数值分析实验：数值积分和数值微分
数值分析中的名词解释
数值分析中的名词解释数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程领域以及许多其他领域中都有广泛的应用。
本文将通过解释数值分析中的一些重要名词，来介绍这个领域的基本概念和方法。
一、误差与精度在数值分析中，误差是指数值计算和实际结果之间的差异。
由于计算过程中存在舍入误差、截断误差等，数值计算很难得到完全准确的结果。
为了度量误差的大小，我们需要引入精度的概念。
精度表示了计算结果的准确程度，通常使用绝对误差或相对误差来衡量。
绝对误差是计算结果与实际结果的差值，而相对误差则是绝对误差与实际结果的比值。
二、插值与外推插值是指根据已知数据点的数值，通过某种方法去估算出未知点的数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
而外推则是利用已知数据点的数值，通过推算来估计未知点的数值。
插值和外推在数值分析中常常用于构建函数的近似表达式或预测未来数据的趋势。
三、数值积分与数值微分数值积分是指通过数值方法来近似求解定积分。
由于很多函数的原函数无法用解析算式表示，或者求解困难，因此数值积分成为了一种常用的求解方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
而数值微分则是通过数值方法来近似求解微分。
数值微分的目的是通过逼近导数的定义来估算导数值，通常使用数值差商或有限差分来实现。
四、线性方程组的解法在科学计算中，线性方程组的求解是一个核心问题。
数值分析中有各种不同的算法和方法可以用来解决线性方程组，如高斯消元法、追赶法、迭代法等。
这些方法的基本思想是通过对系数矩阵进行操作或迭代运算来求解未知数的值。
线性方程组的求解在很多科学和工程问题中都非常重要，比如力学模拟、电路分析等。
五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
然而，绝大部分的常微分方程都无法用解析算式求解，因此需要使用数值方法来近似求解。
数值分析中有许多不同的方法可以用于求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。
数学中的数值分析
数学中的数值分析数值分析是应用数学的一个分支领域，主要研究如何使用数值方法来解决实际问题。
它涉及到了数学模型的建立、算法的设计和数值计算的实施等方面。
在现代科学和工程领域，数值分析起着至关重要的作用，因为很多现实问题往往很难通过解析方法获得准确的解决方案。
本文将介绍数值分析的基本概念和一些常用的数值方法。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究如何应用计算机来处理数学问题的学科。
它主要研究以下几个方面：1. 数学模型的建立：数值分析的第一步是要将实际问题抽象为数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个函数或者一个算法等。
通过数学模型的建立，我们可以将实际问题转化为一个数学问题。
2. 数值方法的设计：数值分析的核心是设计数值方法来解决数学问题。
数值方法是一种数学算法，它通过一系列数值计算来逼近解析解。
常用的数值方法有插值法、数值积分法、数值微分法等。
3. 数值计算的实施：数值方法实施的关键是要进行数值计算。
数值计算需要使用计算机来进行，它通常涉及到矩阵运算、迭代计算、逼近计算等。
二、常用的数值方法1. 插值法：插值法是一种用于在已知数据点之间估算未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
插值法可以在一定误差范围内逼近真实的数据变化情况。
2. 数值积分法：数值积分法是一种通过数值计算来近似计算定积分的方法。
常用的数值积分方法有梯形法、辛普森法、龙贝格积分法等。
数值积分法可以在不求解原始函数的情况下，获得定积分的数值近似结果。
3. 数值微分法：数值微分法是一种通过数值计算来近似计算导数的方法。
常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法、中心差分法等。
数值微分法可以在较小的误差范围内计算函数在某个点的导数。
三、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学计算、工程分析等领域。
下面将介绍数值分析在几个具体领域中的应用。
1. 物理学：数值分析在物理学中有着广泛的应用，特别是在天体力学、量子力学以及流体力学等方面。
数值分析2024上机实验报告
数值分析2024上机实验报告数值分析是计算数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法来解决数学问题。
在数值分析的学习过程中，学生需要通过上机实验来巩固理论知识，并学会使用相应的数值方法来解决实际问题。
本篇报告将详细介绍2024年度数值分析上机实验的内容和结果。
一、实验内容2024年度数值分析上机实验分为四个部分，分别是：方程求根、插值与拟合、数值积分和常微分方程的数值解。
1.方程求根这部分实验要求使用数值方法求解给定的非线性方程的根。
常见的数值方法有二分法、牛顿法、割线法等。
在实验过程中，我们需要熟悉这些数值方法的原理和实现步骤，并对不同方法的收敛性进行分析和比较。
2.插值与拟合这部分实验要求使用插值和拟合方法对给定的一组数据进行拟合。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
在实验中，我们需要熟悉插值和拟合方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和稳定性进行比较。
3.数值积分这部分实验要求使用数值方法计算给定函数的积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分等。
在实验过程中，我们需要熟悉这些数值积分方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和效率进行比较。
4.常微分方程的数值解这部分实验要求使用数值方法求解给定的常微分方程初值问题。
常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实验中，我们需要熟悉这些数值解方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和稳定性进行比较。
二、实验结果在完成2024年度数值分析上机实验后，我们得到了以下实验结果：1.方程求根我们实现了二分法、牛顿法和割线法，并对比了它们的收敛速度和稳定性。
结果表明，割线法的收敛速度最快，但在一些情况下可能会出现振荡；二分法和牛顿法的收敛速度相对较慢，但稳定性较好。
2.插值与拟合我们实现了拉格朗日插值和最小二乘拟合，并对比了它们的拟合效果和精度。
结果表明，拉格朗日插值在小区间上拟合效果较好，但在大区间上可能出现振荡；最小二乘拟合在整体上拟合效果较好，但可能出现过拟合。
第七章数值积分与数值微分 PPT
a
2
b
梯形公式
b
a
f
( x)dx
1 2
(b
a)
f
(a)
f
(b)
3
一般形式
数值积分公式得一般形式
一般地,用 f(x) 在 [a, b] 上得一些离散点
a x0 < x1 < ···< xn b
上得函数值得加权平均作为 f () 得近似值,可得
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
29
复合梯形公式
将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ,其中
xi a i h,
h
b
a n
(i = 0, 1, …, n)
复合梯形公式
b
n1
f ( x) dx
a i0
xi 1 xi
f (x)
dx
n1 i0
h[ 2
f
(
xi
)
f ( xi1)]
余项
h 2
f (a)
n
Ai =A0 A1 An b a
i0
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
插值型求积公式
设求积节点为:a x0 < x1 < ···< xn b
n
若 f (xi) 已知,则可做 n 次多项式插值: Ln( x) li ( x) f ( xi )
i0
b
b
n
b
n
a f ( x)dx a Ln( x) dx f ( xi ) a li ( x) dx Ai f ( xi )
代数精度的验证方法
数值计算基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法；2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作；3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用；4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。
二、实验内容1. 实验环境操作系统：Windows 10编程语言：Python 3.8科学计算库：NumPy 1.19.2，SciPy 1.5.02. 实验步骤（1）Python编程基础1）变量与数据类型2）运算符与表达式3）控制流4）函数与模块（2）NumPy库1）数组的创建与操作2）数组运算3）矩阵运算（3）SciPy库1）求解线性方程组2）插值与拟合3）数值积分（4）误差分析1）舍入误差2）截断误差3）数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一：Python编程基础（1）变量与数据类型通过实验，掌握了Python中变量与数据类型的定义方法，包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。
（2）运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符，并学习了如何使用表达式进行计算。
（3）控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句，掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。
（4）函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值，并学习了如何使用模块进行代码复用。
2. 实验二：NumPy库（1）数组的创建与操作通过实验，掌握了NumPy数组的基本操作，包括创建数组、索引、切片、排序等。
（2）数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势，包括加、减、乘、除、幂运算等。
（3）矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算，包括矩阵乘法、求逆、行列式等。
3. 实验三：SciPy库（1）求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块，通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。
（2）插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块，实现了对数据的插值和拟合，并分析了拟合效果。
数值分析实验2014
数值分析实验(2014,9,16~10,28)信计1201班，人数34人数学系机房数值分析计算实习报告册专业__________________学号_______________姓名_______________2014~2015年第一学期实验一数值计算的工具Matlab1. 解释下MATLABS序的输出结果程序：t=0.1n=1:10e=n/10-n*te 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0-1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 02. 下面MATLABS序的的功能是什么？程序：x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=x/2,的最小值x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>Xx=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),e nd用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X3. 考虑下面二次代数方程的求解问题2ax bx c = 0公式x=电上4ac是熟知的，与之等价地有_____________________________ ,对于2a-b ■ b -4aca =1,b =100000000,c =1，应当如何选择算法。
b ~4ac计算，因为b与b2— 4ac相近，两个相加减不宜应该用2a u做分母3 5 74. 函数sin(x)有幂级数展开sin x = x - x - - ■■3! 5! 7!利用幕级数计算sinx的MATLAB程序为fun cti on s=powers in(x)s=0;t=x;n=1;while s+t~=s;s=s+t ；t=-x A2/ ((n+1)*(n+2) ) *t ;n=n+2 ；endt仁cputime;pause(10);t2=cputime;t0=t2-t1(a) 解释上述程序的终止准则。
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
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运行后，得到如下结果：
input a:0
input b:9
input m:4
the result is17.726210_
所以：
计算积分： 的真实值
解：
4.实验结果与分析
本次试验是使用复化的辛甫生公式求积。首先，应用C语言进行程序的编写；其次，代入所给数值得出结果。最终得到的值为17.726210比较接近真实值18。但是此方法也有不足之处，当h太小的时候，计算量较大，所以我们需要对该方法进行改进，其思想为让程序自动改变步长，从而减少计算次数，使计算量减小。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
float f(float x)
{
return(sqrt(x));
}
void main()
{
float a,b,h,x[10],sum=0,sum1=0,sum2=0,sum3=0;
int i,m;
printf("input a:");
scanf("%f",&a);
printf("input b:");
scanf("%f",&b);
printf("input m:");
scanf("%d",&m);
h=(b-a)/m;x[0]=a;x[m]=b;
for(i=1;i<m;i++)
x[i]=a+h*i;
sum1=f(x[0])+f(x[m]);
黑河学院数学系
实 验 报 告
课程名称：数值分析
实验项目：数值积分和数值微分
实验室名称：数学系实验室
实验台号：02
********
学生学号：**********
********
实验日期：__2013___年__11___月___28__日
1.实验目的及要求：
要求学生掌握牛顿-科特斯求积公式、 复化辛甫生求积法、 高斯型求积分方法，初步掌握用Matlab、C语言等软件求解实验步骤不正确或结果不正确或实验态度不端正。
不及格
教师签字： 日期：年月日
2.实验内容：
应用自适应复化辛甫生求积法实习、应用软件编写程序，求给定问题的数值积分，并与真实值作比较，进行验证，同时达到熟练掌握和应用的程度。
3.实验过程:
用复化的辛甫生公式计算积分 M=4
给定下列表格值：
X
50
55
60
65
Y
1.6990
1.7404
1.7782
1.8129
复化辛甫生公式
利用C语言编程，程序源代码如下：
for(i=1;i<=m-1;i++,i++)
sum2=sum2+f(x[i]);
for(i=2;i<=m-2;i++,i++)
sum3=sum3+f(x[i]);
sum=(sum1+4*sum2+2*sum3)*h/3;
printf("the result is %f",sum);
getch();
对于本次实验，我们可以更熟练的掌握自适应复化辛甫生求积法，可以更合理的应用它，从而实验目的。
5.指导教师评语
1.完成所有规定的实验内容，实验步骤正确，结果正确，分析透彻，实验严谨、认真。
优秀
2.完成绝大部分规定的实验内容，实验步骤正确，结果正确，分析透彻，实验严谨、认真。
良好
3.基本完成规定实验内容，实验步骤正确，结果正确，分析合理，实验比较严谨、认真。