2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题二_三角函数、平面向量
高考数学二轮复习 专题5 平面向量
2012届高考数学二轮复习专题五 平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。
能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。
这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122()()λλλλa x y x y →==1111，，()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
2012届高考理科数学第二轮总复习专题导练：平面向量及其运算最新版
1
[0，2 ) 3
P2：a b
1
(2，] 3
P3：a
b
1
[0， ) 3
P4：a b
1
(，] 3
其 中 的 真 命 题 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解 析 ： 由 | a b | 1可 得 a 2 2a b b 2 1， 因 为 a与 b
ka b k 2 2kcos 1,因 为 ka b ka b ， 所 以 k 2 2kcos 1 k 2 2 kcos 1， 有 2kcos 2 kcos ， 因 为 k 0， 故 cos 0， 又 因 为 0 ，0 ， 所 以 .
分析：因为两向量垂直的充要条件是其数量积 等于0，故只需检验其数量积即可；第(2)问由 条件出发，利用模公式运算．
解析：1因为 a b a b
a2 a b ba b2 a2 b2 a 2 b 2
(cos2 sin 2 ) (cos2 sin 2 )
所以k16. 13
2设d (x, y)，则d c (x4，y1)，ab 2,4，
由题意得4xx4422y y11250，
得xy
31或xy
5 .
3
所以d (3，1)或5,3．
例2 如图所示，在ABO中，
OC 1 OA，OD 1 OB，AD与
变 式 2 . 在 A B C 中 ， C D 2 D B ， 设 A D m A B n A C (m ， n 为 实 数 )， 则 m n _ _ _ _ _ _ _ _ .
高考数学二轮复习(浙江专用)训练：专题二三角函数与平面向量第2讲Word版含解析
一、选择题已知α∈R ，sinα＋2cosα ＝10，则 tan 2α等于 ()1.243 A. 3 B.434 C.－4 D.－3分析∵ sin αα10＋2cos ＝2，225∴sinα＋4sinα·cos α＋ 4cosα＝2.用降幂公式化简得 4sin 2α＝－ 3cos 2α，sin 2α3∴tan 2α＝＝－.应选 C.cos 2α4答案C2.(2016 宁·波二模 )已知锐角△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，23cos2A ＋ cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则 b＝ ()A.10B.9C.8D.5分析化简 23cos2＋＝，A cos 2A 0得 23cos2A＋ 2cos2A－ 1＝ 0，又角 A 为锐角，1解得 cos A＝5，由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 b＝5.答案Dπ13.(2016 全·国Ⅲ卷)在△ ABC 中，B＝4，BC 边上的高等于3BC，则 cos A＝()31010A. 10B. 1010310C.－10D.－10分析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π124，＝，＝，BD3BC DC3BCtan ∠BAD ＝ 1， tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋2＝－ 3，所以 cos A ＝－101－1×2 10 .答案Cπ π ，且 tan α＝ 1＋sin β4.(2014 新·课标全国 Ⅰ 卷)设 α∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2 cos β ，则 ()ππA.3 α －β＝ 2B.2α－β＝ 2ππC.3α ＋β＝ 2D.2α＋β＝ 2分析由 tanα1＋sin β sin α 1＋sin βcos β 得 ＝ ，＝cos βcos α即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，π∴sin(α－β)＝ cos α＝sin 2－α.π π ∵α∈0， 2，β∈0， 2，π π ππ∴α－β∈ －2，2 ， 2－α∈ 0， 2 ，∴由sin(α－ β)＝sinππ2 －α，得 α－ β＝ 2－ α，π∴2α－β＝ 2.答案 B 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 ， ， 若 2＝ (a － b)2 ＋6，C5. a b c. cπ ，则△ ABC 的面积是 ( )＝ 39 3A.3B.23 3C. 2D.3 3分析 c 2＝ － 2＋ ，即2＝ 2＋b 2－＋ ①(a b)6 c a 2ab 6 .π222∵C＝3，由余弦定理得c＝a ＋b－ab②，由①和②得△ABC11×6×3＝33，应选ab＝6，∴S＝2absin C＝222 C.答案C二、填空题6.在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ ABC 的面积为，－＝，cosA ＝－1，则 a 的值为 ________.3 15 b c24＝15，分析∵cos A＝－1，＜＜π，∴40A sin A4△111515，∴bc＝ 24，S ABC＝2bcsin A＝2bc×4＝3又 b－c＝ 2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋ c2＝52，由余弦定理得，2221a ＝b ＋c －2bccos A＝52－2×24× －4 ＝ 64，∴a＝8.答案87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ ________m.分析在△ABC 中， AB＝ 600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－ 30°＝45°，由正弦定理得sin BC＝∠BAC sinAB，即∠ACBBCsin 30°＝600，所以 BC＝300 2.在sin 45°Rt△BCD 中，∠CBD＝ 30°，CD＝ BCtan∠CBD＝ 300 2·tan 30°＝100 6.答案100 68.(2016 杭·州模拟 )若△ ABC 的内角知足 sin A＋2sin B＝2sin C，则 cos C 的最小值是 ________.分析∵sin A＋2sin B＝2sin C.由正弦定理可得 a ＋a ＋ 2b2b ＝2c ，即 c ＝ 2 ，22a ＋ 2b2a 2＋b 2－c 2 a ＋b － 2cos C ＝ 2ab ＝ 2ab3a 2＋ 2b 2－ 2 2ab 2 6ab －2 2ab 6－ 2 ＝ 8ab≥ 8ab ＝ 4 ，2 2a 2当且仅当 3a ＝2b 即b ＝ 3时等号建立 .6－ 2∴cos C 的最小值为.4答案6－ 24三、解答题9.(2016 北·京卷 )在△ ABC 中， a 2＋ c 2＝b 2＋ 2ac.(1)求角 B 的大小；(2)求 2cos A ＋cos C 的最大值 .解 (1)由 a 2＋ c 2＝b 2＋ 2ac 得 a 2＋ c 2－b 2＝ 2ac.a 2＋c 2－b 22ac2由余弦定理得 cos B ＝2ac ＝ 2ac ＝ 2 .又 0＜B ＜π，所以 B ＝ π4 .π 3π(2)A ＋C ＝π －B ＝π－ 4 ＝ 4 ，所以3π 3π C ＝ 4 －A ，0＜A ＜ 4 .3π所以 2cos A ＋cos C ＝ 2cos A ＋cos 4 －A3π 3π ＝ 2cos A ＋ cos 4 cos A ＋sin 4 sin A＝ 2cos A － 2 22 cos A ＋ 2 sin A2 2＝ 2 sin A ＋2 cos Aπ＝ sin A ＋ 4 ，3π π π∵ 0＜ A ＜ 4 ，∴ 4 ＜A ＋ 4 ＜ π，π π 故当 A ＋4＝2，π即 A ＝ 4 时， 2cos A ＋cos C 获得最大值为 1.10.在△ ABC 中，角 A ，B ，C 对应的边分别是 a ， b ， c.已知 cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角 A 的大小；(2)若△ ABC 的面积 S ＝ 5 3，b ＝5，求 sin Bsin C 的值 .解 (1)由 cos 2A －3cos(B ＋C)＝ 1，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即 (2cos A － 1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos A ＝2或cos A ＝－ 2(舍去 )，由于 0＜ A ＜π，所以A ＝π 3 .(2)由 1 1 S ＝ 2bcsin A ＝2bc · 3 2 ＝34 bc ＝5 3，得 bc ＝ 20，又 b ＝ 5，知 c ＝4，由余弦定理得 a 2＝ b 2 ＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故 a ＝ 21.b cbc 220 3 5又由正弦定理得 sin Bsin C ＝ a sin A ·a sin A ＝ a 2sin A ＝21×4＝ 7.2π11.(2015 山·东卷 )设 f(x)＝ sin xcos x －cos x ＋ 4 .(1)求 f(x)的单一区间；A(2)在锐角△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， c.若 f 2 ＝ 0， a ＝1，求 △ ABC 面积的最大值 .π(1)由题意知 f(x)＝sin 2x1＋ cos 2x ＋ 2解 2 － 2sin 2x 1－sin 2x 1 ＝ 2 －2＝ sin 2x －2. ππ由－2＋ 2kπ≤ 2x≤2＋ 2kπ， k∈Z,ππ 可得－ 4 ＋k π≤x ≤ 4 ＋ k π ，k ∈ Z ；π3π由 2 ＋2k π≤2x ≤ 2 ＋2k π ，k ∈ Z ，π 3π 可得 4 ＋ k π≤x ≤ 4 ＋k π，k ∈Z .ππ所以 f(x)的单一递加区间是 － 4 ＋k π， 4 ＋k π (k ∈ Z )；π 3π 单一递减区间是4 ＋ k π ， 4＋k π (k ∈Z ).A 1 1(2)由 f 2＝sin A －2＝0，得 sin A ＝ 2，3 由题意知 A 为锐角，所以 cos A ＝ 2 . 由余弦定理 a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，可得 1＋ 3bc ＝ b 2＋c 2≥2bc ，即 bc ≤ 2＋ 3，当且仅当 b ＝c 时等号建立 .12＋ 32＋ 3所以 2bcsin A ≤4 .所以△ ABC 面积的最大值为4.。
广东省2012届高考数学理二轮专题复习课件：专题2 第11课时 三角函数的化简与求值
第二十页，编辑于星期日：九点 三十六分。
2由cos(x y) 2，得cosxcosy sinxsiny 2；①
3
3
由cos(x y) 1 ， 2
得cosxcosy sinxsiny 1 .② 2
联立①②解得cosxcosy 7 ，sinxsiny 1 ，
12
12
tanxtany 1 ，即 1 =7tanx. 7 tan y
3
sin 3 6 ，求 的值．
6
切入点：考虑先求出 的某一三角函数值， 再由角的范围确定 的值．
第十页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析 是锐角，cos 6 ，sin 1 cos2
3
1 6 3 .又是锐角，sin 3 6 ，
93
6
cos
1 sin2
1 (3
且0 ，求的值．
2
第十三页，编辑于星期日：九点 三十六分。
解析
sin 4 3 ，0 ，
7
2
cos
1 sin2
1 (4
3)2 1 .
49
7
0 ， 0 .又sin( ) 3 3 ，
2
2
14
cos( ) 1 sin2 ( ) 1 (3 3)2＝13 .
专题二 三角函数、平面向量及解三 角形
第一页，编辑于星期日：九点 三十六分。
考点1 “给值求值”或“给角求值”问 题
例1 已知cos( ) 3 ，求cos(5 ) sin2 ( )的值．
6
3
6
6
切入点：先将角5 化为与角 相关的角，
6
6
然后用诱导公式．
第二页，编辑于星期日：九点 三十六分。
高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量
第一部分专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量专题强化精练提能 理1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.法一：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2OA →－OB → D ．－OA →＋2OB →解析：选C.因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.3．在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 解析：选C.由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.5．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13B ．3C.33D. 3解析：选 B.由题设知：cos 〈OC →，OA →〉＝32，所以OC →·OA →|OC →|·|OA →|＝32⇒（mOA →＋nOB →）·OA →（mOA →＋nOB →）2·|OA →|＝32⇒ m |OA →|2＋nOB →·OA→m 2|OA →|2＋2mnOA →·OB →＋n 2|OB →|2·|OA →|＝32. 因为|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，所以mm 2＋3n 2＝32⇒m 2＝9n 2⇒m 2n 2＝9，又因为点C 在∠AOB 内，所以m ＞0，n ＞0，所以mn＝3，故选B.6．(2015·聊城市第一次质量预测)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2，4] C ．[3，6] D ．[4，6]解析：选D.记MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →，CM →·CN →＝14[(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2]＝CE →2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，|CE →|的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋（2）2＝132，因此CM →·CN →的取值范围是[4，6]，选D. 7．(2014·高考北京卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：因为λa ＋b ＝0，所以λa ＝－b ，所以|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5，所以|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，所以|λ|＝ 5. 答案： 58．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：39. (2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB→＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.答案：2210．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．解析：由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫32e 1－12e 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.答案：π211. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求cos ∠BAD ；(2)设AC →＝xAB →＋yAD →，求x ，y 的值． 解：(1)设∠CAB ＝α，∠CAD ＝β，cos α＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝120130＝1213，cos β＝35，所以sin α＝513，sin β＝45，所以cos ∠BAD ＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. (2)由AC →＝xAB →＋yAD →得⎩⎪⎨⎪⎧AC →·AB →＝xAB →2＋yAD →·AB →，AC →·AD →＝xAB →·AD →＋yAD →2，所以⎩⎪⎨⎪⎧120＝169x ＋16y ，30＝16x ＋25y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4063，y ＝5063.12．(2015·山师附中质检)已知向量m ＝(cos A ，－sin A )，n ＝(cos B ，sin B )，m ·n＝cos 2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角．(1)求角C 的大小；(2)若AB ＝6，且CA →·CB →＝18，求AC ，BC 的长． 解：(1)m ·n ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝－cos C ＝cos 2C ，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，故cos C ＝12或cos C ＝－1.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为CA →·CB →＝18，所以CA ·CB ＝36，①由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos π3，及AB ＝6得，AC ＋BC ＝12，②由①②解得AC ＝6，BC ＝6.13．(2015·南平模拟)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．解：(1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y ＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80. 由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.14．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．(1)若α－β＝π6且λ＝1，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．解：(1)当λ＝1时，OA →＝(cos α，sin α)， 故|OA →|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OB →|＝（－sin β）2＋cos 2β＝1. OA →·OB →＝cos α(－sin β)＋sin αcos β＝sin(α－β)＝sin π6＝12，故cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝12.又因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]，所以〈OA →，OB →〉＝π3.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－λcos α－sin β，－λsin α＋cos β)， |AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β都成立，即(－λcos α－sin β)2＋(－λsin α＋cos β)2≥4对任意实数α，β都成立，整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立． 因为－1≤sin(β－α)≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ>0，λ2＋1－2λ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，λ2＋1＋2λ≥4，解得λ≥3或λ≤－3.所以所求实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．。
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。
2012年数学高考试题+模拟新题分类汇编：专题F 平面向量(理科).pdf
第 21 课《民族工业的曲折发展》 班级 姓名 小组 编号 一、学习目标：了解：1.中国民族工业兴起和初步发展的时间；2.第一次世界大战期间中国民族工业短暂春天的原因、概括；3.著名实业家张謇、周学熙、荣宗敬、荣德生；4.南京国民政府时期中国民族工业的兴衰。
二、课堂目标重难点： 1.重点:张謇办实业和近代民族工业曲折发展的概况。
2.难点：分析近代民族工业曲折发展的原因。
三、自主学习教材第105---109页，完成下列练习： 1.民族工业的发展历程 （1）兴起： 19世纪（ ）年代。
（2）初步发展：（ ）世纪末。
（3）短暂的春天：（ ）革命后，特别是（ ）期间。
（4）逐渐萎缩：（ ）结束后，（ ）卷土重来。
（5）较大发展：（ ）政府前期，通过改订新约，在一定程度上提高了关税自主权。
同时，实行（）和（ ）的改革，推行了一系列发展（ ）的措施，中国的（ ）有了较大的发展。
（6）摧残：（ ）时期。
（7）纷纷破产：（ ）后。
2.著名民族实业家 （1）张謇：19世纪末，他在（ ）创办（ ），“一战”期间，该企业发展很快。
（2）周学熙：他是与张謇齐名的实业家，人称（“ ”）。
（3）荣氏兄弟：他们创办了上海（ ）纺织公司和（ ）面粉公司企业，成为当时国内最大的民族资本企业集团。
四 课堂检测反馈练习： 1911年至1919年中国面粉业发展情况比较表 时间面粉厂和机器坊（家）资本（万元）日产（万袋）1911年406004.31919年120450018.8请回答：（1）材料中的数据变化说明了什么问题？ 1911年—1919年出现了一个兴办（ ）的浪潮，中国的（ ）得到一个发展的机会，进入了（“”）。
（2）数据变化的原因是什么？ ）革命的成功，冲击了（ ）制度，使民族资产阶级一度受到鼓舞，1914—1918年第一次（ ）大战期间，（ ）主要列强忙于（ ），无暇顾及，暂时（ ）了对中国的（ ）掠夺。
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
2012年高考数学二轮复习 专题05 平面向量精品资料(学生版)
2012届高考数学二轮复习资料 专题五 平面向量（学生版）【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类: (1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；4.两个向量夹角的范围是:[0,]π;5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件. 【考点在线】考点一 向量概念及运算例1.(2011年高考山东卷理科12)设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( ) (A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点 (C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上练习1: (2011年高考广东卷文科3)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ= （ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 考点二 平面向量的数量积已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 【易错专区】问题：向量运算例. (山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟理科)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足（AB －BC）·（AD －CD ）＝0，则三角形ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【考题回放】1.（2011年高考全国卷文科3)设向量a b 、满足|a |=|b |=1, a b ⋅ 1=2-,则2a b +=( )（A （B （C （D 2.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）123. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF4．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为( )(A) 4-3-4-+3-+5．（2010年高考全国卷Ⅱ文科10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB= a ,CA = b ,a = 1 ，b = 2, 则CD=( )（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 6．（2010年高考四川卷文科6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC = ， AB AC AB AC +=- ，则AM=( )（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）17．（2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=___.8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b （-1,2），则a·b 等于_____________.9．（2011年高考湖南卷文科13)设向量,a b 满足||(2,1),a b == 且a b 与的方向相反，则a的坐标为 ．10.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ取值范围是 . 11. (2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=,AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .(D)2222()()||||a b a b a b +∙=2．（2010年高考天津卷文科9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，BC BD ，1AD =，则AC AD ⋅=( )（A ）（B（C （D 3．（2010年高考福建卷文科8）若向量(x,3)(x )a R =∈，则“x 4=”是“||5a =”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．（2010年高考福建卷文科11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为( )A.2B.3C.6D.85．（2010年高考北京卷理科6）a 、b 为非零向量。
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2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题二 三角函数、平面向量1．（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）2(sin 22.5cos22.5)︒+︒的值为（ ）A ．12-B ．12+ C1D ．2【答案】 B【解析】本题主要考查同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式. 属于基础知识、基本运算的考查.2(sin 22.5cos22.5)︒+︒＝22sin 22.52sin 22.5sin 22.5cos 22.51sin 451︒︒︒︒︒++=+=2. (2012三明市普通高中高三上学期联考文)右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y 【答案】B 【解析】由于最大值为2，所以A=2;又52()2212122T T πππππωω=--=⇒=⇒=⇒= ∴2sin(2)y x ϕ=+，将12x π=代入得sin()16πϕ+=，结合点的位置，知623πππϕϕ+=⇒=，∴函数的解析式为可为2sin(2)3y x π=+3.(2012三明市普通高中高三上学期联考文)关于x的方程20ax bx c ++=，（其中a 、b 、c 都是非零平面向量），且a 、b 不共线，则该方程的解的情况是A.至多有一个解B.至少有一个解C.至多有两个解D.可能有无数个解【答案】A【解析】本题主要考查平面向量的基本定理、向量相等以及方程的解的相关知识，属于基础知识、基本计算的考查.由已知，x 是实数。
关于x 的方程20ax bx c ++= ，（其中a 、b 、c 都是非零向量）可化为2c x a xb =-- ，a 、b 不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对（m ，n ）使c ma nb =- 。
于是22x m x mx n x n⎧⎧-==-⇒⎨⎨-==-⎩⎩，至多有一个解。
4．(2012厦门市高三上学期期末质检文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1,－2)共线，则实数λ等于A .－2B . －31 C .－1 D .－32【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的共线的性质. 属于基础知识、基本运算的考查. λa ＋b ＝(λ＋2,2λ)，向量λa ＋b 与向量c ＝(1,－2)共线，∴（λ＋2）×（－2）＝2λ×1， ∴λ＝－15．(2012厦门市高三上学期期末质检文)3=，1=，0=，∠AOP ＝6π，若,t +=，则实数t 等于A .31 B .33 C .3D .3【答案】B【解析】本题主要考查向量的相等、向量的数量积公式. 属于基础知识、基本运算的考查.0=，∴∠AOB ＝2π； ∵ ∠AOP ＝6π， ∴∠BOP ＝3π若,t +=则,OP OB tOA BP tOA -=⇒= ，∴BP OA，在Rt △BOP 中, |||BP OA == , ∴实数t 等于336．(2012厦门市高三上学期期末质检文)对任意x 、y ∈R ，恒有sin x ＋cos y ＝2sin(24x y π--)cos(42π--y x )，则sin 245cos 2413ππ等于A .423+ B .423- C .421+ D .421-【答案】A【解析】本题主要考查特殊角的三角函数值、三角函数的变换. 属于基础知识、基本运算的考查.由sin x ＋cos y ＝2sin(24x y π-+)cos(24x y π+-)，则354242451362424x y x x y y ππππππ+⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=--=⎪⎪⎩⎩sin135135cos [sin cos()]2424246ππππ=+-=7．(2012厦门市高三上学期期末质检文)已知函数f (x )＝A sin(ϕπ+x 6)(A >0，0<ϕ<2π)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)。
若∠PRQ ＝32π，则y ＝f (x ) 的最大值及ϕ的值分别是A .23,6πB .3,3πC .3,6π D . 23,3π【答案】A【解析】本题主要考查y ＝A sin(ϕπ+x 6)的图像与性质的综合应用. 属于基础知识、基本运算的考查.由题意，2x =，y ＝f (x ) 的最大值为A ，∴sin(3πφ+)＝1 又0<ϕ<2π，∴6πφ= 若∠PRQ ＝32π，则∠xRQ ＝6π，而周期为2126ππ=，故(8,)Q A -∴tan 66A A π=⇒= y ＝f (x ) 的最大值及ϕ的值分别是23,6π8．(2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文)下列函数中，周期是π，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x【答案】 D【解析】本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性判断和计算. 属于基础知识、基本运算的考查. 周期是π的函数是y=sin2x 和y=cos2x ，其中y=cos2x 是偶函数9．(2012年石家庄市高中毕业班教学质检1)△ABC 中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M 满足=BM 2AM ，则CM ·CA = A ．18 B ．3 C ．15 D ．12【答案】 A【解析】本题主要考查平面向量的共线及数量积的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.由题意，如图建立直角坐标系，则A(3,0),B(0,3) ∵=2，∴A 是BM 的中点 ∴M （6，－3）CM ＝（6，－3），＝(3,0) CM ·CA ＝1810．(2012黄冈市高三上学期期末考试文)若20AB BC AB ⋅+=，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】 B【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.20()00AB BC AB AB BC AB AB AC AB AC ⋅+=⇒⋅+=⇒⋅=⇒⊥则ABC ∆必定是直角三角形。
11．（2012武昌区高三年级元月调研文）给出以下4个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈；③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象； ④函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[0,]π上是减函数．其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的变换，三角函数的概念以及三角函数的性质.属于基础知识、基本运算和综合能力的考查.44sin cos y x x =-＝2222(sin cos )(sin cos )cos2x x x x x +-=-，周期为π，①正确；0k =时，②中0α=，终边不在y 轴上，②错误；把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象正确； sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝cos x -在区间[0,]π上是增函数．④错误。
所以真命题的个数是2。
12. （2012年西安市高三年级第一次质检文）设，则函数的A.图像关于直线对称B.图像关于直线对称C.图像关于直线对称 D.图像关于直线对称【答案】C【解析】本题主要两角和的正弦、余弦公式及三角函数的性质. 属于基础知识、基本运算的考查.展开易得())244f x x x ππ=++=，函数在对称轴处取得最大值或者最小值，代入易得答案C 正确。
13．（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）函数()2cos2f x x x +A ．在(,)36ππ--单调递减B ．在(,)63ππ单调递增C ．在(,0)6π-单调递减D ．()f x 在(0,)6π单调递增【答案】 D【解析】本题主要考查两角和的正弦公式和sin()y A x ωφ=+的图像与性质. 属于基础知识、基本方法的考查.1()2cos 22cos 2)2f x x x x x =+=+ 2(sin 2coscos 2sin )2sin(2)666x x x πππ=+=+ 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈∴()f x 在(0,)6π单调递增。
14．（2012金华十校高三上学期期末联考文）设向量a ，b满足||1,||a a b =-= ()0a a b ⋅-= ，则|2|a b + =（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】 B【解析】本题主要考查平面向量的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.2()0||1a a b a b a ⋅-=⇒⋅==2222||()3234a b a b a b ab b -=-=⇒+-=⇒=|2|a b +====15．（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）在边长为1的正三角形ABC 中，13BD BA =，E 是CA的中点，则CD BE ⋅=（ ）A ．23-B ．12-C ．13-D ．16-【答案】 B【解析】本题主要考查平面向量的运算以及坐标法. 属于基础知识、基本方法的考查.如图，建立直角坐标系，则113(1,0),(0,0),((,0),(234A B C D E13(,(64CD BE =-=13131(,(64882CD BE ⋅=-⋅=--=-16．（2012∙厦门期末质检理7）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω＞0)，将函数y =f (x )的图象向右平移π32个单位长度后，所得图象与原函数图象重合ω最小值等于A .31 B .3C .6D .917、【答案】B【解析】f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω＞0) 向右平移π32个单位长度得),332sin()(ππωω+-=x x f 所以3,232==-ωππωk ；选B;18．(2012∙粤西北九校联考理4)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A.D.2(第4题图)19.【答案】A【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得250,45sin 30sin 00==AB ABAC20.(2012∙粤西北九校联考理11)已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a⊥b ，则y x 39+的最小值为 ; 【答案】6【解析】若a ⊥b ,向量a=),2,1(-x b =),4(y ，所以0=∙，所以22=+y x ，由基本不等式得639≥+y x21.（2012∙宁德质检理3）为了得到函数sin 2y x =的图象，可将函数sin(2)6y x π=+的图象（ ） A ．向右平移6π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin(2)sin 2()sin 26126y x y x x πππ⎡⎤=+→=-+=⎢⎥⎣⎦，向右平移12π个单位22.（2012∙宁德质检理8）已知ABC ∆3AC ABC π=∠=，则ABC ∆的周长等于（ ） A ．3 B ．C ．2+D 【答案】A【解析】利用三角形面积公式和余弦定理得：2212,2b ac ac ===+-所以BACac c a 3)(32-+=得3a c +=23.（2012∙韶关第一次调研理4）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠= ，就可以计算出,A B 两点的距离为( )A ．m B ．mC ．m D.2m【答案】A【解析】在ABC ∆中，由正弦定理00,sin 30sin 45BC AB AB ==24.（2012∙韶关第一次调研理7）平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b （）A．3 D ．7【答案】B【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)=a ，1=b ，所以22227a b a a b b +=++=25.(2012∙深圳中学期末理13)给出下列命题中① 向量 a b、满足a b a b ==- ，则与a a b +的夹角为030；② ⋅＞0，是 a b、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =1-x 的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ；④ 若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】①③④ 【解析】【标准答案】对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为a ⋅b ＞0，是 a b、的夹角为锐角的必要条件；对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确； 对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确；26.（2012∙海南嘉积中学期末理3）ABC D 的内角A满足条件：sin cos 0A A +>且tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（）A 、(0,)4π B 、(,)42ππ C 、3(,)24ππ D 、3(,)4ππ【答案】C【解析】sin()04sin (1cos )0,cos 324A A A AA πππ+>-<⎧<<⎨⎩28.（2012∙海南嘉积中学期末理13）设a 为第一象限的角，3cos 25a =-，则()tan(2)4f x pa =+=．【答案】71-【解析】因为a 为第一象限的角，3cos 25a =-，所以41tan ,tan(2)347παα=-+=- 29.（2012∙黑龙江绥化市一模理3）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值为（ ）A.2B.3C.4D.6【答案】D 【解析】2sin 22tan cos ααα==6 30.（2012∙黑龙江绥化市一模理13）已知向量(2,4)a =，b (1,1)=，若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值为___.【答案】13-【解析】因为向量()b a b λ⊥+ ，所以0)(=+⋅b a bλ，31-=λ31.（2012∙ 浙江瑞安期末质检理5）设ααα2sin )cos (sin =+f ，则)51(f 的值为（ ▲ ）A ．2425- B ．1225- C ．2425D ．1225【答案】A【解析】令,51cos sin =+αα平方得25242sin -=α，所以2524)51(-=f 32. （2012∙ 浙江瑞安期末质检理13）函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= ▲ .【答案】8【解析】8tan ,6565cos ,213,25,2=∠=∠===APB APB BP AP AB 33.（2012∙ 浙江瑞安期末质检理15）已知平面向量,,不共线，且两两之间的夹角都相等,若1||,2||,2||===c b a ,则++ 与的夹角是 ▲ .【答案】60︒【解析】21)(,cos =++∙++=++a c b a a c b a a c b a ，夹角为060；34.（2012·泉州四校二次联考理5）定义：=sin θ⨯⋅⋅a b a b ，其中θ为向量 a 与 b 的夹角，若2= a ，5=b ，6⋅=- a b ，则⨯a b 等于（）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．6【答案】B【解析】由2= a ，5= b ，6⋅=- a b ，得54sin ,53cos =-=θθ，所以=sin θ⨯⋅⋅ a b a b =85452=⨯⨯35.（2012·泉州四校二次联考理15）设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则① 11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．【答案】①②③【解析】因为()sin2cos2f x a x b x ＝＋=)2sin(22θ++x b a ，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，6πθ=，),62sin()(22π++=x b a x f ① 11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭正确； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确；③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误。