《极限突破》2011年九年级数学下册 第三章 2.圆的对称性 第2课时 圆的元素之间的关系 配套课件 北师大版
北师大版九年级数学下册第三章《 3-2圆的对称性》公开课课件(共29张PPT)
┏
C8
B
OA = 10，则∠OCA =90 °，OC = 6 。
7、已知：如图，⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，OC
交AB于D ，AB=6Ccm ，CD=1cm. 求⊙O的半径.
A
D1
33
B
O
O
10
16
A
C
B
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键;
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/222021/7/222021/7/222021/7/22
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
北师版初中数学九年级下册精品教案 第3章 圆 2 圆的对称性
2 圆的对称性教师备课素材示例●情景导入圆与我们的生活有着密切的联系．请欣赏下面一些生活中美丽的图案．想一想：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪儿？你能找到多少条对称轴？2．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？【教学与建议】教学：展示生活中美丽的圆形建筑图片，让学生感受圆形的对称美，渗透数学源于生活的思想．建议：先展示有关圆运动视频，再提出“想一想”．●归纳导入拿出准备的圆形图形，边操作边回答问题．问题1：你知道圆有哪些基本性质吗？问题2：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？问题3：圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？问题4：绕着这个圆的对称中心旋转，你发现了什么？【归纳】圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．【教学与建议】教学：让学生自己探索，利用纸片直观地感受圆的基本性质．建议：通过动手操作认识圆的对称性，进而得到圆是轴对称图形和中心对称图形的结论．根据圆的对称性确定圆上的点在弦的垂直平分线上的时候到弦的距离最远，进而会得到相应图形的最大面积．【例1】如图，⊙O 的半径是1，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若AB ＝2，则四边形MANB的面积的最大值是两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD ＝120°，点C 为BD ︵的中点，连接OD 交AC 于点E ，若DE ＝1，则AE 的长为( A )A ．3B ． 5C ．23D ．2 5【例3】如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为__60__度．高效课堂 教学设计1．理解并掌握：(1)圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性；(2)圆心角、弧、弦之间关系定理． 2．经历探索同圆或等圆中圆心角、弦、弧的关系的过程，掌握这三者之间的关系，并能够应用这些性质解决实际问题．▲重点圆心角、弧、弦之间关系定理．▲难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)同学们，通过上节课的学习，我们对圆已经有了初步的认识，圆与我们的生活有着密切的联系．请欣赏下面一些生活中美丽的图案(如图)，让我们一起走进圆的美丽世界．问题：(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？(2)你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．学生交流后，形成结论，教师根据学生回答整理如下：用纸裁出一个圆，利用折叠的方法，得到上述问题的答案；圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆的对称轴有无数条．◆活动2 实践探究 交流新知【探究1】问题：一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？让学生利用自己手中的圆形纸片将圆绕着圆心旋转．【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，一个圆绕着圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，也就是说圆具有旋转不变性．【探究2】圆心角、弧、弦之间的关系(教材P 70“做一做”)在等圆⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′(如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA 和O ′A ′重合．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．教师多媒体展示旋转的说理过程：解：AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.理由：∵半径OA 与O′A′重合，∠AOB ＝∠A′O′B′，∴半径OB 与O′B′重合．∵点A 和点A′重合，点B 和点B′重合，∴AB ︵和A′B′︵重合，弦AB 与弦A′B′重合．∴AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【探究3】在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？【归纳】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】(教材P 71例题)如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？【方法指导】同圆中由∠BOE＝∠DOA，得BE ︵＝AD ︵是解题的关键．解：∵∠BOE＝∠AOD，∴AD ︵＝BE ︵.又∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE.【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 等于(B)A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°【方法指导】由BC ＝CD ＝DA ，知弦BC ，CD ，DA 三等分半圆，∴弦BC ，CD和DA所对的圆心角均为60°.又∵OC＝OB＝OD＝OA，∴△OCB，△OCD，△ODA均为等边三角形，∴∠BCD＝∠BCO＋∠OCD＝60°＋60°＝120°.◆活动4 随堂练习课本P72随堂练习◆活动5 课堂小结与作业【作业】课本P72习题3.2中的T1、T2、T3.在知识的探究过程中，让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流．在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力．教师多媒体展示并规范学生说理过程．。
九年级数学下册第3章圆3.2圆的对称性课件新版北师大版0606316【含解析】【精品课件】
【形成结论】
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【巩固提高】
例1 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且 AD CE ，BE与CE的 大小有什么关系？为什么？
【巩固提高】
【巩固提高】
课堂小结： 本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？ 1、圆的轴对称性和中心对称性； 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等. 强调：运用本节知识时不能忘记其成立的条件“在同圆或等圆中”，这个知识点
例2 如图，在☉O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F. (1)如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关
系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
【巩固提高】
学生练习 课本72页随堂练习第1题，第2题，第3题．
第三章 圆
2 圆的对称性
【创设情境】
问题1 (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多 少条对称轴？
(2)你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
【启发思考】
结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我 们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心 为圆心．
∵点A与点 A重合，点B与点 B 重合， ∴ AB 与 AB 重合，弦AB与弦 AB 重合，
∴ AB=AB ，AB=AB．
北师大版九年级数学下册第三章《 圆的对称性》优质课课件(共8张PPT)
2
圆心角
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).
• 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋 转一个角度,使得OA和O′A′重合.
A
D
B
●O
B
A′
D
D′
A
AAA ′
D′D
B′
●O
BBB ′
●O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
第三章 圆
• 2 圆的对称性
想一想
1
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线,它有无数条对称轴.
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一
●O
个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
想一想
④ OD=O′D′
随堂练习
7
化心动为行动
• 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点⌒AB,
试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
九年级数学下册第3章圆3.2圆的对称性课件新版北师大版0606316【精品课件】
∴ AB=AB ，AB=AB．
追问：小红的想法正确吗？
【形成结论】
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的
【探究问题】
问题3 在等圆⊙O和⊙ 中，分别作相等的圆心角∠AOB和（如图），将两圆 重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与重 合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．
【探究问题】
小红认为 AB=AB ， AB=AB ，她是这样想的： ∵半径OA重合， AOB=AOB， ∴半径OB与 OB重合，
是证明弧相等，弦相等常用的方法．
【巩固提高】
课堂小结： 本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？ 1、圆的轴对称性和中心对称性； 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等. 强调：运用本节知识时不能忘记其成立的条件“在同圆或等圆中”，这个知识点
弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
【形成结论】
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【巩固提高】
例1 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且 AD CE ，BE与CE中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F. (1)如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关
初中数学北师大版九年级下册《3.2 圆的对称性》教学课件
数学北师大版 九年级下
想一想
1.什么是轴对称图形？ 2.圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?
●O
你能找到多少条对称轴? 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆有无数条对称轴.
想一想
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 圆具有旋转对称性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度之 后，都能与原来的图形重合。
3.2 谢谢大家
数学北师大版 九年级下
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
D
C O
A B
发现结论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组 量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。（等对等定理）
B
如图，AB，CD是⊙O的两条弦，根据这
A
O
D
节课所学的定理及推论填空：
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD，A⌒B=C⌒D， C ⌒⌒
（2）如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD， AB=CD；
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
A
如图，在⊙O中，AB，CD是两条
C
弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别
为E ，F 。
E B
OLeabharlann FD⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什 么关系？为什么？ ⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？ 为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O，
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。
然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋
转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因
此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆 的中心对称性是其旋转不变性的特例.
∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，
那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你
是怎么想的？
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们
所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是
怎么想的？
B
B′
O A
O′ A′
如图所示： (1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A O B= A′O′B′,
的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.你
北师大版九年级数学下册第三章圆的对称性课件
如图，在⊙O中，AB,CD是两条弦，OE⊥AB,OF⊥CD, 垂足分别为E,F. (1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关 系？为什么？ （2）如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系？ AB与CD的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？为 什么？
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等。
小结：学完本课后你有哪些收获？ 证明圆弧相等: （1）定义 （2）圆心角、弧、弦之间的关系
证明线段相等： （1）利用本来的证角相等，三角形全等等方法 （2）圆心角、弧、弦之间的关系
作业： 习题3.2
证明： ∵A⌒B=⌒AC
O
B
C
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又 ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
如图，点O是∠APC的平分线上的一点，以O为圆心
的圆和角的两边分别交于点 A，B和C，D，求证：
AB=CD. A
NB
E
O
P
C
MD证明：ຫໍສະໝຸດ ON⊥AB，OM⊥CD，M，N为垂足.
我们知道，圆上任意
两点的部分叫做圆弧,
简称弧.
圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧,每一 弧都叫做半圆. 弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于 半圆的弧叫做劣弧. 如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD（记 作ACD），劣弧ABD（记作AD或ABD）.
●O
（1）圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是 什么?你能找到多少条对称轴？
九年级数学下册 32 圆的对称性教案2 北师大版 教案
2．圆的对称性（二）教学目标：知识与技能：1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。
情感态度与价值观：1．培养学生积极探索数学问题的态度与方法。
教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．教学过程引入新课问题提出：我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？讲授新课活动内容：（一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性；请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。
请回答：它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。
将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?归纳：圆具有旋转不变性。
即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。
圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。
即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。
（二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦、弦之间相等关系定理；做一做按下面的步骤做一做1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角∠A O B和∠A′O′B′圆心固定。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
由此得到：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
想一想1、在同圆或等到圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？探索总结：定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（三）讲解例题及完成随堂练习。
例1 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠ AOB与∠ COD呢？练习：完成课本P97 随堂练习1、2、3创新探究活动内容：如图，在⊙O中，弦CDAB=，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E，F，你以为APE∠与CPE∠有什么大小关系？为什么？C AF BEOD课堂小结在得出本节结论的过程中，我们使用了哪些研究图形的方法？（同学们互相讨论，归纳）教师在当中要引导学生去归纳。
北师大版九年级下数学《3.2圆的对称性》课件
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒， ∵ AB=CD 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
A
又∠ACB=60°，
· O C
B
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵 活转化是解题的关键.
针对训练
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等．
抢答题
1.等弦所对的弧相等. 2.等弧所对的弦相等. （× ） （ √ ） ( × )
3.圆心角相等，所对的弦相等.
三 关系定理及推论的运用
典例精析 例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点， ⌒.BE和CE的大小有什么关系？为什么？ 且⌒ AD=CE 解:BE=CE.理由是： ∵∠AOD=∠BOE， ⌒ ⌒ ∴AD=BE. ⌒ ⌒ 又∵AD=CE， ⌒ ⌒ ∴BE=CE. ∴BE=CE.
D O B A
C
题设 那么
结论 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
如果圆心角相等
在 同 圆 或 等 圆 中
如果弧相等
那么
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么
弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
要点归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
系是（ ）A ⌒ ⌒ C. AB ⌒ <CD ⌒ D. 不能确定 ⌒ ⌒ B. AB >CD A. AB=2CD
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.