2021年北京市高考数学试卷真题(含答案及详细解析)word可编辑版
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，小题部份，解析版）(1)
2021年高考北京卷数学（文）卷小题解析（精编版）第一部份 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每题5分，共40分.在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项.1. 假设集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，那么A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}32. 以下函数中，概念域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B【解析】关于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的概念域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，应选B.【考点】本小题要紧考查函数的单调性，属基础题，难度不大.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,94.执行如下图的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也没必要要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在以下区间中，包括()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，因此由根的存在性定理可知：选C. 【考点】本小题要紧考查函数的零点知识，正确明白得零点概念及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，假设圆C 上存在点P ，使得 90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时刻t （单位：分钟）知足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），以下图记录了三次实验的数据.依照上述函数模型和实验数据，能够取得最正确加工时刻为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第二部份（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每题5分，共30分.9.若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .11.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的最长棱的棱长为 .12.在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 14.顾客请一名工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时刻（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日.【答案】42++=天. 【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，因此最短交货期为6152142【考点】本小题以实际问题为背景，要紧考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.。
【高三】2021年北京市高考数学理科试题(含答案)
【高三】2021年北京市高考数学理科试题(含答案)2021北京高考理科数学试题第一部分（共40分）一、共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
如果{x≤ 1} ，然后{x≤ 1} ，B=#）a.{0}b.{－1，0}c、 {0,1}d.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()a、第一象限B.第二象限c.第三象限d.第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin（2x+）“φ”通过坐标原点”a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c、充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为a、 1b。
c、 d。
5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=a、不列颠哥伦比亚省。
6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为a、2xb=±2xy。
y=c.d。
7.直线l过抛物线c:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与c所围成的图形的面积等于a、 b.2c。
D8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点p(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m 的取值范围是a、不列颠哥伦比亚省。
第二部分（非选择题共110分）二、共6道题，每个子题5分，共计30分9.在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于如果公共比率A3=40，则公共比率A3=40}；第一个N和Sn=.11.如图所示，AB是圆O的直径，PA是圆O的切线，Pb和圆O在D处相交，PA=3，然后PD=，AB=12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.13.如果C=λa＋μB（λ，μ），则矢量a、B和C在正方形网格中的位置如图所示∈r），则=14.如图所示，在边长为2的立方体abcd-a1b1c1d1中，e是BC的中点，P点在d1e 段上，P点到直线CC1的最小距离为2021年北京高考理科数学试题由长春工业大学继续教育学院第一时间整理发布，转载请注明。
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅰ卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6， 则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（ ）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（ ） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)， 则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136； 对于C ，P(BC)=16×6=136； 对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。
2021年高考北京卷文数试题解析(精编版)(解析版)
绝密★本科目考试启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]-（D ）(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】试题分析：因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞（D ）(1,)-+∞【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋b i(a，b∈R ) 平面向量OZ.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B）3 2（C）53（D）85【答案】C【考点】程序框图【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9【答案】D 【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值 max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如 ()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20（D ）10【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是如下图所示的三棱锥P ABC -.由图中数据可得该几何体的体积是115341032V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 【考点】三视图，几何体的体积【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线. （7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，扫描版，解析版）(1)
2021年一般高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部份(选择题共40分)
一、选择题共8小题。
每题5分.共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部份(非选择题共110分)
二.填空题共6小题。
每题5分。
共30分。
三、解答题共6小题，共80分。
解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程。
绝密★考试终止前
2021年一般高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题。
每题5分.共40分）
二.填空题（共6小题。
每题5分。
共30分）
三、解答题（共6小题，共80分）。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2 ⎨⎨普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。
每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合 A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A ∩B=A （- ∞ ，-1）B （-1，- 2 3 2） C （- 3,3）D (3,+ ∞ )【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > - 2，利用二次不等式可得 B = {x | x < -1 或 x > 3}画出数轴易得：3A B = {x | x > 3} ．故选 D ．【答案】D⎧0 ≤ x ≤ 2, ．设不等式组 ⎩0 ≤ y ≤ 2距离大于 2 的概率是，表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的 π（A ）4（B ）π- 22π（C ）6（D ）4 -π 4⎧0 ≤ x ≤ 2 【解析】题目中 ⎩0 ≤ y ≤ 2表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以 存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1π⋅ 22P = 4 = 4 -π，故选 D 。
2 ⨯ 2 4【答案】D3. 设 a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当 a = 0 时，如果b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数， 不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ，因此想必要条件，故选 B 。
2021年高考北京卷理科数学试题精析详解
．绝密★启用前2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共40 分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.1．设合集U=R，集合M = {x | x > 1}, P = {x | x 2 > 1}，则下列关系中正确的是（）A．M=P M C．M P D【答案】C【详解】P = {x | x >1或x <-1} M = {x | x >1}易得P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．“m=1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”2的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件图：d 版+微信1【答案】B1【详解】当 m = 时两直线斜率乘积为 -1从而可得两直线垂直,当 m = -2 时两直线一条斜率2为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m = 是题目中给出的两条直线垂直的充分但 2不必要条件.【名师指津】对于两条直线垂直的充要条件① k 1 , k 2 都存在时 k 1.k 2 = -1② k 1 , k 2 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略.3．若| a |= 1,| b |= 2, c = a + b ，且 c ⊥ a ，则向量 a 与b 的夹角为 （ ）（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°【答案】C 【详解】设所求两向量的夹角为θ→→ →→→→ →→ → →→ 2 → →c = a + bc ⊥ a∴ c . a = (a + b ). a = a + a . b = 0 →→→ → →2- | a |2 | a |1∴| a | = - | a || b | cos θ即： cos θ= → → = - → = - 2所以θ= 120o.| a || b | | b |【名师指津】→ →→ →对于 a . b =| a || b | cos θ这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充 要条件 必需掌握. 4．从原点向圆 x 2 + y 2- 12 y + 27 = 0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】B 【详解】将圆的方程配方得： x 2+ ( y - 6)2= 9 圆心在(0, 6) 半径为 3,如在图中 Rt ∆PAO 中, OP = 6 = 2PA ,从而得到∠AOP =30o ,购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 wor即∠AOB = 60o.可求∠BPA = 120o. P 的周长为 2π⨯ 3 = 6π1劣弧长为周长的 3【名师指津】,可求得劣弧长为2π.以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系. 5．对任意的锐角α, β，下列不等关系中正确的是（ ）A ． sin(α+ β) > sin α+ sin βB ． sin(α+ β) > cos α+ cos βC ． cos(α+ β) < sin α+ sin βD ． cos(α+ β) < cos α+ cos β【答案】D 【详解】当 α= β= 30o时 可 排 除 A 、 B 选 项 , 当 α= β= 15o时 代 入 C 选 项 中 , 即 ：0 < cos 30o < 2 sin15o3 <2o1- cos 30o两边平方4【名师指津】4 sin 15 = 4⨯= 2 - ≈ 0.268 矛盾故选 D2特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特 殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑 0, ± 1 1 。
21年北京数学高考真题
21年北京数学高考真题今年的北京数学高考真题在考查数学基础知识的同时，更加注重考生的逻辑思维能力和问题解决能力。
下面将为大家详细解析21年北京数学高考真题。
第一题：已知函数f(x)=2x-1，g(x)=3x+4，求f(g(4))的值。
解析：首先计算g(4)，即将x=4代入函数g(x)，得到g(4)=3×4+4=16。
然后再将g(4)=16代入函数f(x)，得到f(g(4))=2×16-1=31。
因此，f(g(4))的值为31。
第二题：已知四边形ABCD为菱形，AB=6，BC=8，求BD的长度。
解析：根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直且平分对方的角。
因此，BD为对角线AC的长度。
根据勾股定理可知，AC的长度为√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。
因此，BD的长度也为10。
第三题：一家工厂平均每天生产5000个产品，经过天气原因，每天生产的产品数量波动不超过10%，则该工厂每天生产的产品数量的上限和下限分别为多少？解析：根据题意，产品数量波动不超过10%，那么上限为5000*(1+10%)=5500，下限为5000*(1-10%)=4500。
因此，该工厂每天生产的产品数量的上限为5500，下限为4500。
通过对以上数学高考真题的解析，我们可以看出今年北京高考数学真题注重考察数学知识与逻辑推理能力的结合，考生在备考中需注重培养自己的解题思维和灵活运用基础知识的能力。
希望广大考生在备考过程中能够充分发挥自己的潜力，取得优异的成绩。
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（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 数列吗？说明理由；
（2）若 是 数列，求 的值；
（3）是否存在p，使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1 .B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 1 0.C
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为，
故选：A.
5.分析可得b= a，再将点( )代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则c=2a，
则双曲线的方程为，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得a=1，故b= ，
因此，双曲线的方程为.
故选：A.
6.由已知条件求出b5的值，利用等差中项的性质可求得b3的值.
① ；②周长为 ；③面积为 ；
17. 已知正方体 ，点 为 中点，直线 交平面 于点 ．
（1）证明：点 为 的中点；
（2）若点 为棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
， ，
则X的分布列:
所以；
（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
， ，
则，
若 时， ；
若 时， ；
若 时， .
19.
（1）求出f（1），f′（1）、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由f′（-1）=0可求得实数a的值，然后利用导数分析函数分f（x）的单调性与极值，由此可得出结果.
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号 _______．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
由题意可得：.
故选：D.
3. 利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
若函数f（x）在【0,1】上单调递增，则f（x）在【0,1】上的最大值为f（1），
若f（x）在【0,1】上的最大值为f（1），
比如，
但在【0， 】为减函数，在【 】为增函数，
故f（x）在【0,1】上的最大值为f（1）推不出f（x）在【0,1】上单调递增，
2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （）
A. B. C. D.
3. 已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（）
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定a5的值；
(3)构造数列bn=an+ p，易知数列{bn}是R0的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p的值.
满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、填空题
1 1 .-4
1 2.(1 ). 5(2). 4 5
1 3. (1 ). 0(2). 3
14. （满足θ= +kπ，k∈Z即可）
1 5.①②④
三、解答题
1 6.（1）
（2）答案不唯一
1 7.（1）证明见解析；（2） =
18.（1）①20次；②分布列见解析；期望为
（2）若P= E(X)=E(Y)
15.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
所以，
故答案为：5，4 .
13. 根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】，
， ，
.
故答案为：0；3.
14.根据P，Q在单位圆上，可得θ，θ+ 关于y轴对称，得出求解.
【详解】 与 关于y轴对称，
即θ，θ+ 关于y轴对称，
，
则，
当k=0时，可取θ的一个值为 .
故答案为： （满足即可）
12. 已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是_______；作 轴于 ，则 _______．
13. ， ， ，则 _______； _______．
14. 若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ___．
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
18. 解析
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出E(Y)，分类即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，X可以取20，30，
不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为sn
则 ， ， ，
所以n的最大值为11.
故选：C.
项为.
12.根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求.S△FMN
【详解】因为抛物线的方程为 ，故p=2且F（1,0）.
因为|MF|=6，，解得，故，
A. B. C. D.
7. 函数 ，试判断函数 奇偶性及最大值（）
A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时 雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）
所以积水厚度，属于中雨
故选：B.
9. 先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m
【详解】由题可得圆心为（0,0），半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当k=0时，弦长取得最小值为，解得 .
故选：C.
10. 使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则a1，递增幅度要尽可能小，
【详解】由已知条件可得，则，
因此，.
故选：B.
7. 由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
由题意所以该函数为偶函数，
又，
所以当cosx= 时，f（x）取最大值 .
故选：D.
8.计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为 =100（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为150（mm）的圆锥，
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
据此可得：直线B1C1交平面CDE于点F′，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F′重合，
即点F为B1C1中点.
(2)以点D为坐标原点DA,DC,DD1，方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系，D-xyz
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：
设平面MCF的法向量为：， 则：
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
20. 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.
【详解】(1)如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C,，
由于ABCD-A1B1C1D1为正方体，E,F′为中点，故EF′∥CD，
从而E,F′,C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF′，
20. （1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求ab，从而可求椭圆的标准方程.