微分概念及其计算
微分概念及其运算
微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。
事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。
注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。
一、微分的概念讲解
d2 y f ( x)d x2;
(6)
当 x 是中间变量( y f ( x), x (t) ) 时, 二阶微分
为
d2 y d( f ( x)dx ) f ( x)d xd x f ( x)d(d x)
f ( x)d x2 f ( x)d2 x.
(7)
依次下去, 可由 n 1 阶微分求 n 阶微分: dn y d (dn1 y) d( f (n1)( x) dxn1) f (n)( x)d xn .
对 n 2 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不
具有形式不变性. 当 x 是自变量时, y f ( x) 的二
阶微分是
一、微分的概念
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 数. 如果给边长 x 一个增量 Δ x , 正方形面积的增量 Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 : Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 Δx 时, Δ S 可用Δx
它比 (6) 式多了一项 f ( x)d2 x, 当 x (t) 时,
d2 x (t)dt 2 不一定为 0, 而当 x 为自变量时,
d2 x 0.
例4 设 y f ( x) sin x , x (t) t 2, 求 d2 y.
解法一 先将 x (t) 代入 y f ( x), 得 y sin t 2,
sin x x, tan x x, ln1 x x, ex 1 x.
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
微分的基本概念与计算方法
微分的基本概念与计算方法微分是微积分学中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
微分的概念包括函数的导数、导函数以及微分的计算方法。
本文将介绍微分的基本概念和计算方法。
一、微分的基本概念微分的基本概念是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为 df(x) = f'(x)dx，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
微分可以理解为函数f(x)在点x处的线性逼近。
当dx趋近于0时，微分趋近于函数在该点的切线斜率。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要有以下两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是一种直观的计算微分方法，它通过绘制函数的图形和切线来计算微分。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)在点x处的切线；（2）切线与x轴的交点为(x, f(x))，将x的增量表示为dx，函数的增量表示为df(x)；（3）根据切线的斜率计算导数f'(x)；（4）得到微分df(x) = f'(x)dx。
2. 代数法代数法是一种通过运用导数的性质和规则来计算微分的方法。
具体方法如下：（1）根据函数f(x)的定义，求导数f'(x)；（2）将dx看作一个无穷小量，将f'(x)dx作为微分df(x)；（3）得到微分df(x) = f'(x)dx。
三、微分的应用微分在数学和其他应用领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 极值问题通过微分可以求解函数的极值问题。
根据函数的导数和微分的性质，可以求解函数的最大值和最小值，并找到极值点的坐标。
2. 曲线的切线与法线微分的概念可以用来求解曲线在不同点处的切线和法线。
通过计算函数在给定点处的导数和微分，可以确定曲线在该点处的切线和法线的斜率和方程。
3. 速度和加速度微分的概念可以用来描述物体在运动过程中的速度和加速度。
通过求解位置函数的导数和微分，可以得到物体在某一时刻的速度和加速度。
微分的概念和计算
微分的概念和计算微分在数学中是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
微分的概念和计算是求导数的过程，通过微分，我们可以研究函数在某一点的变化率和曲线的斜率。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在某一点处的微分表示为df(x)或者dy。
微分可以表示函数在该点附近的线性逼近。
在微分的概念中，有一个非常重要的概念叫做导数。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，可以用来表示函数图像上某一点的切线的斜率。
导数是微分的计算结果。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要包括两种，一种是基于极限的方法，另一种是基于公式的方法。
1. 基于极限的方法基于极限的方法是微分的基本思想，通过求极限来计算微分。
对于一个函数f(x)，它在x点的导数可以表示为f'(x)，即f(x)在x点的瞬时变化率。
导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h在计算导数时，我们可以根据具体的函数形式进行具体的计算方式，如常见的幂函数、指数函数、对数函数等等。
2. 基于公式的方法基于公式的方法是一种更加简单和快捷的计算微分的方法，它利用了一些函数的特定规律和性质。
对于常见的函数，我们可以利用一些已知的微分公式进行计算。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，它的导数可以表示为f'(x) =nax^(n-1)。
这是一个常用的微分公式，可以简化我们的计算过程。
三、微分的应用微分作为微积分的基本概念，被广泛应用于各个领域。
以下是微分的一些常见应用：1. 曲线的切线和法线：通过微分，我们可以准确地求得曲线在某一点处的切线和法线。
这在物理学、工程学等领域中是非常重要的应用。
2. 极值问题：通过导数的计算，我们可以找到函数的极值点，即函数的最大值和最小值。
这在经济学、物理学等领域中有着广泛的应用。
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
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y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x
1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 与 是等价无穷小, 故当
很小时, 有近似公式
例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
x x0x (x)2
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 的微分
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性” 已知
3 (1 1 2 )
5 243
3.0048
内容小结
1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
( u 是自变量或中间变量 )
3. 微分在近似计算中的应用
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3．复合函数的微分法则
的微分为
分别可微 , 则复合函数
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
例1
求
解法1：
微分形式不变性
2xex2 1 ex2
dx
解法2： 利用“微分形式不变性”
四、微分在近似计算中的应用
例4 求
的近似值 .
解: 设 f (x) sin x ,
取
则 dx
180
sin 29 sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
例5 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
3(1
2
1
)5
243
(1 x) 1 x
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
从而
导数也叫作微商
二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy
y y f (x)
y
o
x0
x
x0 x
dy f (x0 )x tan x 当 很小时,
几何意义：用切线的改变量近似地代替函数的改变量.
三、基本的微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式 (参看课本)
2．函数和、差、积、商的微分法则
故 y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
线性主部
一、微分的定义
定义 若函数
在点 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而
称为
的微分, 记作
即
dy Ax
注意 1.微分是 △x 的线性函数； 2.微分与 △y 之差是△x 的高阶无穷小量.