兴学教育—中考动点问题函数图象

合集下载

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这种问题的重点是动中求静 ,灵巧运用相关数学知识解决问题 .重点 :动中求静 .数学思想：分类思想函数思想方程思想数形联合思想转变思想着重对几何图形运动变化能力的观察从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过 “对称、动点的运动 ”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间看法和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历研究的过程，以能力立意，观察学生的自主研究能力，促使培育学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中察看图形的变化状况，需要理解图形在不一样地点的状况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点 ”研究题的基本思路 ,这也是动向几何数学识题中最核心的数学实质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐渐转向数形联合、动向几何、着手操作、实验研究等方向发展．这些压轴题题型众多、题意创新，目的是观察学生的剖析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应企图识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（ 1）运动看法；（ 2）方程思想；（ 3）数形联合思想；（ 4）分类思想；（5）转变思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热门的形成和命题的动向，它有益于我们教师在教课中研究对策，掌握方向．只的这样，才能更好的培育学生解题修养，在素质教育的背景下更明确地表现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和划分度丈量点的存在性和划分度小题办理手法提出自己的看法．专题一：成立动点问题的函数分析式函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容 .动点问题反应的是一种函数思想,因为某一个点或某图形的有条件地运动变化 ,惹起未知量与已知量间的一种变化关系 ,这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .那么 ,我们如何成立这种函数解析式呢下边联合中考试题举例剖析.一、应用勾股定理成立函数分析式例 1(2000 年·上海 )如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥ O A,垂足为 H,△ OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,线段 GO 、GP 、GH 中 ,有无长度保持不变的线段假若有 ,请指出这样的线段 ,并求出相应的长度 .(2)设 PH x ,GP y ,求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围 ).(3)假如△ PGH 是等腰三角形 ,试求出线段 PH 的长 .解 :(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 ,于是线段 GO 、GP 、GH中 ,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2NH=2 1 OP=2.B33 2P(2) 在 Rt △ POH中 ,OHOP 2 PH 236 x 2 ,∴yN11x 2.G xMHOH3622OM H A在 Rt △ MPH 中 ,图 1MPPH 2MH 2x 2 9 1 x 21 36 3 x 2.4 2∴ y =GP=2MP=136 3x 2 (0< x <6).33(3)△ PGH 是等腰三角形有三种可能状况 :① GP=PH时 , 1 36 3 2 x6x63x x , 解得 . 经查验 , 是原方程的根 ,且切合题意 .② GP=GH 时 ,题意 .1 x22 ,解得 x 0. 经查验 ,x 0是原方程的根 ,但不切合36 33③ PH=GH 时 , x 2 .综上所述 ,假如△ PGH 是等腰三角形 ,那么线段 PH 的长为6 或 2.本专题的主要特点是两个点在运动的过程中，直接或间接地结构了直角三角线，所以能够利用勾股定理去成立函数关系式 . 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数分析式的过程中，主假如找边的等量关系，要擅长发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的 . 因为是压轴题，有的先有铺垫，再写分析式；有的写好分析式后，再证明等腰三角形、相像三角形等，还有的再解一些与圆相关的体型 . 要仔细领悟，达到举一反三的目的 .1 切记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 .例题，扇形中∠ AOB=45°，半径 OB=2，矩形 PQRS 的极点 P 、 S 在半径 OA 上， Q 在半径 OB 上， R 在弧 AB 上，连结 OR.（ 1）当∠ AOR=30°时，求 OP 长（ 2）设 OP=x ，OS=y ，求 y 与 x 的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，常常会应用到勾股定理，由此产生些函数分析式的问题，要娴熟掌握 .例题：如图，正方形 ABCD 中， AB=6，有一块含 45°角的三角板，把 45°角的极点放在 D 点，将三角板绕着点 D 旋转，使这个 45°角的两边与线段 AB 、 BC 分别订交于点 E 、 F （点 E 与点 A 、 B 不重合）（1）从几个不一样的地点，分别丈量AE、EF、 FC 的长，从中你能发现 AE、 EF、 FC的数目之间拥有如何的关系并证明你所获得的结论（2）设 AE=x，CF=y，求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出函数的定义域（3）试问△ BEF的面积可否为 8 假如能，恳求出 EF的长；假如不可以，请说明原因 .3在一些特别的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线相互垂直，这些都有可能结构直角三角形，能够考虑用勾股定理写出函数的分析式.例题：如图，在菱形 ABCD中，AB=4，∠ B=60°，点 P是射线 BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线 CD 于点 Q，设点 P 到点 B 的距离为 x， PQ=y（1）求证：三角形 APQ 是等边三角形（2）求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域（3）假如 PD⊥ AQ，求 BP 的值4作底边上的高，能够结构直角三角形，利用勾股定理写函数的分析式例题：如图，等边△ABC的边长为 3，点 P、Q 分别是 AB、BC上的动点（点P、Q 与△ABC 的极点不重合），且AP=BQ， AQ、 CP 订交于点 E.（1）如设线段 AP 为 x，线段 CP为 y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出定义域（2）当△ CBP的面积是△ CEQ的面积的 2 倍时，求 AP 的长（3）点 P、Q 分别在 AB、BC 上挪动过程中， AQ 和 CP 可否相互垂直如能，请指出P 点的地点，请说明原因.5在解圆的题目时，首选的协助线是弦心距，它不单能够运用垂径定理，并且结构了直角三角形，为用勾股定理写函数分析式创建了条件.例题：如图，⊙ A 和⊙ B 是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙ B 于 E、 F，点 P 是线段 AB 上的一动点（点P 不与 E、 F 重合）， PC切⊙ A 于点 C， PD 切⊙ B 于点 D，已知⊙A 的半径为 2 ，⊙ B 的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP 的长为 x，线段 CP 的长为 y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域（2）假如 PC=PD，求 PB 的长（3）假如PC=2PD，判断此时直线CP与⊙ B 的地点关系，证明你的结论6 重申圆的首选协助线是弦心距，它不单能够均分弦，并且结构了直角三角形，为解题创建新思路 .例题：如图，在△ ABC中， AB=15,AC=20,cotA=2，P 是边 AB 上的一个动点，⊙P 的半径为定长 . 当点 P 与点 B 重合时，⊙ P 恰巧与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合，且⊙ P 与边 AC 订交于点 M 和点 N 时，设 AP=x，MN=y.(1)求⊙ P 的半径(2)求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域(3)当 AP=6 5时，试比较∠ CPN与∠ A 的大小，并说明原因阶梯题组训练1如图， E 是正方形 ABCD的边 AD 上的动点， F 是边 BC 延伸线上的一点，且 BF=EF，AB=12，设 AE=x，BF=y.（1）当△ BEF是等边三角形时，求BF 的长；（2）求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出它的定义域；（3）把△ ABE 沿着直线 BE翻折，点 A 落在点 A′处，尝试究：△A′BF 可否为等腰三角形假如能，恳求出 AE 的长；假如不可以，请说明原因 .2如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，∠ A=30°，D 是边 AC 上不与点 A、C 重合的随意一点，DE⊥ AB，垂足为点E， M 是 BD 的中点 .（1）求证： CM=EM;（2）假如 BC= 3设 AD=x， CM=y，求 y 与 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；（3）当点 D 在线段 AC 上挪动时，∠ MCE 的大小能否发生变化假如不变，求出∠MCE 的大小；假如发生变化，说明如何变化.3 ABCD 中，对角线 AC⊥ AB， AB=15， AC=20，点 P 为射线 BC 上一动点， AP⊥ PM(点 M 与点B 分别在直线 AP 的双侧 )，且∠ PAM=∠ CAD，连结 MD.(1)当点 M 在 ABCD内时，如图，设 BP=x，AP=y，求 y 对于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；(2) 请在备用图中画出切合题意的表示图，并研究：图中能否存在与△AMD 相像的三角形若存在，请写出并证明；若不存在，请说明原因；(3) 当△为等腰三角形时，求BP的长.4抛物线经过 A（2， 0）、 B（ 8， 0）、 C（0，16 3） . 3（1）求抛物线的分析式；（2）设抛物线的极点为P，把△ APB 翻折，使点 Pl 落在线段 AB 上（不与 A、 B 重合），记作 P′，折痕为 EF，设 AP′ =x，PE=y，求 y 对于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当点 P′在线段 AB 上运动但不与 A、B 重合时，可否使△ EFP′的一边与 x 轴垂直若能，恳求出此时点P′的坐标；若不可以，请你说明原因.5 如图，矩形 ABCD中， AD=7， AB=BE=2，点 P 是 EC（包含 E、 C）上的动点，线段 AP 的垂直均分线分别交 BC、 AD 于点 F、 G，设 BP=x， AG=y.（1）四边形 AFPG是说明图形请说明原因；（2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）假如分别以线段GP、 DC 为直径作圆，且使两圆外切，求x 的值 .6在梯形 ABCD中，ADE 为底边 BC 上一点，以点 E 为圆心， BE 为半径画⊙ E 交直线 DE于点F.（1）如图，当点 F 在线段 DE上时，设 BE=x，DF=y，试成立 y 对于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当以 CD为直径的⊙ O 与⊙ E 相切时，求 x 的值；（3）连结 AF、 BF，当△ ABF 是以 AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值 .7 如图，在正方形ABCD中， AB=1，弧 AC 是以点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边 AD 上的随意一点（点 E 与点 A 、 D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交 DC 于点F ，G 为切点 .（ 1）当∠ DEF=45°时，求证点 G 为线段 EF 的中点；（ 2）设 AE=x ， FC=y ，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的分析式；（ 3）将△ DEF 沿直线 EF 翻折后得△ D 1EF ，如图 2，当 EF=5时，议论△ AD 1D 与△ ED 1 F 是6否相像，假如相像，请加以证明；假如不相像，只需求写出结论，不要求写出原因.（ 2003 年上海第 27 题）二、应用比率式成立函数分析式例 2（ 2006 年·山东）如图 2,在△ ABC 中 ,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动 . 设 BD=x, CE=y .(1)假如∠ BAC=30° ,∠ DAE=105° ,试确立 y 与 x 之间的函数分析式；(2)假如∠ BAC 的度数为 ,∠ DAE 的度数为,当 ,知足如何的关系式时之间的函数分析式还成立试说明原因.解:(1)在△ ABC 中 ,∵ AB=AC,∠ BAC=30° ,∴∠ ABC=∠ACB=75° ,∴∠ ABD=∠ ACE=105° .∵∠ BAC=30°,∠ DAE=105° , ∴∠ DAB+∠ CAE=75° , 又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=75° ,D∴∠ CAE=∠ ADB,B ∴△ ADB ∽△ EAC, ∴ABBD ,CEAC1 x1∴, ∴ y .y1x(2)因为∠ DAB+∠ CAE=,又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=90,2且函数关系式成立 ,∴90 2 =, 整理得 90 .2 当90 时 ,函数分析式 y 1 2成立 .x例 3(2005 年·上海 )如图 3(1),在△ ABC 中 ,∠ ABC=90° ,AB=4,BC=3.点 O 是边 AC 上的一个动点 ,以点 O 为圆心作半圆 ,与边 AB 相切于点CD,交线段 OC 于点 E.作 EP ⊥ ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.,(1)中 y 与 xAEC图 2FBPD AE O3(1)(1)求证 : △ADE ∽△ AEP.PB (2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 对于 x 的函数分析式 ,并写出它的定义域.F(3)当 BF=1 时 ,求线段 AP 的长 . D解:(1)连结 OD.依据题意 ,得 OD ⊥ AB,∴∠ ODA=90° ,∠ODA=∠ DEP.CA又由 OD=OE,得∠ ODE=∠ OED.∴∠ ADE=∠ AEP, ∴△ ADE ∽△E O AEP.3(2)(2) ∵ ∠ ABC=90 ° ,AB=4,BC=3, ∴ AC=5. ∵ ∠ ABC=∠ADO=90° , ∴ OD ∥ BC, ∴ODx , ADx ,35 4 5∴ OD= 3x ,AD=4x . ∴ AE=x 3x= 8x . 55 5 5∵△ ADE ∽△ AEP, ∴AEAD ,8 x 4 x1625∴55 .∴ y x ( 0 x).APAEy8 x 585(3)当 BF=1 时，①若 EP 交线段 ∵∠ ADE=∠ AEP, ∴∠ F=∠ PDE, CB 的延伸线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4.∴∠ PDE=∠ PEC. ∵∠ FBP=∠ DEP=90°, ∠FPB=∠ DPE, ∴∠ F=∠ FEC, ∴ CF=CE.∴ 5-8x =4,得 x 5 .可求得 y 2 ,即 AP=2.5 8②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2. 近似① ,可得 CF=CE. ∴ 5-8x =2,得 x 15 .5 8可求得 y6 ,即 AP=6.综上所述 , 当 BF=1 时 ,线段 AP 的长为 2 或 6.本专题研究在图形的运动变化过程中，存在平行或相像的三角形，利用比例式来成立函数关系式 . 难一些的题目此中的一个变量是比率式，一个变量是线段，也是利用相像或平行来结构比率式，进而写出函数的分析式 . 作为最后的一道压轴题，一般状况下写出分析式后还会有一个证等腰或相像或相切的题目，能够二次函数专题中的解题思想进行办理.1 由平行获得比率式，进而成立函数关系式.例题：如图，在△ ABC 中， AB=AC=4,BC=1AB ，点 P 是边 AC 上的一个点， AP= 1 PD ，22∠APD=∠ ABC ，连结 DC 并延伸交边 AB 的延伸线于点 E（1）求证：AD证明：△ ADE∽△ GFA （2）设 DE=x， BG=y，求 y 对于 x 的函数分析式及定义域（3）当 BH= 1时，求 DE的长43在学习利用相像比成立函数的分析式的时候，初中阶段的知识已经学了许多，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写分析式前有一些证明或计算，写好分析式后再来一个证明等腰三角形或圆的地点关系等. 假如能够把一道复杂的压轴题拆分红几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， sinB= 4，AC=4； D 是 BC的延伸线上一个动点，5∠EDA=∠B， AE(1) 找出图中的相像三角形，并加以证明(2)设 CD=x， AE=y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域(3)当△ ADE 为等腰三角形时，求 AE 的长4方才研究的写函数分析式都是在几何图形中进行的，下边来看在平面直角坐标系中如何写分析式 .例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形 AOCD 中，AD AD23例题：如图，在平面直角坐标系中，OC55点 A 的坐标为（ 1， 0），点 B、 C 的坐标分别为（ -1， 0）， C（ 0， b），且 0＜ b＜ 3， m 是经过点 B、 C 的直线，当点 C 在线段 OC上挪动时，过点 A 作 AD⊥m 于点 D.(1) 求点 D、 O 之间的距离S△BDA(2) 假如=ɑ，试求：ɑ与 b 的函数关系式及ɑ的取值范围S△BOC(3)当∠ ADO 的余切值为 2 时，求直线 m 的分析式(4)求此时△ ABD 与△ BOC重叠部分的面积6当我们学习到利用相像三角形的相像比来成立函数分析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只需能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为 6 的正方形ABCD的双侧如图作正方形BEFG、正方形 DMNK ，恰巧使得N、 A、 F 三点在向来线上，连结MF 交线段 AD 于点 P，连结 NP，设正方形BEFG 的边长为x，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y对于x的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△ NPF的面积为32 时，求 x 的值（3）以P为圆心，AP为半径的圆能够与以G 为圆心， GF 为半径的圆相切，若能恳求x 的值，若不可以，请说明原因练习：1. 如图，在三角形中， AB=AC=8，BC=10，点 D 、E 分别在 BC 、 AC 上（点 D 不与 B 、 C 重合），且∠ ADE=∠ B ，设 BD=x ， AE=y.（ 1）求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出函数的定义域（ 2）点 D 在 BC 上的运动过程中，△ ADE 能否有可能成为一个等腰三角形若有可能，请求出当△ ADE 为等腰三角形时 x 的值 ;如不行能，请说明原因.2.在△ ABC 中， AB=4， AC=5， cosA= 3，点 D 是边 AC 上的点，点 E 是边 AB 上的点，且5知足∠ AED=∠ A ， DE 的延伸线交射线 CB 于点 F ，设 AD=x ， EF=y.（ 1）如图 1，用含 x 的代数式表示线段 AE 的长（ 2）如图 1，求 y 对于 x 的函数分析式及函数的定义域（3）连结 EC ，如图 2，求档 x 为什么值时，△AEC 与△ BEF 相像 .3.如图，在矩形 ABCD 中， AB=m （ m 是大于 0 的常数），BC=8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B 、 C 重合） .连结 DE ，作 EF ⊥ DE ， EF 与射线 BA 交于点 F ，设 CE=x ， BF=y.(1) 求 y 对于 x 的函数关系式(2) 若 m=8，求 x 为什么值时， y 的值最大，最大值是多少(3) 若 y=12，要使△ DEF 为等腰三角形， m 的值应为多少m（1）已知在梯形 ABCD中， AD 如图， P 为 BC上的一点，且 BP=2. 求证：△ BEP∽△ CPD；（2）假如点 P 在 BC 边上挪动（点 P 与点 B、C 不重合），且知足∠ EPF=∠C， PF 交直线CD 与点 F，同时交直线 AD 于点 M ，那么（3）当点 F 在线段 CD 的延伸线上时，设 BP=x， DF=y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；（4）当△DMF= 9 △ BEP时，求BP的长.S 4 S（1）如图，在四边形 ABCD中，∠ B=90°，AD 求 y 对于 x 的函数分析式，并写出定义域；（2）当 AD=11 时，求 AG 的长；（3）假如半径为EG 的⊙ E 与半径为FD 的⊙ F 相切，求这两个圆的半径.4. 如图，在半径为 5 的⊙ O 中，点A、 B 在⊙ O 上，∠ AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点， AC与 OB 的延伸线订交于点D，设 AC=x， BD=y.(1) 求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙ O 与⊙ O 订交于点 A、 C，且⊙ O 与⊙ O 的圆心距为2，当 BD= OB 时，求⊙ O1 1 1 13 的半径；(3)能否存在点 C，使得△ DCB∽△ DOC 假如存在，请证明；假如不存在，请简要说明原因 .（ 1）已知∠ ABC=90°， AB=2，BC=3， ADPQ AD当 AD= 3，且点 Q 在线段 AB 上时，PC AB 2设点 B 、 Q 之间的距离为 x ，S △APQ=y ，此中 S △APQ 表示△ APQ 的面积， S △PBC 表示S △PBC△PBC 的面积，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数定义域；（ 2）当 AD ＜ AB ，且点 Q 在线段 AB 的延伸线上时（如图 3 所示），求∠ QPC 的大小（. 2009上海第 25 题）三、应用求图形面积的方法成立函数关系式例 4（ 2004 年·上海）如图 ,在△ ABC 中 ,∠BAC=90° ,AB=AC=2 2 ,⊙ A 的半径为 1.若点O 在 BC 边上运动 (与点 B 、 C 不重合 ),设 BO= x ,△ AOC 的面积为y .(1)求 y 对于 x 的函数分析式 ,并写出函数的定义域 .A(2)以点 O 为圆心 ,BO 长为半径作圆 O,求当⊙ O 与⊙ A 相切时 , △AOC 的面积 .解:(1)过点 A 作 AH ⊥ BC,垂足为 H.∵∠ BAC=90°,AB=AC=2 2 , ∴BC=4,AH= 1 BC=2. ∴ OC=4- x .1OC AH ,2B OH C∵SAOC∴ yx4 ( 0 x4 ).图 82(2)①当⊙ O 与⊙ A 外切时 ,7在 Rt △AOH 中 ,OA= x 1,OH= 2x ,∴(x 1)2 22 (2 x)2 . 解得 x.67 17此时 ,△AOC 的面积y = 4 .6 6②当⊙ O 与⊙ A内切时 ,在 Rt△AOH 中 ,OA= x 1,OH= x 2 ,∴(x 1)2 22 (x 2) 2 . 解得 x 7 .7 1 2此时 ,△AOC 的面积y = 4 .2 2综上所述 ,当⊙ O 与⊙ A 相切时 ,△ AOC的面积为17或1.6 2例 2、【 09 广东】正方形 ABCD边长为 4， M 、N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直．（1）证明： Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么地点时 Rt△ABM∽Rt△AMN ，求此时 x 的值练习 1.如图，在△ ABC 中， BC=8， CA=AB、 AC、BC 上（点 E 与点 A、 B 不重合），连结求出 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量，∠ C=60°， EF∥ BC，点 E、F、 DED、 DF。

题型1 专题1 动点问题的函数图像

E，F.设 BP＝x，EF＝y，则能大致表示 y 与 x 之间关系的图象为( D )
A
B
C
D
5．(2019·潍坊)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点 P 沿折线 B→C→D
从点 B 开始运动到点 D．设运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函
数关系的图象大致是( D )
于点 E，F.设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图
2 所示，则四边形 ABCD 的周长是
10＋2 3
．
图1
图2
10．(2019·信阳一模)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角
线 AC 上一动点．设 PC 的长度为 x，PE 与 PB 的长度和为 y.图 2 是 y 关于 x 的函数图
A
B
C
D
6．(2019·河池)如图，△ABC 为等边三角形，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→A 作匀速运动，则线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关系大致是( B )
A
B
C
D
类型二函数图象的分析
7．如图 1，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上一点，连接 AC，BC．点 P 从点 B 出发，沿折线 B→C→A 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 A．图 2 是点 P 运动时，△
以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B．图 2 是点 F 运动时，△FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)
变化的关系图象，则 a 的值为( C )
A． 5
图1 B．2
C．52
图2 D．2 5

中考数学重难点(函数图象的点) 因动点产生的相切问题(精选大题3例)

因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tan2A=时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan3A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得52QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切．拖动点P使得52QP=，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙Q都内切．思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，1tan2A=，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．解得35m=12524AP AH m==．（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ．由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3．由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．例2 2012年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43t=+；如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433t=+．图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6例3 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案（1）因为2AQ t AB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-．如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-．如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点．当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2图3 图4 图5。

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)之欧阳语创编

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.H M N G P O A B 图1 x y②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的. 1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS 的顶点P 、S 在半径OA 上，Q 在半径OB 上，R 在弧AB 上，连结OR.（1）当∠AOR=30°时，求OP 长（2）设OP=x ，OS=y ，求y 与x 的函数关系式及定义域 2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）试问△BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1）求证：三角形APQ是等边三角形（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）如果PD⊥AQ，求BP的值4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由.5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）如果PC=PD，求PB的长（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P 是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长. 当点P与点B 重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC 延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE 的长；如果不能，请说明理由.2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC 上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点.（1）求证：CM=EM;（2）如果BC=3设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P 为射线BC上一动点，AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且∠PAM=∠CAD，连结MD.(1)当点 ABCD内时，如图，设BP=x，AP=y，求y 关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3)当△为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）.(4)求抛物线的解析式；(5)设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(6)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC （包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（4）四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（5）求y与x的函数关系式；（6）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F.（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作弧AC 所在圆的切线，交DC 于点F ，G 为切点.（1）当∠DEF=45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE=x ，FC=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的解析式；（3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图2，当EF=65时，讨论△AD 1D 与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,A E D CB 图2∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,A3(2)3(1)∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理. 1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.1AB，点例题：如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=21PD，∠APD=∠ABC，连结P是边AC上的一个点，AP=2DC并延长交边AB的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE 的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于F，交AB延长线于G，交BC于H.（1）证明：△ADE∽△GFA（2）设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域1时，求DE的长（3）当BH=43 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.4，例题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=5AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式（2）用含x 的代数式表示AP 的长（3）求y 与x 的函数解析式及定义域（4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离 (2) 如果BOC BDA S △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围(3)当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x 的值，若不能，请说明理由练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC、AC上（点D不与B、C重合），且∠ADE=∠B，设BD=x，AE=y.（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D在BC上的运动过程中，△ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.3，点D是边AC 2.在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=5上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE 的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC，如图2，求档x为何值时，△AEC与△BEF相似.3.如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）.连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？(3)若y=m4.已知在梯形ABCD中，AD//BA，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2. 求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M，那么（3）当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（4）当S△DMF=49S△BEP时，求BP的长.5.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x，DF=y.（3）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（4）当AD=11时，求AG的长；（5）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切，求这两个圆的半径.6.如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y.(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2)若⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心1OB时，求⊙O1的半径；距为2，当BD=3(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =ABAD (如图1所示) （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，连结AP . 当AD=23，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBC APQ S S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.A CO 图8 H∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x .此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值练习1.如图，在△ABC 中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF∥BC，点E、F、D分别在AB、AC、BC上（点E与点A、B不重合），连接ED、DF。

中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(学生版)

专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（）A ．y ＝2x +6B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6 2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 23．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2y x =--D ．2y x =--4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（） A ．21y x =+ B ．4y x =-- C ．4y x =-+ D ．41y x =-+5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1 7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为24y x =-；①该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；①点(2,44)P a a -该函数图象上；①直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x =；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在等腰Rt ABC ∆中，2AB AC cm ==，动点Q 从点C 出发沿C A B →→路径以1/cm s的速度运动，设点Q 运动时间为()t s ，BCQ ∆的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 10．如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt①ABC ，使①BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象可以由2y x =的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为_________．12．若一个一次函数的图象经过点()02，，则这个一次函数的解析式可以是（写出一个即可）__________．13．若一次函数y kx b =+（b 为常数）的图象过点()5,4，且与y x =的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．15．如图①，在梯形ABCD 中，AD①BC ，①A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止.已知①PAD 的面积S （单位：）与点P 移动的时间t （单位：s ）的函数关系式如图①所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．17．已知：一次函数y ＝kx +b 的图象经过M (0，2)，N (1，3)两点．（1）求一次函数的解析式，画出此一次函数的图象并利用图象回答：当x 取何值时，函数值y ＞0；（2）将该函数图象平移，使它过点(﹣2，﹣2)，求平移后直线的解析式．18．已知一次函数的图象经过点A （3，5）与点B （﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将该函数图像向下平移3个单位，求平移后图像的函数表达式．19．在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b （k ≠ 0）的图象由函数 y=x 的图象平移得到，且经过点 A （1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象．若此图象与 x 轴交于点 B ，则①ABO 的面积为．（3）当 x >1 时，对于每一个 x 的值，函数 y=mx （m ≠ 0）的值都大于一次函数 y=kx+b 的值，请你直接写出 m 的取值范围：．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．21．如图，一次函数y ＝（m ﹣3）x ﹣m ＋1图象分别与x 轴正半轴、y 轴负半轴相交于点A 、B ．（1）求m 的取值范围；（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过(2,0)A -，()1,3B 两点．（1）求这个一次函数的解析式；。

专题01 几何动点函数图象分析(解析版)

专题一几何动点函数图象分析【专题解读】几何动点函数图像问题=常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及四种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象．题目难度中等，属于中考热点题型．类型一一个动点与图形线段长、面积（2020•佛山模拟）如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C，到达点C时停止运动，过点P作PQ⊥AC于点Q．若△APQ的面积为y，AQ 的长为x，则下列能反映y与x之间的大致图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点B之前，写出此段的函数解析式，则可排除A和B；②设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【自主解答】∵△ABC为等边三角形，PQ⊥AC于点Q．AQ＝x，PQ＝AQ•tan60°=√3x∴点P从点A出发运动到点B之前，如图所示：y=12x×√3x=√32x2，∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，∴选项A、B不符合题意，排除A和B；设△ABC的边长为m，则当x＞m2时，P点过了B点向C点运动，作出图形如下：则CQ＝m﹣x，PQ＝CQ•tan60°=√3（m﹣x），∴y=12x×√3（m﹣x）=−√32x2+√32mx，∴此时函数图象为开口向下的抛物线，∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线，∴D正确．故选：D．1．（2020•南海区期末）如图，已知A、B是反比例函数图象上的点，BC∥x轴，交y轴于点C，连接OA，动点P从坐标标原点O出发，沿O﹣A﹣B﹣C匀速运动，终点为C．过运动路线上任意一点P，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（1）当点P在AO上运动时，设反比例函数的表达式为：y=kx，设点A（m，n），则mn＝k，设∠AOM＝∠α，则tanα=nm ，则sinα=√m2+n2，cosα=√m2+n2，则S＝PM×PN＝t2×sinαcosα=kOA2t2，其中kAO2常数，故函数的表达式为二次函数；（2）当点P在AB段时，S＝k为常数；（3）当点P在BC上时，设点P运动的总时间为T，则在BC上运动的时间为T﹣t，S＝OC×（T﹣t）为一次函数；故选：A．2．（2020•龙岗区模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【答案】B【解析】由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2019•镜湖区一模）如图，菱形ABC D中，AB＝2，∠B＝120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当点P 在AB 上运动时，即0≤x ≤2，如图1，作PH ⊥AD 于H ，AP ＝x ，∵菱形ABC D 中，AB ＝2，∠B ＝120°，点M 是AD 的中点，∴∠A ＝60°，AM ＝1，∴∠APH ＝30°，在Rt △APH 中，AH =12AP =12x ，PH =√3AH =√32x ， ∴y =12AM •PH =12•1•√32x =√34x ；当点P 在BC 上运动时，即2＜x ≤4，如图2，作BE ⊥AD 于E ，AP +BP ＝x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝120°，∴∠A ＝60°，AM ＝1，AB ＝2，BC ∥AD ，∴∠ABE ＝30°，在Rt △ABE 中，AE =12AB ＝1，PH =√3AE =√3，∴y =12AM •BE =12•1•√3=√32；当点P 在CD 上运动时，即4＜x ≤6，如图3，作PF ⊥AD 于F ，AB +BC +PC ＝x ，则PD ＝6﹣x ，∵菱形ABC D 中，∠B ＝120°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠DPF ＝30°，在Rt △DPF 中，DF =12DP =12（6﹣x ），PF =√3DF =√32（6﹣x ），∴y =12AM •PF =12•1•√32（6﹣x ）=√34（6﹣x ）=−√34x +3√32，∴△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图象为三段：当0≤x ≤2，图象为线段，满足解析式y =√34x ；当2≤x ≤4，图象为平行于x 轴的线段，且到x 轴的距离为√32；当4≤x ≤6，图象为线段，且满足解析式y =−√34x +3√32．故选：B ．4．（2019•深圳模拟）如图①，在菱形ABC D 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于 3√7 ．【答案】3√7【解析】如图，连接AC 交BD 于O ，由图②可知，BC ＝CD ＝4，BD ＝14﹣8＝6，∴BO =12BD =12×6＝3，在Rt △BO C 中，CO =√BC 2−BO 2=√42−32=√7，AC ＝2CO ＝2√7，所以，菱形的面积=12AC •BD =12×2√7×6＝6√7，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，为b ，所以，b =12×6√7=3√7．故答案为：3√7.【方法总结】对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．类型二二个动点与图形线段长、面积（2020•南海区二模）如图所示，在矩形ABC D 中，BA ＝8cm ，BC ＝4cm ，点E 是CD 上的中点，P 、Q 均以1cm/s 的速度在矩形ABCD 边上匀速运动，其中动点P 从点A 出发沿A →D →C 方向运动，动点Q 从点A 出发沿A →B →C 方向运动，二者均达到点C 停止运动，设点Q 的运动时间为x ，△PQE 的面积为y ，则下列能大致反应y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分0≤t ≤4、4＜t ≤8、8＜t ≤12三段，分别求出函数表达式即可求解．【自主解答】（1）当0≤t ≤4时，如图，y ＝S 矩形ABCD ﹣S △APQ ﹣S △DPE ﹣S 梯形BCEQ ＝4×8−12[t 2+（4+8﹣t ）×4+4（4﹣t ）]=−12t 2+4t +16，该函数为开口向下的抛物线；（2）当4＜t ≤8时，同理可得：y =12×PE ×AD =12×4×（4﹣t +4）＝16﹣2t ，该函数为一次函数；（3）当8＜t ≤12时，同理可得：y =12×PE ×CQ =12（t ﹣4﹣4）×[4﹣（t ﹣8）]=−12（t ﹣8）（t ﹣12）；该函数为开口向下的抛物线，故选：D ．5．（2019•南海区二模）如图，在四边形ABC D 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，点P 从点B 出发沿折线BA ﹣AD ﹣DC 匀速运动，同时，点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CD 匀速运动，点P 与点Q 的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得：四边形ABCD 为等腰梯形，如下图，分别过点A 、D 作梯形的高AM 、DN 交BC 于点M 、N ，则MN ＝AD ＝2，BM ＝NC =12（BC ﹣AD ）＝3，则AB ＝2BM ＝6，①当点P 在AB 上运动时（0≤x ≤6）， y =12BQ ×BP sin B =√34x 2，当x ＝6时，y ＝9√3，图象中符合条件的有B 、D ； ②6＜x ＜8，y 为一次函数；③当x ≥8时，点PC ＝6+2+6﹣x ＝14﹣x ，QC ＝x ﹣8，则PQ ＝22﹣2x ，而△BPQ 的高常数，故y 的表达式为一次函数，故在B 、D 中符合条件的为B ，故选：B ．6．（2019•丰润区二模）如图，在矩形ABC D 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为C D 中点，连接AE 、BE ，点M 从点A 出发沿AE 方向向点E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设△EMN 的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连MB，由勾股定理AE＝BE＝4√2，已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4√2−t，∵S△EMNS△EMB =ENEB，∴S△EMN=ENEB⋅S△EMB，∵S△EMBS△EAB =EMAE，∴S△EMB=EMAE⋅S△EAB，∴S=4√2×√2−t4√2×12×4×8=−12t2+2√2t，∵a=−12＜0，∴当t＝2√2时，S的最大值为4，故选：D．。

中考数学专题知识点57 动点函数图象问题2021

二、填空题
16．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．
【解析】∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝0时,点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1.
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：
∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD(SAS)，∴NE＝CD.
9．（2021·南通）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm，动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD－DC－CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是
∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△ACD，∴ ，
∵AD＝3，CD＝4，∴AC 5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE x，CE x，∴y PE•CE x2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y PE•CE 4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数为一次函数图象，且y随x增大而减小.
又∵y＝AE+CD,∴y＝AE+CD＝AE+NE.

2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学

2022中考压轴精品--动态几何3(动图中的函数关系)--数学图形中引入动点以后，随着点的移动，便会引起其他相关量的变化，如此就会显现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，如此就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。

这些问题就需要借助方程来解决。

但不管是动点问题引出的函数。

依旧由动点引出的方程，却都需要借助于几何运算来建立。

因此，几何运算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形中动点形成的函数例1 如图（1），ABC Rt ∆中，,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点（P 不与A ，C 重合）。

x PC =，点P 到AB 的距离为y 。

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范畴。

（1）（1`）【观看与摸索】（1）如图（1`），若AB PQ ⊥于Q ，要建立PQ 和CP 的函数关系，能够通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。

（2）确实是讨论⊙P 的半径（即x ）和圆心P 到AB 的距离（即y ）的大小关系。

解：（1）过P 作AB PQ ⊥于Q ，如图（1`），则y PQ =，图形动点问题通过几何运算（要紧是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）⇒ ⇒ACBPACBP易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆，AB AP BC PQ ::=∴， ,543x y -=∴化简得：)40(51253<<+-=x x y 。

（2）令y x =，即,51253+-=x x 解得23=x ，现在⊙P 与直线AB 相切。

对应地有：230<<x 时，⊙P 与直线AB 相离；423<<x 时，⊙P 与直线AB 相交。

【说明】本题的关键确实是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P 和AB 相切这一专门情形来判定⊙P 和AB 的三种位置关系。

九年级数学中考总复习--动态函数图象题集训课件

当时，这种情况不成立；当时，若的面积与的面积相等，则有，解得， .∴若的面积与的面积相等，则点的坐标为或；
（3）设直线与直线交点的横坐标为，若，<zzd>直接</zzd>写出的取值范围.
[答案] 的取值范围为 .
解法提示：对于直线，随增大而增大，对于直线，随增大而减小， ,
（3）若点在线段上（可与点，重合），求的取值范围.
[答案] 当与点重合时，取最小值，即，解得，令，解得，，当点与点重合时，取最大值，即，解得，∴点在线段上（可与点，重合），有 .
第4题图
4. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴的负半轴上，且，作直线和直线 .
（2）如图②，当点在反比例函数的图象上，且在点的右侧时，用含字母，的代数式表示点的坐标；
第6题解图②
[答案] 如解图②，过点作轴于点，过点作于点，
，，，，，，，，，则；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值.
[答案] 由点与点都在反比例函数图象上，得到，整理得，即，，，在第一象限，，，则 .
第7题图
7.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，是边上一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点 .
（1）当时，求点的坐标；
第8题图
8.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点. 、为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为， .
（1）如图①，连接、、，当四边形为平行四边形且时，求的值；
解：∵直线交轴于点，交轴于点，∴点，点，，为双曲线上的两点，∴点，点，∵四边形为平行四边形，与互相平分，，，解得，；

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

A B C D 【知识点】动点问题的函数图象【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是

【知识点】动点问题的函数图象【分析】分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；

x B

y P A D

l x 0

s A.…

x 0

s B.

x 0

s C. x 0

s D. 兴学教育专注教育

【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快匀速增长由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）

A B C D 【知识点】动点问题的函数图象【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是兴学教育专注教育兴学教育版权所有翻印必究【解析】：AD＝13，sinA＝1213，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝1213t，

y = S△EPF＝1521213t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，

三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。 6、一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（）

A B C D 【知识点】分段函数图象【分析】分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．【解析】①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加； ②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．结合图象可得B选项的图象符合．故选B．

7、如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

当P点与B点重合时，此时2xAP，0PAOS；本题最重要的为当1xAP时，此时APO为等边三角形，4143＞PAOS；排除B、C、D.选择A. 【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法

8、在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）

A B C D 【知识点】分段函数图象【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．【解析】因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．故选C．

9、如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）

HOPBA兴学教育专注教育

兴学教育版权所有翻印必究 A． B． C． D．【知识点】：动点问题的函数图象．【分析】：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．【解答】：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．

10、如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）

A B C D 【知识点】动点问题的函数图象【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质的OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16

﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解析】根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°， ∵在△OBE和△OCF中

， ∴△OBE≌△OCF（SAS）， ∴S△OBE=S△OCF，

11、如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）

A B C D 【知识点】分段函数、动点问题的函数图象【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【解析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2﹣Vt×1=4﹣Vt， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2﹣1×1=3， ③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．

12、如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED

→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物

线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；；③直线NH的解析式为y=－25t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=429秒。其中正确的结论个数为

（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1