实验报告

实验

实验题一

实验题1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲倦，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子。试问原来共有几只椰子？

试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。

实验题2 设，。

（1）从I0尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：

计算从I1到I20的近似值：

（2）从I30较粗糙的估计值出发，用递推公式：

计算从I1到I20的近似值：

（3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。

实验题3 递推计算的稳定性

计算积分

其中a为参数，分别对a =0.05及a =15按下列两种方案计算，列出其可靠性进行分析比较，说明原因。

方案I 用递推公式

递推初值可由积分直接得。

方案II 用递推公式

根据估计式

或

取递推初值为

或

计算中取n =13开始。

实验课题4 三种求ln2的算法比较

按下列三种方案构造逼近ln2的数列，用以求出ln2的近似值，要求精度。观察和比较三种计算方案的收敛速度。

方案I 利用级数

设

则可取。

方案II 对方案I中的数据，按下列公式生成新数列。

称为数列的埃特金(Aitken)外推数列。可以证明。因此可取

。

方案III 利用级数

设

则可取

。

实验课题5 值的计算

下面给出了三种求的近似值的计算方案，试比较它们的收敛速度和精度。

方案I 利用逼近单位圆半周长的方法。单位圆半周长的值为，图1所示为一单位半圆，

设

为将半圆弧分成

等份得以的角，其对应的弦线长度是

。则这样的弦线之

和为

(1-5)

P n就是单位圆半周长的一个近似值

由三角公式知

（1-6）

记

，则由式（1-5）,（1-6）可建立如下迭代公式

（1-7）

（1-8）则P n就是的逼近值。

实际计算时，从出发，对n=1,2,…用式（1-7），（1-8）递推计算S n和P n。

方案II 利用逼近单位圆面积的方法。单位圆面积值为，如图2所示，将单位圆等分

成2n个区域，对应的圆心角为，用等腰三角形面积近似每一区域的面积，则所有等腰三角形面积之和为

（1-9）P n为单位面积的一个近似值。

由三角公式得

（1-10）

记，则由式（1-9）,（1-10）可建立如下迭代公式

（1-11）

（1-12）

则P n就是的逼近值。

实际计算时，从出发，对用式（1-11）,（1-12）递推计算

和。

方案III 这是根据70年代早期发现的计算值的一个新公式所建立的算法，具体算法如下：

①置

②按下面公式顺序更新各个值。

③

④再转②反复计算

注：精确到36位的值是3.14159265358979323846264338327950288。

数值实验二

实验课题（一）根的搜索

用逐步搜索法求出下列方程在指定范围内的所有实根的隔根区间，并绘出

在轴附近的图形。注意，所给方程可能有重根，观察在重根附近搜索时可能出现的现象。

（1）

（2）（注意，

为其三重根）；

（3），，其中。

实验课题（二）迭代法的收敛性与收敛速度的比较

用下列方案求方程

的全部实根，

，并比较取相同迭代

初值时各方法的收敛速度。

方案I 用牛顿法。

方案II 用普通迭代法，参考格式：

（1）

，

或

（2）

，

方案III 用埃特金迭代加速法。

实验课题（三）应用题

选择恰当的方法解决下列问题之一。

1. 一个半径为密度为的球重

，高为h的球冠体体积为

，求

的球浸在水中部分的深度是半径的几分之几（图示5）? 2. 图6(a)为一555计时电路，其输出波形图6（b），可以证明：

（f为频率）

（D为频宽比）

(a) (b)

图6

给定

求

（1）求

和频宽比D；

（2）用牛顿法求

；

（3）适当修改你所得到的频率

和频宽比D求

和

。

3. 表示某地在时刻的人口数，

表示人口增长率，表示外地移民流入速度，

设为常数，则

满足微分方程

记初始人口数为，则

设万（即）人，第一年流入435000人，第一年末该地区人口达到1564000

人，求人口增长率。

4. 求在区间[0，1]上的极大值点与极小值点。

提示：若用牛顿法，则直接对求解是很不利的，应将方程化简后再求解。

5. 在曲线上求一点，使它到点（2,3）的距离最小，并求此最小距离。

实验题三

实验课题1 LU分解法的优点

给定矩阵A与向量b

（1）求A的LU分解（不必输出）

（2）利用A的LU分解解下列方程组：