用导数解决含参数的函数的单调性
用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
如何运用导数法判断含参函数的单调性
思路探寻导数法是研究函数单调性的“利器”，判断含参函数的单调性是各类试题中的常见题目.含参函数的单调性问题一般较为复杂,需要灵活运用分类讨论思想和导数法进行求解.下面我们来探讨一下如何运用导数法来判断含参函数的单调性.一般地，运用导数法判断含参函数的单调性有如下几个步骤：1.讨论并确定函数的定义域.2.对函数进行求导，并进行适当的化简.3.求出导函数的零点.若函数的零点中含有参数，需讨论零点的符号.4.用零点将函数的定义域分为几个区间段.5.在各个区间段上讨论导函数与0之间的关系.若导函数大于0，则该函数在该区间上单调递增；若导函数小于0，则该函数在该区间上单调递减.下面举例说明.例1.已知函数f (x )=ln x -(a +1)x ，讨论f (x )的单调性．解：由已知得函数的定义域为(0,+∞)，且f '(x )=1-(a +1)x x.①当a ≤-1时，f '(x )>0，f (x )在(0,+∞)上单调递增；②当a >-1时，令f '(x )=0，得x =1a +1.当0<x <1a +1时，f '(x )>0；当x >1a +1时，f '(x )<0.所以f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.综合①②可知，当a ≤-1时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a >-1时，f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.由此可见，讨论含参函数单调性的关键在于判断导函数与0之间的关系.解答本题的关键在于讨论1-(a +1)x 的符号.在求出导函数的零点后，用零点x =1a +1将函数的定义域分为两个区间段：(0,1a +1)、(1a +1,+∞)，再进一步讨论导函数与0之间的关系.例2.已知函数f (x )=ax -1x-ln x ，讨论f (x )的单调性．解：由题意知f '(x )=a +1x 2-1x =ax 2-x +1x 2(x >0).①当a =0时，f '(x )=1-xx2.由f '(x )>0得0<x <1，由f '(x )<0得x >1，即f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．②当a ≠0时，令f '(x )=0，即ax 2-x +1=0，Δ=1-4a .若Δ≤0，即a ≥14，f '(x )≥0，则f (x )在(0,+∞)上单调递增.若Δ>0，即a <0或<14，由f '(x )=0得x 1=，x 2，当14时，x 2x 1>0，所以f (x )在，+∞)上单调递增，在上单调递减．当a <0时，x 1>0>x 2，所以f (x )在上单调递增，在+∞)上单调递减．在求出导函数的表达式后，我们就可以发现，只需讨论ax 2-x +1的符号，就可以确定函数的单调性.由于ax 2-x +1为二次函数，且二次项的系数含有参数，所以需运用分类讨论思想分别对二次项的系数、方程的判别式Δ进行讨论.当Δ>0时，方程有两个根，即导函数有两个零点，若为x 1,x 2，则需先比较两个零点的大小，然后再划分定义域[m ,n ]：m <n <x 1<x 2;x 1<m <n <x 2;x 1<x 2<m <n ;m <x 1<n <x 2;x 1<m <x 2<n ;m <x 1<x 2<n ,结合二次函数的图象判断导函数的符号，得出原函数的单调性.综上所述，运用导数法判断含参函数的单调性，不仅要熟练掌握上述步骤，还要明确分类讨论的对象、标准以及层级，学会灵活运用分类讨论思想，合理对参数进行分类讨论.本文系福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究（项目编号：Fjjgzx20-077）.（作者单位：福建省莆田第二中学）54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
155使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结蓝荣升作者发现，使用导数来解决函数的单调性，它在高中数学试卷中占有相当大的份额。
函数的单调性是求解函数极值，最值（范围）以及零点个数问题的基础，它经常出现在压轴题的第一问，并且存在一定的困难。
求函数单调性的最困难的部分是含参函数的分类讨论，而分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。
因此,利用分类讨论来解决带参数的函数单调性问题已成为近年来高考的重点和热点。
这类问题的难点在于学生不懂得如何讨论，或者讨论不全面，这里总结了带参函数单调性的分类讨论的一般步骤，在学会之后，没有不知道如何讨论或讨论不全面的情况。
以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）:第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。
（1）偶次根式，根号下整体不小于0。
（2）分式，分母不等于0。
（3）对数，真数大于0。
第二步：求函数导数，令0)('=x f ，求出它的根21,x x ，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。
导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。
第三步：如果方程有两根，则要考虑4种情况；如果只有一根则只需考虑第一种情况；如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。
（1）是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的讨论点。
（2）21x x =，得到参数的讨论点。
（3）21x x >，得到参数的讨论点。
（4）21x x <，得到参数的讨论点。
第四步：判断21,x x 分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。
以下三种常见方法可用来判断导数的正负：（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。
使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
利用导数来解决含参函数单调性问题，是一个经典的数学问题，也是高数学习者常遇到的一大难题。
要想确定一个参数函数的单调性，就要考虑它的导数变化，这就引出了利用导数来解决含参函数单调性的讨论方法。
首先，我们必须了解如何计算函数的导数。
对于一元函数，可以从原函数中求得导数的定义，即求偏导；也可以使用分部法及牛顿法，直接求出导数；而多元函数的导数一般由偏导方程式求得，其中可利用梯度、相对极值等概念计算函数的偏导数及其导数大小。
之后，可以利用导数把单调性转化为数学上的一种判断，即若一函数的导数大小符合特定条件，则该函数的单调性也得到确定，不断更新函数的参数就可以实现单调性。
如果在更新函数参数的过程中，函数的导数量一直大于0，则函数具有上升的单调性，反之，如果函数的导数量一直小于0，则函数具有下降的单调性。
此外，利用导数来解决含参函数单调性的另一个方面就是，可以根据该函数的导数表达式，计算其函数值的变化与自变量的变化。
当自变量变化时，就可以求取函数的导数值，从而归结出函数某个确定点处的单调性。
总之，利用导数来解决含参函数单调性，总结起来就是这样：首先，计算函数导数，然后根据函数的导数表达式近似计算函数某一确定点处的单调性；最后，根据函数的导数大小，可以判断该函数的单调性，并利用不断更新函数参数的过程来最大程度地实现单调性。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
导数应用-含参函数的单调性讨论
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。
一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
用导数研究含参函数的单调性
用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。
含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。
研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。
一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。
此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。
然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。
这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。
2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。
这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。
3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。
若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。
4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。
通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。
二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。
这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。
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用导数解决含参数的函数的单调性
单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。
在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。
本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
其中，$h$为一个无限趋近于0的值。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。
接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。
含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。
我们的目标是找到使函数单调的参数范围。
解决这个问题的关键是求导。
首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数
$f''(x;a)$。
一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。
接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。
临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。
当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程
$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。
这些点将给出函数的极值或拐点。
通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，
从而得到临界点和驻点。
接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区
间性质。
具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数
$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；
当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。
当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。
特别是当
参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。
下面，我们将通过一个具体的例子来说明如何使用导数解决含参数的
函数的单调性。
考虑函数$f(x;a)=ax^2+bx+c$，其中参数$a$、$b$和$c$为实数。
首先，我们计算一阶导数$f'(x;a)=2ax+b$和二阶导数$f''(x;a)=2a$。
然后，我们通过求解$f'(x;a)=0$来找到临界点和驻点。
我们得到
$x_0=-\frac{b}{2a}$，对应$f'(x_0;a)=0$。
接下来，我们分析一阶导数的符号，决定函数的单调性。
当$a>0$时
-若$b>0$，则当$x<x_0$时，$f'(x;a)$为负，$f(x;a)$单调递减；当$x>x_0$时，$f'(x;a)$为正，$f(x;a)$单调递增。
-若$b<0$，则当$x<x_0$时，$f'(x;a)$为负，$f(x;a)$单调递减；当$x>x_0$时，$f'(x;a)$为正，$f(x;a)$单调递增。
当$a<0$时
-若$b>0$，则当$x<x_0$时，$f'(x;a)$为正，$f(x;a)$单调递增；当$x>x_0$时，$f'(x;a)$为负，$f(x;a)$单调递减。
-若$b<0$，则当$x<x_0$时，$f'(x;a)$为正，$f(x;a)$单调递增；当$x>x_0$时，$f'(x;a)$为负，$f(x;a)$单调递减。
这就是对含参数的函数$f(x;a)$的单调性的分析。
通过导数的计算和
符号分析，我们可以确定函数的单调性以及参数$a$对其单调性的影响。
通过以上分析，我们可以看出导数在解决含参数的函数的单调性上起
着重要的作用。
通过求导并分析导数的正负性，我们可以确定函数的单调性，并找到使函数单调的参数范围。
总结起来，使用导数解决含参数的函数的单调性的步骤包括：
1.计算一阶导数和二阶导数。
2.求解一阶导数的方程，找到函数的临界点和驻点。
3.进行符号分析，确定函数在各个区间内的单调性。
4.考虑参数对函数定义域的影响，确定参数的取值范围，从而确定函
数的单调性。
通过以上的步骤，我们可以利用导数解决含参数的函数的单调性问题。
这种方法在数学分析、优化问题以及函数建模等领域具有广泛的应用。