外微分计算

定理： 2， 维流形， 定理：设 S为R 3中的k（= 1， 3 维流形，其边界 ）
为低一维的流形， ∂S为低一维的流形，又设 ω是S上的一个 k − 1次微分形式，则有 次微分形式，
∫
S
dω = ∫ ω
∂ω
这个公式统称为斯托克 斯公式 .
公式可写为
∫ df = ∫
I
∂I
f
( 2)格林公式
∂Y ∂X ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫∂D Xdx + Ydy D
(1)
令ω = Xdx + Ydy , 所以（ 可以写为 1 所以（）
∂Y ∂X )dx ∧ dy 则dω = ( − ∂x ∂y
∫ dω = ∫
D
∂D
ω
( 3பைடு நூலகம்斯托克斯公式
∂f ∂f ∂f j + k相当. ∇f = i + ∂x ∂y ∂z
r ( 2)一次微分的外微分与向 量场 v 的旋度
∂x ∂Z ∂Y ∂X v ∂Z ∂Y rotv = ( − )i + ( − ) j + ( )k相当 − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
r （3 二次形式的外微分与 向量场 v 的散度 ）
牛顿- 莱布尼兹公式， 式 高斯公式， 牛顿 莱布尼兹公式，格林公 ，高斯公式， 式 斯托克斯公式的统一形
1 上连续可微， （）I = [a , b], f在I上连续可微，则
∫ df = f (b) − f (a )
I
∂I = {a , b}, f (b ) − f (a ), 即为f在∂I上的积分 .
(4)高斯公式
∂X ∂Y ∂Z （ ∫∫∫ ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz Ω
Ω
∫ dω = ∫
ω ∂Ω
= ∫∫ Xdy ∧dz + Ydz ∧ dx + Zdx ∧ dy
∂Ω
令 ω = xDy ∧ dz + Ydz ∧ dx + Zdx ∧ dy
∂X ∂Y ∂Z dω = ( )dx ∧ dy ∧ dz + + ∂x ∂y ∂z
外微分及斯托克斯公式
可微函数 f ( x1 , x2 ,L, xn )的全微分
∂f df = ∑ dxi , 称为1 — 形式 . i =1 ∂ x i
n
外积∧ 的性质： 外积∧ 的性质：
(1) ( Pdx + Qdy ) ∧ dz = Pdx ∧ dz + Qdy ∧ dz
( 2) dxi ∧ dx j = − dx j ∧ dxi
r ∂X ∂Y ∂Z divv = + + 相当 ∂x ∂y ∂z
定义：如果微分形式 满足dω = 0, 则称ω是 ω 定义： . 一个闭微分形式
如果存在微分形式 α，使得 ω = dα , 则称ω是一个恰当微分形式 .
( Poincare定理） dω是一个闭微分形式，即 d (dω ) = 0. 定理） 是一个闭微分形式，
例 2. ω = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy
∂P ∂Q ∂R =( + + )dx ∧ dy ∧ dz ∂ x ∂y ∂z
由此可以看出： 由此可以看出：
1 （）f的外微分与 f的梯度运算
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∫∫ ( ∂y − ∂z )dy ∧ dz + ( ∂z − ∂x )dz ∧ dx S
∂Y ∂X +( − )dx ∧ dy = ∂x ∂y
令ω = Xdx + Ydy + Zdz
∫
∂D
Xdx + Ydy + Zdz
∂Y ∂X + ( − )dx ∧ dy ∂x ∂y ∂Z ∂ Y ∂X ∂ Z dω = ( − )dy ∧ dz + ( − )dz ∧ dx ∂z ∂x ∂ y ∂z
例1、设 ω = Xdx + Ydy + Zdz
dω = d ( Xdx + Ydy + Zdz ) = dX ∧ dx + dY ∧ dy + dZ ∧ dz )
∂Z ∂Y ∂X ∂Z )dy ∧ dz + ( =( − − )dz ∧ dx ∂y ∂z ∂z ∂x ∂Y ∂X )dx ∧ dy +( − ∂x ∂y
∂X ∂X dy ∧ dz + dz ∧ dx = ∂y ∂z
d ( Pdy ∧ dz ) = dP ∧ dy ∧ dz
∂P ∂p ∂p = ( dx + dy + dz ) ∧ dy ∧ dz ∂x ∂y ∂z
∂P dx ∧ dy ∧ dz = ∂x d ( fdx ∧ dy ∧ dz ) = df ∧ dx ∧ dy ∧ dz ∂f ∂f ∂f = ( dx + dy + dz ) ∧ dx ∧ dy ∧ dz = 0 ∂x ∂y ∂z
( 3) dxi ∧ dxi = 0
一次形式 ω = Xdx + Ydy + Zdz 二次ω = Xdy ∧ dz + Ydz ∧ dx + Zdx ∧ dy 三次ω = f ( x , y , z )dx ∧ dy ∧ dz
d ( Xdx ) = dX ∧ dx
∂X ∂X ∂X dy + dz ) = ( dx + ∂x ∂y ∂z