用留数定理计算实积分
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2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)!
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式，结合解析 函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积 分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接 展开更为简洁，使用范围也更为广泛 .
其中系数
f ( z ) cn ( z a)
n 0
n
(4.8) (4.9)
1 f ( ) f (n) (a) cn d n 1 2 i p ( a ) n!
( :| z | ,0 R; n 0,1, 2, )
且展式是唯一的.
因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果 就是泰勒级数, 因而是唯一的.
定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内
任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.
由柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解析,
则其泰勒系数cn满足柯西不等式
| cn |
max f ( z )
n c ( z a ) 的收敛半径为: n n 0
R=
1/l 0 +∞
(l≠0,l≠+∞); (l=+∞); (l=0).
定理4.13 (1) 幂级数 f ( z ) cn ( z a) n (4.5)
n 0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内解析. (2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,
如果
a
到 D 的边界上各点的最短距离为 d ,
那么 f ( z ) 在
a
的泰勒展开式在 z - a < d 内成立．
但 f ( z ) 在 a 的泰勒级数 的收敛半径 R 至少等于 d ， 因为凡满足 z - a < d 的 z 必能使
f (z) = å
¥
n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n 成立， 即 R d . n!
复习
1.幂级数
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
4.3
2.定理4.10
定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)
收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z1-z|(即以a为圆心, 圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.
而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.
注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛, 其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.
z z2 f ( z ) 1 2 3
z z2 z3 f ( z) 2 2 2 1 2 3
z n 1 n
zn 2 n
(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此 幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同 时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的 完全明白.
f (z) = å
N-1 n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n + RN ( z ) n!
¥ 轾 1 f ( ) n 其中 RN ( z ) = 犏 ( z a ) d ò å n+1 2πi K 犏 n= N ( - a ) 臌
若 lim RN ( z ) 0,
N
2.复变函数展为泰勒级数的实用范围要比实变函数
广阔的多;
因为f(z)解析，可以保证无限次各阶导数的连续性;
3. 如果 f(z) 在D内有奇点，则d 等于 a 到最近一个 奇点 z0之间的距离，即 d＝|z0-a| ;
4. 当a＝0时，级数称为麦克劳林级数; 5.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.
可知在K内
f (z) = å
¥
n =0
f ( n ) ( z0 ) ( z - a )n n!
即 f ( z ) 在 K 内可以用幂级数来表示,
令
z- a z- a = =q -a r
f ( z ) 在 D ( K D) 内解析, 则在K上连续, 因此 f ( ) 在 K 上也连续, f ( ) 在 K 上有界,
即：
f ( p) ( z) p!c p ( p 1) p 2c p1 ( z a)
n(n 1) (n p 1)cn ( z a)
n p
(p=1,2,…) (3)
f ( p ) (a ) cp p!
(4.6) (4.7)
2 n Βιβλιοθήκη Baidu1 z3 z5 z 4) sin z z ( 1)n , ( z ) 3! 5! ( 2n 1)!
2n z2 z4 z 5) cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( z )
z z n z 6) ln(1 z ) z ( 1) , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
附: 常见函数的泰勒展开式
z z z 1) e 1 z , 2! n! n 0 n!
z 2 n n
( z )
1 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0
1 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , ( z 1) 1 z n 0
例如，
利用间接展开法求sin z 在 z 0 的泰勒展开式 .
1 iz iz sin z (e e ) 2i
1 ( iz )n ( iz )n 2i n0 n! n0 n!
2 n 1 z ( 1)n ( 2n 1)! n 0
在 K 上 f ( ) M .
即存在一个正常数M,
1 RN ( z ) ? ò 2π K
¥
f ( ) n ( z a ) ds å n+1 n = N ( - a )
n
轾 ¥ f ( ) z - a 1 犏 £ ò å 2π K 犏 n= N - a - a 犏 臌
ds
Mq N 1 M n . q 2 r 1 q 2 n N r
为 D 内以 a 为中心的任一圆周,
a r
它与它的内部全包含于 D, 记为 K ,
如图: .z
K 内任意点
区域D
a. r
D
.
K
圆周 a r
由柯西积分公式 , 有
1 f ( ) f (z) d , 其中 K 取正方向. 2π i K z
因为积分变量 取在圆周 K 上, 点 z 在 K 的内部,
证明：设 f ( z ) 在 z0 已被展开成幂级数:
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 a n ( z z 0 ) ,
n
那末 即
f ( z0 ) a0 , f ( z0 ) a1 ,
1 ( n) a n f ( z 0 ) , n!
(p=0,1,2,…).
第三节 解析函数的泰勒展式
1
2 3 4
泰勒定理 将函数展开成泰勒级数 典型例题
小结与思考
问题: 任意一个解析函数能否用幂级数来表达？ 答案是肯定的。
1. 泰勒(Taylor)定理
定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,a∈D,只
要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数
z a
n
(0 R, n 0,1, 2, ).
n c ( z a ) 定理4.16 如果幂级数 n n 0
的收敛半径R>0, 且
f ( z ) c n ( z a ) n , ( z K :| z a | R )
n0
则f(z)在收敛圆周C：|z-a|=R上至少有一奇点，
推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在 以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.
定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于
cn 1 lim l , 或 lim n | cn | l , 或 n c n n
lim n cn l ,
n
则幂级数
7) (1 z ) 1 z
2
3
n 1
( 1)
2! 3! ( 1)( n 1) n z , n!
z
1 2 4 6 1 x x x 2 1 x
二、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法. 1. 直接法: 由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.
例如，求 e z 在 z 0 的泰勒展开式 .
即不可能有这样的函数F(z)存在， 它在|z-a|<R内与f(z)恒等，而在C上处处解析.
证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都 是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.
根据有限覆盖定理,我们就可 以在这些圆O中选取有限个 将圆O覆盖了.这有限个圆将 构成一个区域G,用ρ>0表示C 到G的边界的距离(参看第三 章定理3.3注).于是F(z)在较 圆K大的同心圆
因为(e z )( n) e z ,
(e z )( n )
z 0
1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n
故有
z z z e 1 z 2! n! n 0 n!
z
因为 e z 在复平面内处处解析 ,
所以级数的收敛半径 R .
. 仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0 的泰勒展开式
（4.8）称为f(z)在点a的泰勒展式， （4.9）称为其泰勒系数， （4.8）中的级数称为泰勒级数。
其中:
1 f ( ) 1 (n) cn d f (a), n 0,1,2, n 1 2 i C ( a) n!
C为该邻域内任意一条包围a的正向简单闭曲线。
证明: 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
z1
a
K :|z-a|<R+ρ内是解析 / 的.于是F(z)在K 可开为 泰勒级数 . 但因在 |z-a|<R 中 F(z) 恒 等 于 f(z), 故 在 z=a处它们以及各阶导数 有相同的值。因此级数
n 0
/
z2
z3
z2
z5 z2
z1 z10
a
z8
z6
z9
n c ( z a ) n 也是F(z)的泰勒级数
¥
1 于是 f ( z ) n 0 2 πi
N 1
f ( )d n ( z a ) n1 ( a ) K
¥ 1 轾 f ( ) n 犏 + ( z a ) d . ò å n+1 2πi K 犏 n = N ( - a ) 臌
由高阶导数公式, 上式又可写成
N
lim q N 0
lim RN ( z ) 0 在 K 内成立, N
¥
从而在K内 f ( z ) = å
n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n n!
f ( z )在收敛圆内的泰勒级数.
函数 f ( z ) 在收敛圆内的泰勒展开式
说明：
1. 圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内成立。
za 所以 1. a
则
1 1 1 = - z - a 1- z - a -a
1 é z- a z- a 2 ê = 1+ ( ) +( ) + - aê -a ë -a
z- a n +( ) + -a
ù ú ú û
1 n =å ( z a ) . n+1 n =0 ( - a )
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式，结合解析 函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积 分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接 展开更为简洁，使用范围也更为广泛 .
其中系数
f ( z ) cn ( z a)
n 0
n
(4.8) (4.9)
1 f ( ) f (n) (a) cn d n 1 2 i p ( a ) n!
( :| z | ,0 R; n 0,1, 2, )
且展式是唯一的.
因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果 就是泰勒级数, 因而是唯一的.
定理4.15 f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内
任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.
由柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R内解析,
则其泰勒系数cn满足柯西不等式
| cn |
max f ( z )
n c ( z a ) 的收敛半径为: n n 0
R=
1/l 0 +∞
(l≠0,l≠+∞); (l=+∞); (l=0).
定理4.13 (1) 幂级数 f ( z ) cn ( z a) n (4.5)
n 0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内解析. (2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,
如果
a
到 D 的边界上各点的最短距离为 d ,
那么 f ( z ) 在
a
的泰勒展开式在 z - a < d 内成立．
但 f ( z ) 在 a 的泰勒级数 的收敛半径 R 至少等于 d ， 因为凡满足 z - a < d 的 z 必能使
f (z) = å
¥
n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n 成立， 即 R d . n!
复习
1.幂级数
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
4.3
2.定理4.10
定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)
收敛,则它必在圆K:|z-a|<|z1-z|(即以a为圆心, 圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.
而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.
注 (1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛, 其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.
z z2 f ( z ) 1 2 3
z z2 z3 f ( z) 2 2 2 1 2 3
z n 1 n
zn 2 n
(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此 幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同 时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的 完全明白.
f (z) = å
N-1 n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n + RN ( z ) n!
¥ 轾 1 f ( ) n 其中 RN ( z ) = 犏 ( z a ) d ò å n+1 2πi K 犏 n= N ( - a ) 臌
若 lim RN ( z ) 0,
N
2.复变函数展为泰勒级数的实用范围要比实变函数
广阔的多;
因为f(z)解析，可以保证无限次各阶导数的连续性;
3. 如果 f(z) 在D内有奇点，则d 等于 a 到最近一个 奇点 z0之间的距离，即 d＝|z0-a| ;
4. 当a＝0时，级数称为麦克劳林级数; 5.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.
可知在K内
f (z) = å
¥
n =0
f ( n ) ( z0 ) ( z - a )n n!
即 f ( z ) 在 K 内可以用幂级数来表示,
令
z- a z- a = =q -a r
f ( z ) 在 D ( K D) 内解析, 则在K上连续, 因此 f ( ) 在 K 上也连续, f ( ) 在 K 上有界,
即：
f ( p) ( z) p!c p ( p 1) p 2c p1 ( z a)
n(n 1) (n p 1)cn ( z a)
n p
(p=1,2,…) (3)
f ( p ) (a ) cp p!
(4.6) (4.7)
2 n Βιβλιοθήκη Baidu1 z3 z5 z 4) sin z z ( 1)n , ( z ) 3! 5! ( 2n 1)!
2n z2 z4 z 5) cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( z )
z z n z 6) ln(1 z ) z ( 1) , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
附: 常见函数的泰勒展开式
z z z 1) e 1 z , 2! n! n 0 n!
z 2 n n
( z )
1 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0
1 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , ( z 1) 1 z n 0
例如，
利用间接展开法求sin z 在 z 0 的泰勒展开式 .
1 iz iz sin z (e e ) 2i
1 ( iz )n ( iz )n 2i n0 n! n0 n!
2 n 1 z ( 1)n ( 2n 1)! n 0
在 K 上 f ( ) M .
即存在一个正常数M,
1 RN ( z ) ? ò 2π K
¥
f ( ) n ( z a ) ds å n+1 n = N ( - a )
n
轾 ¥ f ( ) z - a 1 犏 £ ò å 2π K 犏 n= N - a - a 犏 臌
ds
Mq N 1 M n . q 2 r 1 q 2 n N r
为 D 内以 a 为中心的任一圆周,
a r
它与它的内部全包含于 D, 记为 K ,
如图: .z
K 内任意点
区域D
a. r
D
.
K
圆周 a r
由柯西积分公式 , 有
1 f ( ) f (z) d , 其中 K 取正方向. 2π i K z
因为积分变量 取在圆周 K 上, 点 z 在 K 的内部,
证明：设 f ( z ) 在 z0 已被展开成幂级数:
f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 a n ( z z 0 ) ,
n
那末 即
f ( z0 ) a0 , f ( z0 ) a1 ,
1 ( n) a n f ( z 0 ) , n!
(p=0,1,2,…).
第三节 解析函数的泰勒展式
1
2 3 4
泰勒定理 将函数展开成泰勒级数 典型例题
小结与思考
问题: 任意一个解析函数能否用幂级数来表达？ 答案是肯定的。
1. 泰勒(Taylor)定理
定理4.14 (泰勒定理) 设f(z)在区域D内解析,a∈D,只
要K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数
z a
n
(0 R, n 0,1, 2, ).
n c ( z a ) 定理4.16 如果幂级数 n n 0
的收敛半径R>0, 且
f ( z ) c n ( z a ) n , ( z K :| z a | R )
n0
则f(z)在收敛圆周C：|z-a|=R上至少有一奇点，
推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在 以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.
定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于
cn 1 lim l , 或 lim n | cn | l , 或 n c n n
lim n cn l ,
n
则幂级数
7) (1 z ) 1 z
2
3
n 1
( 1)
2! 3! ( 1)( n 1) n z , n!
z
1 2 4 6 1 x x x 2 1 x
二、将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法. 1. 直接法: 由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.
例如，求 e z 在 z 0 的泰勒展开式 .
即不可能有这样的函数F(z)存在， 它在|z-a|<R内与f(z)恒等，而在C上处处解析.
证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都 是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.
根据有限覆盖定理,我们就可 以在这些圆O中选取有限个 将圆O覆盖了.这有限个圆将 构成一个区域G,用ρ>0表示C 到G的边界的距离(参看第三 章定理3.3注).于是F(z)在较 圆K大的同心圆
因为(e z )( n) e z ,
(e z )( n )
z 0
1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n
故有
z z z e 1 z 2! n! n 0 n!
z
因为 e z 在复平面内处处解析 ,
所以级数的收敛半径 R .
. 仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0 的泰勒展开式
（4.8）称为f(z)在点a的泰勒展式， （4.9）称为其泰勒系数， （4.8）中的级数称为泰勒级数。
其中:
1 f ( ) 1 (n) cn d f (a), n 0,1,2, n 1 2 i C ( a) n!
C为该邻域内任意一条包围a的正向简单闭曲线。
证明: 设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
z1
a
K :|z-a|<R+ρ内是解析 / 的.于是F(z)在K 可开为 泰勒级数 . 但因在 |z-a|<R 中 F(z) 恒 等 于 f(z), 故 在 z=a处它们以及各阶导数 有相同的值。因此级数
n 0
/
z2
z3
z2
z5 z2
z1 z10
a
z8
z6
z9
n c ( z a ) n 也是F(z)的泰勒级数
¥
1 于是 f ( z ) n 0 2 πi
N 1
f ( )d n ( z a ) n1 ( a ) K
¥ 1 轾 f ( ) n 犏 + ( z a ) d . ò å n+1 2πi K 犏 n = N ( - a ) 臌
由高阶导数公式, 上式又可写成
N
lim q N 0
lim RN ( z ) 0 在 K 内成立, N
¥
从而在K内 f ( z ) = å
n =0
f ( n ) (a ) ( z - a )n n!
f ( z )在收敛圆内的泰勒级数.
函数 f ( z ) 在收敛圆内的泰勒展开式
说明：
1. 圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内成立。
za 所以 1. a
则
1 1 1 = - z - a 1- z - a -a
1 é z- a z- a 2 ê = 1+ ( ) +( ) + - aê -a ë -a
z- a n +( ) + -a
ù ú ú û
1 n =å ( z a ) . n+1 n =0 ( - a )