高三数学熟悉的扩充与复数的引入单元测试题及答案解析
最新精编高中数学单元测试试题-数系的扩充与复数的引入专题测试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 数系的扩充与复数的引入专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2010天津理1）2．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i （2010四川理数1） 解析：由复数性质知：i 2＝－1故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－13．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆（2004北京理）（2）4．i 是虚数单位，复数734i i+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+5．已知z 1=2－i,z 2=1+3i ，则复数5i 21z z +的虚部为 A.1 B.－1 C.iD.－i分析:本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后求解.同时注意复数的虚部是i 的系数. 解：5i 31i 21i 315i)2i 5i 31i 2i 5z i 2+++-=+++=++=+55(-1z =i. 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．复数21i (1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ．7．复数i c c z z i z )62(,0,43321-+==+=在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC ∠ 是钝角，则实数c 的取值范围为 ．8．复数10)11(i i +-的值是 ．9．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是(10．在复平面内，复数1－i 1＋i对应的点与原点之间的距离是 ▲ ．11．已知复数 z 1=m +2i ，z 2=3-4i ，若 z 1 z 2 为实数，则实数m 的值为 。
2022高考数学(人教A版)单元测试卷——第19单元 数系的扩充与复数的引入(含答案)
2022高考数学单元测试卷第19单元数系的扩充与复数的引入1、已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（）A．B．C．D2、已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3、已知复数，复数对应的点为,为坐标原点，则向量的坐标为（）A．B．C．D．4、设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（）A．B．C．D．5、设复数，则（）A．4 B．2 C．D．16、记I为虚数集，设，，。
则下列类比所得的结论正确的是( ) A．由，类比得B．由，类比得C．由，类比得D．由，类比得7、若z是复数，且(为虚数单位)，则z的值为（）A． B. C. D.8、（是实数）已知，则（）A．10 B．8 C．6 D．9、下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1-i)2B. i2(1+i)C. (1-i)2D. i(1+i)10、若是虚数单位，则的值分别等于（）A．3，-2 B．3，2 C．3，-3 D．-1，411、设是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为（）A．B．C．D．12( )A. B. C. D.13、若复数满足（为虚数单位），则等于14_____________.15、设为虚数单位,集合,集合,则____.16在复平面上的对应点位于第象限．17、计算（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）18、设ω＝－＋i.(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．19、已知复数z满足|z|=，的虚部为2.（1）求z；（2）设z，，在复平面对应的点分别为A，B，C，求的面积.参考答案1、答案A2、答案C3、答案D4、答案A5、答案C6、答案B7、答案B8、答案A9、答案C10、答案A11、答案C12、答案C13、答案14、答案—115、答案16、答案一复数，对应的点为位于第一象限.17、答案－20＋15i（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i）（－2＋i）＝－20＋15i。
精选最新版高中数学单元测试试题-数系的扩充与复数的引入专题模拟考试(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 数系的扩充与复数的引入专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设i 是虚数单位,_z 是复数z 的共轭复数,若|()>0I x f x =+2=2z zi ,则z =（ ） A ．1+i B ．1i -C ．1+i -D ．1-i -（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））2．在复平面内，复数1ii +＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限(2005浙江理)3．当231<<m 时，复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(2004北京春季理)（2）4．若a,b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ）A.a=1,b=1 B ．a=-1,b=1 C ．a=-1,b= -1 D ．a=1,b=-1（2011湖南理1）5．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z += ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ． 1i + （2009浙江卷理）6．i 是虚数单位，复数32i23i +-等于( )A ．iB ．i -C ．1213i -D ．1213i +第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题7． 复数21i-的共轭复数为 ▲ ． 8．复数32()z bi b R =+∈，z 对应的点在直线1y x =+上，则b= ．9．计算cos20cos40cos80=__________；10．若复数2i1i 3-+=a z （R ∈a ，i 是虚数单位），且z 是纯虚数，则|i 2|+a =___________ 11．已知复数ai z +-=11，i b z 32-=，R b a ∈,，且21z z +与21z z ⋅ 均为实数，则=21z z ____▲____．12．若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = ▲ .13．给出下列复数：①-2i ，②3+28i ，④sin i π，⑤4i +，⑥7i +；其中表示实数的个数有填上序号14．复数z =(13i)i +(i 是虚数单位)，则z 的实部是 ▲ ．15．复数2i 1iz =-(i 为虚数单位)的实部是 .16．若复数2i 1i m +-(,m ∈R i 是虚数单位）为纯虚数，则m = ．17．已知复数z=3-4i,则复数z 的实部和虚部之和为_____________18．如果复数z 满足1z =，那么|23|i z +-的最大值是 ▲ ．19．在复平面内，复数6+5i , -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是_______▲_________.20．设i 是虚数单位，若ai iz ++=11是实数，则实数=a 。
上海控江中学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A ．21-B ．22-C ．21+D ．22+2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．54．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．-2D ．23-5．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 3B 6C ．6D ．37．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -9．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0二、填空题13．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________.14．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值. 23．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i24．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？ （4）z 对应的点位于复平面第二象限？ （5）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 25．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值. 26．已知z 是复数，z i +和1zi-都是实数， （1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，则z =，所以1p 是错误的；22(1)2z i i =--=，所以2p 是正确的；z 的共轭复数为1i -+，所以3p 是错误的； z 的虚部为1-，所以4p 是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 9．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由题意可得：4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.二、填空题13．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题 解析：10081009i +【分析】 将232017232017i i i i ++++视为数列{}nni的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果. 【详解】232017232017i i i i ++++为数列{}nni的前2017项的和2017S，则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++，上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i ii⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i iS i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题解析：（1）（2）21a -<<-.【解析】试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围． 试题（1）由230a -=，得3a =± （2）由条件得，2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解得21a -<<-．考点：复数的概念，复数的几何意义．【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．（12）12m =. 【分析】（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，根据实数的定义求得结果.【详解】 （1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠） 则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-整理可得：222a b +=z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.23．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0ab 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0． （2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0， 即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩ 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．24．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-， 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.25．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.26．（1）1z i =-；（2）m i =-.【分析】（1）设z a bi =+，化简z i +和1z i -，若为实数，则虚部为零；（2）设m di =，根据复数相等计算.【详解】（1）设z a bi =+，则(1)z i a b i +=++，122z a b a b i i -+=+- 若z i +和1z i -都是实数，则1002b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，1b =-， 所以1z i =-.（2）设m di =，则方程为2(2)(31)0x x i di i +---=，即223(1)0x x d x i +++-=，若方程有实数根，则223010x x d x ⎧++=⎨-=⎩，解得1x =，1d =-， 所以，纯虚数m i =-.【点睛】本题考查复数的性质和运算.注意区分虚数、纯虚数、复数等概念.。
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第三章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是( ) A．复数的模是正实数 B．虚轴上的点与纯虚数一一对应 C．相等的向量对应着相等的复数 D．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 解析 复数的模可能为0，故A项错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B项错．复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C项正确．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故D项错． 答案 C 2．下列命题：①复数a＋bi不是实数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数． 其中正确的命题有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析 ①中没有说明a，b∈R，所以当b＝0时，a＋bi可能是实数；②中当x＝－2时，不正确；③中没有说明a，b∈R，所以不正确；因此三个命题都不正确． 答案 A 3．若n是大于2000的奇数，则复数(1＋i1－i)2n＋(1－i1＋i)2n的值是( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
解析 (1＋i1－i)2n＋(1－i1＋i)2n
＝(2i－2i)n＋(－2i2i)n ＝(－1)n＋(－1)n＝2(－1)n. ∵n是大于2000的奇数， ∴原式＝－2. 答案 B
4．复数z＝aa＋2a－1＋(a2＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为( ) A．a＝0 B．a＝0且a≠－1 C．a＝0或a＝－2 D．a≠1或a≠－3
解析 依题意得 aa＋2a－1＝0，a2＋2a－3≠0， 解得a＝0，或a＝－2. 答案 C
5．复数1＋2i23－4i的值是( ) A．－1 B．1 C．－i D．i
解析 1＋2i23－4i＝－3＋4i3－4i＝－1. 答案 A 6．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于( ) A．2i B．i C．－i D．－2i 解析 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2＋bi1＋i1－i1＋i ＝12[(2－b)＋(2＋b)i]． ∵z＋21－i∈R， ∴2＋b＝0，b＝－2， ∴z＝－2i. 答案 D 7．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 复数z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，在复平面内z的
对应点M在第四象限的充要条件是 a＋2>0，a－2<0.即－21”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件． 答案 A 8．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝12(i＋1)＝12＋12i， ∴复数z的对应点在第一象限． 答案 A
9．复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝( ) A．0 B．2 C．－2i D．2i
解析 3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i＋i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i. 答案 D 10．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件1 －1z zi＝4＋2i的复数z为( ) A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
解析 依题意知，1 －1z zi＝zi＋z＝4＋2i， ∵z(1＋i)＝4＋2i， ∴z＝4＋2i1＋i＝(2＋i)(1－i)＝3－i. 答案 A 11．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于( ) A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i 解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁琐，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i. 答案 C 12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 解析 ∵z＝x＋yi，(x，y∈R)， 则z＝x－yi，∴z－z＝2yi. ∴|z－z|＝|2y|≥2y，故A，C项错． 又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B项错．因此，正确答案为D. 答案 D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．
解析 ∵2＋i1＋i＝2＋i1－i1＋i1－i＝3－i2＝32－12i， ∴共轭复数为32＋12i. 答案 32＋12i 14．若z1＝1＋i，z1·z－2＝2，则z2＝__________. 解析 ∵z1＝1＋i，z1·z－2＝2， ∴z－2＝21＋i＝1－i. ∴z2＝1＋i. 答案 1＋i 15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________． 解析 ∵(z1－z2)i＝[4＋29i－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， ∴(z1－z2)i的实部是－20. 答案 －20 16．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________. 解析 设z1＝2－3i的对应点为A，则A的坐标为(2，－3)，A关于原点对称的坐标为B(－2,3)，则B对应的复数为z2＝－2＋3i. 答案 －2＋3i 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)要使复数z＝a2－a－6＋a2＋2a－15a2－4i为纯虚数，实数a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由． 解 若z为纯虚数，则
a2－a－6＝0， ①a2＋2a－15a2－4≠0， ②
由①解得a＝3，或a＝－2， 分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a. 18．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量AC→对应的复数是－2－4i，向量BC→对应的复数是－4－i，求点B对应的复数．
解 ∵AC→对应的复数是－2－4i，BC→对应的复数是－4－i， 又∵AB→＝AC→－BC→，∴AB→对应的复数为(－2－4i)－(－4－i)＝2－3i.
又OA→对应的复数是3＋i，OB→＝OA→＋AB→. ∴OB→对应的复数是(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i. 即点B对应的复数是5－2i. 19．(12分)已知虚数z满足|z|＝2，且(z－a)2＝a，求实数a. 解 设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)， 则(z－a)2＝(x＋yi－a)2 ＝(x－a)2－y2＋2y(x－a)i. 又(z－a)2＝a，|z|＝2，
∴ x－a2－y2＝a，2yx－a＝0，x2＋y2＝2. 解得a＝－1. 20．(12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2， (1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi. 由题意得a2＋b2＝2，且2ab＝2. 解得a＝b＝1或a＝b＝－1.∴z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i. ∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝12×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， ∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝12×2×1＝1. 故△ABC的面积为1. 21．(12分)设w＝－12＋32i， (1)求证：1＋w＋w2＝0； (2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解 (1)证明：∵w＝－12＋32i， ∴w2＝(－12＋32i)2 ＝14＋2(－12)(32i)＋(32i)2 ＝14－32i－34 ＝－12－32i， ∴1＋w＋w2＝1－12＋32i－12－32i＝0. (2)由1＋w＋w2＝0知， (w－1)(1＋w＋w2)＝0， ∴w3－1＝0，∴w3＝1. ∴(1＋w－w2)(1－w＋w2) ＝(－2w2)(－2w) ＝4w3＝4. 22．(12分)设z1，z2∈C， (1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2； (2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|. 解 (1)证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2 ＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2 ＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2 ＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2 ＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)， 又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)， 故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2. (2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2， ∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52. ∴|z1－z2|2＝68－36＝32. ∴|z1－z2|＝42.