共轭方向法演讲PPT
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共轭方向法为什么要共轭梯度
(k ) (k )
CP ( k )则得
这种在迭代过程中逐次产生的共轭方向的方法，称为共轭梯 度法
当 X ( k ) 不是极小点时，可用下式代替
k
f ( X ) f ( X f ( X ) f ( X
( k 1) T (k ) T
( k 1) (k )
)
)
共轭梯度法的迭代步骤如下：
作为一种迭代法我们希望共轭的方向是在迭代过程中逐次产生的在迭代的第一步中取负梯度方向作为移动方向即而在以后各步中则以负梯度方向加上以产生的方向的线性组合作为移动方向
共轭方向的选取有很大的任意性，而对应与不同的一组 共轭向量就有不同的共轭方向。作为一种迭代法，我们希望 共轭的方向是在迭代过程中逐次产生的，在迭代的第一步中， 取负梯度方向作为移动方向，即 d 0 f ( X 0 ) ，而在以后各 步中，则以负梯度方向加上以产生的方向的线性组合作为移 动方向：
d ( k 1) f ( X ( k 1) ) k d ( k )
这时，利用向量 d ( k 1) 与 d ( k ) 关于共轭的特性，即
(d ( k 1) )T Cd ( k ) 0
将上式两边的矩阵转置后均乘以
k
( k 1) T (k ) T
f ( X ) Cd d Cd
1.给定初始值X ( 0 ) , 0, 并令d ( 0 ) f ( X ( 0 ) ) 2.①对于k 0,1,2,...,n 1 令X ( k 1) X ( k ) k d ( k ) 其中，k 可由下式求得 f ( X ( k ) k d ( k ) ) min f ( X ( k ) d ( k ) ) ②当k n 1时，令 f ( X ( k 1) ) d ( k ) d ( k 1) 其中 k ) 3.当 f ( X ( k 1) ) ，则迭代停止， 否则以X ( k 1) 代替X ( 0 )，并回到第一步。
CP ( k )则得
这种在迭代过程中逐次产生的共轭方向的方法，称为共轭梯 度法
当 X ( k ) 不是极小点时，可用下式代替
k
f ( X ) f ( X f ( X ) f ( X
( k 1) T (k ) T
( k 1) (k )
)
)
共轭梯度法的迭代步骤如下：
作为一种迭代法我们希望共轭的方向是在迭代过程中逐次产生的在迭代的第一步中取负梯度方向作为移动方向即而在以后各步中则以负梯度方向加上以产生的方向的线性组合作为移动方向
共轭方向的选取有很大的任意性，而对应与不同的一组 共轭向量就有不同的共轭方向。作为一种迭代法，我们希望 共轭的方向是在迭代过程中逐次产生的，在迭代的第一步中， 取负梯度方向作为移动方向，即 d 0 f ( X 0 ) ，而在以后各 步中，则以负梯度方向加上以产生的方向的线性组合作为移 动方向：
d ( k 1) f ( X ( k 1) ) k d ( k )
这时，利用向量 d ( k 1) 与 d ( k ) 关于共轭的特性，即
(d ( k 1) )T Cd ( k ) 0
将上式两边的矩阵转置后均乘以
k
( k 1) T (k ) T
f ( X ) Cd d Cd
1.给定初始值X ( 0 ) , 0, 并令d ( 0 ) f ( X ( 0 ) ) 2.①对于k 0,1,2,...,n 1 令X ( k 1) X ( k ) k d ( k ) 其中，k 可由下式求得 f ( X ( k ) k d ( k ) ) min f ( X ( k ) d ( k ) ) ②当k n 1时，令 f ( X ( k 1) ) d ( k ) d ( k 1) 其中 k ) 3.当 f ( X ( k 1) ) ，则迭代停止， 否则以X ( k 1) 代替X ( 0 )，并回到第一步。
最优化方法-共轭方向和共轭梯度法
由3式可以看出
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2.共轭方向-共轭方向法
• 基本定义
利用共轭方向作为搜索方向的无约束极小化算法
• 通用步骤:
(1)任取X 0 ,以及在X 0的下降方向P0 , k 0; (1)求解一维搜索问题
min f ( X k Pk ),为最优步长,是个数值．
(3) X k1 X k k Pk ;
X
T QX
bT
X
c, Q正定,
X 0是初始点,
P0
f
(X0)
X k1 X k k Pk , k 0,1...m 1, k是最优步长,且
Pk1 f ( X k1) ak Pk (这是构造的结果)
其中ak
f
( X k1)T QPk PkT QPk
,
P0
(
X
)T
k 1
Pk
)T
PkT f ( X k1)
f ( X k1) QX k1 b Q( X k k Pk ) b, ( X k 1 X k k Pk )
f ( X k1) (QX k b) kQPk f ( X k ) kQPk
当m 2时 所以，P0，P1， Pm1是线性无关的。
P0T QP1
P0T Q f ( X 1 )
f ( X 1 )T QP0 P0T QP0
P0
P0T Qf ( X 1 ) f ( X 1 )T QP0 0
表明，P0与P1共轭。
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1.共轭方向法的基本原理
• 已知 X1 点是在 X 0 点在直线 l0 上沿 P0 搜索方向的一个极小 点。（l0 与 P0 是平行的）
共轭方向与共轭梯度法-最优化方法
f (X1)T P0 0 ，所以 f (X1)T P0 1P1TQ P0 0
P1TQ P0 0
（1）
以上就是搜索方向P1所必须满足的（必要） 条件。这也是使X2是极小点的充分条件。 P1，P2称为关于Q的共轭方向。
讨论表明 对于二维的具有正定矩阵Q的 二次函数f(X),从任一初始点出发，依次沿关 于Q共轭的两个方向进行一维搜索，必可达到 f(X)的无约束精确极小点。
Pk 1
0
且对j 0,1 , k 2, 有
PjT QPk PjT Q f ( X k ) k1Pk1
PjT Qf
(X
k
)
k
PT
1 j
QPk
1
f ( X k )T QPj
f ( X k )T f ( X j1) f ( X j ) j
f ( X k1 ) QX k1 b Q( X k k Pk ) b (2)
f ( X k1 ) f ( X k ) k QPk
所以
f ( X m ) f ( X m1) m1QPm1
f ( X m2 ) m2QPm2 m1QPm1
其中1 是最优步长，1>0 .因为 X * 是无约束极小点。
故 f ( X * ) 0 即 QX * b 0
f (X1) QX1 b
Q( X * 1P1) b (QX * b) 1QP1 1QP1
又因为 X1是f(X)沿P0方向的直线l0上的极小点，故
设 X En ,
,Q为对称正定矩阵，P0，
P1，···，Pm-1是关于Q共轭的m个共轭方向，
【实用】共轭梯度法反演PPT资料
我们假设在点X0 处开始沿负梯度方向
蒙特卡洛方法 搜索,到达点X1 ,即
设有一组n 维彼此关于n×n 的正定对称矩阵A共轭的向量
，能够使我们分别沿着这n个共轭向量所指的方向各搜索一
非 统计方法 次,就可以达到极值点 。
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
模拟退火法
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
0 ( Ax k b )T d k 1 ( A ( xk 1 k d k ) b )T d k 1
从而，
k
rkT p k
p
T k
ApBiblioteka k(11)将上式带入 (10) 式可得：
x *
xn
x0
n 1 i0
riT p i
p
T i
Ap
i
di
(12)
*
16
三、共轭梯度法的优缺点
优 分别使用最共 速轭 下梯 降度 法法 和组 解 2 3线 6 2x性 28方 程 点 目标函 :(数 x1,x2为 )-2x13x124x1x28x26x22
性
小值，分0别 .60是 10和 ： 508.76035
P2局部极 小值
P1全局极 小值
*
20
三、共轭梯度法的优缺点
局限性
初始猜测 反演结果 目标函数值 (2,-1) (3.0，0.0) 0.6011 (-2,-1) (-3.0,0.0) 0.7606 (-1.5,0) (-0.0958,0) 0.9932 (4,-1) (3.0，0.0) 0.6011
*
17
三、共轭梯度法的优缺点
计算效率比较
最速下降法
共轭梯度法
*
18
三、共轭梯度法的优缺点
最优化方法-共轭方向和共轭梯度法共36页
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
最优化方法-共轭方向脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
机械优化设计共轭方向法
共轭方向法以前传统的设计方法一般是在调查分析的基础，根据设计产品要求的各种参数进行试凑和定性比较完成，其缺点是重复性工作太多，花费时间长，并且每次的修改并没有经过准确的理论计算，因此其设计的产品具有一定的改进空间。
传统的设计师被动的设计，而不是主动地设计产品的参数，因此就产生了一种主动的设计产品的设计方法——优化设计。
优化设计就是根据最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学的设计方法。
具体的优化设计的方法有很多，例如最速下降法、牛顿型方法、共轭方向法、共轭梯度法、变尺度法等等，其每种优化的方法各有各自的优缺点。
下面我们简单的介绍一下共轭方向法：一种优化设计方法包括选初点、最佳步长和方向三要素组成，共轭方向法的方向是共轭（垂直）的。
例如对于二次函数()x f = c x b x G x T T ++ 21用共轭方向法进行求极小值时，则在1d 方向上的最佳步长01≠α时，()010=d G d T （0d 、1d分别是第一次第二次一维搜索方向），这就是为了使1d 直指极小点*x 、1d 所必须满足的条件。
因此满足上式的两个向量0d 和1d 称为G的共轭向量，或称0d 和1d 对G 是共轭方向。
共轭方向的一个重要性质是从任意初始点0x 出发，顺次沿n 个的共轭方向0d ，1d ,…, 1-m d 进行一维搜索，最多经过n 次迭代就可以找到()x f = c x b x G x T T ++ 21的极小值*x 。
共轭方向法就是建立在此共轭方向性质的基础上，他提供了求二次函数极小值的原则方法。
共轭方向法的原理如下图：共轭方向法与其他的优化方法相比的优点及应用：例如与最速下降法相比：最速下降法虽然在一点附近函数的下降最快，但是它收敛的速度随其离最优解的距离的减短而减慢，即越靠近最优解其收敛的速度越慢，虽然在一点附近函数的所花的时间最少，但是整体所花的时间却并没有减少，其计算量也很大；除此之外这一次的搜索方向与前一次的搜索方向还会形成锯齿现象。
线性方程组的共轭梯度法30页PPT文档
W(3) =W*
W(1)
W(2)
沿两个相互正交的方向，进行精确一维搜索， 即可得到最优解（二维情形）
罗林开
模式识别与智能系统研究所
2020/6/27
6
n维情形: 沿相互正交的n个方向,进行精确 一维搜索,至多迭代n次,即可得到正定二次 函数
f (w) 1 wT w rT w 2
的最优解w* r.
f (x) f (x*)f (x*)T(xx*)1(xx*)T A(xx*) 2
f (x*)1(xx*)T A(xx*) 2
因此f (x)的等高面是一簇超椭球面.
罗林开
模式识别与智能系统研究所
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x(3) =x* d(2)
x(1) d(1) x(2)
从x(1)出发,沿d(1)作一维搜索,与等高面相切于x(2),记d(2) x* x(2), 再沿d(2)作一维搜索,即可得到最优解x*.由于(d(1))Tf (x(2)) 0, 因此(d(1))T Ad(2) (d(1))T A(x* x(2)) (d(1))T(Ax* Ax(2))
f (w ) f (w *) f (w *)(w w*)
1 (w w *)T I (w w *) 2
f ( w * ) 1 || w w * ||2 . 2
因 此 f ( w )的 等 高模式识别与智能系统研究所
2020/6/27
5
正交方向及其性质
( d ) (1) T A d ( 2 ) 0 则 称 这 两 个 方 向 关 于 A 共 轭 ,或 称 它 们 关 于 A 正 交 . 若 R n中 的 k 个 方 向 d (1) , d ( 2 ) ,L , d ( k ) , 它 们 两 两 关 于 A 共 轭 ,即
W(1)
W(2)
沿两个相互正交的方向，进行精确一维搜索， 即可得到最优解（二维情形）
罗林开
模式识别与智能系统研究所
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6
n维情形: 沿相互正交的n个方向,进行精确 一维搜索,至多迭代n次,即可得到正定二次 函数
f (w) 1 wT w rT w 2
的最优解w* r.
f (x) f (x*)f (x*)T(xx*)1(xx*)T A(xx*) 2
f (x*)1(xx*)T A(xx*) 2
因此f (x)的等高面是一簇超椭球面.
罗林开
模式识别与智能系统研究所
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x(3) =x* d(2)
x(1) d(1) x(2)
从x(1)出发,沿d(1)作一维搜索,与等高面相切于x(2),记d(2) x* x(2), 再沿d(2)作一维搜索,即可得到最优解x*.由于(d(1))Tf (x(2)) 0, 因此(d(1))T Ad(2) (d(1))T A(x* x(2)) (d(1))T(Ax* Ax(2))
f (w ) f (w *) f (w *)(w w*)
1 (w w *)T I (w w *) 2
f ( w * ) 1 || w w * ||2 . 2
因 此 f ( w )的 等 高模式识别与智能系统研究所
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正交方向及其性质
( d ) (1) T A d ( 2 ) 0 则 称 这 两 个 方 向 关 于 A 共 轭 ,或 称 它 们 关 于 A 正 交 . 若 R n中 的 k 个 方 向 d (1) , d ( 2 ) ,L , d ( k ) , 它 们 两 两 关 于 A 共 轭 ,即
数值分析ppt第6章_共轭梯度法
• 共轭梯度法可由多种途径引入，这里我们将采用较为直观的
最优化问题来引入。为此，我们先来介绍最速下降法。
考虑线性方程组
的求解问题。其中 是给定的
(4.1) 阶对称正定矩阵，
维向量。
是给定的
维向量，
是待求的
为此，我们定义二次泛函
(4. 2)
定理6.4.1 设
对称正定，求解方程组 的极小点。
等价于求二次泛函
证明 直接计算可得
令
，则有
若
在某点
处达到极小，则必有 ，即 是方程组的解。
，从而有
反之，若
是方程组的解，即
有
于是对任一向量
注意到A的正定性，则
，因此
即
是泛函
的极小点。
最速下降法
求解线性方程组的问题就转化为求二次泛函 的极小点的问题。求二次函数的极小值问题， 通常的做法就好象盲人下山那样，先任意给定一个初始向量 确定一个下山的方向 的直线 使得对所有实数 ，沿着经过点 找一个点 而方向为
共轭梯度法
• 在使用SOR方法求解线性方程组时，需要确定松驰因子，只 有系数矩阵具有较好的性质时，才有可能找到最佳松驰因子， 而且计算时还需要求得对应的Jacobi矩阵B的谱半径，这常常 是非常困难的。
• 介绍一种不需要确定任何参数的求解对称正定线性方程组的
方法——共轭梯度法（或简称CG法）。它是50年代初期由 Hestenes和Stiefel首先提出的，近20年来有关的研究得到了 前所未有的发展，目前有关的方法和理论已经相当成熟，并 且已经成为求解大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方法。
有
以上性质说明不论采用什么方法，ຫໍສະໝຸດ 要能够构造个两两Ａ共轭的向量
《光学相位共轭》课件
光学相位共轭的应用
光学图像重建
光学相位共轭可用于恢复被 扭曲或模糊的图像，提高图 像的清晰度和细节。
光学信息储存
光学相位共轭可用于储存和 读取光信息，实现高密度、 高速度的信息存储。
光通信
光学相位共轭可用于光通信 领域，提高光信号的传输质 量和距离。
光学相位共轭的实现技术
1
空间光调制器（SLM）
量子计算中的应用
光学相位共轭可以为量子计算 提供高质量和稳定的量子态， 推动量子计算技术的发展。
光学信号处理技术的进一 步发展
光学相位共轭的发展将推动光 学信号处理技术的创新，实现 更高效、更快速的信号处理和 传输。
结论
1 重要意义
光学相位共轭在现代科学中具有重要意义，为光学研究和应用提供了新的可能性。
空间光调制器是一种使用电信号调节光
双振荡器共振光 学相位共轭中。
双振荡器共振式相位共轭系统利用共振
的原理来实现高效的相位共轭，提高系
统的稳定性和可靠性。
光学相位共轭的未来发展
高能激光系统的应用
光学相位共轭在高能激光系统 中具有广泛的应用，如激光等 离子体物理和核聚变等领域。
《光学相位共轭》PPT课 件
欢迎来到《光学相位共轭》PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨光学相 位共轭的定义、原理、应用及实现技术，并展望其未来的发展。让我们一起 来探索这个引人入胜且具有重要意义的主题吧。
什么是光学相位共轭？
光学相位共轭是一种通过操控光的相位信息来实现光波前修复和重建的技术。它通过矫正光学系统中的相位畸 变，改善图像的质量和分辨率。
2 应用前景广阔
光学相位共轭的应用前景广阔，涵盖了多个领域，将为科学和技术带来新的突破和进步。
共轭体系、共轭效应、共振论ppt课件
2-
CO3
O
OC -
O
-O
O-
C
O
O-
OC
O-
共轭体系、共轭效应、共振论
35
2-
CO3
杂化体
O
OC -
O
-O
O-
C
O
O-
OC
O-
极限式（共振结构式）
共振
共轭体系、共轭效应、共振论
36
注意：
1）杂化体不是极限式的混合物，也不是他们的 互变平衡体系，是一个单一物质。
2）实际的极限式不存在
3）极限式代表着电子离域的限度，其越多，电 子离域可能性越大，体系能量越低。
H3C
.
C
H
.. OCH2CH3
稳定性：
H3CC +
.. Cl
H
+
＞
CH2
C H2
Cl
C a t. C H 2 = C H C l +H C l C H 3 C -H C l2
共轭体系、共轭效应、共振论
6
σ-π超共轭 3）超共轭
σ-p 超共轭
σ-π超共轭： α-C上“C-H” σ键与π键重叠形成的。
p-π共轭，且因共轭 体系大而更稳定
共轭体系、共轭效应、共振论
29
4、共轭效应和诱导效应的异同点
相同点：都是电子效应。
不同点：
诱导效应（I）： 沿σ键传递，并随碳链增长逐渐减弱，到
第4个原子已无作用。
δ+ δδ + δδ + Cl CH2—CH2—CH2—CH3
产生原因：电负性不同。
共轭体系、共轭效应、共振论
共轭体系、共轭效应、共振论