2018人教版中考数学第三十二讲《锐角三角函数与解直角三角形》word基础演练

《第三十二讲 锐角三角函数与解直角三角形》基础演练
【基础演练】
1．(2018·滨州)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值
( )
A．不变 B．缩小为原来的13
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
解析 因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以
锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
答案 A
2．(2018·甘肃兰州)如下图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点
A
逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为 ( )

A.12 B.13 C.14 D.24
解析 根据旋转的性质得，∠B′＝∠B，如图，在直角△BCD中，
∠CDB＝90°，所以tan B′＝tan B＝13.
答案 B
3. (2018·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝23，
则BC的长 ( )
A．4 B．25
C.181313 D.121313
解析 ∵cos B＝23，∴CBAB＝23，
∵AB＝6，
∴CB＝23×6＝4.
答案 A
4. (2018·嘉兴)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的
距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠
A
＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )
A．asin 40° B．acos 40°
C．atan 40° D.atan 40°
解析 ∵△ABC中，AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，∴AB＝atan 40°.
答案 C

5．(2018·济宁)在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－12|＋sin B－222＝0，则∠C＝
________．
解析 ∵|cos A－12|＋sin B－222＝0，
∴cos A－12＝0，sin B－22＝0，
∴cos A＝12，sin B＝22，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
则∠C＝180°－∠A－∠B
＝180°－60°－45°＝75°.
答案 75°
6．(2018·陕西)计算：2cos 45°－38＋(1－2)°＝________．
解析 原式＝2×22－3×22＋1＝－52＋1.
答案 －52＋1
7．(2018·德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图
形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组
数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测
数据，求出A，B间距离的有( )

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解析 此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠
ACB
的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③因为△ABD∽△EFD可
利用EFAB＝FDBD，求出AB；④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
答案 C

8．(2018·丽水)计算：2sin 60°＋|－3|－12－13－1＝________．
解析 原式＝2×32＋3－23－3，
＝－3.
答案 －3
9. (2018·铜仁)如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的
邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α，即ctan α
＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：
(1)ctan 30°＝________．
(2)如图，已知tan A＝34，其中∠A为锐角，试求ctan A的值．
(1)解析 ∵Rt△ABC中，∠α＝30°，
∴BC＝12AB，
∴AC ＝AB2－BC2.
＝AB2－14AB2＝32AB，
∴ctan α＝ACBC＝3.
答案 3
(2)解 ∵tan A＝34，
∴设BC＝3k，AC＝4k，
则AB＝5k，
∴ctan A＝ACBC＝43.
10．(2018·广东)如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠
A
＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点
E处，BF是折痕，且BF＝CF
＝8.

(1)求∠BDF的度数；
(2)求AB的长．
解 (1)∵BF＝CF，∠C＝30°，
∴∠FBC＝30°，∠BFC＝120°.
又由折叠可知∠DBF＝30°，
∴∠BDF＝90°.
(2)在Rt△BDF中，
∵∠DBF＝30°，BF＝8，
∴BD＝43.
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝90°.
又∵∠FBC＝∠DBF＝30°，
∴∠ABD＝30°.
在Rt△BDA中，∵∠ABD＝30°，BD＝43，
∴AB＝6.
【能力提升】
11．在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B 的值是( )

A.5714 B.35 C.217 D.2114
解析 延长BA作CD⊥BD，
∵∠A＝120°，AB＝4，
AC
＝2，

∴∠DAC＝60°，
∠ACD＝30°，
∴2AD＝AC＝2，
∴AD＝1，CD＝3，

∴BD＝5，∴BC＝27，∴sin B＝327＝2114，故选D.
答案 D
12．(2018·荆门)如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与
OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE
＝________．

解析 如图，连接PB、PE.
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC∥OA，
∴B、P、E在一条直线上，
∵A(2，0)，B(1，2)，
∴AE＝1，BE＝2，
∴tan∠ABE＝AEBE＝12，
∵∠EDF＝∠ABE，
∴tan∠FDE＝12.
答案 12
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝12，AC＝35，AB＝4，求BD的长．(结
果保留根号)

解 AD是BC边上的高．∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，
∵tan C＝12，∴ADCD＝12.
∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(35)2，
∴AD＝3，∴在Rt△ADB中，BD＝42－32＝7.
14．(2018·恩施)如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中
阴影部分的面积是多少？

解 如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴CMGF＝BCBG，
即CM3＝22＋3，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，

∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×32＝3，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×32＝332，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝12×0.8×3＋12×0.8×332＝3.
15．(2018·上海)如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点
E.已知AC＝15，cos A
＝35.

(1)求线段CD的长；
(2)求sin ∠DBE的值．
解 (1)∵AC＝15，
cos A＝35，
∴15AB＝35
∴AB＝25，
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD＝252；
(2)AD＝BD＝CD＝252，设DE＝x，EB＝y，则






y2＋x
2
＝6254，




x
＋

25

2

2

＋y2＝400，

解得 x＝72，
∴sin ∠DBE＝72252＝725.