0'<y ，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调减函数， 当12x >时，0'>y ，函数在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调增函数 所以x 12=为()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点.故当|MN |达到最小时t 的值为12． 故选：B ．例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm )的最大值为______.【答案】3【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，则BC =，5DG x =-， 进而算出三棱锥的高和体积，构造函数，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，求导，根据导函数的正负判断单调性进而求出最大值．【详解】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h 221)2ABCS==，则213ABC V Sh =⨯=45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()(2)80f x f ≤=，∴3V ，∴体积最大值为3．故答案为：3【点睛】思路点睛：本题将三棱锥体积的计算转化为利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求单调性的方法，属于中档题.例16．（2023·河北·高三阶段练习）R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，则a 的最大值为_____________．【答案】1【分析】R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，即R,2e 12x x x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，分1ln2x >和1ln2x ≤两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案. 【详解】解：R,2e 12xx x a ∀∈-≥+， 即R,2e 12xx x a ∀∈--≥， 令()2e 12xf x x =--，当2e 10x ->，即1ln 2x >时，()2e 12xf x x =--，则()2e 2xf x '=-，当1ln02x <<时，()0f x '<，当0x >时，0f x ，所以函数()f x 在1ln ,02⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()0,∞+上递增，所以当1ln 2x >时，()()min 01f x f ==，当2e 10x -≤，即1ln2x ≤时，()12e 2xf x x =--， 因为函数2e ,2x y y x ==为增函数，所以函数()12e 2xf x x =--在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当1ln2x ≤时，()min 1ln ln 412f x f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 综上所述，()()min 01f x f ==， 所以1a ≤， 即a 的最大值为1. 故答案为：1.【题型】六、已知函数最值求参数例17．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数()ln f x x ax =+存在最大值0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1e-C ．1D ．e【答案】B【分析】讨论a 与0的大小关系确定()f x 的单调性，求出()f x 的最大值. 【详解】因为()1f x a x'=+，0x >， 所以当0a ≥时，0fx恒成立，故函数()f x 单调递增，不存在最大值；当a<0时，令()0f x '=，得出1x a=-，所以当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0fx ，函数单调递增，当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，所以() max11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：=a 1e -. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】求得()22exx a f x -++'=，根据()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值，得到()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，根据()0g a <且()10g a +>，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()22e xx x af x +-=，可得()22e x x a f x -++'=，且()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值， 即()f x '在区间(,1)a a +上存在0(,1)x a a ∈+， 使得()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，即满足()0g a <，且()10g a +>，可得()()2220110g a a a g a a a ⎧=-++<⎪⎨+=--+>⎪⎩1a <<-，即实数a 的取值范围是1⎫-⎪⎪⎝⎭.故选：D.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 【答案】CD【分析】解方程()0f x =判断A ；利用导数探讨()f x 的极值判断B ；分析函数()f x 的性质，借助图象判断C ；由25(2)e f =结合取最大值的x 值区间判断D 作答.【详解】对于A ，由()0f x =得：210x x +-=，解得x =A 不正确；对于B ，对()f x 求导得：22(1)(2)()e ex xx x x x f x '--+-=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，B 不正确；对于C ，由选项B 知，作出曲线()y f x =及直线y k =，如图，观察图象得当e 0k -<<时，直线y k =与曲线()y f x =有2个交点，所以当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，C 正确； 对于D ，因25(2)e f =，而函数()f x 在(2,)+∞上单调递减，因此当[,)x t ∈+∞时，max25()e f x =， 当且仅当2[,)t ∈+∞，即2t ≤，所以t 的最大值为2，D 正确. 故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.【题型】七、参变分离法解决导数问题例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 等价于ln 34ln x k x x x<++对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 令ln 3()ln x f x x x x =++，则2221ln 13ln 2()x x x f x x x x x ---'=+-= 令()ln 2g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-=> 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->所以()g x 在()3,4有且仅有一个根0x ，满足00ln 20x x --=，即00ln 2x x =- 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减， 0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0min 000000231()()21x f x f x x x x x x -==+-+=+- 由对勾函数可知001113114134x x +-<+-<+-，即0713()34f x << 因为04()k f x <，即0()4f x k <，0()71312416f x <<，Z k ∈ 所以0k ≤. 故选：C例21．（2023·全国·高三专题练习）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1(2,1)x ∈-- B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B【分析】A 选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出1x 的取值情况；B ，C ，D 选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误. 对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2ay =与ln ()x g x x =的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.例22．（2023·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z ++=表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点(,,)P x y z 是二次曲面22420x xy y z -+-=上的任意一点，且0x >，0y >，0z >，则当zxy取得最小值时，不等式ln e 3022xa yx za +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e,)-+∞【分析】先通过zxy取得最小值这个条件找出当,,x y z 的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.【详解】根据题意22420x xy y z -+-=，带入z xy 可得：2224212222z z x xy y x y xy xy xy y x -+===+-，而0x >，0y >，利用基本不等式222x y y x +≥=，当22x y y x =，即2y x =取得等号，此时22224246z x x x x x =-⋅+=，即23z x =，综上可知，当z xy 取得最小值时，223y x z x =⎧⎨=⎩，带入第二个式子可得，2e ln 02x a x ax x +-≥，即e ln 0x ax a x x +-≥，于是ln e ln (ln )0xx x ax a x e a x x x-+-=+-≥，设()ln u u x x x ==-，11()1x u x x x -'=-=，故当1x >时，()u x 递增，01x <<时，()u x 递减，min ()(1)1u x u ==；于是原不等式转化为1u ≥时，0u e au +≥恒成立，即ue a u -≤在1u ≥时恒成立，设()u e h u u=(1)u ≥，于是2(1)()0u e u h u u -'=≥，故()h u 在1u ≥时单调递增，min ()(1)h u h e ==，故a e -≤，a e ≥-即可. 故答案为：[e,)-+∞【点睛】本题e ln 0xax a x x+-≥恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∴R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∴（﹣1，0） B ．（0，1）∴（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∴（0，1） D ．（﹣1，0）∴（1，+∞）【答案】D【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f xg x x=的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=∴当x ＞0时，有()()0xf x f x '->， ∴当x ＞0时，()0g x '>， ∴函数()()f xg x x=在（0，+∞）上为增函数， ∴函数f （x ）是奇函数， ∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， g （x ）在（﹣∞，0）上递减， 由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0， ∴不等式f （x ）＞0∴x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∴（1，+∞）， 故选：D ．例24．（2023·全国·模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ）A ．2e e 2> B ．2ln 23>C ．ln π1πe< D ．ln 2ln π2π> 【答案】ABC【分析】令()()eln 0f x x x x =->，利用导数研究函数的单调性，进而可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ；令()()ln 0xg x x x=>，利用导数研究函数的单调性，进而可判断CD ；【详解】对于A ：设()()eln 0f x x x x =->，则()()e e 10xf x x x x-'=-=>， 当0e x <<时，0fx，函数单调递增；当e x >时，()0f x '<，函数单调递减；所以()()e elne e 0f x f <=-=，所以()()2eln 22e 0f f =-<=，即2>eln 2， 所以 2e e 2>，故A 正确；对于B ：因为28e >，所以2ln8ln e >，所以3ln 22>，即2ln 23>，故B 正确； 对于CD ：设()()ln 0xg x x x =>，()21ln x g x x-'=， 当0e x <<时，()0g x '>，函数单调递增；当e x >时，()0g x '<，函数单调递减； 所以()()e πg g >，即ln π1πe<，故C 正确； 又()()()e π4g g g >>，所以ln πln 4ln 2π42>=，故D 错误； 故选：ABC【题型】九、构造函数法解决导数问题例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ， ∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知e ,3,e a b c πππ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C【分析】由y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，可得到b c >，设()eln f x x x =-，利用导数求得函数()f x 单调递增，可得eln 0ππ->，进而得到c a >，即可求解. 【详解】由函数y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数， 因为3e >，所以3e ππ>，即b c >， 设()eln f x x x =-，可得()e 1f x x'=-， 令()e10f x x'=-=，解得x e =， 当e x >时，0fx，()f x 单调递增，可得()()e 0f f π>=，即eln 0ππ->，即eln ππ>， 两边取e 的指数，可得e e ππ>，即c a >， 所以b c a >>. 故选：C.例27．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．e 3⎛ ⎝【答案】C【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e x f x g x =，则()()()33e xf x f xg x '-'=， 因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数， 不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得0x <<所以不等式()3ln f x x <的解集为(.故选：C.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若()()120f x g x =>，则21x x 可取（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e【答案】CD【分析】由()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，利用同构结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到12ln x x =，则()12111e ,0x x x x x =>，记e(),(0)xh x x x=>，求出()h x '即可判断()h x 在(0,)+∞上的单调性，即可得出21e x x ≥，由此即可选出答案. 【详解】因为()()120f xg x =>，所以120,1x x >>，因为()e ()0e e 111x x xx x x f =+'+++>=恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，因为()()12f x g x =，即()()12ln 12e 1ln e 1x xx x +=+，所以1122ln e xx x x =⇒=，所以()12111e ,0x x x x x =>，记e (),(0)xh x x x=>， 所以2(1)()x e x h x x '-= 当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(1)e h x h ≥=，即21e x x ≥ 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+变形为()()e 1x f x x =+的结构，是解本题的关键.。
第02讲 导数与函数的单调性(原卷版)
第02讲 导数与函数的单调性(精讲+精练） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 高频考点二：已知函数()yfx在区间D上单调 高频考点三：已知函数fx在区间D上存在单调区间 高频考点四：已知函数fx在区间D上不单调 高频考点五：函数单调性的应用 ①导函数与原函数图象的单调性 ②比较大小 ③构造函数解不等式 高频考点六：含参问题讨论单调性 ①导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） ②导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ③导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 第四部分：高考真题感悟 第五部分： 第02讲 导数与函数的单调性（精练） 1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论
函数()yfx在区间(,)ab上可导
()0fx ()yfx在(,)ab内单调递增
()0fx ()yfx在(,)ab内单调递减
()0fx ()yfx在(,)ab内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求()yfx的定义域 ②求()fx ③令()0fx，解不等式，求单调增区间
④令()0fx，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令()0fx（或()0fx）不跟等号. 3、由函数fx的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数fx在区间D上单调 ①已知fx在区间D上单调递增xD，0fx恒成立. ②已知fx在区间D上单调递减xD，0fx恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数fx在区间D上存在单调区间 ①已知fx在区间D上存在单调增区间令()0fx，解不等式，求单调增区间I，则ID ②已知fx在区间D上存在单调减区间令()0fx，解不等式，求单调减区间M，则MD （3）已知函数fx在区间D上不单调0xD，使得
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
1．设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.（1）求的值；（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.（1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.7．已知函数()ln x mf x ex +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ；（2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）.8．已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x ex x f x a x -=++=-+.（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2xf x e ax =+-（1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且[][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。
2023年新高考数学大一轮复习专题15 单调性问题(原卷版)
专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性. 注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.【题型归纳目录】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．()()()f b f c f a >>B ．()()()f b f c f e >=C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f e f d f c >>【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）.题型二：求单调区间例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．【方法技巧与总结】求函数的单调区间的步骤如下： （1）求()f x 的定义域 （2）求出()f x '.（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝（ ） A ．－12B ．－10C ．8D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______.例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 题型四：不含参数单调性讨论例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数()21ln ax f x x-=，其图象在e x =处的切线过点()22e,2e ．(1)求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数()()ln 1x a x a f x x+++=(1)若函数()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为0，求a 的值．(2)当1a =时．设函数()()()xf x G x f x '=，求证：()y f x =与()y G x =在[]1,e 上均单调递增；例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数()()ln ln e1,,0x af x x a x a a +=+-+>->. 当1a =时，求()f x 的单调区间题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数例21．（2022·江西·二模（文））己知函数()ln 1(),()e 1x f x ax x a R g x x =++∈=-． 讨论()f x 的单调性；例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数()ln(1)(),()22f x x mx m g x x n =--∈=+-R ． 讨论函数()f x 的单调性；情形二：函数为准一次函数例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. 当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈ ，()ln e x g x x x =+（e 为自然对数的底数，25e 9<）． 求函数()f x 的单调区间；例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中0a .讨论()f x 的单调性；例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k . 讨论()f x 的单调性；例29．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.2.不可因式分解型例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；例36．（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明． 情形四：函数为准二次函数型例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ． 讨论()f x 的单调性;例38．（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x x f x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；题型六：分段分析法讨论例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()12211ln x f x a x x x a -+=+-++-（0a >，且1a ≠）求函数()f x 的单调区间；【方法技巧与总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．【过关测试】 一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1()f x x x=-B ．122()xxf x ⎛+⎫⎪⎝⎭= C ．3()tan f x x x =+ D ．)()lnf x x =4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =- C ．cos 2x y =D ．2ln2xy x-=+ 5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）A ．ln()1a b +>B ．ln()0-<a bC ．122a b +<D ．3222a b +< 二、多选题9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+ B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．311．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x ﹣（12）x B ．y ＝x +sin x C ．y ＝3﹣x D ．y ＝x 2+2x +112．（2022·广东·模拟预测）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 三、填空题13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数()f x =____________.①()f x 的定义域为()0,+∞；②()()()1212f x x f x f x =+；③当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.15．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______．四、解答题17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R k f x x k k x =--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ∈R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>.。
用导数研究含参函数的单调性(解析版)
用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程f x =0的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据f x =0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是二次型1.若导函数是一次型,分类步骤是：①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②若有根,求出f x =0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；2.若导函数是二次型,分类步骤是：①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.下面我们根据f x =0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型一次方程思路：根据根是否在定义域内进行分类例1.讨论f x =x-1-a ln x的单调性分析：f x =x-ax x>0,f x =0根的情况转化为x-a=0x>0根的情况根据a是否在定义域0，+∞内进行分类答案：(1)a≤0,f x >0,f x 在0，+∞上是增函数；(2)a>0,f x 在0,a上是减函数,在a，+∞上是增函数.类型二：f x 定义域不是R,f x =0可化为单根型类一次方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类例2.讨论f x =ax-1-aln x+1的单调性分析：f x =ax-1-ax x>0,f x =0根的情况转化为ax-1-a=0在0，+∞上根的情况.步骤一：讨论a=0(无实根)；步骤二：讨论a<0,由ax-1-a=0得x=1-aa(不在定义域内)；步骤三：讨论a >0,根据1-a a是否在定义域内再分0<a <1,a ≥1.答案：(1)a =0,f x <0,f x 在0，+∞ 上是减函数；(2)a <0,f x <0,f x 在0，+∞ 上是减函数；(3)a >0(i )a ≥1, f x >0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(ii )0<a <1,f x 在0,1-a a 上是减函数,在1-a a，+∞ 上是增函数.类型三：f x 定义域为R , f x =0可化为单根型类二次(或高次)方程思路：根据x 的系数符号进行分类例3.讨论f x =14ax 4-13x 3+12ax 2-x +1的单调性分析：f x =x 2+1 ax -1 ,因为x 2+1>0,f x =0根的情况转化为ax -1=0根的情况,步骤一：讨论a >0；步骤二：讨论a =0,注意此时ax -1=-1<0 ；步骤三：讨论a <0,注意不等式两边除以a ,不等式要改变方向.答案：(1)a >0时f x 在1a ,+∞ 上递增,在-∞,1a上递减；(2)a =0时f x 在-∞,+∞ 上递减；(3)a <0时f x 在1a ,+∞ 上递减,在-∞,1a上递增.类型四：f x 定义域不是R ,f x =0可化为单根型二次方程思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类例4.讨论f x =x +(1-a )ln x +a x +1的单调性分析：f x =x +1 x -a x 2x >0 ,因为x +1>0,f x =0根的情况转化为x -a =0在0，+∞ 上根的情况.步骤一：讨论a ≤0(x -a =0无实根)；步骤二：讨论a >0,由x -a =0得x =a ；答案：(1)a ≤0,f x >0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(2)a >0,x >a , f x >0,f x 在a ,+∞ 上是增函数；x <a ,f x <0,f x 在0,a 上是减函数.类型五：f x 定义域为R, f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根的大小进行分类例5.讨论f x =x 2+ax +a e x 的单调性分析：f x =x +2 x +a e x ,f x =0根的情况转化为x +2 x +a =0的根的情况,根据-a 与-2的大小进行讨论.步骤一：讨论a <2；步骤二：讨论a =2,注意此时x +2 x +a =x +2 2≥0；步骤三：讨论a >2.答案：(1)a <2,f x 在-∞,-2 ,-a ,+∞ 上是增函数,在-2,-a 上是减函数；(2)a =2,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(3)a >2, f x 在-∞,-a ,-2,+∞ 上是增函数,在-a ,-2 上是减函数.类型六：f x 定义域不是R ,f x =0可化为双根型二次方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类例6.讨论f x =12x 2-a 2+1a x +ln x 的单调性分析：f x =x -a x -1a x x >0 ,f x =0根的情况转化为x -a x -1a=0在0，+∞ 上根的情况.步骤一：讨论a <0(根不在定义域内).步骤二：讨论a >0(根据a ,1a的大小再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a <0,f x 在0，+∞ 上是增函数；(2)0<a <1,f x 在0,a ,1a ,+∞ 上是增函数,在a ,1a上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1a ,a ,+∞ 上是增函数,在1a,a 上是减函数.类型七：f x 定义域是R ,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类例7.讨论f x =ax 3-a +32x 2+x -1的单调性分析：f x =3x -1 ax -1 ,f x =0根的情况转化为3x -1 ax -1 =0根的情况.步骤一：讨论a =0(ax -1=0无实根)；步骤二：讨论a <0,此时13>1a ；步骤三：讨论a >0(根据13,1a的大小再分0<a <3,a =3,a >3)答案：(1)a =0,f x 在0，13 上是增函数,在13,+∞ 上是减函数；(2)a <0, f x 在0,1a ,13,+∞ 上是减函数,在1a ,13 上是增函数；(3)0<a <3,f x 在0,13 ,1a ,+∞ 上是增函数,在13,1a上是减函数；(4)a =3,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(5)a >3, f x 在0,1a ,13,+∞ 上是增函数,在1a ,13上是减函数.提醒：对于类二次方程,不要忽略对x 2项的系数为零的讨论类型八：f x 定义域不是R ,f x =0可化为双根型类二次方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类例8.讨论f x =12ax 2-a +1 x +ln x 的单调性分析：f x =x -1 ax -1 xx >0 ,f x =0根的情况转化为x -1 ax -1 =0x >0 根的情况.步骤一：讨论a =0(有1个根).步骤二：讨论a <0(1a 不在定义域内)步骤三：讨论a >0(1，1a 均在定义域内,根据1,1a的大小再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a ≤0,f x 在0,1 上是增函数,在1，+∞ 上是减函数；(步骤一二合并)(2)0<a <1,f x 在0,1 ,1a ,+∞ 上是增函数,在1,1a 上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1a ,1,+∞ 上是增函数,在1a,1 上是减函数.类型九：f x =0先化为指数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例9.讨论f x =a x -2 e x -12x -1 2的单调性分析：f x =x -1 ae x -1 ,f x =0根的情况转化为x -1 ae x -1 =0根的情况.步骤一：讨论a ≤0(有1个根).步骤二：讨论a >0,f x =x -1 ae x -1 的拟合函数为y =x -1 x +ln a (根据1,-ln a 的大小再分0<a <1e ,a =1e ,a >1e)答案：(1)a ≤0,f x 在-∞,1 上是增函数,在1，+∞ 上是减函数；(2)0<a <1e ,f x 在-∞,1 ,-ln a ,+∞ 上是增函数,在1,-ln a 上是减函数；(3)a =1e ,f x 在-∞，+∞ 上是增函数；(4)a >1e , f x 在-∞,-ln a ,1,+∞ 上是增函数,在-ln a ,1 上是减函数.类型十：f x =0先化为对数型方程,再通过拟合化为一次(或类一次)或二次(或类二次)方程例10.讨论f x =x 2-2ax ln x -12x 2+2ax +1的单调性分析：f x =x -a ln x x >0 的拟合函数为x -a x -1 (根据a 与0,1大小分类)步骤一：讨论a ≤0(x -a >0).步骤二：讨论a >0, (再分0<a <1,a =1,a >1)答案：(1)a ≤0,f x 在0,1 上是减函数,在1，+∞ 上是增函数；(2)0<a <1,f x 在0,a ,1,+∞ 上是增函数,在a ,1 上是减函数；(3)a =1,f x 在0，+∞ 上是增函数；(4)a >1, f x 在0,1 ,a ,+∞ 上是增函数,在1,a 上是减函数.三、典例展示例1.(2023届四川省内江市高三零模考试)已知函数f (x )=x +a ln x ,a ∈R(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≤x 2+x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立,求a 的最大值．【解析】 (1)f '(x )=1+a x =x +a xx >0 ,当a ≥0时,f '(x )>0恒成立,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a <0时,令f '(x )>0得x >-a ,令f '(x )<0得0<x <-a ,∴f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在0,-a 上单调递减；综上所述：当a ≥0时, f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a <0时, f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在0,-a 上单调递减；(2)依题意得：f x ≤x 2+x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立,等价于a ≤x 2ln x x >1 恒成立.令g x =x 2ln x x >1 ,则g 'x =2x ln x -x ln x 2=x 2ln x -1 ln x2,则当x >e 时,g 'x >0,当1<x <e 时,g 'x <0,又g 'e =0,∴g x 在1,e 上单调递减,在e ,+∞ 上单调递增,∴g x min =g e =2e ,∴a ≤2e ,即a 的最大值为2e .例2.(2022届湖北省部分学校高三下学期5月适应性考试)已知函数f x =x +1 e x -ax 2-4ax a ∈R (e 为自然对数的底数).(1)若a >0时,求函数f x 的单调区间.(2)是否存在实数a ,使得x ≥0时,f x ≥xe x +1-a x 2+cos x -2ax 恒成立？若存在,求出实数a 的取值范围；若不存在,说明理由.【解析】 (1)由题知f (x )=(x +2)e x -2ax -4a =(x +2)e x -2a ,①若0<a <12e2,则ln2a <-2,当x <ln2a 或x >-2时,f (x )>0,当ln2a <x <-2时,f (x )<0,∴f (x )在(-∞,ln2a ),(-2,+∞)上单调递增,在(ln2a ,-2)上单调递减；②若a =12e 2,则ln2a =-2,f (x )≥0,∴f (x )在(-∞,+∞)上单调递增；③若a >12e2,则ln2a >-2,当x <-2或x >ln2a 时,f (x )>0,当-2<x <ln2a 时,f (x )<0,∴f (x )在(-∞,-2),(ln2a ,+∞)上单调递增,在(-2,ln2a )上单调递减.综上所述,当0<a <12e 2时,f (x )的单调增区间为(-∞,ln2a ),(-2,+∞),单调减区间为(ln2a ,-2)；当a =12e 2时,f (x )的单调增区间为(-∞,+∞)；当a >12e2时,f (x )的单调增区间为(-∞,-2),(ln2a ,+∞),单调减区间为(-2,ln2a ).(2)设g (x )=f (x )-xe x -(1-a )x 2-cos x +2ax =e x -x 2-2ax -cos x (x ≥0),则g (x )=e x -2x -2a +sin x ,设h (x )=e x -2x -2a +sin x (x ≥0),则h (x )=e x +cos x -2,设m (x )=e x +cos x -2(x ≥0),则m (x )=e x -sin x >0,∴m (x )在[0,+∞)上单调递增,∴h (x )=m (x )≥m (0)=0,∴h (x )在[0,+∞)上单调递增,∴g (x )=h (x )≥h (0)=1-2a ,当a ≤12时,g (x )≥0,∴g (x )在[0,+∞)上单调递增,∴g (x )≥g (0)=0；当a >12时,g (0)=1-2a <0,令t (x )=e x -x 2(x >0),则t (x )=e x -2x >0(x >0),所以t (x )在(0,+∞)上单调递增,所以t (x )>t (0)=1,所以e x >x 2(x >0),所以g (6a )=e 6a -14a +sin6a >36a 2-14a -1,设φ(a )=36a 2-14a -1a >12 ,易知φ(a )在12,+∞ 上单调递增,∴φ(a )>36×14-14×12-1=1>0,即g (6a )>0,∴存在x 0∈(0,6a ),使g x 0 =0,当0<x <x 0时,g (x )<0,∴g (x )在0,x 0 上单调递减,此时,g (x )<g (0)=0,不符合题意；综上,存在实数a ,使得当x ≥0时,f (x )≥xe x +(1-a )x 2+cos x -2ax 恒成立,且实数a 的取值范围为-∞,12 .例3.(2023届湖北省新高三摸底联考)已知a ≥0,函数f x =ax +1+a x-ln x ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)如果我们用n -m 表示区间m ,n 的长度,试证明：对任意实数a ≥1,关于x 的不等式f x <2a +1的解集的区间长度小于2a +1．【解析】 (1)f x =ax +a +1x-ln x ,定义域为0,+∞ ,f x =a -a +1x 2-1x =ax 2-x -a +1 x 2=x +1 ax -a -1 x 2.若a =0,f x =-x +1 x 2<0恒成立,所以f x 在0,+∞ 上单调递减；若a >0,f x =a x +1 x -1-1a x 2,1+1a >0,当x ∈0,1+1a 时,f x <0；当x ∈1+1a ,+∞ 时,f x >0,所以f x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a ,+∞ 上单调递增．综上,a =0时,f x 在0,+∞ 上单调递减；a >0时,f x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a,+∞ 上单调递增．(2)令g x =f x -2a +1 =ax +a +1x -ln x -2a -1,则g 1 =0,因为a ≥1,由(1)知,g x 在0,1+1a 上单调递减,在1+1a ,+∞ 上单调递增,又1+1a >1,所以g 1+1a <0,令h a =g 2a +2 =2a 2-12-ln 2a +2 ,a ∈1,+∞ ,由h a =4a -22a +2=4a 2+4a -1a +1>0恒成立,所以h a 在1,+∞ 上单调递增．又e 3>16,所以e 316>1,即e 324>1．从而h 1 =32-ln4=ln e 324>0,所以h a >h 1 >0,即g 2a +2 >0．因为2a +2>2,1+1a <2,所以2a +2>1+1a ,所以存在唯一x 1∈1+1a ,2a +2 ,使得g x 1 =0,所以g x <0的解集为1,x 1 ,即f x <2a +1的解集为1,x 1 ,又1,x 1 的区间长度为x 1-1<2a +2 -1=2a +1,原命题得证．例4.(2022届青海省西宁市高三下学期第三次模拟)已知函数f x =x ln x -a 2x 2-x +a a ∈R .(1)讨论函数f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)已知x 1,x 2是函数f x 的两个不同的极值点,且x 1<x 2,若不等式e 1+λ<x 1x 2λ恒成立,求正数λ的范围.【解析】 (1)f x =x ln x -a 2x 2-x +a ,所以f x =ln x -ax ,令g x =ln x -ax ,故g x =1x -a =1-ax xx >0 .当a ≤0时,g x >0在0,+∞ 上恒成立,所以g x 在0,+∞ 上单调递增,即f x 在0,+∞ 上单调递增；当a >0时,令g x >0,得0<x <1a ,令g x <0,得x >1a ,所以g x 在0,1a 上单调递增,在1a ,+∞ 上单调递减,即f x 在0,1a 上单调递增,在1a,+∞ 上单调递减.综上所述：当a ≤0时,f x 在0,+∞ 上单调递增；当a >0时,f x 在0,1a 上单调递增,在1a,+∞ 上单调递减.(2)e 1+λ<x 1x 2λ等价于1+λ<ln x 1+λln x 2,由题意可知x 1,x 2分别是方程f x =0的两个根,即ln x -ax =0的两个根,即ln x 1=ax 1,ln x 2=ax 2,原式等价于1+λ<ax 1+λax 2=a x 1+λx 2 .因为λ>0,0<x 1<x 2,所以原式等价于a >1+λx 1+λx 2,又ln x 1=ax 1,ln x 2=ax 2,作差得,ln x 1x 2=a x 1-x 2 ,即a =ln x 1x 2x 1-x 2,所以原式等价于ln x 1x 2x 1-x 2>1+λx 1+λx 2,因为0<x 1<x 2,所以ln x 1x 2<1+λ x 1-x 2 x 1+λx 2恒成立.令t =x 1x 2,t ∈0,1 ,则不等式ln t <1+λ t -1 t +λ在t ∈0,1 上恒成立,令m t =ln t -1+λ t -1 t +λ,又因为m t =1t -1+λ 2t +λ2=t -1 t -λ2 t t +λ 2,当λ2≥1时,可得t ∈0,1 时,m t >0,所以m t 在0,1 上单调递增,又因为m 1 =0,m t <0在0,1 上恒成立,符合题意；当λ2<1时,可得t ∈0,λ2 时,m t >0,t ∈λ2,1 时,m t <0,所以m t 在0,λ2 上单调递增,在λ2,1 上单调递减,又因为m 1 =0,所以m t 在0,1 上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e 1+λ<x 1x 2λ恒成立,只需满足λ2≥1,由于λ>0,所以λ≥1,即实数λ的取值范围为：1,+∞ .四、跟踪检测1.(2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试)已知函数f x =e x -ax +b ．(1)当b =0时,讨论f x 的单调性；(2)当a >0时,若f x ≥0,求b 的最小值．【解析】 (1)当b =0时,f x =e x -ax ,f x =e x -a ,当a ≤0时,f x =e x -a >0,f x 在R 上单调递增；当a >0时,令f x =0有x =ln a ,当x ∈-∞,ln a 时,f x <0,f x 单调递减,当x ∈ln a ,+∞ 时,f x >0,f x 单调递增.(2)当a >0时,由(1)若f x ≥0,则f ln a ≥0有解即可,即a -a ln a +b ≥0有解,即b ≥a ln a -a 有解,设g a =a ln a -a ,则g a =ln a ,故当0<a <1时,g a <0,g a 单调递减；当a >1时,g a >0,g a 单调递增.故g min a =ln1-1=-1,故当b ≥a ln a -a min =-1.故b 的最小值为-12.(2023届三省三校高三第一次联考)已知函数f (x )=(1-m )x -ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若m =0,设g x =f x +2-x e x 在12,1上的最小值为n ,求证：(n -3)(n -4)<0 .【解析】 (1)f (x )=1-m -1x =(1-m )x -1xx >0 .①当1-m ≤0,即m ≥1时：f (x )<0恒成立.故f (x )在(0,+∞)上单调递减.②当1-m >0,即m <1时：令f (x )<0,即(1-m )x -1x <0,解得：0<x <11-m ;所以f (x )在0,11-m上单调递减,在11-m ,+∞ 上单调递增.综上所述：当m ≥1时：f (x )在(0,+∞)上单调递减；当m <1时：f (x )在0,11-m 上单调递减,在11-m ,+∞ 上单调递增.(2)当m =0时,g x =x -ln x +2-x e x ,x ∈12,1 .g x =1-1x -e x +2-x e x =x -1x +1-x e x =1-x e x -1x .因为m x =e x -1x 在12,1 上单调递增,且m 12 =e -2<0,m 1 =e -1>0.所以必存在点x 0∈12,1 ,使g (x 0)=0,即e x 0=1x 0⇒x 0=-ln x 0且当x ∈12,x 0 时g (x )<0,当x ∈x 0,1 时g (x )>0,所以g (x )在区间12,x 0 上单调递减,在区间x 0,1 上单调递减.所以n =g x min =g x 0 =x 0-ln x 0+2-x 0 e x 0=2x 0+2-x 0x 0=2x 0+2x 0-1.x 0∈12,1 .又因n =2x 0+2x 0-1在12,1 上单调递减.所以2+2-1<n <2×12+2×2-1⇒3<n <4.故(n -3)(n -4)<0恒成立.3.(2022届四川省内江市第六中学高三下学期仿真考试)已知函数f x =x -a -1 e x -x 2+2ax a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个,判断f m 的符号,并说明理由.①0<a <12,0<m <ln2；②1<a <2,1<m <2.【解析】 (1)f x =(x -a )e x -2x +2a =(x -a )e x -2 ,令f x =0,则x =a 或ln2,若a =ln2,f x ≥0,所以函数f x 在R 上为增函数；若a >ln2,当x >a 或x <ln2时,f x >0,当ln2<x <a 时,f x <0,所以函数f x 在(-∞,ln2)和(a ,+∞)上递增,在(ln2,a )上递减；若a <ln2,当x >ln2或x <a 时,f x >0,当a <x <ln2时,f x <0,所以函数f x 在(-∞,a )和(ln2,+∞)上递增,在(a ,ln2)上递减；综上所述,当a =ln2时,函数f x 在R 上为增函数；当a >ln2时,函数f x 在(-∞,ln2)和(a ,+∞)上递增,在(ln2,a )上递减；当a <ln2时,函数f x 在(-∞,a )和(ln2,+∞)上递增,在(a ,ln2)上递减；(2)选①,当0<a <12,0<m <ln2时,由(1)知f x 在(0,a )上递增,在(a ,ln2)上递减,所以f (m )≤f (a )=-e a +a 2,令g (a )=e a -a -10<a <12 ,则g (a )=e a -1,当0<a <12时,g (a )>0,得函数g (a )在0,12上单调递增,所以g (a )>g (0)=0,即e a -a -1>0,则-e a <-a -1,所以f (a )=-e a +a 2<a 2-a -1=a -12 2-54<-1<0,所以f m <0.选②,当1<a <2,1<m <2时.由(1)得1<a <2时,f x 在1,a 上递减,在a ,2 上递增,又f 1 =-ae -1+2a =2-e a -1<0,f 2 =1-a e 2-4+4a <41-a -4+4a =0,所以当1<x <2时,f x <0,所以f m <0.4.(2022届华大新高考联盟名校高考押题卷)设函数f x =1+a ln x x ,其中a ∈R .(1)当a ≥0时,求函数f x 的单调区间；(2)若f x ≤x 2,求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f (x )=1+a ln x x(x >0),f (x )=a -(1+a ln x )x 2=a -1-a ln x x 2.当a =0时,f (x )=a -(1+a ln x )x 2=-1x2<0恒成立,则f x 在0,+∞ 上为减函数,当a >0时,令f (x )>0,可得a -1-a ln x >0,则ln x <a -1a,解得0<x <e a -1a ,令f (x )<0,解得x >e a -1a ,综上,当a =0时,f x 的减区间为0,+∞ ；当a >0时,f x 的单调递增区间为0,ea -1a ,单调递减区间为e a -1a ,+∞ .(2)由f (x )≤x 2,可得x 3-a ln x -1≥0设g (x )=x 3-a ln x -1(x >0),则g (x )=3x 2-a x =3x 3-a x.①当a ≤0时,g x >0,g x 单调递增,而g 12=18-a ln 12-1=-78+a ln2<0,所以不满足题意,②当a >0时,令g (x )=3x 3-a x=0,解得x =3a 3,当x ∈0,3a 3 时,g x <0,g x 为减函数,当x ∈3a 3,+∞ 时,g x >0,g x 为增函数,所以g(x)≥g3a3=13+13ln3a-13a ln a-1.令h(a)=13+13ln3a-13a ln a-1(a>0),h (a)=13+13ln3-13(ln a+1)=13(ln3-ln a),当a∈0,3时,h a >0,h a 为增函数,当a∈3,+∞时,h a <0,g x 为减函数,所以h a ≤h3 =0,又g x ≥h a ≥0.则h a =0,解得a=3,所以实数a的取值范围是3 .5.(2022届湖北省卓越高中千校联盟高三高考终极押题卷)已知f x =a-1ln x+x+a x(1)若a<0,讨论函数f x 的单调性；(2)g x =f x +ln x-a x有两个不同的零点x1,x20<x1<x2,若g2x1+λx22+λ>0恒成立,求λ的范围．【解析】(1)f x 定义域为0,+∞f x =a-11x+1-ax2=x2+a-1x-ax2=x+ax-1x2ⅰ)0<-a<1即-1<a<0时,f x <0⇒-a<x<1,f x >0⇒0<x<-a或x>1ⅱ)-a=1即a=-1时,x∈0,+∞,f x ≥0恒成立ⅲ)-a>1即a<-1,f x <0⇒1<x<-a,f x >0⇒0<x<1或x>-a综上：-1<a<0时,x∈-a,1,f x 单调递减；0,-a、1,+∞,f x 单调递增a=-1时,x∈0,+∞,f x 单调递增a<-1时,x∈1,-a,f x 单调递减；0,1、-a,+∞,f x 单调递增(2)g x =a ln x+x,由题a ln x1+x1=0a ln x2+x2=0,0<x1<x2则a ln x1-ln x2=x2-x1,设t=x1x2∈0,1∴a=x2-x1ln x1-ln x2=x2-x1ln tg x =a x+1∴g2x1+λx22+λ=a2+λ2x1+λx2+1=x2-x1ln t⋅2+λ2x1+λx2+1=2+λ1-t2t+λln t+1>0恒成立t∈0,1,∴ln t<0∴2+λ1-t2t+λ+ln t<0恒成立设h t =2+λ1-t2t+λ+ln t,∴h t <0恒成立h t =1t -2+λ 22t +λ2=2t +λ 2-t 2+λ 2t 2t +λ 2=4t -1 t -λ24 t 2t +λ 2ⅰ)λ2≥4时,t -λ24<0,∴h t >0,∴h t 在0,1 上单调递增∴h t <h 1 =0恒成立,∴λ∈-∞,-2 ∪2,+∞ 合题ⅱ)λ2<4,t ∈0,λ24,∴h t >0,∴h t 在0,λ24上单调递增t ∈λ24,1 时,h t <0,∴h t 在λ24,1 上单调递减∴t ∈λ24,1 ,h t >h 1 =0,不满足h t <0恒成立综上：λ∈-∞,-2 ∪2,+∞6.(2022届河南省许平汝联盟高三下学期核心模拟卷)已知函数f x =ln x -ax 2+2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)若f x -2-a x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f x 的定义域是0,+∞ ,f x =-2ax 2+1x.①当a ≤0时,f x >0恒成立,所以f x 在0,+∞ 上单调递增；②当a >0时,令f x =0,解得x =2a 2a 或-2a 2a (舍),令f x >0,解得0<x <2a 2a,令f x <0,解得x >2a 2a,所以f x 在0,2a 2a上单调递增,在2a 2a ,+∞ 上单调递减.(2)若f x -2-a x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,即ln x -ax 2-2-a x +2≥0在x ∈1,e 上恒成立.令g x =ln x -ax 2-2-a x +2,x ∈1,e ,则g x =1x -2ax -2-a =-2ax 2-2-a x +1x =-ax +1 2x -1 x.当a =0时,g x =ln x -2x +2,g e =ln e -2e +2=3-2e <0,不符合题意；当a >0时,g x <0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递减,又g 1 =0,所以g e <g 1 =0,不符合题意；当a <0时,若-1a≤1,即a ≤-1,g x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递增,又g 1 =0,所以g x ≥0在x ∈1,e 上恒成立,符合题意.若1<-1a <e ,即-1<a <-1e ,令g x >0,解得-1a <x <e ,令g x <0,解得1<x <-1a ,所以g x 在1,-1a 上单调递减,在-1a ,e 上单调递增,所以g x min =g -1a<g 1 =0,不符合题意；若-1a ≥e ,即-1e≤a <0,g x ≤0在x ∈1,e 上恒成立,所以g x 在1,e 上单调递减,又g 1 =0,所以g e <g 1 =0,不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是-∞,-1 .7.(2022届广东省潮州市瓷都中学高三下学期第三次模拟)已知函数f x =2x 3+31+m x 2+6mx x ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f 1 =5,函数g x =a ln x +1 -f x x 2≤0在1,+∞ 上恒成立,求整数a 的最大值.【解析】 (1)f x =6x 2+61+m x +6m =6x 2+1+m x +m =6(x +1)(x +m )若m =1时,f (x )≥0,f (x )在R 上单调递增；若m >1时,-m <-1,当x <-m 或x >-1时,f (x )>0,f (x )为增函数,当-m <x <-1时,f (x )<0,f (x )为减函数,若m <1时,-m >-1,当x <-1或x >-m 时,f (x )>0,f (x )为增函数,当-1<x <-m 时,f (x )<0,f (x )为减函数.综上,m =1时,f (x )在R 上单调递增；当m >1时,f (x )在(-∞,-m )和(-1,+∞)上单调递增,在(-m ,-1)上单调递减；当m <1时,f (x )在(-∞,-1)和(-m ,+∞)上单调递增,在(-1,-m )上单调递减.(2)由f (1)=2+3(1+m )+6m =5,解得 m =0,所以f (x )=2x 3+3x 2,由x ∈(1,+∞)时,ln x +1>0,可知g (x )=a (ln x +1)-2x -3≤0在(1,+∞)上恒成立可化为a ≤2x +3ln x +1在x ∈(1,+∞)上恒成立,设h (x )=2x +3ln x +1(x >1),则h (x )=2(ln x +1)-(2x +3)×1x (ln x +1)2=2ln x -3x (ln x +1)2,设φ(x )=2ln x -3x (x >1),则 φ (x )=2x +3x2>0,所以φ(x )在(1,+∞)上单调递增,又φ(2)=2ln2-32=ln16-32<0,φ52 =2ln 52-65=25ln 52-3 5>0,所以方程h (x )=0有且只有一个实根x 0,且 2<x 0<52,2ln x 0=3x 0,所以在(1,x 0)上,h (x )<0, h (x )单调递减,在x 0,+∞ 上,h (x )>0,h (x )单调递增,所以函数h (x )的最小值为h x 0 =2x 0+3ln x 0+1=2x 0+332x 0+1=2x 0∈4,5 ,从而a ≤2x 0,又a 为整数,所以a 的最大值为4.8.(2022四川省资阳市高三第一次质量检测)已知函数f (x )=(x -a -1)e x -12ax 2+a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(-∞,0)上只有一个极值,且该极值小于-e a -1,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意,函数f (x )=(x -a -1)e x -12ax 2+a 2x ,可得f (x )=(x -a )e x -ax +a 2=(x -a )e x -a ,当a ≤0时,e x -a >0,令f (x )<0,解得x <a ；令f (x )>0,解得x >a ,故f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,当a >0时,令f (x )=0,解得x 1=a 或x 2=ln a ,设g (a )=a -ln a ,可得g (a )=a -1a,当a >1时,g (a )>0；当0<a <1时,g (a )<0,故g (x )min =g (1)=1>0,故a >ln a ,由f (x )>0,解得x >a 或x <ln a ,由f (x )<0,解得ln a <x <a ,故f (x )在(-∞,ln a )递增,在(ln a ,a )递减,在(a ,+∞)递增,综上可得：当a ≤0时,f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,a >0时,f (x )在(-∞,ln a )递增,在(ln a ,a )递减,在(a ,+∞)递增；(2)当a <0时,由(1)知,f (x )在(-∞,a )递减,在(a ,+∞)递增,故f x 极小值=f (a )=-e a +12a 3<-e a -1,解得a <-32,当0<a <1时,ln a <0,由(1)知f (x )在x =ln a 处取极大值,设h (a )=f (ln a )=(ln a -a -1)a -12a ln 2a +a 2ln a =a ln a 1-12ln a +a -a 2-a ,则h (a )=-12ln 2a +2a ln a -a ,因为0<a <1,可得ln a <0,所以h (a )<0,h (a )在(0,1)递减,所以h (a )>h (1)=-2>-e a -1,所以0<a <1不合题意,当a ≥1时,ln a ≥0,由(1)知f (x )在(-∞,0)递增,此时f (x )在(-∞,0)无极值,不符合题意,综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-32).9.(2021重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试)已知函数f x =x +ln x -a x,g x =a -2x ln x +x .(1)讨论f x 的单调性；(2)若a ∈1,4 ,记f x 的零点为x 1,g x 的极大值点为x 2,求证：x 1<x 2·【解析】(1)f x 的定义域为0,+∞ ,f ′x =1+1x +a x 2=x 2+x +a x 2,当a ≥0时,f ′x >0,f x 在0,+∞ 上单调递增：当a <0时,Δ=1-4a >0,f ′x =0在0,+∞ 上有唯一正根-1+1-4a 2,当x ∈0,-1+1-4a 2时,f ′x <0,单调递减；当x ∈-1+1-4a 2,+∞ 时,f ′x >0,f x 单调递增；综上,当a ≥0时,f x 在0,+∞ 上单调递增；当a <0时,f x 在0,-1+1-4a 2 上单调递减；在-1+1-4a 2,+∞ 上单调递增.(2)由(1)知,当a ∈1,4 时,f x 在0,+∞ 上单调递增,且f 1 =1-a <0，f 2 =2+ln2-a 2>0,所以f x 在0,+∞ 上有唯一零点x 1∈1,2 .又g ′x =-2ln x +a x -1,又a ∈1,4 ,由单调性运算性质可知,g ′x 在0,+∞ 上单调递减,且g ′1 =a -1>0，g ′4 =-2ln4+a 4-1<0,故存在x 0∈1,4 ,使得g ′x 0 =0,即a x 0=2ln x 0+1,当x ∈0,x 0 时,g ′x >0,g x 单调递减；当x ∈x 0,+∞ 时,g ′x <0,g x 单调递增；所以x 0是g x 唯一极大值点,所以x 0=x 2,故a x 2=2ln x 2+1,因此f x 2 =x 2+ln x 2-a x 2=x 2+ln x 2-2ln x 2-1=x 2-ln x 2-1.设h x =x -ln x -1,因为x ∈1,4 ，h ′x =1-1x >0,所以h ′x 在1,4 上单调递增,所以h x >h 1 =0.故有f x 2 >0=f x 1 ,又f x 在0,+∞ 上单调递增,所以x 1<x 2.10.(2021山东省烟台市高三高考适应性练习)已知函数f x =a x 2-x -ln x a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)证明：当x >1时,2e x -1ln x ≥x 2+1x 2-x.【解析】(1)函数f x 的定义域为0,+∞ ,f x =a 2x -1 -1x =2ax 2-ax -1x.令g x =2ax 2-ax -1.①当a =0时,g x =-1<0,f x =g x x<0,故f x 在0,+∞ 单调递减；②当a ≠0时,g x 为二次函数,Δ=a 2+8a .若Δ≤0,即-8≤a <0,则g x 的图象为开口向下的抛物线且g x ≤0,所以f x ≤0,故f x 在0,+∞ 单调递减；若Δ>0,即a <-8或a >0,令g x =0,得x 1=a -a 2+8a 4a ,x 2=a +a 2+8a 4a.当a <-8时,g x 图象为开口向下的抛物线,0<x 2<x 1,所以当x ∈0,x 2 或x ∈x 1,+∞ 时,g x <0,所以f x <0,f x 单调递减；当x ∈x 2,x 1 时,g x >0,所以f x >0,f x 单调递增；当a >0时,g x 图象为开口向上的抛物线,x 1<0<x 2,所以当x ∈0,x 2 ,g x ≤0,所以f x <0,故f x 单调递减；当x ∈x 2,+∞ 时,g x >0,所以f x >0,f x 单调递增.综上,当a <-8时,f x 在0,a +a 2+8a 4a 和a -a 2+8a 4a ,+∞上单调递减,在a +a 2+8a 4a ,a -a 2+8a 4a上单调递增；当a >0时,f x 在0,a +a 2+8a 4a 单调递减,在a +a 2+8a 4a ,+∞上单调递增；当-8≤a ≤0,f x 在0,+∞ 单调递减;(2)由(1)知,当a =1时,f x 在0,1 单调递减,在1,+∞ 单调递增,因此对∀x >1恒有f x >f 1 ,即x 2-x >ln x .因为0<ln x <x 2-x ,若2e x -1≥x 2+1成立,则2e x -1ln x ≥x 2+1x 2-x 成立.令φx =e x -1-12x 2+1 x ≥1 ,则φ x =e x -1-x ,φ x =e x -1-1.因为x ≥1,所以φ x ≥0,所以φ x 在1,+∞ 单调递增,又φ 1 =0,所以当x ≥1时,φ x ≥0,所以φx 在1,+∞ 单调递增,又φ1 =0,所以对∀x >1恒有φx >φ1 =0,即2e x -1≥x 2+1.1ln x>1x2-x>0,由不等式的基本性质可得2e x-1ln x≥x2+1x2-x.当x>1时,0<ln x<x2-x,则。
【高考数学考点预测】导数概念及函数的单调性、极值、最值思维方法总结及14类常考题型(新高考)原卷版
【思维方法】1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.4.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.6.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.7.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.8.确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.9.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.10.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.11.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x ∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.12.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.13.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.14.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.15.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.16.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号； (5)求出极值.17.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.18.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.19.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.20.若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值. 【查缺补漏】【考点一】导数的运算【典例1】(多选题)下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB.(x 2e x )′＝2x ＋e xC.(x cos x )′＝－sin xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2 【典例2】若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.【典例3】设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.【考点二】求切线的方程【典例1】曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.【典例2】曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.【典例3】已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ． 【考点三】求曲线的切点坐标【典例1】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________，此时切线方程为________.2. 已知曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2 C．1 D.1 2【考点四】导数与函数图象问题【典例1】如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.【典例3】如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3 【考点五】导数几何意义的应用【典例1】(多选题)已知函数f (x )＝x －ln x ，若f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1≠x 2)处切线平行，则( ) A.1x 1＋1x 2＝12 B.x 1x 2＜128C.x 1＋x 2＜32D.x 21＋x 22＞512【典例2】已知函数f (x )＝a e x (a >0)与g (x )＝2x 2－m (m >0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8e 2 【典例3】函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1B.14C.12D.1【考点六】不含参函数的单调性【典例1】函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( ) A.(0，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1，1)【典例2】函数f (x )＝(x －3)e x 的递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【典例3】已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________.【考点七】讨论含参函数的单调性【典例1】已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性.【典例2】已知f(x)＝a(x－ln x)＋2x－1x2，a>0，讨论f(x)的单调性.【典例3】已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求f(x)的单调区间. 【考点八】根据函数单调性求参数【典例1】已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax ，若函数g (x )在区间[1，2] 内单调递增，求实数a 的取值范围.【典例2】若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 【典例3】设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 【考点九】利用导数比较大小【典例1】(多选题)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0成立，则有( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4【典例2】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >bD.c >a >b【典例3】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B.f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) 【考点十】利用导数解不等式【典例1】已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，2)【典例2】已知函数f (x )＝3x ＋2cos x .若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <b <a C.b <a <cD.b <c <a【典例3】函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有f ′(x )>－f (x )成立，若f (ln 2)＝12，则满足不等式f (x )>1e x 的x 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(ln 2，＋∞)D.(0，ln 2)【考点十一】根据函数图象判断极值【典例1】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝ (1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【典例2】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数g (x )＝xf ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.f(x)有两个极值点B.f(－2)为函数的极大值C.f(x)有两个极小值D.f(－1)为f(x)的极小值【典例3】(多选题)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点【考点十二】已知函数求极值【典例1】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【典例2】已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值.【典例3】已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值.【考点十三】根据极值求参数的值(范围)【典例1】已知x＝1e是函数f(x)＝x(ln ax＋1)的极值点，则实数a的值为()A.1e2 B.1e C.1 D.e【典例2】已知函数f(x)＝x3－ax2＋427.若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a的取值范围是________.【典例3】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________. 【考点十四】利用导数求函数的最值【典例1】已知函数g(x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a∈R).(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a).【典例2】已知函数g(x)＝ln x－18x2＋b在区间[1，3]上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值.【典例3】设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【真题训练】1.（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a22.（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a3.（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：f（x）＝x2．①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函数．4.（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．5.（2021•上海）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝．6.（2021•甲卷）曲线y＝在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为．7.（2022•乙卷）函数f（x）＝cos x+（x+1）sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2 8.（2022•新高考Ⅰ）（多选）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线9.（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．10.（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．11.（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2a x﹣ex2（a＞0且a ≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是. 【热点预测】1. (多选题)下列求导数的运算中正确的是()A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos xx 2 D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x2. 函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的单调递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)3. 函数f (x )的定义域为R ，导数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，一个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点4. 曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－125. 已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是() A.1＋1e B.1 C.e ＋1 D.e －17. 已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( )A.y ＝0B.4x ＋y ＋4＝0C.4x －y ＋4＝0D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝08. 已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )A ．f (2)>f (3)>f (π)B ．f (3)>f (2)>f (π)C ．f (2)>f (π)>f (3)9. .已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A.2B.－5 2C.3＋ln 2D.－2＋2ln 210. (多选题)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝3cos xB.f(x)＝x3＋xC.f(x)＝x＋1x D.f(x)＝ex＋x11. (多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝e－xC.f(x)＝ln xD.f(x)＝tan x12. (多选题)若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f(x)为“t函数”.下列函数中可以称为“2函数”的是()A.y＝x－x3B.y＝x＋e xC.y＝x ln xD.y＝x＋cos x13.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)14.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )15. 已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为( )A.－3eB.－2eC.eD.2e16. 若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－6]B.(－∞，－6]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)17. 函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________.18. 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________________．19. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (2)的值为________.20. 已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为________.21. 若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．22. 设函数f (x )＝a ln x －bx 2，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值.。