高中数学 1-2 第3课时等比数列的前n项和同步导学案北师大版必修5

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2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.3.2 等比数列的前n项和(一)

3.2 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.理解并把握等比数列前n 项和公式及其推导过程.2.能应用前n 项和公式解决等比数列有关的问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)留意：应用该公式时，确定不要忽视q ＝1的状况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]问题一天，小林和小明做“贷款”玩耍，规定：在一月(30天)中小明第一天贷给小林1万元，其次天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林按这样的方式还贷：第一天还1分钱，其次天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，30天后小林得到的钱确定比小明多吗？探究点一等比数列前n 项和公式的推导思考1 设30天后小林得到T 30(万元)，小明得到S 30(分)，你能用数据表示出T 30、S 30吗？答 T 30＝1＋2＋3＋…＋30＝(1＋30)×302＝465(万元)，S 30＝1＋2＋22＋…＋229(分)．思考2 如何计算S 30＝1＋2＋22＋…＋229? 答思路一 S 30＝1＋2＋22＋…＋229＝1＋2(1＋2＋22＋…＋228)＝1＋2(S30－229)，S 30－2S 30＝1－230，S 30＝230－1. 思路二 S 30＝1＋2＋22＋…＋229，① 2S 30＝2＋22＋…＋229＋230.② ②－①，得S 30＝230－1.由于230－1＝1 073 741 823(分)＝1 073.741 823(万元)>465(万元)，所以小明得到的钱更多．思考3 依据思考2中的求和思路，你能求出等比数列的前n 项的和吗？答思路一由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，得S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q＝a 1＋q ·(a 1＋a 2＋…＋a n －1) ＝a 1＋q ·(S n －a n )；从而得(1－q )·S n ＝a 1－a n q .当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.思路二 S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1(1－q n )1－q，q ≠1.例1 (1)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝3，求S 3； (2)求等比数列1，12，14，18…的前10项的和．解 (1)S 3＝2×(1－33)1－3＝26；(2)∵a 1＝1，q ＝12，∴S 10＝1×[1－(12)10]1－12＝1 023512.反思与感悟在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二等比数列前n 项和的实际应用例2 五洲电扇厂去年实现利税300万元，方案在以后5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少(结果精确到万元)?解每年的利税组成一个首项a 1＝300，公比q ＝1＋10%的等比数列．从今年起，第5年的利税为a 6＝a 1q 5＝300×(1＋10%)5＝300×1.15≈483(万元)．这5年的总利税为S ＝a 2(q 5－1)q －1＝300×1.1×1.15－11.1－1≈2 015(万元)．反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“每年比上年利税增长10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学学问解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上上升度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不行能超过125 m. 探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n 项和？答设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种状况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟一般地，假如数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可接受错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( )A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ， x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243D ．275答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n ) 2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1) 2n ＋1＋2. [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，留意前n 项和公式要分类争辩，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不行忽视q ＝1的状况．3．一般地，假如数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可接受错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n＋12D.(－1)n－12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．189答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．假如数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．为疼惜我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区方案从2021年开头出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年削减10%.(1)以2021年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家方案10年后终止该矿区的出口，问2021年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)． (2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2021年最多出口12.3吨．二、力气提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)答案 C解析先依据等比数列的定义推断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知得4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q＋a 1(1－q 6)1－q＝2×a 1(1－q 9)1－q，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.12．如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n 个内切圆的面积和．解设第n 个正三角形的内切圆的半径为a n 从其次个三角形开头，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的12，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12，故a 1＝12a tan 30°＝12a ×33＝36a ，a 2＝12a 1，…a n ＝12a n －1，数列{a n }是首项为36a ，公比为12的等比数列．所以a n ＝36×(12)n －1a . 设前n 个内切圆的面积之和为S n ，则S n ＝π(a 21＋a 22＋…＋a 2n) ＝πa 21⎣⎡⎦⎤1＋(14)＋(14)2＋…＋(14)n －1 ＝43×a 212⎣⎡⎦⎤1－(14)n π＝a 29(1－14n )π. 答前n 个内切圆的面积和是a 29(1－14n )π.三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

高中数学 1.3.3等比数列的前n项和(一)教案北师大版必修5

第十课时 1.3.3等比数列的前n项和（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。

2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。

3、情感态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。

二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。

教学难点等比数列前n项和公式的推导。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-1.264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.（二）推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+q n=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+q n+q n+1.生每一项就成了它后面相邻的一项.师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S n =1+q +q 2+…+q n,那么q S n =q +q 2+…+q n +qn +1.要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q )S n =1-q n. 师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值.生如果q ≠1，则有qq S n--=11.师当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果. 生如果q ＝1，那么S n =n .师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,那么q S n =a 1q +a 2q +a 3q +…+a n q ,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q )S n =a 1-a n q .师再次提醒学生注意q 的取值.如果q ≠1，则有qqa a S n n --=11.师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1,那么q S n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n,要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q )S n =a 1-a 1q n.如果q ≠1，则有qq a S n n --=1)1(1.师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q ,a n ,S n ,n 中a 1,q ,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q ,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q ≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q ≠1时，我们才能用上述公式.师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？生独立思考、合作交流.生如果q ＝1，S n =na 1. 师完全正确.如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍.师对了，这就是认清了问题的本质.师等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 再由合比定理，则得,即q a S a S nn n =--1,从而就有(1-q )S n =a 1-a n q .(以下从略) 思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q +a 2q +…+an -1q =a 1+q (a 1+a 2+…+an -1)=a 1+q (S n -a n ),从而得(1-q )S n =a 1-a n q .(以下从略)师探究中我们们应该发现，S n -S n -1=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？生 n ＞1.师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞ 1.师综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…；(2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0.［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了.生写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S . (2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q ,于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S . 【例题2】某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题.生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算. 解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q =1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到300001.11)1.11(5000=--n ,整理得 1.1n=1.6,两边取对数，得nlg 1.1=lg 1.6,用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年). 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.（三）、练习：教材练习第1、2、3题.（四）、课堂小结：本节学习了如下内容： 1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考. （五）、布置作业课本习题1-3 B 组2、3五、教学反思：。

高中数学必修五北师大版 3.2等比数列前n项和公式教案1

2.3.2等比数列的前n项和7月25日（1）掌握并熟练运用等比数列前n项和公式（2）通过对实际问题的分析，培养学生数学建模能力（3）通过“错位相减法”与“合比定理法”对公式进行推导，提高学生一题多解的能力一、课前准备1.等比数列的定义：2.等比数列通项公式：3.等比数列的性质：4.等差数列前n项和公式的推导方法是。

二、新课导学※探索新知话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？需要解决的是一个什么问题？如何求解？对于一个一般的等比数列{a n}又该如何求解呢？当q=1时，当q≠1时，先看这样两个数列：1，2，22，23，24，25，…2，22，23，24，25，26，…有什么关系？前n项和呢？新知1：等比数列前n项和公式：这种求等比数列的前n项和公式的方法叫做错位相减法（全称：乘公比错位相减法）。

还有另外两种推导方法。

说明：下面你就用所学的知识帮猪八戒算一算。

例4．某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p >0)，求这个工厂去年全年产值的总和。

例5、已知数列{}n a 的前n 项和215-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。

{}n a 是否为等比数列？若是请证明。

高中数学(北师大版)必修五教案：1.3 知识精点：等比数列的前n项和

- 1 - / 2《等比数列的前n 项和》知识精点等比数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G b a G =，即ab G =2。

等比数列的判定方法1.定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a n n ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

等比数列的前n 项和○1)1(1)1(1≠--=q q q a S n n ○2)1(11≠--=q qq a a S n n ○3当1=q 时，1na S n = 等比数列的性质1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=2.对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。

如图所示：n n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 3．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

高中数学 1.2.3等差数列的前n项和2学案北师大版必修5

第3课时等差数列的前n 项和思路方法技巧命题方向有关等差数列的基本量的运算［例1］已知等差数列{a n }中，（1）a 1=23,d =-21,S n =-15,求n 和a n ; （2）a 1=1,a n =-512，S n =-1022,求公差d .［分析］ a 1,d,n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量表示，五个基本量a 1,d,n,a n ,S n 中可“知三求二”.［解析］ (1)∵S n =n ·23+2)1(-n n ·（-21）=-15，整理，得n 2-7n -60=0.解之得n =12或n =-5(舍去).∴a 12=23+ (12-1)×（-21）=-4. (2)由S n =2)(1n a a n +=2)5121(-n =-1022, 解之得n =4.又由a n =a 1+(n -1)d ,即-512=1+(4-1)d ,解之得d =-171.［说明］等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.变式应用1 在等差数列｛a n ｝中，（1）已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8;（2）已知a 3+a 15=40,求S 17.［解析］（1）∵a 6=10,S 5=5, a 1+5d =10 a 1=-5∴ ，解得 .5a 1+10d =5 d =3∴a 8=a 6+2d =16,S 8=2)(881a a +=44. (2)∵a 1+a 17=a 3+a 15,∴S 17=2)(17171a a +=2)(17153a a +=24017⨯＝340. 命题方向等差数列前n 项和的性质［例2］一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. ［分析］解答本题可利用前n 项和公式求出a 1和d ,即可求出S 110,或利用等差数列前n 项和的性质求解.［解析］方法一：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S n ,则S n =na 1+2)1(-n n d .10a 1+2910⨯d =100 ① 由已知得 100a 1+299100⨯d =10 ② ①×10－②，整理得d =-5011, 代入①，得a 1=1001099. ∴S 110=110a 1+2109110⨯d =110×1001099+2109110⨯×（-5011） =110（100111091099⨯-）＝－110. 故此数列的前110项之和为－110．方法二：数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…，S 100-S 90,S 110-S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10+2910⨯×D =S 100=10⇒D =-22， ∴S 110-S 100=S 10+（11-1）D =100+10×（-22）=-120.∴S 110=-120+S 100=-110.方法三：设S n =an 2+bn .∵S 10=100,S 100=10,102a +10b =100 a =-10011 ∴ ，⇒ .1002a +100b =10 b =10111 ∴S n =-10011n 2+10111n . ∴S 110=-10011×1102+10111×110=-110. 方法四：∵S 100-S 10=a 11+a 12+…+a 100=2)(9010011a a +=2)(901101a a +. 又S 100-S 10=10-100=-90,∴a 1+a 110=-2.∴S 110=2)(1101101a a +=-110. 方法五：在等差数列中，因为点（n ,nS n ）共线，所以（10，1010S ）,（100，100100S ）,（110，110110S ）三点共线，故101001010010100--S S ＝101101011010110--S S 即9010101-＝10010110110-S ∴110110S =10+910×(101-10)=-1 ∴S 110=-110.［说明］比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前n 项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S m =70，S 2m =110,则S 3m ＝ . ［答案］ 120［解析］ ∵{a n }为等差数列，∴S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列,∴2(S 2m -S m )=S m +S 3m -S 2m ,即2（110-70）＝70+S 3m -110，∴S 3m =120.命题方向等差数列前n 项和的最值问题［例3］已知数列{a n ｝是等差数列，a 1=50,d =-0.6.(1)从第几项开始有a n <0;(2)求此数列的前n 项和的最大值.［分析］对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n ∈N ＋；对于（2）实际上是研究S n 随n 的变化规律，由于等差数列中S n 是关于n 的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由a n 的变化推测S n 的变化.［解析］（1）因为a 1=50，d =-0.6,所以a n =50-0.6(n -1)=-0.6n +50.6.令-0.6n +50.6≤0，则n ≥6.06.50≈84.3. 由于n ∈N ＋，故当n ≥85时，a n <0，即从第85项起以后各项均小于0.（2）解法一：因为d =-0.6<0,a 1=50>0,由（1）知a 84>0,a 85<0,所以S 1<S 2<…<S 84,且S 84>S 85>S 86>….所以当n =84时，S n 有最大值，即S 84=50×84+28384⨯×(-0.6)=2108.4. 解法二：S n =50n +2)1(-n n ×(-0.6)=-0.3n 2+50.3n =-0.3（n -6503）2+1205032.当n 取接近于6503的自然数，即n =84时，S n 达到最大值S 84=2108.4.［说明］求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法：方法一：根据项的正负来定.若a 1>0,d <0，则数列的所有正数项之和最大；若a 1<0,d >0，则数列的所有负数项之和最小.方法二：S n =na 1+2)1(-n n d =2d n 2+（a 1-2d ）n=2d(n +d d a 21-)2-d d a 2)2(21- =2d [n -（21-d a 1）]2-2d （21-d a 1）2. 由二次函数的最大、最小值知识及n ∈N +知，当n 取最接近（21-d a 1）的正整数时，S n 取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（21-da 1）的正整数有时有1个，有时有2个. 变式应用3 在等差数列{a n ｝中，a 1=25,S 17=S 9,求S n 的最大值.［解析］解法一：利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17=S 9得 25×17+217 (17-1)d =25×9+29 (9-1)d ,解得d =-2, ∴S n =25n +2n (n -1)(-2)=-(n -13) 2+169, ∴由二次函数性质，当n =13时，S n 有最大值169.解法二：同解法一先求出d =-2.因为a 1=25>0,a n =25-2(n -1)≥0 n ≤1321 由，得，a n+1=25-2n ≤0 n ≥1221 所以当n =13时，S n 有最大值169.解法三：同解法一先求出d =-2.由S 17=S 9，得a 10+a 11+…+a 17=0，而a 10+a 17=a 11+a 16=a 12+a 15 =a 13+a 14,故a 13+a 14=0.因为d =-2<0,a 1>0,所以a 13>0,a 14<0,故n =13时，S n 有最大值169. 解法四：同解法一先求出d =-2.由d =-2，得S n 的图像如图所示（图像上一些孤立点），由S 17=S 9知图像对称轴为n =2179+=13,所以当n =13时，S n 取得最大值169.探索延拓创新命题方向等差数列前n 项和在实际问题中的应用［例4］有30根水泥电线杆，要运往1000 m 远的地方开始安装，在1000 m 处放一根，以后每隔50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共多少？［分析］这是一道等差数列求和的应用题.对于应用题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论.［解析］解法1：如图所示示意图，假定30根水泥电线杆存放M 处.a 1=|MA |=1000(m),a 2=|MB |=1050(m),a 3=|MC |=1100(m),a 6=a 3+50×3＝1250(m),…a 30=a 3+150×9（m ）.由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a 3,a 6,a 9,…,a 30这些地方，这样组成公差为150 m ，首项为1100的等差数列，令汽车行程为S ，则有S ＝2(a 3+a 6+…+a 30)=2(a 3+a 3+150×1＋…＋a 3+150×9)＝2（10a 3+150×291+×9）＝2（11000＋6750）＝35.5（km ）.答：这辆汽车行程共有35.5 km.解法2（略解）：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列｛a n ｝,其a 1=100,d =150,n =10,则S 10=10a 1+2)110(10-d =7750(m). 所以总共行程为7750×2＋1000×20＝35.5（km ）.解法3（略解）：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中a 1=(1000+50×2)×2＝2200，a 2=(1000+50×5)×2＝2500，…d =150×2＝300，项数共有10项，∴S n =10a 1+2)110(10-d =10×2200＋5×9×300＝35.5（km ）.［说明］有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究，建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，一般求解步骤如下：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征；(2)是求数列的通项还是求数列的前n 项和;(3)列出等式（或方程）求解;(4)得到问题的答案.变式应用4 为了参加5000 m 长跑比赛,李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ，李强10天一共要跑多少路程？［解析］将李强每一天跑的路程记为数列｛a n ｝,则a 1=5000m,公差d =400m.∴S 10＝10a 1+2)110(10-⨯×d =10×5000＋45×400＝68000（m ）故李强10天一共要跑的路程为68000m.名师辨误做答［例5］已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为S n 、T n ，且nn T S ＝27417++n n (n ∈N +),求1111b a . ［误解］由n n T S =27417++n n , 设S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k,k ≠0.则a 11=S 11-S 10=(7×11+1)k -(7×10+1)k =7k ,b 11=T 11-T 10=(4×11+27)k -(4×10+27)k =4k . ∴1111b a =k k 47=47. ［辨析］错误的原因是“设S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k,k ≠0”.这种设法虽然可以使n n T S =27417++n n 成立，但是相对于变量n 来说，k 是常数，故S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k 是n 的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n 项和为n 的二次函数不符合. ［正解］由于等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝an 2+bn =a ·n (n +a b ), 设S n =(7n +1)·kn,T n =(4n +27)·kn ,∴a 11=S 11-S 10=(7×11+1)·11k -(7×10+1)·10k ＝148k ，b 11=T 11-T 10=(4×11+27)·11k -(4×10+27)·10k =111k . ∴1111b a =k k 111148=34.。

高中数学第一章数列3.2等比数列的前n项和(一)学案北师大版必修5(2021学年)

知识点一等比数列的前n项和公式的推导
思考对于S64＝1＋2+４＋8＋…＋2６2＋26３，用２乘以等式的两边可得2S6４＝2+４+８+…+262＋263+2６４，对这两个式子作怎样的运算能解出Ｓ６4？
梳理设等比数列｛ａｎ}的首项是a1,公比是q,前n项和Ｓn可用下面的“错位相减法”求得．
Sn=a１+ａ1q+a1q2+…+a1ｑn-１。①
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3。2 等比数列的前
学习目标 1.掌握等比数列的前ｎ项和公式及公式证明思路。2．会用等比数列的前ｎ项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
反思与感悟解应用题先要认真阅读题目,理解题意后,将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 ｍ的高度,在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80％。这个热气球上升的高度能超过1２5 m吗?
1.等比数列1,x，x2,x3，…的前ｎ项和Sn等于( ）
n－1
＝4 000× （万元)．
同理，第1年收入4０0万元,第2年收入400× 万元,…,第ｎ年收入400× ｎ－1万元．
所以每年的收入构成首项为４０0,公比为(1+ )的等比数列.
所以总收入ｂn=400+400×＋…+4０0× n-１
=1 ６00×．
所以n年内的总投入为
4 ０0０× ,
n年内旅游业的总投入为

等比数列的前n项和

4
课前预学
课堂导学
课上固学
课后思学
第一章
第第7一课章时 8 列,构成 64 个格子.国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒……依此类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍,直到第 64 个格子,请给我足够的麦粒来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求.
+��
2
2
=3,
∴2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=-12. ∴当 q=1 时,a1=32;当 q=-12时,a1=6.
课后思学
第一章
第第7一课章时
第 19 页
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19
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课上固学
课后思学
第一章
第第7一课章时
第 20 页
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【针对训练 1】(1)设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,则公比 q 的值为( C ).
【方法指导】在等比数列的前 n 项和公式中有五个基本量 a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个量, 就可以求出其他两个量.
18
课前预学课堂导学课上固学
【解析】(1)a6=a1q5=3×25=96.
S6=��
1
(1-�� 1-��
6
)=3×1(1-2-26
)=189.
=-14,
∴数列{an}是首项 a1=34,公比 q=-14的等比数列,

高中数学 1.3.2.1 等比数列的前n项和同步课件北师大版必修5

(1)试判断(pànduà{n1)数列 1n }
是1否naan为n1等1 比2 数n列，2, n并说N明理. 由；
（【∴2解）析设】（bn1） a∵1求2n ,数an列a1n{bn}的1前n na项2n和1 ,Sn.
1 又∵a n
1n
2［ 1
a n1
1 n1］,
∴数列1 1 是3, 首项为3，公比为-2的等比数列.
∴
第十六页，共47页。
方法二:∵S10,S20-S10,S30-S20仍成等比数列(děnɡ bǐ shù liè),
又∵S10=10,S20=30,
∴
即3S0301=0720.
S30 30 答案:70
10
,
第十七页，共47页。
利用错位相减法求和错位相减法
（1）错位相减法的原理:实际上是将一个普通数列进行转化成为特殊(tèshū)数列求和的方法. （2）特点:适用错位相减法的数列形式为{an·bn}.其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.
第十五页，共47页。
【规范解答】方法一:设数列(shùliè){an}的首项为a1,公比
为aq1 ,1则 q10 10,
1q
a1 1 q20
1 q
30.
两式S3相0 除a1,得111qq+30q10a=1 131,∴qqq10101= 2q1.0 q20 10 1 2 4 70.
a1
{ 1 1n}
an
第四十六页，共47页。
（2）依（1）的结论( jiélù1 n)有1n 3 2n1，
an 即 1 3（ 2）n1 （ 1）n （ 1）n（1 3 2n1 1）.
an bn (3 2n1 1)2 9 4n1 6 2n1 1.

高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2等比数列的前n项和课件北师大版必修5

��
综上可知,S8=255 或 S8=
255 . 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二等比数列前n项和的性质的应用【例2】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 分析:用求和公式直接求解或用性质求解.
解法一:∵S2n ≠2Sn,∴q ≠1.
��1 (1-�� ) = 48,① 1-�� 由题意得 �� (1-��2�� ) 1 = 60.② 1-�� ② 5 1 , 得1+qn= , 即qn= . ③ 4 4 ① ��1 把 ③代入①,得 = 64, 1-�� 1 (1-��3�� ) 1 ∴S3n= 1-�� = 64 × 1- 3 4
=
63 , 4
∴q= 2. ∵an=a1q ,即 8×
n-1
=
�� = 6.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由 S6≠2S3,知 q≠1,由题意,得
��1 (1-��3 ) 7 = , ① 1-�� 2 ��1 (1-��6 ) 63 = , ② 1-�� 2
当 a4=-8 时,a6-a4=24,∴a6=16, �� ∴q2= 6=-2,无解.故 q=±2.
4 当 q=2 时,a1= 3 =1,
��4 ��4
��1 (1-��8 ) ∴S8= =255; 1-�� 4 当 q=-2 时,a1= 3 =-1, �� 1 (1-��8 ) 255 ∴S8= = . 3 1-��

2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章3.2等比数列的前n项和(二)

3.2 等比数列的前n项和(二)问题导学【学习目标】1•熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2会用错位相减法求和.知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列｛a n｝的前n项和S n= 2n- 1，那么数列｛a n｝是不是等比数列？若数列｛a n｝的前n项和S n= 2n+1- 1呢？梳理当公比q z 1时，设A=，等比数列的前n项和公式是S n= A(q n—1). q-1当公比q= 1时，因为a1*0,所以S n= na1, S n是n的正比例函数.知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则S n, S2n- S n, S3n-翁成等比数列吗？梳理等比数列｛a n｝前n项和的三个常用性质(1)数列｛a n｝为公比不为-1的等比数列，S n为其前n项和，贝y S n , S2n-S n, S gn - S2n仍构成等比数列.⑵若｛a n｝是公比为q的等比数列，贝y S n+m = S n + q n S m(n, m€ N +).⑶若｛a n｝是公比为q的等比数列，S偶，S奇分另忧数列的偶数项和与奇数项和，贝y ①在其前S禺2n 项中，一=q ；S奇、,a1+ a2n+1 q a1+ a2n +2②在其前2n + 1 项中'S奇一S偶=a1 —a2 + a3—a4+ …一a2n+ a2n +1 = = (q 工1 -(—q) 1 + q-1).知识点三错位相减法思考在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列｛a n｝的前n项和S n= a1+ a2+^+ a n的？梳理如果数列｛a n｝是等差数列，｛b n｝是公比不为1的等比数列，求数列｛ a n b n｝的前n项和时，般使用如下方法:S n= a i b i+ a2b2+ …+ a n b n, ①qS n= a i b i q+ a2b2q + …+ a n b n q=a i b2+ a2b3+…+ a n b n+1, ② ①一②得(1—q)S n = a i b i + (a2—a i)b2 + (a3—a2)b3 + …+ (a n—a n—i)b n—a n b n+1=a i b i + d(b2+ b3+ …+ b n) 一a n b n+1. . n 1b2(1 - q )=a1b1 + d 一a n b n +1,1 —qa1b1 —a n b n+1 b2 1 —q n—1S n =+ d 2 .1 一q (1 —q)上述方法称为"错位相减法题型探究类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列｛a n｝的前n项和S n= a n—1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列｛a n｝( )A .一定是等差数列B •一定是等比数列C .是等差数列或等比数列D •既非等差数列，也非等比数列(S1, n= 1,反思与感悟(1)已知S n,通过a n= 求通项a n,应特别注意n>2时，a n =|S n - S n—1, n》2S n—S n—1.⑵若数列｛a n｝的前n项和s = A(q n—1)，其中A M 0, 0且q丰1，则｛a n｝是等比数列.跟踪训练1若｛a n｝是等比数列，且前n项和为Si = 3n 1+1,贝V t= ____________ .类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n,翁，爲，求证：§+战=S n(S2n + S3n).反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q = 1和q 工1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.（2）灵活运用等比数列前 n 项和的有关性质. 跟踪训练2在等比数列｛a n ｝中，已知S n = 48, S 2n = 60,求S 3n . 命题角度2 不连续n 项之和问题 1 a i + 83+ 85+ a 7 例3已知等比数列｛a n ｝的公比q =—3,则^^T a +a +a;等于（） i A 3 B - 1 C . 3 匹反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快. 跟踪训练3设数列｛a n ｝是以2为首项，1为公差的等差数列；数列｛b n ｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ba 1 + ba 2 + ba 3+…+ ba g = ____________ . 类型三错位相减法求和例4求数列｛》｝的前n 项和. 反思与感悟一般地，如果数列｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是等比数列，求数列｛a n b n ｝的前n 项和时，可采用错位相减法. 跟踪训练 4 求和：S n = x + 2x 2 + 3x 3+…+ nx n （X M 0）. 当堂训练 --------------------------- 点灯的盏数是（） — 12.已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n = x 3n 1 — g ,则x 的值为（）A.3 B . — 3 eg D .3 .一个等比数列的前 7项和为48,前14项和为60,则前21项和为（）A . 180B . 108C . 75D . 634.在数列｛ a n ｝中，a n +1= ca n （c 为非零常数），且前n 项和为S = 3n + k ,则实数k = _____________ p-规律与方法■ ----------------------------------- 1. 一般地，如果数列｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是等比数列且公比为 q ,求数列｛a n b n ｝的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和.2 .等比数列中用到的数学思想：1 . 一个七层的塔, 每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2倍，一共点381盏灯，则底层所 A . 190B . 191C . 192D . 193(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q=1和q z1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a i>0, q>1或a i<0,0<q<1时为递增数列；当a i<0, q>1或a i>0,0<q<1 时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q= 1时为常数列.⑵函数的思想：等比数列的通项a n= a1q n-1= q n(q>0且q工1)常和指数函数相联系；等比q数列前n项和S n= 旦(q n—1)(q工1).设，则S n= A(q n—1)也与指数函数相联系.q—1 q—1⑶整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q n, 当成整体求解.1 —qS n = a 1+ a 2+…+ a n ,S 2n — S n = a n + 1 + a n+2+…+n i n | | n=a 1q + a 2q +…+ a *q=q S n ,S 3n — S 2n = a 2n +1+ a 2n + 2+…+ a 3n=a n + 1q n + a n + 2q n +…+ a 2n q n=q (S 2n — S n ),二S n , S 2n — S n , S sn —翁成等比数列，公比为 q [知识点三思考在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可. 题型探究例 1 B [当 n 》2 时，a n = S n — S n — 1 =(a — 1) a n -1;当n = 1时，a 1 = a — 1，满足上式，a n +1a n = (a — 1) a n — , n € N +.二 =a , a n二数列｛a n ｝是等比数列.]1跟踪训练1 —1 解析显然q 丰1,此时应有S n = A(q n — 1),答案精析问题导学知识点一思考当S n = 2n — 1时,S 1, a n = S n — S n —1, n = 1, n 》2 1,n — 1 2 n = 1, ,n >2,n € N +,是等比数列;当 S n = 2n +1— 1 时,a n S 1 , S n — 5-1 , n = 1, n 》2 2n, n = 1,n 》2, n€ N +,不是等比数列.知识点二思考设｛a n ｝的公比为 q.a 2n1 1又 S n = 3 • + t, - - t =一 3.例2证明方法一设此等比数列的公比为 q ，首项为a i , 当 q = 1 时，S n = na 1， S 2n = 2na i ， S 3n = 3na i ,二 s n + S 2n = n 2a 2 + 4n 2a 1= 5n 2a 1,2 2S n (S 2n + S 3n ) = na 1(2na 1 + 3na 1)= 5n a 1,S ^+ S 2n = S n (S 2n + S 3n ).当 q z 1 时，— q n ),1-qa 1 _ 2n 、小 a 1 ,. 3n 、(1 - q )，S 3n =二(1 一q )，一 n 、2 ,小小 n , 2n 、(1 — q ) (2 + 2q + q ),二 S ^+ S 2n = S n (S 2n + S 3n ).方法二根据等比数列的性质，有 S 2n = S n + q n S n = S n (1 + q), S 3n = S n + q “S n + q 2n S n , •••S 2+ SL = S n + [S n (1 + q n )]2= S n (2 + 2q "+ q 2n ),S n (S 2n + S 3n ) = S h (2 + 2q "+ q 2).• S ^+ S 2n = S n (S 2n + S 3n ).0 1 — q =48, 1 — q由已知得 … S 2n = 1-q 二 S n + S 2n =a 1a 1a —q,2 [(1 -q)+ (1-q )]〔一 q j (1 — q )「(2 + 2q + q 「). n 2n又 S n (S 2n + S 3n ) = 跟踪训练2解因为S 2n Z 2S n ,所以q 工1,1口 - q n)a=60,1—q②乜得1 + q n= 4，即q n= 4•③将③代入①得旦 =64 ,1 — q例 3 A [ - a ? + a 4 + a 6+ a 8=a i q + a 3q + a 5q + a 7q=q(a i + a 3+ a 5+ a 7)a i + a 3+ a 5+ a 7i i• • S n = 2 —1 11 n 1n n +2 严2—丁2 —所以 S $n= a i 1 — q 3n =64 X 4 = 63.n I n 1， 2n + | n 1 n 2n + * 1= 1 2n 2n +1.跟踪训练4 解当x= 1时，S n= 1 + 2+ 3+- + n 当X M 1 时，S n= x+ 2x2+ 3x3+…+ nx n,xS n = x 2 + 2x 3 + 3X 4+ …+ (n - 1)x n + n x n + 1, ••• (1 — X )S n = x + X 2 + X 3 + …+ x n — nx n + 1 “ n X1—X n ,1------ —nx +1 — X/ n n 丄 1 x(1 — x )nx + …S n = 2-1 —X综上可得X = 1 , n + 1nx 十2------- , X 丰 1且 X M 0. (1 — X) 1 — X当堂训练1 . C 2.C 3.D 4.— 1=一=—3.]a 2+ a 4+ a 6+ a sq跟踪训练3 I26 ba n +1 b i qa n +1 — i解析 T == qa n +1 — a n = 2,ba n b i qa n — 1••• {ba n }是首项为b 2,公比为2的等比数列. ••• ba i + ba 2+・・・ + ba 6=「2 = 126.1 — 2例4解设S n = 2 + 2^ +寺+…+步,1 i2 n — 1则有尹!=2^+戸+…+ ~2丁 1 1两式相减，得 S n — 2S n = + ^2 +戸+…+歹一(+ S n =丄 nX 1— X1 1 i 21 —歹即 2Sn =—T 1 — 2。

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▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 第3课时等比数列的前n项和知能目标解读 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和. 2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况. 3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题. 重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题. 难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用. 学习方法指导 1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为 na1 (q=1) Sn= .

qqan1)1(1 (q≠1)

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.

（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=qqan1)1(1，当已知a1,q(q≠1)，

an时，用公式Sn=qqaan11.

2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法

由等比数列的定义知：12aa=23aa=…=1nnaa=q.

当q≠1时，12132nnaaaaaa=q,即nnnaSaS1=q. 故Sn=qqaan11=qqan1)1(1. 当q=1时，Sn=na1. (2)拆项法 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an) ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 当q≠1时，Sn=qqaan11=qqan1)1(1. 当q=1时，Sn=na1. (3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2) ∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1 ∴Sn=a1+q(Sn-an) 即(1-q)Sn=a1(1-qn)

当q≠1时，有Sn=qqan1)1(1, 当q=1时，Sn=na1. 注意： (1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧. (2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和. 3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量. （2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论. 4.等比数列前n项和公式与函数的关系

(1)当公比q≠1时，令A=qa11，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）. (2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理 1.等比数列前n项和公式（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn= . (2)推导等比数列前n项和公式的方法是 . 2.公式特点（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为 . （2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求 .

［答案］ 1.（1）qqan1)1(1 qqaan11 na1 (2)错位相减法 2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 命题方向等比数列前n项和公式的应用［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. ［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论. ［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；

当q≠1时，qqa1)1(31=3a1q2, 因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q), 2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,

解得q=-21.

综上所述，公比q的值是1或－21. ［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量. （2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.

（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=qqan1)1(1来求；若已知

a1,an,q,利用Sn=qqaan11来求.

变式应用1 在等比数列{an}中,已知S3=27,S6=263,求an. ［解析］ ∵S6=263,S3=27, ∴S6≠2S3，∴q≠1.

qqa1)1(31=27 ① ∴

qqa1)1(61=263 ②

②÷①得 1+q3=9,∴q=2. 将q=2代入①，得a1=21, ∴an=a1qn-1=2n-2. 命题方向等比数列前n项的性质［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n. ［分析］利用等比数列前n项的性质求解. ［解析］ ∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n) ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ∴S3n=nnnSSS22)(+S2n=48)4860(2+60=63. ［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列. 变式应用2 等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4. ［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列， ∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0, ∴S4=28. 解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.

qqa1)1(21=7 ①

∴

qqa1)1(61=91 ②

①②得q4+q2-12=0,∴q2=3,

∴q=±3. 当q=3时，a1=2)13(7, ∴S4=qqa1)1(41=28. 当q=-3时，a1=-2)13(7, ∴S4=qqa1)1(41=28. 探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元. （1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3) ［解析］ (1)第一年年底本利和为a+a·25%=1.25a, 第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x, ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x. (2)第n年年底本利和为 bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.

(3)依题意，有 395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,

∴x=125.1)125.1(25.1)425.1(3951920

=25.125.1)425.1(39525.02020. ① 设1.2520=t,∴lgt=20lg（810）=20(1-3lg2)=2. ∴t=100,代入①解得x=96. 变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行 20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x, 第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x =20000×1.12-1.1x-x, … 第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x, 依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得 20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,

解得x=11.11.01.1200001010≈3255(元). 名师辨误做答［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.