北邮概率论讲议 第10讲习题答案

练习2：

(),(0,),(0,1),()X t Vt b t b V N X t =+∈∞设随机过程为常数，～求的一维概率密度、均值和相关函数。

解：X(t)服从正态分布，故可通过求其均值和方差写出X(t)的一维概率密度

2

[()]()[()]()E X t E Vt b b D X t D Vt b t =+==+=

故X(t)的一维概率密度为

22

()2()x b t x f t --=

均值函数[()]()E X t E Vt b b =+= 相关函数121212222

121212(,)[()()][()()][]R t t E X t X t E Vt b Vt b E V t t bVt bVt b t t b ==++=+++=+

练习3：

-()()(0,0),()Yt Y f y X t e t Y X t =>>设随机变量具有概率密度，令求随机过程的一维概率密度、均值和相关函数。

解：由随机变量函数的概率密度公式知，X(t )的一维概率密度

(){()}{}ln() {ln()}{}

Yt X F t P x t x P e x x P Yt x P Y t

-=≤=≤=-≤=≥-

'

ln()'

()()'()ln()ln()ln()/,0x t X t f x F t f y dy x x x f f tx t t t t +∞-⎡⎤

==⎢⎥

⎣⎦

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=---=-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎰

因为'

()()x

a f y dy f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎰

X(t)的均值函数和相关函数分别为：

[()]()()Yt

yt E X t E e

f y e dy ∞

--==⎰

1212()12120

(,)[()()][]()Yt Yt y t t X R t t E X t X t E e e e f y dy ∞---+===⎰

练习

4：00.5cos ,,()2,

,(1)()(0.5;.

(2)()()

X t t t X t t t X t F x X t t πμ=⎧=⎨⎩若从开始每隔秒抛掷一枚硬币作实验，定义随机过程

时刻抛得正面时刻抛得反面求:的一维分布函数）求的均值函数和方差函数。

解：硬币出现正、反面得概率均为1/2,

当t=1/2时，X(1/2)的分布为

111X =0X =1222

P P ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ 故其分布函数为

0, 0

(1/2,)1/2, 011, 1x F x x x <⎧⎪

=≤<⎨⎪≥⎩

均值函数：

111()cos()2[cos()2]2

2

2

X t t t t t μππ=∙+∙=+

2

2

2

22221111()[()][()]cos ()(2)[cos()2]cos()]2222X X t E X t t t t t t t t σμπππ⎛⎫⎡⎤=-=∙+∙-+=- ⎪⎢⎥

⎝⎭⎣⎦

练习5：12()()

(,)((),()

X X X t t C t t t Y t X t t Y t μφφ+设随机过程的均值函数和协方差函数分别为，（

）为普通函数，令）＝（）求的均值和协方差函数。 解：[()][()()][()][()]()()X E Y t E X t t E X t E t t t φφμφ=+=+=+

121212121211221122121212(,)(,)()()[()()]()()

{[()()][()()]}[()()][()()](,)()()(,)

Y Y Y Y Y Y X X X X X X C t t R t t t t E Y t Y t t t E X t t X t t t t t t R t t t t C t t μμμμφφμφμφμμ=-=-=++-++=-=