柯西不等式各种形式的证明及其应用

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柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等

式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式,因为,

正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明

二维形式

在一般形式中,12122,,,,n a a a b b c b d =====令,得二维形式

()()

()2

2222

bd ac d c b a

+≥++ 等号成立条件:()d c b a bc ad //==

扩展:(

)()()2

2222

22221231

23112233n

n n n a a a a b

b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+

等号成立条件:1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫

==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭

当或时,和都等于,不考虑

二维形式的证明:

()()()

()()()

2

22222222222

222222222

2

2,,,220=a

b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立

三角形式

ad bc

=等号成立条件:

三角形式的证明:

()(

)

2

2222222222222

2

22-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥

注:表示绝对值

222111n

n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭

∑∑∑

向量形式

()()()

()

123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈,等号成立条件:为零向量,或

向量形式的证明:

()()

123123112233222

22

123222

222

22

112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n n

m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m n

a b b b b m n

m n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=+++

+==+

++++

+≤∴+++

+≤+++

++++

+令

一般形式 2

112

12⎪⎭

⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n

k k n

k k b a b a

1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件:,或 、均为零。

一般形式的证明:

2

112

12⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n

k k n k k b a b a 证明:

()()()()()222222=/2=/2i j j i i i j j j j i i a b a b n a b a b a b a b n ++

+

⋅+⋅++

≥不等式左边共项

不等式右边共项

用均值不等式容易证明,不等式左边不等式右边,得证。

附:柯西(Cauchy )不等式相关证明方法: ()2

2211n n b a b a b a +++ (

)()2

222212

22

22

1n

n

b b b

a a a ++++++≤ ()n i R

b a i

i 2,1,=∈

等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立(k 为常数,n i 2,1=)现将它的证明介绍如下:

证明1:构造二次函数 ()()()2

2

222

11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=

=(

)()()22

222

121122122n

n

n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++

+++++++++

22

120n

n a a a ++

+≥

()0f x ∴≥恒成立

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