椭圆标准方程推导方法的探究
椭圆标准方程
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆Array定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
说明椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ；两焦点之间的距离：焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.注意 a > c > 0求椭圆的方程可分为哪几步？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线aPF PF 221=+以直线F 1F2为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图坐标系。
F 1F 2 ＝ 2cay c x y c x 2)()(2222=+-+++aPF PF 221=+为椭圆上的任意一点，∵F 1F 2＝2c(c>0),则：F 1(-c,0)、F 2(c,0)以直线F 1F 2为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图坐标系。
2222)(2)(yc x a y c x ++-=+-∴)c a (a y a x )c a (22222222-=+-∴22242222xc cx a 2a )y c cx 2x (a ++=+++∴ cx 4a 4y )c x (a 4222+=++∴ 设 ,b c a 222=-0b >0>>c a 0c a 22>-∴222222ba y a xb =+∴则，椭圆的方程为：1b ya x 2222=+以直线F 1F 2为y 轴，线段F 的垂直平分线为x 坐标系。
建立如图坐设P (x ,y )为椭圆∵F 1F 2＝2c (c >0)则：F 1(0，-c )、PF 1∵ x )c y (22++-∴a2y )c x (y )c x (2222=++++-)0(12222>>=+b a b x a y 1212)0(12222>>=+b a by a x 222c a b -=最大中、、a c b a2、若椭圆满足: a ＝5 , c ＝3 ,求它的标准方程。
求椭圆的标准方程的方法
求椭圆的标准方程的方法
椭圆的标准方程表示为：
((x - h)²/ a²) + ((y - k)²/ b²) = 1
其中(h, k) 是椭圆中心的坐标，a 是椭圆的长半轴长度，b 是椭圆的短半轴长度。
要获得椭圆的标准方程，可以按照以下步骤进行：
确定椭圆的中心坐标(h, k)。
这可以通过观察给定的椭圆的图形或通过给定的信息来确定。
确定椭圆的长半轴长度a。
长半轴是从中心到椭圆上离中心最远的点的距离。
可以通过测量或计算来确定。
确定椭圆的短半轴长度b。
短半轴是从中心到椭圆上离中心最近的点的距离。
可以通过测量或计算来确定。
使用上述值将坐标(h, k)、长半轴长度a 和短半轴长度 b 代入椭圆的标准方程((x - h)²/ a ²) + ((y - k)²/ b²) = 1 中。
通过这些步骤，您就可以得到椭圆的标准方程。
请注意，当椭圆的长半轴与短半轴相等时，即a = b，方程简化为圆的标准方程。
椭圆及其标准方程ppt课件
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程(一)
讲授新课
已知B、 是两个定点 是两个定点， 例4 已知 、C是两个定点，|BC|＝6，且 ＝ ， △ABC的周长等于 ，求顶点 的轨迹 的周长等于16，求顶点A的轨迹 的周长等于 方程. 方程
讲授新课
已知B、 是两个定点 是两个定点， 例4 已知 、C是两个定点，|BC|＝6，且 ＝ ， △ABC的周长等于 ，求顶点 的轨迹 的周长等于16，求顶点A的轨迹 的周长等于 方程. 方程 A B C
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解： 椭圆标准方程 标准方程中 哪个分母大， ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； 就在相应的哪条坐标轴上； 始终满足c 焦点在x ⑵a、b、c始终满足 2＝a2－b2，焦点在 、 、 始终满足 轴上为(－ 轴上为(0, 轴上为 －c,0)、(c,0)，在y轴上为 －c)、 、 ， 轴上为 、 (0, c)； ；
(5)3x + 4y = 2
2 2
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解：
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解： 对椭圆及其标准方程的理解： 椭圆标准方程 标准方程中 哪个分母大， ⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点 就在相应的哪条坐标轴上； 就在相应的哪条坐标轴上；
讲授新课
x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c) ＋ ＝
讲授新课
椭圆及其标准方程(内有画椭圆动图)
整理得： ( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知
2a 2c,即a c, a 2 c 2 0,
设a 2 c2 b2 (b 0), 则上式变为 b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边同除以 a 2 b2得：
数 学 实 验
思考：
在画椭圆的过程中，
F1 F2
M
1．细绳两端的位置是固定的还是运动的？
2．细绳的长度变了没有？说明了什么？ 3．当绳长等于或者小于两图钉之间距离时会怎样？ 当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时,M点轨迹为椭圆. 当若|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,M点轨迹为线段. 当若|MF1|+|MF2|<|F1F2|时,M点轨迹不存在.
椭圆及其标准方程
学习目标：
1．掌握椭圆的定义； 2．掌握椭圆的标准方程及其推导过程．
一.图片感知 认识椭圆
二.类比探究 形成概念
日常生活中，处处存在着椭圆,我们如 何画出椭圆?椭圆的定义是什么？
数学实验：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？
(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2， (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动， 看看画出的图形.
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
即： a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
即： a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
x
| MF1 | | MF2 | 2a
2 2 2 2 | MF | ( x c ) y , | MF | ( x c ) y 1 2 代入坐标
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0 ) a2 b2
∵ 2a=10, 2c=8
y
A B o
2
∴ a=5, c=4
2
C x
∴ b2=a2－c2=52－42=9
x y （ 1 y ∴所求椭圆的标准方程为: 25 9
0)
变式2：在⊿ABC中，BC=8,AC、 AB边上的中线之和为24，求 ⊿ABC的重心的轨迹方程．
变式三：已知△ABC的一边BC固定，长为8，周 长为18，求顶点A的轨迹方程。
解：以 BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立 注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线上的点是否都是符合题意。 直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭
. 圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：
x2 y2 2 1( a b 0 ). 2 a b源自2 2椭圆的标准方程
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆及其标准方程
解：（1）因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 2a=10, 2c=8 ， 所以a=5 , c=4, b a c x2 y2 故所求的椭圆的标准方程为 1 25 9 （2）因为椭圆的焦点在Y轴上，所以设它的方程为 因为 由椭圆的定义知：
y 2 x2 1( a b 0) 2 b2 a x2 y2 1( a b 0) 2 b2 a
两边平方，得
x c 2
y2 x c
2
y2
a ( x c) 2 y 2 a 2 cx 2 2 2 4 2 2 2 两边再平方，得 a ( x c ) y a 2a cx c x
整理得
(a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
F(±c，0)在Ｘ轴上
F(0，±c)在Ｙ轴上
a2 = b2 + c2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 2 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 哪个分母大，焦点 y 2 项分母较大. 就在相应的哪条坐 焦点在y轴的椭圆
b 2 a 2 c 2
4。如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：
看标准方程中
x 2 , y 2的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。
5。求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置, 然后确定标准方程的类型，最后求出 a , b .
一.问题情境
生 活 中 的 椭 圆
新课引入：
圆
椭圆
• 二、探究 椭圆的形成：
1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图 板的同一点处套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖，这是画 出的轨迹是一个圆。
椭圆及其标准方程
5 2 3 2 （ ） （- ） 3 5 又∵椭圆经过点 , ∴ 2 2 1 2 2 2 2 a b 即 2 5b 2 9 a 2 4 a 2 b 2 ②
由① ②得 a 1 0,b 6
2 2
因此椭圆的标准方程为
y
2
x
2
1
巩固
10 6 小结：椭圆标准方程 a > b > 0
x b
2
2
+
y a
2
2
= 1 a > b > 0
y P
y F2 P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标
F1 - c , 0 ， F 2 c , 0
F1 0 ,- c ， F 2 0 ,c
相 同 点
定 义
a、b、c 的关系
y
所以 设它的标准方程为 2 2 1( a b 0 ) a b 由椭圆的定义知，
2a 3 5 2 2 2
2 2
x
2
3 5 2 2 2
2
2
2 10
所以 b 2 a 2 c 2 10 4 6 2 2 y x 1 因此椭圆的标准方程为 10 6 小结：椭圆标准方程的求法（定义法）
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 8 并且CF1=2,则CF2=___.
变式：椭圆
x
2
y
2
16
9
1 的焦距是_______， 2 7
( 7 , 0) ( 7 , 0) 焦点坐标为___________和____________；
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程（一）课题：2.1．1椭圆及其标准方程（一）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1授课教师：教学目标：知识与技能：通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；过程与方法：通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；情感及价值观：通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学方法：启发式、探究式教学过程：一、创设情境，导入新课1．由“嫦娥二号”引入新课板书：2.1．1椭圆及其标准方程．二、引导探究，掌握新知探究一让学生尝试画椭圆,归纳椭圆定义导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆。
在上面的作图过程中，引导学生思考哪些量是不变的，哪些量是变化的？（两个定点及绳长是不变的，点的位置是运动变化的）。
在此基础上，请学生概括椭圆的定义。
定义要点：平面内，和是常数，常数大于说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字。
然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？”由此引发学生大胆质疑、推理。
再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于，则点的轨迹是线段；若这个常数小于，则点的轨迹不存在；若这个常数大于，则点的轨迹是椭圆．所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：“此常数大于”。
探究二椭圆的标准方程推导（1）参考教材32-33页，完成探究二内容，小组合作交流。
（2）椭圆标准方程的探求（ⅰ）建系（ⅱ）设点（ⅲ）列式（ⅳ）化简（3）标准方程的说明（ⅰ）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；（ⅱ）上述方程表示焦点在轴上的椭圆，其中；（ⅲ）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的；（ⅳ）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可。
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椭圆标准方程推导方法的探究
作者：陈明辉
来源：《中学生数理化·学研版》2015年第04期
摘要：在多年的数学教学中，我总结了椭圆标准方程的几种推导方法。
由于以前也看到过许多关于椭圆推导的方法，从中总结了一些更加简洁的方法，为更多老师提供一些数学的学习方法。
关键词：椭圆方程；计算方法；探讨
在教学课程中，有关椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，即（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a通过两次的平方推出标准的方程式x2a2+y2b2=1（a>b>1）其中的推导过程十分复杂，而且对计算水平是一个很大的考验。
本文就介绍了四种有关椭圆方程式的推导方法，以供参考。
一、用具体的方法，删繁就简
在最初的数学椭圆教学中，老师可以结合椭圆的定义，在坐标系上绘制椭圆，这时候绘制的椭圆要具有特殊性。
这里所说的特殊性就是指在绘制过程中将椭圆的特殊的点尽可能地全部体现出来，让同学们更加直观地理解椭圆的几何特性，从而丰富学生们对于椭圆的认识，和感受。
在一个平面内，一个动点到两个定点的距离之和等于定长，这样形成的轨迹就叫做椭圆。
如图1所示，
在坐标系中两个定点就分别为x轴和y轴。
这样直观的图片表达，先让学生理解一下椭圆的来历，从而进行下一个重点内容的讲解。
由图2可以看到F1、F2两个点这就称为椭圆的焦点，用坐标表示为F1（-c，0），F2（c，0），这是焦点在x轴的坐标。
但是当焦点在y轴的时候则为F1（0，-c），F2（0，c）。
其实无论焦点在哪个轴上其始终关于原点、x轴、y轴对称，这也说明了圆的对称性。
焦点在x轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0），短轴顶点：（0，b），（0，-b）。
焦点在y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a），短轴顶点：（b，0），（-b，0）。
在这里还需要特别注意，长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
通过具体的点的理解进而再对椭圆标准方程的推导可以省去很多不必要的步骤与麻烦。
并且能够做到具体问题具体分析，算法更有针对性。
二、省略不必要的推理，帮助学生理解问题
在我们的课程教学中省去了证明符合x2a2+y2b2=1（a>b>1）方程式的解都在这个椭圆上，这样一来就简化了学习的过程，并且理解了核心的意思。
教会学生可以根据椭圆的几何特点，把坐标中的原点，视为椭圆形的中心点。
并且根据（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a这个方程式去代入，并且化简方程式，这样化简得目的就是为了让学生省去不必要的计算，以及更好地理解椭圆的特性，掌握了其独特的性质，自然联想，必然可以帮助学生推导、理解椭圆标准方程式的意义。
除了省略一些不必要的推导，还要省略一些椭圆标准方程的推导计算步骤。
推导方程：
1。
建坐标系：以F1和F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系；
2。
设点：设M（x，y）是椭圆上任意一点，设|F1F2|=2c，则F1（-c，0），F2（c，0）；
3。
列式：由|MF1|+|MF2|=2a得（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a；
4。
化简：移项平方后得（x+c）2+y2=（x-c）2+y2+4a2-4a（x-c）2+y2，整理得，a2-cx=a （x-c）2+y2，两边平方后整理得，（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。
由椭圆的定义知，
2a>2c，即a>c，a2>c2。
令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2，两边除以a2b2，得x2a2+y2b2=1（a>b>0）。
这种算法有效地简化了运算的步骤，并且能够有效地帮助学生理解运算过程及椭圆的各种特性。
三、将事物抽象化，进行推论
在教学中，课本中关于椭圆的定义是用几何图形的绘制定的。
但是这种定义的方法缺乏全面性。
也就是，当这些点呈现运动状态时，这种死板的定义就不能够很好地解释这种现象了。
所以制定坐标是椭圆公式推导的重要方法之一。
让学生在观察中思考怎么做，结合已经学过的知识，联系实际去考虑问题。
学生还可以依据圆方程的学习经验，猜想出椭圆方程的形式为ax2+by2=c2学生心中有了这个方程为等式化简找到了指向标为克服运算困难增加了自信。
若没有对椭圆方程的猜测过程，等式变形就没有了更深远的目的，化简就毫无方向。
学生经历了由椭圆猜想其方程的思维过程，可以体会到数字与图形是紧密相联的。
这不仅对培养创新思维和批判性思维有好处，而且对运用数形结合进行思考问题很有帮助。
笔者对于抽象的教学方法进行了比较系统的分析，这种抽象的推导方法，是结合联想而进行的，并且这种方法合乎学生的思维方式，和理解事务的规律，这样能够有效的提高教学质量。
四、制定标准，运用参数法推导标准方程
参数法推导曲线的标准方程是从曲线的一些基本特性出发，运用引入参数的方法来进行方程的简化，也可以说是从另外一个角度对曲线进行观察，甚至常常在另外一套坐标体系中进行曲线的表达，例如常常在角坐标体系中表达一些不规则的曲线。
我们在推导中制定标准，可以把椭圆的标准方程分为两大类，首先确定中心在坐标原点上，焦点在x轴上的椭圆方程，和中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆方程。
另外，还有特殊情况，就是中心不在原点的椭圆，这样做的目的也是为了让学生对于内容的理解更加简单一些。
并且对于圆的理解同学们并不陌生，在早期的数学平面几何中已经接触过了，因此标准方程的中心可以是平面内的任意一点，虽然复杂些，但在学生能够接受的范围内。
可见在确定标准方程时，就有删繁的意识。
引入三角函数后，对于椭圆标准方程的推导就变得简单起来。
事实上，在推导曲线的方程的一类题目中，往往引入三角函数，不同三角函数之间有着广泛的转换关系，常常为解题提供便利。
总而言之，椭圆是中学数学中所谓“圆锥曲线”这一重要知识框架中的一个重要的知识点，也是中学数学关于曲线方程一个重要知识点。
在对圆锥曲线进行学习时，最开始学习的也就是椭圆的引入。
如果站在一个更高的高度或者将椭圆曲线与其他知识点进行联系，对于椭圆曲线本身的学习以及对椭圆曲线标准方程的推导都会变得更加简单，理解更加方便。
作者单位：浙江省金华市第六中学。