微分的概念、性质及应用
微分
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
应用
法线
我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的
斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线
接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x = 3 +Δx时，y = 9+ Δy，也就是说，
（展开）
（两边减去9）
（两边除以△x）
∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率，为直线斜率）
∴
运算法则
乘法律
连锁律
除法律
（微分连锁律）
（微分乘法律）
（微分除法律）
导数
的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
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切线
当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了
从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越
详解微分几何的基本定义和应用
详解微分几何的基本定义和应用微分几何是一门研究曲线、曲面以及高维流形等几何对象的学科，它在数学、物理学、工程学和计算机科学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将从微分几何的基本定义入手，详细讲解其应用于不同领域的相关内容。
一、微分几何的基本定义微分几何主要研究的对象是流形，它是由许多小块拼合而成的几何对象。
下面我们来看一下流形的基本定义和分类。
1. 流形的定义如果一个集合能够用多个坐标系覆盖，并且在不同坐标系下的局部坐标具有连续性和许多基本性质，则称这个集合为流形。
例如，曲面是一个二维流形，三维空间则是一个三维流形。
2. 流形的分类流形根据其连续性和可微性可以分为不同类型。
其中，最常见的是可微流形，它的定义如下：如果一个流形是所有可微函数可以定义在其上的最大集合，那么这个流形就称为可微流形。
也就是说，可微流形上定义了一个切空间，该切空间是连续的，同时在不同坐标系下的变换也是连续的。
二、微分几何的应用微分几何在物理学、工程学和计算机科学等领域广泛应用。
接下来我们将以不同领域为例，简单介绍微分几何的应用。
1. 物理学中的应用微分几何在物理学中的应用非常广泛，尤其是在广义相对论中，可微流形的概念被广泛用于描述时空的曲率。
同时，微分几何的工具也被广泛应用于对引力场和宇宙学时空的建模和分析。
例如，流形的形状可以用于描述黑洞和宇宙膨胀等问题，而曲率则可以用于计算引力的方程和电磁场的等效力。
2. 工程学中的应用微分几何在工程学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机辅助设计(CAD)和制造(CAM)领域中，流形的概念被广泛应用于描述线性和非线性的曲面和形状。
例如，通过对曲率和法线的计算，可以对某种材料的表面进行优化设计，并提高其生产效率和质量。
3. 计算机科学中的应用微分几何在计算机科学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机视觉和机器学习领域中。
例如，利用流形和曲率计算，可以实现图像和视频的立体重建和形状估计。
同时，流形的概念也被应用于神经网络和深度学习中，用于实现对数据流形的分析和处理。
微分方程在日常实际中的应用
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。
在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4 ，这样的关系就是所谓微分方程，。
一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程。
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。
从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。
常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。
因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
数学微分知识点总结
数学微分知识点总结微分是微积分的一个基础概念，它是研究函数的局部性质的一种重要工具。
微分的概念最早由牛顿和莱布尼兹等数学家引入，是微积分学的重要内容之一。
微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理、工程、经济等领域都有着重要的意义。
微分可以帮助我们理解函数的变化率、极值、凹凸性等重要性质，从而为我们研究问题提供了重要的手段。
本文将对微分的基本概念、微分法则、微分应用、微分方程等知识点进行系统总结，希望能够帮助读者对微分有一个系统、全面的认识。
一、微分基本概念1. 极限极限是微分的基本概念之一，也是微积分的核心概念。
在微分中，我们经常需要研究函数在某一点的变化情况，而极限则提供了一种严格的方式来描述函数在该点附近的性质。
在数学中，我们通常用“x趋于a时，函数f(x)的极限是L”来表示函数f(x)在点a处的极限为L。
通过对极限的研究，我们可以得到函数在某一点的斜率，从而引出了微分的概念。
2. 导数导数是微分的基本概念之一，它是用来描述函数在某一点的变化率的概念。
它在数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助我们理解函数的变化规律，还可以用在求解最优化问题、解微分方程等领域。
在微分中，我们通常用f'(x)或dy/dx来表示函数f(x)的导数。
导数表示了函数在某一点的斜率，它是研究微分的基本工具。
3. 微分微分是微积分的一个重要概念，它是用来研究函数的局部性质的一种工具。
微分的概念最早由牛顿和莱布尼兹等数学家引入，是微积分学的一个基础概念。
在微分中，我们通常用dy来表示函数f(x)的微分。
微分可以帮助我们理解函数的局部性质，如凹凸性、极值等重要性质。
通过对微分的研究，我们可以得到函数在某一点的切线方程，从而更好地理解函数在该点的性质。
二、微分法则微分法则是微分求导的基本规则，它是研究微分的重要工具。
微分法则可以帮助我们求解各种函数的微分，从而更好地理解函数的性质。
微分法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、复合函数法则等，它们为我们研究微分提供了重要的工具。
大学高数知识点总结
大学高数知识点总结大学高数知识点总结一、代数：1、函数及其图象：定义域、值域、增函数、减函数、奇函数、偶函数、有界函数、无界函数、相交函数、无穷小量的概念、函数的极限及其性质。
2、不等式：一元不等式与多元不等式的性质、解不等式的方法以及在几何中的应用。
3、导数：函数的导数的定义、性质、计算、利用导数解析函数的最值问题；高阶导数的概念以及利用它确定函数图象的单调性。
4、曲线的积分：曲线的面积、积分的定义、计算方法、利用积分求曲线面积、平面曲线的积分、特殊函数的积分。
5、复数：复数的概念、运算规则、虚部抽象概念、复数函数、复数解析函数及其图象、利用几何性质解决复数问题。
6、三角函数：三角函数的概念、函数表达式、图象、关系式、函数的性质、函数的变换、求解三角函数的方法、应用。
7、统计：概率的概念、抽样理论、统计分布、误差分析、检验理论。
二、初等数论：1、素数及其分解：素数的概念、素数的分解法、素数的基本性质、素数的充要条件。
2、同余理论：同余方程的概念、同余方程的解法、同余方程的性质、模的概念及其性质。
3、欧几里德算法：求最大公约数、求最小公倍数、求逆元、斯特林公式、欧几里得定理及其应用。
4、置换：置换的概念、置换的性质、置换的构成、置换的表示法、置换的应用。
5、图论：图的概念、图的构成、图的性质、图的表示法、图的生成算法、图的应用。
三、几何：1、几何形体：正n边形、正多边形、空间几何体、椭圆、圆锥、圆柱、圆台等几何形体的性质及其应用。
2、切线、切面：曲线的切线、曲面的切面、曲线的法线方向、曲面的法线方向、曲线的曲率、曲面的曲率及其定义。
3、投影：正射投影、透视投影、锥体投影等投影的概念及其应用。
4、立体视角：立体视角的概念、立体视角的定义及其应用。
四、空间几何：1、几何性质：投影的性质、平面的性质、空间的性质、直线的性质、平行线的性质、平面的性质、直线的性质、平行线的性质、面的性质、曲线的性质、曲面的性质、四边形的性质等。
微分几何及其在机械工程中的应用
微分几何及其在机械工程中的应用微分几何是数学中的一个重要分支，它研究的是曲线、曲面等几何对象的性质和变化。
在机械工程中，微分几何的应用广泛，可以用于分析机械系统的运动和变形，优化机械设计，并且对于机器人的运动规划和控制也有着重要的作用。
微分几何的基本概念是曲线和曲面的切线和法线。
对于一条曲线，我们可以通过计算其切向量来描述其在某一点的切线方向和速率。
切向量的方向是曲线在该点的切线方向，而切向量的模长则代表了曲线在该点的切线速率。
同样地，对于一个曲面，我们可以通过计算其法向量来描述曲面在某一点的法线方向和变化率。
在机械工程中，我们经常需要研究机械系统的运动和变形。
通过应用微分几何的方法，我们可以分析机械系统的运动学和动力学特性。
例如，在分析机械系统的运动学时，我们可以利用曲线的切向量来描述机械系统的运动轨迹和速度。
而在分析机械系统的变形时，我们可以利用曲面的法向量来描述机械系统的形变和应力分布。
微分几何还可以用于优化机械设计。
例如，在设计机械零件时，我们经常需要考虑其形状和尺寸对机械系统性能的影响。
通过应用微分几何的方法，我们可以计算出机械零件在不同形状和尺寸下的性能指标，从而优化设计方案。
微分几何在机器人的运动规划和控制中也有着重要的应用。
机器人的运动规划就是确定机器人如何在给定环境中移动以完成特定任务。
通过应用微分几何的方法，我们可以建立机器人的运动模型，并计算出机器人的运动轨迹和速度。
而机器人的运动控制则是实现机器人按照规划的轨迹和速度进行运动的过程。
通过应用微分几何的方法，我们可以设计出适合机器人运动控制的算法和控制器。
微分几何在机械工程中有着广泛的应用。
它可以用于分析机械系统的运动和变形，优化机械设计，并且对于机器人的运动规划和控制也起着重要的作用。
通过应用微分几何的方法，我们可以更好地理解和解决机械工程中的问题，提高机械系统的性能和效率。
因此，微分几何在机械工程中的应用具有重要的意义。
综述微分和泰勒展开公式的关系
微分和泰勒展开公式是数学分析中两个重要的概念和工具，它们在数学推导和物理问题求解中起着至关重要的作用。
本文将综述微分和泰勒展开公式的关系，旨在深入探讨它们之间的内在通联和应用。
一、微分的基本概念1.微分的定义和性质2.微分在函数求导和近似计算中的应用3.微分的几何意义和物理意义二、泰勒展开公式的基本原理1.泰勒展开公式的定义和表达形式2.泰勒展开公式在函数逼近和级数求和中的应用3.泰勒展开公式的推导和证明方法三、微分和泰勒展开公式的关系1.微分与泰勒展开公式的通联和区别2.微分在泰勒展开公式中的角色和作用3.泰勒展开公式的导出过程中涉及微分的应用四、微分和泰勒展开公式在数学分析中的应用1.微分和泰勒展开公式在函数极值和凹凸性判定中的应用2.微分和泰勒展开公式在函数逼近和近似计算中的应用3.微分和泰勒展开公式在泛函分析和微分方程求解中的应用五、微分和泰勒展开公式在物理问题中的应用1.微分和泰勒展开公式在力学和动力学中的应用2.微分和泰勒展开公式在电磁学和热力学中的应用3.微分和泰勒展开公式在量子力学和相对论中的应用六、结论微分和泰勒展开公式作为数学分析中的重要概念和工具，不仅在理论研究中发挥着重要作用，也在物理问题求解中具有广泛的应用前景。
深入理解微分和泰勒展开公式的关系，对于加深对数学分析和物理学知识的理解和应用具有重要意义。
通过以上关于微分和泰勒展开公式的综述，我们可以更全面深入地了解它们的内在通联和应用，希望本文能对相关领域的研究者和学习者有所启发和帮助。
七、微分的基本概念微分是微积分学中的一个基本概念，它源自导数的概念。
在数学上，微分可以解释为函数的局部线性逼近，可以用来求函数的变化率、切线方程、极值点等等。
微分的定义和性质是我们理解微分和泰勒展开公式的基础。
微分的定义是指当自变量的增量趋于0时，函数增量与自变量增量之比的极限，即：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}微分的一些基本性质包括线性性、乘积法则、商法则等，这些性质对于微分求导以及在泰勒展开中的应用都起着重要的作用。
微分方程及其应用的基础知识
6.2 一阶线性微分方程
6.2.1 一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连
续函数, Q(x)称为自由项．
特点： 方程中的未知函数y及导数 dy
2．分类
dx
若 Q(x)= 0, 即
dy P x y 0
程． 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)，
在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰
的坐标为Q(1, v0t)． 因为鱼雷始终对准敌舰，所以
y v0t y 1 x
即
v0t y1 x y
又OP 的长度为
x 0
1 y2 dx 2v0t
23
从上面两式消去v0t得：
y1 x y 1
解 设任一时刻t的电流为i．
我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri，
di
在电感L上产生的电压降是
uL
L dt
由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即
亦即
uR uL E
Ri
L
di dt
E0
sin
wt
整理为
di R i E0 sin wt
①
dt L L
18
式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中
x 1
解 P x 2 ， Q x x 13
x 1
由公式可得
y
e
2 dx x 1
x
1
3
e
2 dx
x1 dx
C
x
12
x
13
x
1
12
dx
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第二章第 6 节:函数得微分
教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算
教学重点:微分得计算
教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算
教学内容:
1.微分得定义
计算函数增量就是我们非常关心得。
一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法。
先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变
化得影响,其边长由变到(图21),问此薄片得面积改变了
多少？
设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:。
薄片受温
度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自
取得增量时,函数相应得增量,即。
从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函
数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图
中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就
图21
是比高阶得无穷小,即。
由此可见,如果边长改变很微小,
即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替。
一般地,如果函数满足一定条件,则函数得增量可表示为
,
其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差
,
就是比高阶得无穷小。
所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替。
定义设函数在某区间内有定义,及x在这区间内,如果函数得增量
可表示为 , ①
其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即。
定理1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。
设函数在点可微,则按定义有①式成立。
①式两边除以,得。
于就是,当时,由上式就得到。
因此,如果函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且。
反之,如果在点可导,即
存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成
,
其中(当)。
由此又有。
因,且不依赖于,故上式相当于①式,所以在点也就是可微得。
由此可见,函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。
②
例1 设,求
解:
微分在近似计算中得应用:在得条件下,以微分近似代替增量时,相对误差当时趋于零。
因此,在很小时,有精确度较好得近似等式。
即
或
特别地,当很小时,有(3)
(3)式就是计算零点附近得函数值
当很小时,有下列近似计算公式:
例证明:。
(当很小时)
令
因为
由
故,当很小时,
例2一个充好气得气体,m,升空后,因外面气压降低,气球半径增大了10cm,求体积增加了多少？
解:因为
所以
例3求得近似值.
解设,取,则
所以
或者:
2.微分得几何意义
为了对微分有比较直观得了解,我们来说明微分得几何意义。
在直角坐标系中,函数得图形就是一条曲线。
对于某一固定得值,曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时,就得到曲线上另一点、从图22可知:
,。
过M点作曲线得切线,它得倾角为,则
,
即。
由此可见,当就是曲线上得M点得纵坐标得增量时,就就
图22
是曲线得切线上M点得纵坐标得相应增量。
当很小时,比小得多。
因此在点得邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
3.微分运算法则及微分公式表
由,很容易得到微分得运算法则及微分公式表(当都可导):
,
,
,。
微分公式表:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,。
注:上述公式必须记牢,对以后学习积分学很有好处,而且上述公式要从右向左背。
例如: ,
,
,。
4.复合函数微分法则
与复合函数得求导法则相应得复合函数得微分法则可推导如下:
设及都可导,则复合函数得微分为。
由于,所以,复合函数得微分公式也可以写成
或。
由此可见,无论就是自变量还就是另一个变量得可微函数,微分形式保持不变。
这一性质称为微分形式不变性。
这性质表示,当变换自变量时(即设为另一变量得任一可微函数时),微分形式并不改变。
例4 求得微分
解
自我训练:(1),求。
(2),求。
(3)有一半径为得铁球,镀上0、01cm厚得银,问大约用多少体积得银。
小结:本节讲述了微分得定义,练习了微分得运算与利用微分作近似计算
希望大家熟记微分公式,为以后学习积分大好基础。