《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法

1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质.

2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.

多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.

问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件

(1);

(2).

问题2:数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行

(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立;

(2)(归纳递推)假

设.

问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可.

问题4:在证明过程中要防范以下两点

(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求.

(2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法.

(n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)

2

().

A.1

B.1+2

C.1+2+3

D.1+2+3+4

2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得().

A.n=6时该命题不成立

B.n=6时该命题成立

C.n=4时该命题不成立

D.n=4时该命题成立

3.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n >13

24的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是 .

4.若n 为大于1的自然数,求证:1

n+1+1

n+2+…+1

2n >13

24.

用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明:1-12+13-1

4+…+

12n-1-12n =1n+1+1n+2

+…+1

2n (n ∈N +).

用数学归纳法证明不等式

求证:1

n+1+1

n+2+…+1

3n >5

6(n ≥2,n ∈N +).

归纳—猜想—证明

已知数列{a n }满足S n +a n =2n+1(n ∈N +). (1)写出a 1,a 2,a 3, 并推测a n 的表达式. (2)用数学归纳法证明所得的结论.

用数学归纳法证明:对任意的n ∈N +,

11×3+13×5

+…+1(2n-1)(2n+1)=n

2n+1.

若n ∈N +且n ≥5,求证:2n

>n 2

.

已知数列{a n }的第一项a 1=5且S n-1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.

1.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>127

64(n ∈N +)成立,其初始值至少应取( ). A .7 B .8 C .9 D .10

2.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时,x n +y n

能被x+y 整除”,在第二步时,正确的证法是( ).

A .假设n=k (k ∈N +),证明n=k+1命题成立

B .假设n=k (k 是正奇数),证明n=k+1命题成立

C .假设n=2k+1(k ∈N +),证明n=k+1命题成立

D .假设n=k (k 是正奇数),证明n=k+2命题成立

3.用数学归纳法证明12

2+1

3

2+…+

1(n+1)2>12-1

n+2

.假设n=k 时,不等式成立.则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 . 4.证明: 6

2n-1

+1能被7整除(n ∈N +).

(2014年·安徽卷)设实数c>0,整数p>1,n ∈N +.

(1)证明:当x>-1且x ≠0时,(1+x )p

>1+px.

(2)数列{a n }满足a 1>c 1p

,a n+1=p-1

p a n +c

p

a n 1-p

.证明:a n >a n+1>c 1

p .

答案

第5课时 数学归纳法

知识体系梳理

问题1:(1)第一块骨牌倒下 (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下 问题2:(1)第一个值n 0(n 0∈N +) (2)当n=k (k ≥n 0,k ∈N +)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立

问题3:正整数 基础 依据

问题4:(1)选择合适的起始值 (2)n=k 成立的结论 基础学习交流

1.D n=1时,n+3=4.

2.C 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k 时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.

3.1

(2k+1)(2k+2) 不等式的左边增加的式子是1

2k+1+1

2k+2-1

k+1=1

(2k+1)(2k+2),故填1

(2k+1)(2k+2). 4.解:(1)当n=2时,1

2+1+1

2+2=712>13

24,不等式成立. (2)假设当n=k 时原不等式成立,即

1k+1+1k+2

+…+12k >13

24,则当n=k+1时,左边=1

k+2+1

k+3+…+1

2k +1

2k+1+1

2k+2+1

k+1-1

k+1>13

24+1

2k+1+1

2k+2-1

k+1=13

24+1

2k+1-1

2k+2=13

24+1

2(2k+1)(k+1)>13

24.即当n=k+1时,原不等式成立.由(1)(2)可知,所证的不等式成立.

重点难点探究

探究一:【解析】①当n=1时,左边=1-12=1

2,右边=

11+1=1

2

.左边=右边,等式成立. ②假设当n=k (k ≥1)时等式成立,即1-12+13-14+…+1

2k-1-1

2k =1

k+1+1

k+2+…+1

2k ,

则当n=k+1时,

(1-12+13-1

4+…+1

2k-1-1

2k )+(1

2k+1-1

2k+2)

=(1k+1+1k+2+…+12k )+(12k+1-1

2k+2) =1

k+2+1

k+3+…+1

2k+1+1

2k+2

=1

(k+1)+1+1

(k+1)+2+…+1

(k+1)+k +1

2(k+1).

即当n=k+1时,等式也成立.

综合①和②可知,对一切正整数n ,等式都成立.

【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n 的取值是否有关,由n=k 到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加了怎样的项.

探究二:【解析】①当n=2时,左边=13+14+15+16>5

6,不等式成立.

②假设n=k (k ≥2,k ∈N +)时命题成立,

即1

k+1+1

k+2+…+1

3k >5

6,