留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

留数定理及其在积分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus）

姓名：刘燕

学号： 0507010122

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：易才凤（教授）

完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用

【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容

--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题.

【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function

Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem .

This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.

【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

目录

1引言 .................................................. 2预备知识.......................................

2.1 复积分.............................................

2.2 解析函数极点及留数.................................

2.3留数的计算方法.................................

3留数定理..........................................

3.1留数定理........................................

3.2 留数定理的证明...................................

3.3 留数定理的推广..............................

4 应用留数定理计算积分............................

4.1复积分的计算.....................................

4.2实积分的计算....................................

5参考文献

6 致谢

1 引言

众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.

在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数)(x f 在实数轴上的某一段Γ上的积分，我们在Γ上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.

留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.

那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.

此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.

2 预备知识

2.1 复积分

复变函数积分的定义

定义2.1 设有向曲线C ：

)(),(βα≤≤=t t z z

顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点：

b

z z z z a n n ==-,,,,110

把曲线C 分成若干个弧段（如图1）。从1-k z 到),2,1(n k z k =的每一弧段上任取一点k ζ.做和数

∑=∆=n

k k k n z f 1

)(S ζ，

其中1--=∆k k k z z z .当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称)(z f 沿C （从a 到b ）可积，而称J 为)(z f 沿

C （从a 到b ）的积分，并以记号⎰c

dz z f )(表示：

J =⎰c

dz z f )(.

C 称为积分路径.⎰c

dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-c

dz z f )(表示沿C 负方向

的积分.

如果J 存在，我们一般不能把J 写成⎰b

a dz z f )(的形式，因为J 的值不仅和a ,b

有关，而且与积分路径C 有关.

显然，)(z f 沿曲线C 可积的必要条件为)(z f 沿C 有界.此外，，我们还有下面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.

定理2.1]1[ 若函数),(),()(y x iv y x u x f +=沿曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且

⎰⎰⎰++-=c

c

c

udy vdx i vdy udx dz z f )(.

这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布尼兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计算复积分等.

2.2 函数极点及留数

2.2.1 解析函数的极点

定义 2.2 若函数)(z f 在点0z 不解析，但在0z 的任一邻域内总有)(z f 的解析，点，则称0z 为函数)(z f 的奇点.

定义2.3 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.