应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分

1问题

在物理学中，研究阻尼振动时计算积分

sin x

dx x

∞

⎰

，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，

在热学中遇到积分

cos (0,ax e bxdx b a ∞

->⎰

为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不

可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数

定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型

将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则

1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有

1

2

()()()l

l l f z dz f x dx f z dz =+⎰

⎰⎰；

3）

()l

f z dz ⎰

可以应用留数定理，1

()l f x dx ⎰就是所求的定积分。如果2

()l f z dz ⎰较易求出（往往是

证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.

类型一

20

(cos ,sin )R x x dx π

⎰

.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].

求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从

0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.

可以设ix

z e =,则dz izdx =∴dz dx iz

=

而1

1cos ()22ix ix e e x z z --+=

=+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k

z z z z dz

I R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰ 类型二

-()f x dx ∞

∞

⎰

.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限

个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.

求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至

图1

.

根据留数定理，

而

所以

类型三积分区间是

实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z

0.

约当引理如m z在上半平面及实轴

0，则

经自变量代换，上式变为

同理

由类型二可知

由约当定理

同理

2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞

-∞

⎰在所围半圆内各奇点的留数之和

所以

0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞

=⎰

在上半平面所有奇点的留数之和 0

()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞

=⎰

在上半平面所有奇点的留数之和

实轴上有单极点的情形 考虑积分

-()f x dx ∞

∞

⎰

，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之

外，()f x 满足类型二或类型三的条件.

求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半

径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是

()()()()()R

R

l

R

C C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz ε

αε

αε

--+=+++⎰

⎰

⎰

⎰⎰

取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于

2()i

Resf z π∑

上半平面

.

右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：

将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有

()1

()a f z P z z αα

-=

+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此

()()()max max C C P z dz P z dz P z ε

ε

ααπεα-≤-=⋅-⎰⎰

所以

()0lim 0C P z dz ε

εα→-=⎰

而

()()011

11i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e ε

εϕϕπαεϕππαα

αε----=-==-=---⎰

⎰⎰ 于是

()-()2()f x dx i

Resf z iResf ππα∞

∞

=+∑

⎰

上半平面

若实轴上有有限个单极点，则

()-()2()f x dx i Resf z i

Resf z ππ∞

∞

=+∑

∑

⎰

上半平面实轴上

3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分

图3