分析力学典型例题

r vO
理论物理导论
OA作平面运动。选O为基点，A为动点，则 作平面运动。 为基点， 为动点 为动点， 作平面运动 为基点 r r r v A = vO + v AO & 其中， 其中， vO = rϕ , v AO = lθ& 易知
2 & & & v A = (rϕ + lθ cosθ ) 2 + (lθ sin θ ) 2 & & && = r 2ϕ 2 + l 2θ 2 + 2rlϕθ cosθ
d ∂L ∂L d & & ( )− = [(m1 + m2 + m3 )q1 + (m3 − m2 )q2 ] + (m1 − m2 − m3 ) g = 0 & dt ∂q1 ∂q1 dt d ∂L ∂L d & & ( )− = [( m2 + m3 ) q2 + (m3 − m2 )q1 ] + (m2 − m3 ) g = 0 & dt ∂q2 ∂q2 dt
A
q1
B
因三个重物， 因三个重物，在同一平面作一维运动 m1 需3个参量描述，两个绳长固定 个参量描述， 只需2个独立坐标 只需2个独立坐标q1，q2 m2 m3 q2
理论物理导论
建立如图所示的一维坐标系Ox 解： 建立如图所示的一维坐标系 三重物分别对应的坐标为x 三重物分别对应的坐标为 1， x2 ， x3 设滑轮A、 半周长分别为 半周长分别为s 设滑轮 、B半周长分别为 1和s2 滑轮A、 上的绳长分别为 上的绳长分别为l 滑轮 、B上的绳长分别为 1和l2 由图中几何关系有： 由图中几何关系有：
理论物理导论
体系的拉格朗日函数为： 体系的拉格朗日函数为： 1 1 2 & & && L = T − V = (m1 + m2 + m3 )q1 + (m2 + m3 )q2 2 + (m3 − m2 )q1q2 2 2 −(m1 − m2 − m3 ) gq1 − (m2 − m3 ) gq2 − V0 代入拉格朗日方程组有： 代入拉格朗日方程组有：
理论物理导论
例2（典型例题选讲） （典型例题选讲） 图示系统。均质滚子 、滑轮B重量和半 图示系统。均质滚子A、滑轮 重量和半 径均为Q和 ，滚子纯滚动， 径均为 和r，滚子纯滚动，三角块固定 不动， 重物重量P。 不动，倾角为α，重物重量 。试用拉格 朗日方程求滚子质心加速度。 朗日方程求滚子质心加速度。 分析： ： 系统为1个自由度保守系统，故用 系统为 个自由度保守系统， 个自由度保守系统 保守系统拉格朗日方程求解： 保守系统拉格朗日方程求解：
r vO
ϕ
r v AO
整理得
A
2ml & & & (θ 2 sin θ − θ& cosθ ) ϕ& = (3M + 2m)r (3M + 2m sin 2 θ )lθ& + mlθ 2 sin 2θ + (3M + 2m) g sin θ = 0 & &
r vO
非线性常微分方程ODE，nonlinear ordinary 非线性常微分方程 differential equation一般无解析解。 一般无解析解。 一般无解析解
s
ω
O
ε
B
ω
C
Q v a s
势能为： 势能为：
V = Ps − Q ⋅ s sin α
L = T −V =
α
Q
P
则拉格朗日函数： 则拉格朗日函数： 拉格朗日方程： 拉格朗日方程：
其中 则 即
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂s ∂s d ∂L d P + 2Q P + 2Q &= && = s s & dt ∂s dt g g P + 2Q && − (− P + Q sin α ) = 0 s g Q sin α − P aC = g P + 2Q
r vO
ϕ
d ∂L ∂L − = 0 α =1,2,L, k & dt ∂qα ∂qα
此时， 此时，k = 2。 。
A
r v AO
先选广义坐标， 先选广义坐标，再写任意位置下系统的拉格朗 日函数，由上式可写2个方程 即为所求。 个方程， 日函数，由上式可写 个方程，即为所求。 解： ： 研究整个系统， 为方便，设为如图方向） 研究整个系统，选滚子转角ϕ（注：为方便，设为如图方向）、摆转角θ 为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。 为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。
A s
ω
O
ε
B
ω
C
Q v a s
ε
d ∂L ∂L − = 0 α =1,2,L, k & dt ∂qα ∂qα
aC
vC
α
Q
P
此时， 此时，k = 1。 。
写任意位置下系统的拉格朗日函数（ ），由 选广义坐标 s ，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L = T －V ），由 s 即为所求。 上式可写1个方程 个方程， 上式可写 个方程，其中所含待求量 && 即为所求。
x1 = l1 − s1 − q1 x2 = q1 + l2 − s2 − q2 x3 = q1 + q2 & & x1 = −q1
O
A
q1
B
q2
x
m2
m3
重物 速度
& & & x2 = q1 − q2 & & & x3 = q1 + q2
理论物理导论
不计滑轮和绳了的质量，那么体系的动能为： 不计滑轮和绳了的质量，那么体系的动能为： 1 1 1 2 2 & & & T = m1 x1 + m2 x2 + m3 x32 2 2 2 1 1 1 2 2 & & & & & = m1q1 + m2 (q1 − q2 ) + m3 (q1 + q2 ) 2 2 2 2 1 1 2 & & && = (m1 + m2 + m3 )q1 + (m2 + m3 )q2 2 + (m3 − m2 )q1q2 2 2 体系的势能为： 体系的势能为： V = − m1 gx1 − m2 gx2 − m3 gx3
= − m1 g (l1 − s1 − q1 ) − m2 g (q1 + l2 − s2 − q2 ) − m3 g (q1 + q2 ) = (m1 − m2 − m3 ) gq1 + (m2 − m3 ) gq2 + (m1 gs1 − m1 gl1 + m2 gs2 − m2 gl2 ) = (m1 − m2 − m3 ) gq1 + (m2 − m3 ) gq2 + V0
V = −mgl cosθ
r v AO
A
r vO
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 & & (3M + 2m)r 2ϕ 2 + mrlϕθ& cosθ + ml 2θ& 2 + mgl cosθ 4 2
理论物理导论
代入拉格朗日方程： 代入拉格朗日方程：
d dt d dt
∂L ∂L − =0 & ∂ϕ ∂ϕ ∂L ∂L − =0 & ∂θ ∂θ
&& q2 = 2m1 (m3 − m2 ) g ( m1 + 4m2 ) m3 + m1m2
解得： 解得：
所以各重物的加速度为： 所以各重物的加速度为： m1m2 − (4m2 − m1 )m3 &&1 = − q1 = && x g (m1 + 4m2 )m3 + m1m2
(4m2 − 3m1 )m3 + m1m2 &&2 = q1 − q2 = x && && g (m1 + 4m2 )m3 + m1m2 &&3 = q1 + q2 = x && && (4m2 + m1 )m3 − 3m1m2 g (m1 + 4m2 )m3 + m1m2
P + 2Q 2 & s − Ps + Qs sin α 2g
∂L = − P + Q sin α ∂s Q sin α − P && = s g P + 2Q
理论物理导论
事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面 个自由度系统的 事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面1个自由度系统的 动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。 动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。 自由度系统， 例3（2自由度系统，较难） （ 自由度系统 较难） 已知：均质圆柱质量为 ，半径r，纯滚动； 已知：均质圆柱质量为M，半径 ，纯滚动；摆 长l，不计质量；小球视为集中质量，质量 。 ，不计质量；小球视为集中质量，质量m。 试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。 试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。 分析： ： 为2自由度保守系统。用拉氏方程求解： 自由度保守系统。用拉氏方程求解： 自由度保守系统
r vO
ϕ
质点系动能： 质点系动能： 1 11 1 2 2 & T = MvO + Mr 2ϕ 2 + mv A 2 22 2 1 1 & & && = (3M + 2m)r 2ϕ 2 + mrlϕθ cosθ + ml 2θ 2 4 2 点所在水平面为0势能面 选O点所在水平面为 势能面，系统势能为 点所在水平面为 势能面， 拉格朗日函数： L = T − V = 拉格朗日函数：
理论物理导论
解： 设重物从静止上升 ，选s为广义坐标。 ： 设重物从静止上升s， 为广义坐标 为广义坐标。 在任意位置时系统动能： 在任意位置时系统动能：
1P 2 11Q 2 2 1Q 2 11Q 2 2 v + r ω + vC + r ω 2g 22 g 2g 22 g A P + 2Q 2 P + 2Q 2 ε & = v = s 2g 2g vC aC 设系统起始位置为0势能位置 势能位置， 设系统起始位置为 势能位置，系统 T=
理论物理导论
典型例题选讲1 典型例题选讲
如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为 如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和 m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子 试分别求出这三个重物加速度的大小。 的质量可忽略不计。 的质量可忽略不计。 分析： 理想约束，利用拉格朗日方程组求解 分析： 理想约束， 关键是找出广义坐标， 关键是找出广义坐标，滑轮及绳质量不计
&& && 化简为： ( m1 + m2 + m3 ) q1 + ( m3 − m2 ) q2 + (m1 − m2 − m3 ) g = 0 化简为： && && (m2 + m3 )q2 + ( m3 − m2 ) q1 + ( m2 − m3 ) g = 0
理论物理导论
(4m2 − m1 )m3 − m1m2 && q1 = g (m1 + 4m2 )m3 + m1m2