小学奥数三年级第5讲 平均数

第7讲平均数

一组数的和除以这组数的个数，称为这组数的平均数。

例1、5个连续自然数的中间一个数是45，这5个数的和是多少？

分析5个连续自然数的第3个数是45，第2个（44）与第4个（46）相加是两个45，第1个（43）与第5个（47）相加是两个45。

解和是45×5=225

随堂练习1

计算56+57+58+59+60+61+62+63+64

一般地，奇数个连续自然数的和等于中间一项乘以项数。

换句话说，奇数个连续自然数的平均数就是中间的那个数。

高斯求和方法的实质就是

和=平均数×项数

偶数个连续自然数的平均数不是整数，我们现在尚未学到。所以先将第一项加最后一项，第二项加倒数第二项……直至中间两项相加，这些和都相等。而个数是项数的一半，所以偶数个连续自然数的和等于中间两项的和（也即首末两项的和）乘以项数除以2.

例2、8个连续自然数的和是108，写出这8个数。

分析因为中间两个数相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中间两项的和可以求出来。

解中间两项的和是108÷（8÷2）=27

又27=13+14

所以中间两项是13、14.这8个数是

10、11、12、13、14、15、16、17.

（由13往前数4个数到10，由14往后数4个数到17）

答：这8个连续的自然数是10、11、12、13、14、15、16、17.

随堂练习2

6个连续自然数的和是273，这6个数中的第一个数是多少？

例3、求出以下28个数的平均数:

12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.

分析与解这28个数的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35

求出和再除以28就得到平均数，但比较麻烦。如果注意到25个连续自然数11、12、13，……，35的平均数是23（中间一项），那么就比较容易。

因为 13+16+16+35

=（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）

=11+23+23+23

所以原来的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，

原来28个数的平均数正好是23.

随堂练习3

求28个数：

12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均数。

例4、求数列

1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53 （1）

的规律，并求这组数的和与平均数。

分析数列的奇数项数的项组成等差数列（公差是3）

1、4、7，……，49、52. （2）

数列的偶数项数的项组成等差数列（公差也是3）

2、5、8，……，50、53. （3）

分别求出数列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均数。但更为简单的办法是直接运用高斯的思想。注意：

1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28 （4）

解 1与53的平均数是27，也就是1+53可以换成2个27相加。

同样，2+52,4+50，……，26+28都可以换成27+27.

因此（1）的和是27×36=972.

从例4可以看出，如果一组数可以分成许多小组，各小组的平均数都相等，那么这个相等的数就是这组数的平均数（例4中，每个小组2个数的和是54，每个小组的平均数是27）。

随堂练习4

寻找数列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的规律，并求这数列的和。

练习题：

（1）求1至100内能被4整除余1的所有数的和。

（2）求1至100内既是3的倍数又是5的倍数的所有数的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放一个球，能不能使每个盒中的球数都不相同？

（4）影剧院共有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，问：影剧院共有多少个座位？

（5）时钟在每个整点时敲这钟点数，每半点钟时敲1下，问：一昼夜该时钟总共敲多少下？

（6）求所有三位数的和。

（7）求1至100（包括100在内）的所有5的倍数的和。

（8）50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，试多少次就足够了？

（9）已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。这个数列的第30项是哪个数？到第25项止，这些数的和是多少？

（10）24个连续自然数12―35，再添上一个35，一个13，两个16.这28个数的平均值是多少？