《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质.2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件(1);(2).问题2:数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立;(2)(归纳递推)假设.问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可.问题4:在证明过程中要防范以下两点(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求.(2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法.(n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2().A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+42.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得().A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n >1324的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是 .4.若n 为大于1的自然数,求证:1n+1+1n+2+…+12n >1324.用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n-1-12n =1n+1+1n+2+…+12n (n ∈N +).用数学归纳法证明不等式求证:1n+1+1n+2+…+13n >56(n ≥2,n ∈N +).归纳—猜想—证明已知数列{a n }满足S n +a n =2n+1(n ∈N +). (1)写出a 1,a 2,a 3, 并推测a n 的表达式. (2)用数学归纳法证明所得的结论.用数学归纳法证明:对任意的n ∈N +,11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.若n ∈N +且n ≥5,求证:2n>n 2.已知数列{a n }的第一项a 1=5且S n-1=a n (n ≥2,n ∈N +). (1)求a 2,a 3,a 4,并由此猜想a n 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)的猜想.1.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>12764(n ∈N +)成立,其初始值至少应取( ). A .7 B .8 C .9 D .102.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时,x n +y n能被x+y 整除”,在第二步时,正确的证法是( ).A .假设n=k (k ∈N +),证明n=k+1命题成立B .假设n=k (k 是正奇数),证明n=k+1命题成立C .假设n=2k+1(k ∈N +),证明n=k+1命题成立D .假设n=k (k 是正奇数),证明n=k+2命题成立3.用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2.假设n=k 时,不等式成立.则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 . 4.证明: 62n-1+1能被7整除(n ∈N +).(2014年·安徽卷)设实数c>0,整数p>1,n ∈N +.(1)证明:当x>-1且x ≠0时,(1+x )p>1+px.(2)数列{a n }满足a 1>c 1p,a n+1=p-1p a n +cpa n 1-p.证明:a n >a n+1>c 1p .答案第5课时 数学归纳法知识体系梳理问题1:(1)第一块骨牌倒下 (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下 问题2:(1)第一个值n 0(n 0∈N +) (2)当n=k (k ≥n 0,k ∈N +)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立问题3:正整数 基础 依据问题4:(1)选择合适的起始值 (2)n=k 成立的结论 基础学习交流1.D n=1时,n+3=4.2.C 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k 时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.3.1(2k+1)(2k+2) 不等式的左边增加的式子是12k+1+12k+2-1k+1=1(2k+1)(2k+2),故填1(2k+1)(2k+2). 4.解:(1)当n=2时,12+1+12+2=712>1324,不等式成立. (2)假设当n=k 时原不等式成立,即1k+1+1k+2+…+12k >1324,则当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+12k +12k+1+12k+2+1k+1-1k+1>1324+12k+1+12k+2-1k+1=1324+12k+1-12k+2=1324+12(2k+1)(k+1)>1324.即当n=k+1时,原不等式成立.由(1)(2)可知,所证的不等式成立.重点难点探究探究一:【解析】①当n=1时,左边=1-12=12,右边=11+1=12.左边=右边,等式成立. ②假设当n=k (k ≥1)时等式成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k =1k+1+1k+2+…+12k ,则当n=k+1时,(1-12+13-14+…+12k-1-12k )+(12k+1-12k+2)=(1k+1+1k+2+…+12k )+(12k+1-12k+2) =1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+1(k+1)+k +12(k+1).即当n=k+1时,等式也成立.综合①和②可知,对一切正整数n ,等式都成立.【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n 的取值是否有关,由n=k 到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加了怎样的项.探究二:【解析】①当n=2时,左边=13+14+15+16>56,不等式成立.②假设n=k (k ≥2,k ∈N +)时命题成立,即1k+1+1k+2+…+13k >56,则当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+13k +13k+1+13k+2+13(k+1) =1k+1+1k+2+…+13k +(13k+1+13k+2+13k+3-1k+1)>56+(13k+1+13k+2+13k+3-1k+1)>56+(3×13k+3-1k+1)=56. ∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,原不等式对一切n ≥2,n ∈N +均成立.【小结】利用数学归纳法推导n=k+1时也成立,证明不等式的常用方法:比较法、分析法、综合法及放缩法等,均要灵活地选用.探究三:【解析】 (1) 由S n +a n =2n+1得a 1=32,a 2=74,a 3=158.∴猜想:a n =2n+1-12n=2-12n .(2)当n=1时显然成立.假设n=k 时命题成立,即a k =2-12k ,所以S k =2k+1-a k =2k+1-(2-12k )=2k+12k -1.则当n=k+1时,因为S k+1+a k+1=2(k+1)+1,所以a k+1=2(k+1)+1-S k+1=2(k+1)+1-[2(k+1)-1+12k+1]=2-12k+1成立.所以当n=k+1时命题成立.所以猜想恒成立.[问题]上述证明过程正确吗?[结论]我们先猜想a n ,根据a n 得到S n ,上述证明过程中为了求a k+1先代入了S k+1的值,出现了循环证明.正确解法如下:(1)由S n +a n =2n+1得a 1=32, a 2=74, a 3=158,∴猜想:a n =2n+1-12n=2-12n .(2)当n=1时成立.假设n=k 时命题成立,即a k =2-12k ,所以S k =2k+1-a k =2k+1-(2-12k )=2k+12k -1, 则当n=k+1时,S k+1+a k+1=2(k+1)+1,所以S k +2a k+1=2(k+1)+1,所以a k+1=(k+1)+12-12S k =(k+1)+12-12(2k+12k -1)=2-12k+1成立.所以当n=k+1时命题成立. 所以猜想对一切n ∈N +恒成立.【小结】在用数学归纳法证明第二步当n=k+1时命题成立,必须用上归纳假设. 思维拓展应用应用一:(1)当n=1时,左边=11×3=13,右边12×1+1=13,左边=右边,所以等式成立. (2)假设当n=k (k ∈N +且k ≥1)时等式成立, 即有11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)=k 2k+1, 则当n=k+1时,11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k 2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3) =2k 2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1,所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n ∈N +等式都成立. 应用二:(1)当n=5时,25>52,不等式成立.(2)假设n=k (k ≥5,k ∈N +)时,2k >k 2.则当n=k+1时,2k+1=2·2k =2k +2k >k 2+k 2>k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,当n ∈N +且n ≥5时,不等式2n >n 2成立. 应用三:(1)a 2=S 1=a 1=5,a 3=S 2=a 1+a 2=10,a 4=S 3=a 1+a 2+a 3=5+5+10=20,猜想a n =5×2n-2(n ≥2,n ∈N +).(2)①当n=2时,a 2=5×22-2=5,猜想成立.②假设n=k 时成立,即a k =5×2k-2(k ≥2,k ∈N +),当n=k+1时,由已知条件和假设有a k+1=S k =a 1+a 2+…+a k =5+5+10+…+5×2k-2=5+5(1-2k-1)1-2=5×2k-1,故n=k+1时猜想也成立.由①②可知,对n ≥2,n ∈N +有a n =5×2n-2. 基础智能检测1.B 左边=1+12+14+…+12n-1=1-12n 1-12=2-12n-1,代入验证可知n 的最小值是8.2.D A 、B 、C 中,k+1不一定表示奇数,只有D 中k 为奇数,k+2为奇数.3.122+132+…+1k 2+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+3 将n=k+1代入左边的式子时,最后一项为1(k+2)2,则左边的式子为122+132+…+1k 2+1(k+1)2+1(k+2)2,右边的式子为12-1k+3.4.解:(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.(2)假设当n=k (k ∈N +)时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35. ∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除, ∴当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除. 由(1)(2)知命题成立. 全新视角拓展解:(1)用数学归纳法证明.①当p=2时,(1+x )2=1+2x+x 2>1+2x ,原不等式成立.②假设当p=k (k ≥2,k ∈N +)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.则当p=k+1时,(1+x )k+1=(1+x )(1+x )k >(1+x )·(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x. 所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x ≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x )p>1+px 均成立.(2)(法一)先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n=1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N +)时,不等式a k >c 1p成立.由a n+1=p-1p a n +c p a n 1-p易知a n >0,n ∈N +. 则当n=k+1时,a k+1a k=p-1p +c p a k -p=1+1p (ca kp -1).由a k >c 1p>0得-1<-1p <1p (ca kp -1)<0.由(1)中的结论得(a k+1a k)p=[1+1p (c a k p -1)]p>1+p ·1p (c a k p -1)=ca kp .因此a k+1p>c ,即a k+1>c 1p.所以当n=k+1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p均成立. 再由a n+1a n=1+1p (ca np -1)可得a n+1a n<1,即a n+1<a n .综上所述,a n >a n+1>c 1p,n ∈N +.(法二)设f (x )=p-1p x+cp x 1-p,x ≥c 1p,则x p≥c ,并且f'(x )=p-1p +cp (1-p )x -p=p-1p (1-cx p )>0,x>c 1p.由此可得,f (x )在[c 1p,+∞)上单调递增, 因而,当x>c 1p时,f (x )>f (c 1p)=c 1p.①当n=1时,由a 1>c1p>0,即a 1p>c可知a 2=p-1p a 1+cp a 11-p=a 1[1+1p (c a 1p -1)]<a 1,并且a 2=f (a 1)>c 1p,从而a 1>a 2>c 1p.故当n=1时,不等式a n >a n+1>c 1p成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N +)时,不等式a k >a k+1>c 1p成立,则当n=k+1时,f (a k )>f (a k+1)>f (c 1p),即有a k+1>a k+2>c 1p. 所以当n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n+1>c 1p均成立.。