微分的概念及运算
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3.3 微分及其在近似计算中的应用
即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习 在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、 求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)
微分概念及其运算
微分概念及其运算§2微分概念及其运算设y=f(x)在x点可导，即下面的极限存在：∆yf(x+∆x)-f(x)f'(x)＝li＝lim∆x→0∆x→0∆x∆x因此∆y＝f'(x)＋α，其中α→0（∆x→0），∆x)x+α∆x=f'(x∆)x+o(∆x)∆x→0于是∆y＝f'(x∆，（函数的增量∆y=（∆x的线性函数）+o(∆x)）物理意义：如果把y=f(x)视作时间x时所走到的路程，∆x时间内所走到的路程∆y=以匀速f'(x)运动所走过的路程f'(x)∆x+因为加速度的促进作用而产生的额外路程o(∆x)定义4.2设y=f(x)在(a,b)有定义，如果对给定的x∈(a,b)，有∆y＝f(x+∆x)－f(x)＝a∆x＋o(∆x)，(∆x→0)其中a与∆x无关，则称f(x)在x点可微，并称a∆x为函数f(x)在x点的微分，记为dy＝a∆x或df(x)＝a∆x由前面的讨论得微分具备两小关键特征：2)微分是自变量的增量的线性函数；微分与函数增量∆y之差∆y-dy，是比∆x高阶的无穷小量.因此，称微分dy为增量∆y的线性主要部分。
事实上当dy≠0时o(∆x)∆ydy+o(∆x))＝1＝lim＝lim(1+∆x→0∆x→0∆x→0dya∆xdylim即为∆y与dy就是等价无穷小量。
注1系数a是依赖于x的，它是x的函数，备注2微分dy既与x有关，又与∆x有关，而x和∆x就是两个互相单一制的变量，但它对∆x的依赖是线性的．基准1自由落体运动中，s(t)=12gt211g(t+∆t)2-gt222∆s＝s(t+∆t)-s(t)＝==11g(2t+(∆t2))=gt∆t+g(∆t)222即∆s可表为∆t的线性函数和∆t的高阶无穷小量之和，由微分定义知，s(t)在t点可微，且微分ds=gt∆t它等于以匀速s'(t)＝gt运动，在∆t时间内走过的路程．基准2圆面积y=πr2，∆y＝π(r+∆r)2一πr2＝2πr∆r+π(∆r)2．∆y可以则表示为∆r的线性函数与∆r的高阶无穷小之和，故函数在r连续函数，且微分dy=2πr∆r从几何来看，微分可以这样认知：2πr是圆周长，当半径r变大即圆面积膨胀时，设想圆周长保持不变，半径增大∆r 所引起的圆面积变化就是2πr∆r。
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
函数的微分
练习： (1)求函数y cos x在x
6 2 (2)求函数y x 当x由1变到1.01 时的微分.
处的微分.
二、微分的几何意义
如图，设M ( x0 , y0 ) 和点N ( x0 x, y0 y ) 是曲线上y f ( x )的两点。 由图可知， MQ x, QN y。 设切线MP的倾斜角是， 则
y , x 0 x 根据无穷小与函数极限的关系，上式可写成
这表明，当f '( x0 ) 0时，函数的增量 可以分为两个部分： 把它叫做y的线性主部； 另一部分是x, 当x 0时，它是比 x高阶的无穷小.
一部分是f '( x0 ) x, 它是y的主要部分，
所以当 x 很小时，可以认为y f '( x0 )x.
2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx
du
d y f (u ) du
若yf(u) u(x) 则dyf (u)du
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
பைடு நூலகம்
例3 求函数 y x 3 当 x 1, 和x 3时的微分 .
解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
dy x1 3 x 2x x1 3x dy x3 3 x 2x x3 27x
dy f ' ( x)x
当 y x时，dy dx x
于是函数的微分又可以 记为 dy f ' ( x)dx 从而
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
微分 课程
dy yx dx f (u) g( x ) dx f (u) du
可见, 不论u是中间变量还是自变量 , 其微分 形式是一样的 这叫做一阶微分形式的 . 不变性.
例 4 y ( x 3 1)4 , 求 dy .
解 dy d ( x 3 1)4 4( x 3 1)3 d ( x 3 1)
2
2 x0 x ( x )
2
s x0
2
2 x x o(x ) (x 0) ∆x的线性函数 0
x0
x
∆x的高阶无穷小 当 | x | 很小时 o(x ) 忽略不计 则 s 2 x0 x . , , 若立方体的边长从 x 0 变到 x0 x则相应体积的增量是:
2 3 V ( x0 x )3 x0 3 x0 x 3 x0 ( x )2 ( x )3
2 3 x0 x o( x )
当 | x | 很小时, o( x ) 忽略不计 则 V 3 x x . ,
2 0
∆x的高阶无穷小
2.微分定义
设函数 y f ( x ) 在点 x0 及其附近有定义 , 若存在 常数 A, 使得 y f ( x0 x ) f ( x0 ) Ax o( x ) ( x 0), 其中A与x无关, o( x )是 x 的高阶无穷小 , 则称 y f ( x ) 在点x0 可微 , 而A称为f ( x )在点x0处的 微分, 记为 d y x x , 即
或
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
x , f ( x ) ( x )
1 ,
例7 计算 2 的近似值 .
解 设 f ( x)
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
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(C 为常数)
f ( u) ( x ) dx d y f ( u) du
du
微分形式不变性
例1 设 y ln( x e ), 求dy.
解 方法一: 用定义 dy f ( x )dx
y 1 2 xe
x2
2
x2
方法二:
xe x ex 用微分形式的不变性 dy f ( u)du
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x )
y o( x ) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
(2) e 0.03 1 0.03
0.97.
ex 1 x
例. 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下,每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为 时体积的增量
4 R 2 R
R1 R 0.01
镀铜体积为 V 在
即 d y f ( x0 ) x
线性主部
说明:
y f ( x0 ) x o( x )
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 ,
( y的线性主部)
y 1 y y lim lim lim 1 x 0 f ( x )x x 0 x 0 d y f ( x0 ) x 0
dy f ( x ) dx
o
称 x 为自变量的微分, 记作 d x
x0
x
x0 x
则有 从而
导数也叫作微商
三.微分的计算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式(P57)
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec xdx
所以 x 0 时
y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,
有近似公式
y dy
二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
y
y f ( x)
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y 当 y x 时，
记
dy
y
y x d x d y f ( x ) dx
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
cos x e1 3 x d (1 3 x) e1 3 x ( sinx)dx
3e
1 3 x
cos x dx e
1 3 x
2
d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc xdx
2
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (loga x ) dx x ln a 1 d (arcsinx ) dx 1 x2 1 d (arctanx ) dx 2 1 x
1 x
f ( x ) f (0) f (0) x 1
n
.
例
计算下列各数的近似值.
(1) 3 998.5;
解 (1)
3
( 2) e 0.03 .
3
998.5
3
1000 1.5
n
1 1 x 1 x n
1.5 1000(1 ) 103 1 0.0015 1000 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
§2.3 微分的概念及运算
一、微分的概念
二、微分运算法则
三、微分在近似计算中的应用
一.微分的概念
1.引例： 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0 x, x x
0
(x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
练习 P.60 5(2,4),6
( x在 0 附近)
作业 P.60 3(2,4,6), 4(在书上填) ,5(3)
例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
x C ) xdx 1 sin t C ) cos t d t ( 2) d(
(1) d(
1 2 2
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
练习
P.60 3(1,3,5,7)
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
2.定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o( x )
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x ) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分,记作
3.可微的条件： 定理: 函数
即 d y A x
在点 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x
例. 求
解:
的近似值 . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x.
f ( x ) cos x
设 f ( x ) sin x , 取 则
sin 29
x
180 sin
6
cos
6
(
180
)
3 1 ( 0.0175) 2 2
x
2
, dy
1 2 xe
x2
x2
dx.
dy
1 xe 1
xe 1 x2 2 x2 (dx e dx ) (dx 2 xe dx ) x2 x2 xe xe x2 1 2 xe dx x2 xe
d( x e )
x2
1
x2
(dx de )
x2
例2 解
x 0 x
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
2 A x0
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 .
再例如, 设函数 y x 在点 x0处的改变量
3
为x时, 求函数的改变量y.
R1 R 0.01
0.126 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.126 1.12 ( g )
小结
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时) y dy f ( x0 ) x.
3.计算 f ( x ) 在 x 0点附近的函数近似值
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
令 x0 0, x x .
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式:
( x 很小)
x x x
1 1 x 证明(5) n 1 1 1 n n 设 f ( x) 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x
故
在点
可导,
且
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导,且 即 d y f ( x0 )x 在点 的可导,
“充分性” 已知
y 则 lim f ( x 0 ) x 0 x y lim 0 ) f ( x 0 ) ( x 0 x 故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x )
sinx dx
e 1 3 x (3 cos x sin x )dx.
求 例3 . 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x ) d(cos( x y )) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y ) (d x d y ) 0 y cos x sin( x y ) dy dx sin( x y ) sin x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x d (arccosx ) 1 1 x2 1 d (arc cot x ) dx 2 1 x dx
2.微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv v du udv
5. 复合函数的微分 则复合函数 分别可微 , 的微分为
dy f ( x )dx
dy f ( u)du
四.微分在近似计算中的应用
1.计算函数增量的近似值