2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第一章 §1 归纳与类比

[对应学生用书P2]问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n }的前四项为2,4,6,8，试写出a n . 提示：a n ＝2n (n ∈N ＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．1．合情推理的含义合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． 2．演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的特点：(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．类比推理的特点：(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．[对应学生用书P3][例1] 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．[思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为2n －1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．[精解详析] 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n2.归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．[一点通] 根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．1．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( ) A.⎝⎛⎭⎫1367 B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.答案：D2．(陕西高考)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x)的表达式为________．解析：由f1(x)＝x1＋x⇒f2(x)＝f⎝⎛⎭⎫x1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝x1＋2 014x.答案：x1＋2 014x3．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n1＋2a n(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{a n}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝1，由a n＋1＝a n1＋2a n(n∈N＋)，得a2＝13，a3＝a21＋2a2＝15，a4＝a31＋2a3＝17.(2)由a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，可归纳猜想a n＝12n－1(n∈N＋).[例2]个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．[思路点拨]先求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值，并归纳出n与f(n)的关系，然后即可解决问题(2)、(3)．[精解详析](1)f(5)＝41.(2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－12＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. [一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析：由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A 中所示的图形．答案：A5．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为( )A ．(1 006,1 005)B ．(1 007,1 006)C ．(1 008,1 007)D ．(1 009,1 008)解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 007，1 006)处标2 0132.答案：B6．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝____________；当n >4时，f (n )＝______________.(用含n 的数学表达式表示)解析：画图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1，由 f (n )－f (n －1)＝n －1， f (n －1)－f (n －2)＝n －2， …f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)．[例3] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨]先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体．[精解详析]圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.[一点通]解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案：D8．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2D.不可类比解析：扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高．所以S 扇形＝l ×r2. 答案：C9．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[例4] [精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； (2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．10．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.答案：①a >b ⇒a ＋c >b ＋c ②a >b ⇒ac >bc (c >0) ③a >b >0⇒a 2>b 2.(说明：“>”也可改为“<”)11．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m ，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m q n －m ，∴q ＝⎝⎛⎭⎫a n a m答案：⎝⎛⎭⎫a n a m1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应课时跟踪训练(一)]1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( ) A ．2×10n B ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D.2×10n －2答案：B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D.8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.答案：C3．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析：由题意知275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π＝258.答案：B4．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每一行图中的黑点从右上角依次递减一个． 答案：A5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。