2017-2018年上海市徐汇区中考一模数学试题

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2017年上海市徐汇区位育初三中考数学练习卷

第1 页共7 页2017年上海市徐汇区位育初三中考练习卷一、选择题 1、若点P（a,a-2）在第四象限，则a的取值范围是（） A. -22 D. a<0 2、若a>b,则下列不等式成立的是（） A. a-3-2b C.44ba D. a>b-1 3、如图，将n个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点nAAA,,21分别是正方形的对角线中点，求阴影部分的面积（） A. 241cm B. 24cmn C.241cmn D. 241cmn）（

二、填空题 4、双曲线xy1m，当x>0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为

5、化简二次根式21aaa= 6、若一个正多边形的内角是135°，则这个多边形的边数是 7、若关于x的一元二次方程0322xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 8、已知在△ABC中，BE=3AE,CD=2AD，若△ADE的面积为1平方厘米，则三角形ABC的面积

9、如图所示，已知函数xy3与)0,0(2babxaxy的图象交与点P，点P的纵坐标为1，则关第2 页共7 页

于x的方程032xbxx的解为 10、如图，正方形ABCD的边长为1，E,F,G,H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S，AE设为x，则S关于x的图象大致是图

11、如图，APB=30°，圆心在边PB上的圆O半径为1cm，OP=3cm，若圆O沿BP方向移动，当圆O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm

三、简答题 12、某乡镇企业生产部有技术工人10人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这10人某月的加工零件个数

（1）求出这10人该月加工零件数的平均数和中位数

（2）假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为60件，你认为这个定额是否合理？为什么？第3 页共7 页

13、已知抛物线：122mxxy与x轴只有一个交点，且与y轴交与点A，设它的顶点B （1）求m的值（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C’，且与x轴的左半轴交与点E，与y轴交与点F，求直线EF的解析式，并判断P（1，-4）是否在直线EF上

2017年上海市数学中考真题(含答案)

2017年上海市数学中考真题(含答案)2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷注意事项：1.本试卷共25题；2.试卷满分150分，考试时间100分钟；3.答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数是A。

√2；B。

2；C。

-2；D。

(2/7)²。

2.下列方程中，没有实数根的是A。

x²-2x=0；B。

x²-2x-1=0；D。

x²-2x+2=0.3.如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是C。

k>0，且b<0.4.数据2、5、6、6、1、8的中位数和众数分别是D。

5和8.5.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是D。

等腰梯形。

6.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是D。

∠BAC=∠ADB。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2a·a²=____▲____。

8.不等式组{2x>6.x-2>0}的解集是____▲____。

9.方程2x-3=1的根是____▲____。

10.如果反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图像经过点(2,3)，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y的x值随x的值增大而___▲___。

（填“增大”或“减小”）11.某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%。

如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米。

12.从不透明的布袋中摸出一个红球的概率可以通过红球的数量除以总球数来计算，即3/(2+3+5)=3/10.13.二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a决定了开口方向和大小，由于题目中开口向上，所以a>0.又因为顶点坐标为(0,-1)，所以c=-1.因此二次函数的解析式为y=ax^2-1.14.根据图1可知，第一季度总产值为100万元，二月份产值为72万元，因此其他两个月份的产值之和为100-72=28万元。

2018年初三数学一模虹口、静安、徐汇、青浦集锦

, AC 初三数学31、已知抛物线 y = ax 2+ bx + c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线 x = -1 ③ m 的值为0④图像不经过第三象限上述结论中正确的是（） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③2、如图，在 R t ABC 中，∠ACB = 90 = 1, tan ∠CAB = 2 ，将 ABC 绕点 A 旋转后，点 B 落在 AC 的延长线上的点 D ，点C 落在点 E ，DE 与直线 BC 相交于点 F ，那么CF =． 3、对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点 S 到图形上的任意一点 P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形 A BCDE ， S 1 是“亮点”，S 2 不是“亮点”，如果A B / / DE , AE / / DC ，AB = 2, AE = 1，∠B = ∠C = 60 ，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为． 4、已知 A (-2, y ) 、B (-3, y ) 是抛物线 y = ( x -1)2+ c 上两点，则 yy ．（填“＞”、 1 2 1 2“＝”或“＜”）5、如图，在梯形 ABCD 中， AD / /BC ，EF 是梯形 ABCD 的中位线， AH / /CD 分别交EF、BC 于点G 、 H ，若 A D = a , BC = b ，则用 a 、b 表示 E G = ．6、如图，在 Rt ABC 中，∠C = 90 ，点G 是 ABC 的重心，CG = 2 ，sin ∠ACG =2 ，则 BC 3长为．7、如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1 号楼和 2 号楼的地面正中间 B 点垂直起飞到高度为 50米的A 处，测得1 号楼顶部E的俯角为60°，测得2 号楼顶部F的俯角为45°．已知1 号楼的高度为20 米，．则2号楼的高度为米（结果保留根号）8、如果抛物线y=(x-m)2+m+1的对称轴是直线x=1 ，那么它的顶点坐标为9、已知抛物线y = 2x2 - 4x - 6 .（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x 轴向左平移m (m > 0)个单位后经过原点，求m 的值.10、如图，已知ABC ，点D 在边AC 上，且AD = 2CD ，AB / / EC ，设BA =a, BC =b ．（1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD ．11、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE = 2BE ，AC 、DE 相交于点F ．（1）求DF : EF 的值；（2）如果CB =a,CD =b ，试用a 、b 表示向量EF ．12、如图，在ABC 中，点D、E分别在边A B 、AC上，AE2 =AD ⋅AB, ∠ABE =∠ACB ．（1）求证：DE / / B C ；（2）如果S ADE : S四边形DBCE =1: 8 ，求S ADE : S BDE 的值．13、如图，在平面直角坐标系x Oy中，抛物线y=-x2 +bx +c 与x轴相交于原点O 和点B（4,0），点A（3，m）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan∠OAB 的值.（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD = 45︒，求点D 的坐标；15、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-2x2 +bx +c 与x 轴交于点A(-3, 0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D 的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan ∠CEB 的值．如图，在港口A 的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B ，A 、B 相距20 海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A 的北偏东67°方向上，有一渔船C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25 海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1 小时内到达渔船C 处？18、已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD =AF ，AE ⋅CE =DE ⋅EF ．（1）求证：ADE ∽ACD ；如果AE ⋅BD =EF ⋅AF ，求证：AB =AC ．19、如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF ⊥BC 于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且AE 2 =EG ⋅ED .（1）求证：DE ⊥EF ；（2）求证：BC 2 = 2DF ⋅BF .。

2017-2018学年上海市徐汇区华育中学九年级(上)第一次月考数学试卷

2017-2018学年上海市徐汇区华育中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．（4分）下列命题中正确的个数为（）（1）邻边之比为2的两个平行四边形相似；（2）四个角都相等的四边形是相似图形（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似（4）有两边及第三边上的高对应成比例的两个三角线相似（5）两边对应成比例的两个直角三角形一定相似A．0B．1C．2D．43．（4分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若AD＝3BD，则S ：S△AOC的值为（）△DOEA．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为（）A．3B．C．3或D．4或5．（4分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为（）A．B．2C．4﹣4D．6．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE．①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC．则下列结论正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③④D．①③二、填空题（每题4分）7．（4分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE 将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝．8．（4分）如图，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC＝12，则FG 的长是．9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是．10．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB，CE交DF，CE交DF，DB交于点M、N，则EM：MN：NC等于．11．（4分）如图在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC 于点F，已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是．12．（4分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．13．（4分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为．14．（4分）设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）15．（4分）如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，则CE＝．16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是CD的中点，AC与BE 交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是．17．（4分）如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝．18．（4分）如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC 沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：4，设折痕为MN，则AN的值为．三、解答题（19-22每题10分，23，24每题12分25题14分）19．（10分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．20．（10分）如图，在锐角△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：＝；（2）设EF的长为x．①当x为何值时，矩形EFPQ为正方形？②当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD＝DE＝EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC ＝2CF；（2）连接AD，如果∠ADG＝∠B，求证：CD2＝AC•CF．22．（10分）在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：；（2）若∠CGF＝90°，求的值．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE （1）求证：DE•AB＝AC•BE；（2）如果AC2＝AD•AB，求证：AE＝AC．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），cot∠OCA＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线l与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．。

初中数学上海市徐汇区中考模拟数学一模考试题含答案

xx 学校xx 学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A．= B．=3 C．= D．=试题2:如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C ． D．试题3:如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2试题4:在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC试题5:一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米 B．1000米 C．2000米 D．3000米已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2试题7:已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．试题8:点C是线段AB延长线的点，已知=，=，那么= ．试题9:如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．试题10:如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．试题11:如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．试题12:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．试题13:正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．试题14:已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．试题16:在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．试题17:在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．试题18:如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．试题19:计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．试题20:将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．试题21:如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=，=．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．试题22:如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）试题23:如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．试题24:如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．试题25:如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．试题1答案:B【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．试题2答案:D【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．试题3答案:C【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．试题4答案:D【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．试题5答案:C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．试题6答案:A【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．试题7答案:6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．试题8答案:﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=，=，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．试题9答案:．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．试题10答案:：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．试题11答案:AP2=BP•AB ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．试题12答案:．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．试题13答案:．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF ∽△DEF是解题的关键．试题14答案:．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．试题15答案:．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．试题16答案:16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．试题17答案:2．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．试题18答案:．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．试题19答案:【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．试题20答案:【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C 的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．试题21答案:【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==，==，=+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==，==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．试题22答案:【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．试题23答案:【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．试题24答案:【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．试题25答案:【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB 时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。

2017年上海市徐汇区高考一模数学

2017年上海市徐汇区高考一模数学一、填空题(共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分)1.25lim1nnn→∞-+=______.解析：522520lim lim11101n nn nnn→∞→∞---==+++=2.答案：2.2.已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M(1，3)，则其焦点到准线的距离为______.解析：由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M(1，3)，则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2=2px，将M(1，3)代入9=2p，解得：92p=，∴抛物线的标准方程为：y2=9x，由焦点到准线的距离92d p==.答案：92.3.若线性方程组的增广矩阵为0201ab⎛⎫⎪⎝⎭，解为21xy⎧⎨⎩＝＝，则a+b=______. 解析：由题意知21xy⎧⎨⎩＝＝是方程组2axy b⎧⎨⎩＝＝的解，即221ab⎧⎨⎩＝＝，则a+b=1+1=2.答案：2.4.若复数z满足：i z i⋅=(i是虚数单位)，则|z|=______.解析：由i z i⋅=，得1z==-，故2z==.答案：2.5.在622()xx+的二项展开式中第四项的系数是______.解析：在622()xx+的二项展开式中第四项：333333466228 160T C x C x x x --⎛⎫= ⎝⎭=⎪＝.∴在622()x x+的二项展开式中第四项的系数是160.答案：160.6.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=1，AA 1，则异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为______.解析：如图，连接D 1B 1；∵CC 1∥BB 1；∴BD 1与CC 1所成角等于BD 1与BB 1所成角； ∴∠B 1BD 1为异面直线BD 1与CC 1所成角；∴在Rt △BB 1D 1中，1111cos 2BB B BD BD ∠=＝； ∴异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为4π.答案：4π.7.若函数2()20xf x x x m x =≤-⎪⎪⎩+⎧⎨，，＞的值域为(-∞，1]，则实数m 的取值范围是______.解析：x ≤0时：f(x)=2x∈(0，1].x ＞0时，f(x)=-x 2+m ，函数的对称轴x=0，f(x)在(-∞，0)递增，∴f(x)=-x 2+m ＜m ，函数2()200xf x x xm x =≤-⎪⎪⎩+⎧⎨，，＞的值域为(-∞，1]，故0＜m ≤1. 答案：(0，1].8.如图，在△ABC 中，若AB=AC=3，1cos 2BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅=______.解析：根据条件：AD AB BD +＝=13AB BC += ()13AB AC AB +-=2133AB AC +； ∴()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭-＝=22121333AB AC AB AC ⋅-+ =112133993233⨯⨯⨯-⨯+⨯ =32-.答案：32-.9.定义在R 上的偶函数y=f(x)，当x ≥0时，f(x)=lg(x 2-3x+3)，则f(x)在R 上的零点个数为______个.解析：当x ≥0时，f(x)=lg(x 2-3x+3)，函数的零点由：lg(x 2-3x+3)=0，即x 2-3x+3=1，解得x=1或x=2.因为函数是定义在R 上的偶函数y=f(x)，所以函数的零点个数为：4个. 答案：4.10.将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有______种？(结果用数值表示)解析：由题意，不同的停车位置安排共有262840320A A =种.答案：40320.11.已知数列{a n }是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为S n ，设2nn nS b n =⋅(n ∈N*)，若数列{b n }是递减数列，则实数m 的取值范围是______.解析：()212(1)2n n n S n m mn m n -=+⨯=+-. ∴122n n n nS mn mb n +-==⋅， ∵数列{b n }是递减数列， ∴b n+1＜b n ，∴()111122n nn m m mn m+++-+-＜，化为：m(n-2)+1＞0，对于∀n ∈N*都成立.n=1时，m ＜1； n=2时，m ∈R ； n ＞2时，12m n-＞，解得m ≥0. 综上可得：m ∈[0，1). 答案：[0，1).12.若使集合A={x|(kx-k 2-6)(x-4)＞0，x ∈Z}中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是______.解析：集合A={x|(kx-k 2-6)(x-4)＞0，x ∈Z}，∵方程(kx-k 2-6)(x-4)=0，解得：16x k k+＝，x 2=4， ∴(kx-k 2-6)(x-4)＞0，x ∈Z 当k=0时，A=(-∞，4)；当k ＞0时，64k k +＜，A=(-∞，4)∪(6k k +，+∞)；当k ＜0时，6k k +＜4，A=(6k k+，4).∴当k ≥0时，集合A 的元素的个数无限；当k ＜0时，6k k +＜4，A=(6k k +，4).集合A 的元素的个数有限，令函数g(k)=6k k+，(k ＜0)则有：g k ≤-（）， ∵题意要求x ∈Z ，故得：6k k +≥-5，且6k k+＜-4，解得：-3≤k ≤-2答案：[-3，-2].二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分) 13.“4x k k Z ππ=+∈（）”是“tanx=1”成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：∵tanx=1，∴4x k k Z ππ=+∈（）∵4x k k Z ππ=+∈（）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“4x k k Z ππ=+∈（）”是“tanx=1”成立的充分必要条件.答案：C14.若1-(i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，则( ) A.b=2，c=3 B.b=2，c=-1 C.b=-2，c=-1 D.b=-2，c=3解析：∵1是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，∴1是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根，∴()()1111b c ⎧+-⎪⎨+⎪⎩＝，解得b=-2，c=3.答案：D.15.已知函数f(x)为R 上的单调函数，f -1(x)是它的反函数，点A(-1，3)和点B(1，1)均在函数f(x)的图象上，则不等式|f -1(2x)|＜1的解集为( ) A.(-1，1) B.(1，3) C.(0，log 23) D.(1，log 23)解析：∵点A(-1，3)和点B(1，1)在图象上，∴f(-1)=3，f(1)=1，又f -1(x)是f(x)的反函数， ∴f -1(3)=-1，f -1(1)=1，由|f -1(2x )|＜1，得-1＜f -1(2x)＜1，即f -1(3)＜f -1(2x )＜f -1(1)，函数f(x)为R 的减函数，∴f -1(x)是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x ＜log 23.∴不等式|f -1(2x)|＜1的解集为(0，log 23). 答案：C.16.如图，两个椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到F 1(-4，0)、F 2(4，0)、E 1(0，-4)、E 2(0，4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y=x 、y=-x 均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36. 上述判断中正确命题的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析：对于①，若点P 在椭圆221259x y +=上，P 到F 1(-4，0)、F 2(4，0)两点的距离之和为定值、到E 1(0，-4)、E 2(0，4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆221259x y +=，221259y x +=关于直线y=x 、y=-x 均对称，曲线C 关于直线y=x 、y=-x 均对称，故正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确. 答案：C三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AP=BC=2，∠CBA=30°，D 是AB 的中点. (1)求PD 与平面PAC 所成的角的大小；(2)求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积.解析：(1)先判断∠DPA 就是PD 与平面PAC 所成的角，再在Rt △PAD 中，即可求得结论； (2)△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥，从而可求体积. 答案：(1)∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，又∵AC ⊥AB ，PA ∩AC=A ∴AB ⊥平面PAC ，∴∠DPA 就是PD 与平面PAC 所成的角.在Rt △PAD 中，PA=2，AD =，∴tan DPA ∠=∴arctan 4DPA ∠=，即PD 与平面PAC 所成的角的大小为(2)△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥，∴22113223322V πππ⎛ ⎝⎭⨯⨯-⨯⨯=＝.18.已知函数2sin ()cos 1x xf x x -=.(1)当x ∈[0，2π]时，求f(x)的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫⎪⎭=⎝，a=4，b+c=5，求△ABC 的面积.解析：(1)由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式()sin(2)3f x x π=++，结合范围4233]3[x πππ+∈，，利用正弦函数的性质即可得解值域.(2)由已知可求sin3A π+=（），结合范围4()333A πππ+∈，，可得3A π=，由余弦定理解得：bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解.答案：(1)∵22sin ()sin cos sin(2)32cos 1x xf x x x x x x π-==+=++， ∵x ∈[0，2π]，4233]3[x πππ+∈，，∴sin(2)[3]1x π+∈，可得：()sin(2)013[f x x π=++，.(2)∵sin()23A f A π⎛⎫⎪=+⎭+=⎝sin()3A π+=∵A ∈(0，π)，4()333A πππ+∈，，可得：233A ππ+=，解得：3A π=.∵a=4，b+c=5，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA ，可得：16=b 2+c 2-bc=(b+c)2-3bc=25-3bc ，解得：bc=3，∴11sin 32224ABCSbc A ==⨯⨯=.19.某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x 的函数；(2)该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？解析：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系； (2)由(1)的结论，我们设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为10-x 万元.这时可以构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.答案：(1)f(x)=k 1x ，()g x k =， f(1)=0.25=k 1，g(4)=2k 2=2.5，∴f(x)=0.25x(x ≥0)，()g x =(x ≥0)，(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为10-x 万元.y=f(10-x)+g(x)=0.25(10-x)+(0≤x ≤10)，令y=-0.25t 2+1.25t+2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，max 6516y =万元.20.如图，双曲线Γ：2213x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 交y 轴于点Q. (1)当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点F 1到直线l 的距离；(2)当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=(其中O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解析：(1)由双曲线Γ：2213x y -=，焦点在x 轴上，b=1，2c ==，则令k =直线l 的方程为：2)y x =-，即y-2=0，则点F 1到直线l 的距离为2d ==；(2)直线l 的方程为y=x-2，点Q(0，-2)，假设在Γ的右支上存在点P(x 0，y 0)，则x 0＞0，110F P FQ ⋅=，代入求得y 0=x 0+2，代入双曲线方程求得2x 02+12x 0+15=0，由△＜0，所以不存在点P 在右支上；(3)设直线l 的方程为y=kx+b ，联立方程组，由韦达定理则33()OM x y =，，1()4OM OA OB =-+，M 为双曲线上一点，即x 32-3y 32=3，则x 1x 2-3y 1y 2=21①由x 1x 2-3y 1y 2=x 1x 2-3(x 1+b)(x 2+b)，=-2x 1x 2-3b(x 1+x 2)-3b22222633233211313kb b b b k k--=-⋅-⋅-=--，即可求得k 与b 的值，求得直线l 的方程；方法二：设直线l 的方程为y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得M 点坐标，代入双曲线的方程，即可求得m 的值.答案：(1)双曲线Γ：2213x y -=，焦点在x 轴上，b=1，2c ==，则双曲线左、右焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，过F 2作直线l ，设直线l 的斜率为k ，l 交y 轴于点Q. 当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，不妨令k =则直线l的方程为：2)y x =-，即，则点F 1到直线l的距离为2d ==；(2)当直线l 的斜率为1时，直线l 的方程为y=x-2，则点Q(0，-2)；假设在Γ的右支上存在点P(x0，y0)，则x0＞0； ∵110F P FQ ⋅=， ∴(x 0+2)(0+2)+(y 0-0)(-2-0)=0，整理得y 0=x 0+2，与双曲线方程220013x y -=联立，消去y 0，得2x 02+12x 0+15=0，△=24＞0，方程有实根，解得：124x -±=所以不存在点P 在右支上；(3)当k=0时，直线l 的方程x=2，则A(2，B(2，，由1()4OM OA OB =-+，∴M(1，0)，则M 不椭圆上，显然不存在，当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y=kx+b ，联立方程组2213y kx b x y +⎧⎪⎨-=⎪⎩＝，消去y ，得(1-3k 2)x 2-6kbx-3b 2-3=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则122613kbx x k +=-，21223313b x x k --⋅=-，设33()OM x y =，，40OA OB OM ++=，1()4OM OA OB =-+，即()()3123121-414x x x y y y ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，又M 为双曲线上一点，即x 32-3y 32=3，由(x 1+x 2)2-3(y 1+y 2)2=48，化简得：(x 12-3y 12)+(x 22-3y 22)+2(x 1x 2-3y 1y 2)=48，又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上，所以x 12-3y 12=3，x 22-3y 22=3， ∴x 1x 2-3y 1y 2=21，由直线l 过椭圆的右焦点F(2，0)，则2bk =-，① 而x 1x 2-3y 1y 2=x 1x 2-3(kx 1+b)(kx 2+b)，=x 1x 2-3k 2x 1x 2-3kb(x 1+x 2)-3b 2=2222633233211313kb b b b k k---⋅-⋅-=--，② 由①②解得：222k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，或222k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线l 的方程x=y+2.方法二：设直线l 的方程为y=my+2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)22213x my x y +⎧⎪⎨-=⎪⎩＝，整理得：(m 2-3)y 2+4my+1=0，则12243m y y m -=-+，12213y y m ⋅=-，121221243x x m y y m +=++=--（）， 22121212122123(2)(2)2()43m x x my my m y y m y y m +⋅=++=⋅++=--+，OA OB OM +=-，则(x 1+x 2，y 1+y 2)=OM -， ∴120120-4-4x x x y y y ⎩++⎧⎨＝＝，求得：0022333mx y m m ==--，，由M 在椭圆方程，代入220013x y -=，求得m 2=2，解得：m = 直线l 的方程2x =+.21.正整数列{a n }，{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2，k ∈N*，a k 是a k-1与b k-1的等差中项，b k 是a k-1与b k-1的等比中项.(1)若a 2=2，b 2=1，求a 1，b 1的值；(2)求证：{a n }是等差数列的充要条件是{a n }为常数数列；(3)记c n =|a n -b n |，当n ≥2(n ∈N*)时，指出c 2+…+c n 与c 1的大小关系并说明理由.解析：(1)正整数列{a n }，{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2，k ∈N*，a k 是a k-1与b k-1的等差中项，b k 是a k-1与b k-1的等比中项.可得2a k =a k-1+b k-1，b k 2=a k-1b k-1，对k 取值即可得出.(2){a n }是等差数列，2a k =a k-1+b k-1，2a k =a k-1+a k+1，可得b k-1=a k+1，b k =a k+2，b k 2=a k-1b k-1，a k+22=a k-1a k+1，k=2时，a 42=a 1a 3，(a 1+3d)2=a 1(a 1+2d)，可得d=0.即可证明. (3)对一切k ≥2，k ∈N*，a k 是a k-1与b k-1的等差中项，b k 是a k-1与b k-1的等比中项.2a n =a n-1+b n-1，b n 2=a n-1b n-1，利用基本不等式的性质可得112n n n n a b a b --+=≥==，c n =|a n -b n |=a n -b n .可得(()1111122222n n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b +++-==+-≤+-=-（），即112n n c c +≤.利用等比数列的求和公式即可得出. 答案：(1)正整数列{a n }，{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2，k ∈N*， a k 是a k-1与b k-1的等差中项，b k 是a k-1与b k-1的等比中项.∴2a k =a k-1+b k-1，b k 2=a k-1b k-1，a 2=2，b 2=1，可得4=a 1+b 1，1=a 1b 1，解得a 1，b 1(2)证明：{a n }是等差数列，2a k =a k-1+b k-1，2a k =a k-1+a k+1，可得b k-1=a k+1，则b k =a k+2，∵b k 2=a k-1b k-1，∴a k+22=a k-1a k+1，k=2时，a 42=a 1a 3，(a 1+3d)2=a 1(a 1+2d)， 6a 1d+9d 2=2a 1d ，即d(4a 1+9d)=0，正整数列{a n }，可知d ≥0，4a 1+9d ＞0，∴d=0. ∴数列{a n }为常数数列.{a n }是等差数列的充要条件是{a n }为常数数列.(3)对一切k ≥2，k ∈N*，a k 是a k-1与b k-1的等差中项，b k 是a k-1与b k-1的等比中项.2a n =a n-1+b n-1，b n 2=a n-1b n-1，∴112n n n n a b a b --+=≥==，又已知a 1≥b 1，∴c n =|a n -b n |=a n -b n .∴(()1111122222n n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b +++-=-=+-≤+-=-（），即112n n c c +≤. ∴12121111222n n n n c c c c ---≤≤≤⋯≤， ∴211111************n n n c c c c c c c --⎛⎫ ⎪⎝⎭+⋯+≤++⋯+=-≤. ∴当n ≥2(n ∈N*)时，c 2+…+c n ≤c 1.。

2018徐汇一模

上海市徐汇区2018届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =2. 在复平面内，复数54ii+（i 为虚数单位）对应的点的坐标为3. 函数()f x =的定义域为4. 二项式41()2x x-的展开式中的常数项为5. 若42021xx=，则x =6. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是7. 在坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点1(2A -，将OA 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到OA '，则OA '的坐标为8. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距海里（精确到0.1海里）9. 若公差为d 的等差数列{}n a （*n N ∈）满足3410a a +=，则公差d 的取值范围是10. 著名的斐波那契数列{}:1,1,2,3,5,8,n a ⋅⋅⋅，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+（*n N ∈），那么357920171a a a a a +++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第项11. 若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知a 是ABC ∆的一个内角，则“sin 2α=”是“45α=︒”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要14. 下列命题中，假命题的是（）A. 若z 为实数，则z z =B. 若z z =，则z 为实数C. 若z 为实数，则z z ⋅为实数D. 若z z ⋅为实数，则z 为实数15. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（） A. 3353P P ⋅ B. 863863P P P -⋅ C. 3565P P ⋅ D. 8486P P -16. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，则PEQ ∆周长的最小值为（）A. B. C. D.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，梯形ABCD 满足AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，且AB =1BC =，30BAD ∠=︒，现将梯形ABCD 绕AB 所在的直线旋转一周，所得几何体记作Ω.（1）求Ω的体积V ；（2）求Ω的表面积S .18. 如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，(0,1)E 是线段MC 的中点. （1）若点M 的坐标为(1,0)-，求点C 、点N 和点D 的坐标；（2）若点M 的坐标为(,0)m -（0m >），且2344MC MD π⋅=-，试确定函数()f x 解析式.19. 已知函数()||3mf x x x=+-（m R ∈，0x ≠）. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点个数.20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.21. 设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d ，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅- （1,2,3,n =⋅⋅⋅），其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数.（1）若2n a n =，42n b n =-，求1c 、2c 、3c 的值，并猜想数列{}n c 通项公式（不必证明）；（2）设n a n =-，2n b n =-+，若不等式231112222nn c c c nλ⋅++⋅⋅⋅+<---对不小于2的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围；（3）试探究当无穷数列{}n c 为等差数列时，1d 、2d 应满足的条件并证明你的结论.2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准 2017.12一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分１．3 2．(4,5)- 3．(]0,10 4．325．1 6．22(5)(5)1x y -+-= 7．1)2 8．4.2 9．),2[]2,(+∞--∞ 10．2018 11． )38,3[- 12．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分） 13．B 14．D 15．C 16．B 三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 【解】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E由已知1,2ED BC AE EB AB =====于是221113V ππ=⋅⋅⋅．--------------7分（2）212123S ππππ=⋅⋅+⋅+=+．-------14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）设(),C C C x y ，由中点坐标公式得()100,1,1,222C C C C x y x y +-+==∴== 于是()1,2C 、()3,0N 、()5,2D -．------------------------6分（2）同样由)1,0(E 是线段MC 的中点，得2=A ，)2,(m C ，)2,5(-m D ，于是4122-=⋅m ，-----------------8分由条件2344MC MD π⋅=-可求得4m π=，由282T m ππω===，得1ω=，进而求得4πϕ=，因此函数)(x f 的解析式为()2sin()4f x x π=+．-----------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1) 当0m =时，()||3f x x =-，此时()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，当0m ≠时，()()()()()()12,12,11,11f m f m f f f f =--=--∴-≠-≠-所以)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………6分（2）由()0f x =，可得()300x x x m x -+=≠变为()30m x x x x =-+≠DCA BE令222239,03,024()3||3,039,024x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎧-+>⎪⎪⎝⎭=-==⎨⎨+<⎪⎛⎫⎩⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，-----8分作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：当94m >或94m <-时，()y f x =有1个零点．-----------------------10分当94m =或0m =或94m =-时，()y f x =有2个零点；---------------12分当904m <<或904m -<<时，()y f x =有3个零点------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)因为21F QF ∆是等腰直角三角形，所以c b =，则b a 2=，把点)23,22(P 代入椭圆方程，得2=a ，1=b ，故椭圆C 的标准方程为1222=+y x ----------------------4分 (2)设直线AB 的方程为1+=my x ，不妨设0>m ，点),(11y x A 、),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222my x y x ，得012)2(22=-++my y m ，则22221+-=+m m y y ，242)(22121+=++=+m y y m x x ，则)2,22(22+-+m mm M ------------------7分解法一、()()22222130332,,22212112123MR NR m m m m m k k m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭+====⎡⎤--⎛⎫---⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以MR NR k k =，故直线MN 恒过定点2(,0)3R ． ----------------------------------10分解法二、同理，可得)21,212(222mmm m N ++，所以直线MN 的方程为2)22()1(23222+-+--=m mm x m m y 即)23)(2()2(2324-+=-+x m m y m m ，故直线MN 恒过定点2(,0)3R ． 10分(3)22222)2()122(||++-+=m m m MF 2224++=m m m ，同理2)1()1()1(||2242+--+-=mm m NF 2MNF ∆面积||||2122NF MF S ==2)1(412+++mm m m ，设21≥+=m m t ， 91241242≤+=+=tt t t S ，当且仅当2=t 即1=m 时，2MNF ∆面积取最大值91． 16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】(1)1231232,4,6,2,6,10a a a b b b ======当1n =时，{}{}111max max 00c b a =-==当2n =时，{}{}21122max 2,2max 2,22c b a b a =--=--=-当3n =时，{}{}3112233max 3,3,3max 4,6,84c b a b a b a =---=---=- 1230,2,4c c c ∴==-=-，猜想()22n c n n N *=-+∈． ----------------4分(2) 当k N *∈，且2k n ≤≤时，()1110k k k k b na b na n -----=->所以},,,m ax {2211n a b n a b n a b c n n n ---= n a b n n -==2)1(+-n n 故n n c c c n )1(132121*********-++⋅+⋅=-++-+- n11-=----7分由题意得n n n 211⋅<-λ即n n 21->λ对不小于2的一切自然数n 都成立．设n n n p 21-=，则022212111≤-=--=-+++n n n n n n n n p p 故max 231()4n p p p ===，所以λ的取值范围为14λ>． ----------------10分 (3) 当k N *∈，且2k n ≤≤时， ()()111121k k k k k k k k b na b na b b n a a d nd -------=---=-．下面分1110,0,0d d d =><三种情况进行讨论，① 若10d =，则()112k k k k b na b na d -----=于是当20d ≤时，()1120k k k k b na b na d -----=≤，则对于任意给定的正整数n ，()11111,1n n c b na c b n a +=-=-+，此时11n n c c a +-=-， ∴数列{}n c 是等差数列；------------------------------------------------------------11分当20d >时，()1120k k k k b na b na d -----=>则对于任意给定的正整数n ，()1111,1n n n n n n c b na b na c b n a ++=-=-=-+，此时121n n c c d a +-=-，∴数列{}n c 是等差数列；----------------------------------12分② 若10d >，若212d d ≤，则必有21d nd ≤对任意()2n n N *≥∈成立．此时 ()11111,1n n c b na c b n a -=-=--，此时11n n c c a --=-，∴数列{}n c 是等差数列；14分若212d d >，则当213d d ≥时，111222333,2,3c b a c b a c b a =-=-=-于是()2131220c c c d -+=≠，∴数列{}n c 不是等差数列；-----------------15分当12123d d d <<时，111222311,2,3c b a c b a c b a =-=-=-于是()()213212220c c c d d -+=-≠，∴数列{}n c 不是等差数列；-------16分 ③ 若10d <，则必存在s N *∈，使得当n s ≥时，21d n d >，此时就有21d nd >，即210d nd ->，此时()()121111n n n c b a n b n d a n d n =-⋅=+--+-⋅⎡⎤⎣⎦ ()()112111n c b nd a nd n +=+-+⋅+，所以11212n n c c n d d a +-=-⋅+-与正整数n 有关， ∴数列{}n c 不是等差数列．综合得，若}{n c 为等差数列，则有01>d 且212d d ≤或01=d ． ----------18分。

上海市各市县2017届中考数学试题分类汇编-初三一模相似形、比例和线段

上海市各市县2017届中考数学试题分类汇编.初三一模相似形、比例和线段【2017年一模普陀1】“相似的图形”是（）（A ）形状相同的图形；（B ）大小不相同的图形；（C ）能够重合的图形；（D ）大小相同的图形．【答案】A【2017年一模宝山7】已知23a b =，那么a b= ；【答案】23 【2017年一模宝山9】如图，D 为ABC △的边AB 上一点，如果=ACD ABC ∠∠，那么图中是AD 和AB 的比例中项；【答案】 AC【2017年一模奉贤7】如果线段a 、b 、c 、d 满足13a c b d ==，那么+a c b d =+ ；【答案】31 【2017年一模奉贤9】已知线段3a =，6b =，那么线段a ，b 的比例中项等于；【答案】23【2017年一模嘉定1】已知线段a ,b ,c ,d ,如果dc b a =，那么下列式子中不一定正确的是（） A 、bc ad =； B 、c a =，d b = C 、d c c b a a +=+ D 、b a d b c a =++ 【答案】B【2017年一模闵行7】已知：32a b =，那么2323a b a b +=- 【答案】135-【2017年一模闵行9】如果地图上A 、B 两处的图距是4cm ，表示这两地实际的距离是20km ，那么实际距离是500km 的两地在地图上的图距是 cm【答案】100【2017年一模普陀7】如果:4:3x y =，那么x y y-= ；【答案】13【2017年一模松江7】已知34a b =，则2a a b +的值为____________. 【答案】67【2017年一模徐汇1】如果2x=3y ，那么下列各式中正确的是（）A 、23x y =B 、3x x y =-C 、53x y y +=D 、25x x y =+ 【答案】B【2017年一模徐汇7】已知线段a=9，c=4，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b=___________【答案】6【2017年一模长宁、金山7】如果()340x y x =≠，那么x y=__________. 【答案】43【2017年一模崇明1】如果）均不为，（0y x 3y 5x =，那么y x ：的值是（）；35.A ;53.B 83.C 85.D【答案】B【2017年一模虹口7】已知线段4a cm = ，1c cm = ，则线段 a 和c 的比例中项_____b cm =【答案】2【2017年一模黄浦7】已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果3a =，2b =，那么c = 【答案】92【2017年一模浦东新区7】已知线段34a cm b cm ==，，那么线段a b 、的比例中项等于 cm ；【答案】 23【2017年一模杨浦1】如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（） A. 2:1 B. 2:3 C. 3:1 D. 3:2【答案】【2017年一模杨浦7】线段3cm和4cm的比例中项是cm 【答案】23。

∥3套精选试卷∥上海市知名初中2017-2018中考数学联合模拟试题及答案

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（）A ．2B ．1C ．3D ．32【答案】B【解析】根据题意画出图形，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，由三角形重心的性质得AD=3x ，利用锐角三角函数表示出BD 的长，由垂径定理表示出BC 的长，然后根据面积法解答即可．【详解】如图，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，则AD=3x ，∵tan ∠BAD=BD AD， ∴BD= tan30°·3，∴3，∵1332BC AD ⋅=, ∴1233， ∴x ＝1所以该圆的内接正三边形的边心距为1，故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．2．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，CH ┴AF 与点H ，那么CH 的长是（）A ．223B ．5C ．322D ．355【答案】D【解析】连接AC 、CF ，根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH 的长.【详解】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，BC=1，CE=3，∴AC=2 ，CF=32，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF=2222(2)(32)25AC CF +=+=，∵CH ⊥AF ， ∴1122AC CF AF CH ⋅=⋅，即112222522CH ⨯=⨯⋅， ∴CH=355. 故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，DE ∥AB ，若∠CDE=165°，则∠B 的度数为（）A ．15°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】D 【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE ∥AB ，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C ﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．4．如图是二次函数y =ax 2+bx + c(a≠0)图象如图所示，则下列结论，①c<0，②2a + b=0；③a+b+c=0，④b 2–4ac<0，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】B 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜1，故①正确；②对称轴x 2b a=-=1，则2a+b=1．故②正确； ③由图可知：当x=1时，y=a+b+c ＜1．故③错误；④由图可知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2﹣4ac ＞1．故④错误．综上所述：正确的结论有2个．故选B ．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．6．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是( )A ．50°B ．70°C ．80°D ．110°【答案】C 【解析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD 是∠BAC 的平分线，进而可得∠BAC 的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a ∥b ，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．7．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（） A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 【答案】B【解析】设全组共有x 名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.8．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷

2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是．（结果用数值表示）6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为个．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有种？（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=315．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3） C．（0，log23）D．（1，log23）16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=2．【分析】分式分子、分母同除以n，运用常见数列的极限为0，计算即可得到所求值．【解答】解：===2．故答案为：2．【点评】本题考查数列极限的求法，注意运用常见数列的极限公式，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．【分析】由题意可知：设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，求得抛物线方程，则焦点到准线的距离d=p=9．【解答】解：由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，∴抛物线的标准方程为：y2=9x，由焦点到准线的距离d=p=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线方程的应用，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=2．【分析】求出z，根据复数求模公式求出z的模即可．【解答】解：由iz=+i，得z==1﹣i，故|z|==2，故答案为：2．【点评】本题考查了复数求模公式，复数的化简，是一道基础题．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．（结果用数值表示）【分析】利用二项式定义的通项公式求解．【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：=8C x﹣3=160x﹣3．∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．故答案为：160．【点评】本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．【分析】根据条件画出图形，并连接D1B1，可以判断出∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成的角，从而在Rt△BB1D1中可求出cos∠B1BD1，进而便可得出∠B1BD1的大小．【解答】解：如图，连接D1B1；∵CC1∥BB1；∴BD1与CC1所成角等于BD1与BB1所成角；∴∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成角；∴在Rt△BB1D1中，cos∠B1BD1=；∴异面直线BD1与CC1所成角的大小为．故答案为：．【点评】考查异面直线及异面直线所成角的概念，三角函数的定义，已知三角函数值求角．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是（0，1] ．【分析】根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（﹣∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=﹣x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（﹣∞，0）递增，∴f（x）=﹣x2+m＜m，函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．【分析】由条件可先得出，且，从而带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：根据条件：===；∴===．故答案为：．【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为4个．【分析】利用函数是偶函数求出xx≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．【解答】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），函数的零点由：lg（x2﹣3x+3）=0，即x2﹣3x+3=1，解得x=1或x=2．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有40320种？（结果用数值表示）【分析】根据将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，利用排列知识可得结论．【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A22A86=40320种．故答案为40320．【点评】本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是[0，1）．【分析】利用求和公式可得S n=n+×2m．可得b n==，由数列{b n}是递减数列，可得b n＜b n，即可得出．+1【解答】解：S n=n+×2m=mn2+（1﹣m）n．∴b n==，∵数列{b n}是递减数列，＜b n，∴＜，∴b n+1化为：m（n﹣2）+1＞0，对于∀n∈N*都成立．n=1时，m＜1；n=2时，m∈R；n＞2时，m，解得m≥0．综上可得：m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是[﹣3，﹣2] ．【分析】化简集合A，对k讨论即可．求解x的范围，可得答案．【解答】解：集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}，∵方程（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）=0，解得：，x2=4，∴（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z当k=0时，A=（﹣∞，4）；当k＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．∴当k≥0时，集合A的元素的个数无限；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A的元素的个数有限，令函数g（k）=k+，（k＜0）则有：g（k）≤﹣2，∵题意要求x∈Z，故得：k+≥﹣5，且k+＜﹣4，解得：﹣3≤k≤﹣2故答案为：[﹣3，﹣2]．【点评】本题考查的是集合元素的分布以及运算问题，方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C．【点评】本题考察了充分必要条件的定义，属于容易题．14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=3．故选：D．【点评】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3） C．（0，log23）D．（1，log23）【分析】由已知结合互为反函数的两个函数图象间的关系可得f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，再由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），再由函数的单调性转化为指数不等式求解．【解答】解：∵点A（﹣1，3）和点B（1，1）在图象上，∴f（﹣1）=3，f（1）=1，又f﹣1（x）是f（x）的反函数，∴f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），函数f（x）为R的减函数，∴f﹣1（x）是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x＜log23．∴不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（0，log23）．故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，体现了数学转化思想方法，是基础题．16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值；②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部．【解答】解：对于①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．【分析】（1）先判断∠DPA就是PD与平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得结论；（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，从而可求体积．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵AC⊥AB，PA∩AC=A∴AB⊥平面PAC，∴∠DPA就是PD与平面PAC所成的角．…（2分）在Rt△PAD中，PA=2，AD=，…（4分）∴tan∠DPA=∴∠DPA=arctan，…（5分）即PD与平面PAC所成的角的大小为arctan．…（6分）（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，∴﹣=．…（12分）．【点评】本题考查线面角，考查几何体的体积，确定线面角，明确几何体的形状是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）=，结合范围A+∈（，），可得A=，由余弦定理解得：bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）解：（1）∵f（x）==cos2x+sinxcosx=sin（2x+）+，∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=sin（2x+）+∈[0，1+]．（2）∵f（）=sin（A+）+=，可得：sin（A+）=，∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+=，解得：A=．∵a=4，b+c=5，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25﹣3bc，解得：bc=3，=bcsinA=3×=．∴S△ABC【点评】本题主要考查了行列式的计算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【分析】（1）由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．【解答】解：（1）f（x）=k1x，g（x）=k2，f（1）=0.25=k1，g（4）=2k2=2.5，∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25（x≥0），（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．y=f（10﹣x）+g（x）=0.25（10﹣x）+1.25（0≤x≤10），令t=，则y=﹣0.25t2+1.25t+2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，y max=万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．【分析】（1）由双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则令k=，直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l 的距离为d==2；（2）直线l的方程为y=x﹣2，点Q（0，﹣2），假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0，=0，代入求得y0=x0+2，代入双曲线方程求得2+12x0+15=0，由△＜0，所以不存在点P在右支上；（3）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，由韦达定理则=（x3，y3），=﹣（+），M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，则x1x2﹣3y1y2=21①由x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（x1+b）（x2+b），=﹣2x1x2﹣3b（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，即可求得k与b的值，求得直线l的方程；方法二：设直线l的方程为y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得M点坐标，代入双曲线的方程，即可求得m的值．【解答】解：（1）双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则双曲线左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2作直线l，设直线l的斜率为k，l交y轴于点Q．当直线l平行于Γ的一条渐近线时，不妨令k=，则直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l的距离为d==2；（2）当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x﹣2，则点Q（0，﹣2）；假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0；∵=0，∴（x0+2）（0+2）+（y0﹣0）（﹣2﹣0）=0，整理得y0=x0+2，与双曲线方程﹣=1联立，消去y0，得2+12x0+15=0，△=24＞0，方程有实根，解得：x=＜，所以不存在点P在右支上；（3）当k=0时，直线l的方程x=2，则A（2，），B（2，﹣），由=﹣（+），∴M（1，0），则M不椭圆上，显然不存在，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，消去y，得（1﹣3k2）x2﹣6kbx﹣3b2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），++4=，=﹣（+），即，又M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，由（x1+x2）2﹣3（y1+y2）2=48，化简得：（x12﹣3y12）+（x22﹣3y22）+2（x1x2﹣3y1y2）=48，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣3y12=3，x22﹣3y22=3，∴x1x2﹣3y1y2=21，由直线l过椭圆的右焦点F（2，0），则k=﹣，①而x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（kx1+b）（kx2+b），=x1x2﹣3k2x1x2﹣3kb（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，②由①②解得：，或，∴直线l的方程x=±y+2．方法二：设直线l的方程为x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），整理得：（m2﹣3）y2+4my+1=0，则y1+y2=﹣，y1•y2=，x1+x2=m（y1+y2）+4=﹣，x1•x2=（my1+2）（my2+2）=m2y1•y2+2m（y1+y2）+4=﹣，+=﹣4，则（x1+x2，y1+y2）=﹣4，∴，求得：x0=，y0=，由M在椭圆方程，代入，求得m2=2，解得：m=±，直线l的方程x=±y+2．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与双曲线的交点与△的关系，考查计算能力，属于难题．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．【分析】（1）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．可得2a k=a k﹣1+b k﹣1，b k2=a k ﹣1b k﹣1，对k取值即可得出．（2）{a n}是等差数列，2a k=a k﹣1+b k﹣1，2a k=a k﹣1+a k+1，可得b k﹣1=a k+1，b k=a k+2，b k2=a k ﹣1b k﹣1，a k+22=a k﹣1a k+1，k=2时，a42=a1a3，（a1+3d）2=a1（a1+2d），可得d=0．即可证明．（3）对一切k ≥2，k ∈N *，a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．2a n =a n ﹣1+b n ﹣1，b n 2=a n ﹣1b n ﹣1，利用基本不等式的性质可得a n ===bn ，c n =|a n ﹣b n |=a n ﹣b n ．可得a n +1﹣b n +1=﹣=≤（a n +b n ﹣2b n ）=，即．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）正整数列{a n }，{b n }满足：a 1≥b 1，且对一切k ≥2，k ∈N *， a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．∴2a k =a k ﹣1+b k ﹣1，b k 2=a k ﹣1b k ﹣1，a 2=2，b 2=1，可得4=a 1+b 1，1=a 1b 1，解得a 1=2+，b 1=2﹣．（2）证明：{a n }是等差数列，2a k =a k ﹣1+b k ﹣1，2a k =a k ﹣1+a k +1，可得b k ﹣1=a k +1，则b k =a k +2，∵b k 2=a k ﹣1b k ﹣1，∴a k +22=a k ﹣1a k +1，k=2时，a 42=a 1a 3，（a 1+3d ）2=a 1（a 1+2d ），6a 1d +9d 2=2a 1d ，即d （4a 1+9d ）=0，正整数列{a n }，可知d ≥0，4a 1+9d ＞0，∴d=0．∴数列{a n }为常数数列．反之也成立．{a n }是等差数列的充要条件是{a n }为常数数列．（3）对一切k ≥2，k ∈N *，a k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等差中项，b k 是a k ﹣1与b k ﹣1的等比中项．2a n =a n ﹣1+b n ﹣1，b n 2=a n ﹣1b n ﹣1，∴an ===b n ，又已知a 1≥b 1，∴c n =|a n ﹣b n |=a n ﹣b n ．∴an +1﹣b n +1=﹣=≤（a n +b n ﹣2b n ）=，即．∴≤…≤，∴c2+…+c n≤+…+=≤c1．∴当n≥2（n∈N*）时，c2+…+c n≤c1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、基本不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

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2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
初三数学
（满分150分，考试时间100分钟）
2018.1

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上】

1、已知34xy，那么下列等式中，不成立的是（）

（A）37xxy；（B）14xyy；（C）3344xy；（D）43xy.
2、在比例尺是1:40000的地图上，若某条道路长约5cm，则它的实际长度约为（）
（A）0.2km；（B）2km；（C）20km；（D）200km.
3、在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果1AD，3BD，那么下列条件能够判断
DEBC∥

的是（）

（A）13DEBC；（B）14DEBC；（C）13AEAC；（D）14AEAC.
4、在RtABC△中，90C，a、b、c分别是A、B、C的对边，下列等式正确的是（）
（A）sinbAc；（B）coscBa；（C）tanaAb；（D）cotbBa.
5、下列关于向量的说法中，不正确的是（）
（A）333abab；（B）若||3||ab，则3ab或3ab；

（C）3|||3|aa；（D）mnamna.
6、对于抛物线223yx，下列结论中正确结论的个数为（）
（A）4；（B）3；（C）2；（D）1.
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线2x；
③图像不经过第一象限； ④当2x时，y随x的增大而减小.
二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7、已知线段b是线段a、c的比例中项，且2a，8c，那么b= .

8、计算：3245abab= .
9、若点P是线段AB的黄金分割点，10ABcm，则较长线段AP的长是 cm.
10、如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，E、F分别为AB、DC上的点，若4CF，且
EFAD∥
,:2:3AEBE，则CD的长等于 .
11、如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，2AD，6BC，若AOB△为面积等于6，则AOD△的面积等
于 .

12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若ABa，BCb，则OD用a、
b

可表示为 .
13、已知抛物线C的顶点坐标为1,3，如果平移后能与抛物线21232yxx重合，那么抛物线C的表
达式是 .
14、sin60tan45cos60cot30= .

15、如果抛物线22yaxaxc与x轴的一个交点为5,0，那么与x轴的另一个交点的坐标是 .
16、如图，在ABC△中，ABAC,BE、AD分别是边AC、BC上的高，2CD，6AC，那么
CE
= .
17、如图是将一正方形货物沿坡面AB装进汽车货箱的平面示意图，已知长方体货箱的高度BC为2.6米，
斜坡AB的坡比为1:2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装
进货箱，则货物的高度BD不能超过米.
18、在ABC△中，90C，3AC，4BC（如图），将ACB△绕点A顺时针旋转得ADE△（点C、
B的对应点分别为点D、E），点D恰好落在直线BE上，直线BE和直线AC交于点F，则线段AF
的
长为 .

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19、（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）
如图、在ABC△中，ACDB，4AD，5DB.
（1）求AC的长；

（2）若设CAa，CBb，试用a、b的线性组合表示向量CD.

F
E
DCBA
第10题
O
D

C
B

A
第11题
第12题

D
C
B
A

第19题
D
C
B

A
20、（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
已知一个二次函数的图像经过点0,6A、46B，、60C，三点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）分别联结AC、BC，求tanACB.

21、（本题满分10分）
如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且17AC米，现有一只小狗睡在台阶
的FG这层上晒太阳，设太阳光与水平地面的夹角为，当60时，测得广告牌AB在地面上的影长

10AE米，过了一会儿，当45时，问小狗在FG
这层是否还能晒到太阳？请说明理由（3取1.73）

x
y
第20题
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6

–6–5–4–3–2–1123456
O
22、（本题满分10分）
如图，在ABC△中，ABAC，12BC，4sin5C，点G是ABC△的重心，线段BG的延长线交AC于
点D，求∠CBD的余弦值.

23、（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）
如图，在ABC△中，ABAC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且ADEB，ADFC,
线段EF交线段AD于点G.
（1）求证：AEAF；

（2）若DFCFDEAE，求证：四边形EBDF是平行四边形.

第22题
G
D
C
B

F
E
第23题
G

D
C
B

A
24、（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线0ykxk沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点


3,0B
，与y轴交于点C，抛物线2yxbxc过点B、C且与x的另一个交点为A

（1）求直线BC及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求DBC△的面积；
（3）如果点F在y上，且45CDF，求点F的坐标.

25、（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）
已知，在梯形ABCD中，ADBC∥，90A，2AD，4AB，5BC，在射线BC上任取一点M，
联结DM，作MDNBDC，MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）.
（1）当BM的长为10,时，求证：BDDM⊥；
（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BNx，BMy，求y关于x的函数解析式，并写出它的
定义域；

x
y
第24题
B
1

O
（3）当DMN△是等腰三角形时，求BN的长.

参考答案：
1、B；2、B；3、D；4、C；5、B；6、A；
7、4；8、7ab；9、555；10、203；11、2；12、1122ba；

13、21(1)32yx；14、0；15、（-3,0）；16、43；17、125；18、757。
19、（1）AC=6；（2）5499CDab；

D第25题图（2）ABC图（1）NMD
CB
A
20、（1）21262yxx；（2）1tan2ACB；
21、能晒到太阳；
22、997cos97CBD；
23、略；
24、（1）BC：y=-x+3，243yxx；（2）3；（3）1(0,)3F；

25、（1）∠BDM=90°；（2）20(04)4yxx；（3）0,254,1。