函数微分的定义
一、微分的概念讲解
d2 y f ( x)d x2;
(6)
当 x 是中间变量( y f ( x), x (t) ) 时, 二阶微分
为
d2 y d( f ( x)dx ) f ( x)d xd x f ( x)d(d x)
f ( x)d x2 f ( x)d2 x.
(7)
依次下去, 可由 n 1 阶微分求 n 阶微分: dn y d (dn1 y) d( f (n1)( x) dxn1) f (n)( x)d xn .
对 n 2 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不
具有形式不变性. 当 x 是自变量时, y f ( x) 的二
阶微分是
一、微分的概念
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 数. 如果给边长 x 一个增量 Δ x , 正方形面积的增量 Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 : Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 Δx 时, Δ S 可用Δx
它比 (6) 式多了一项 f ( x)d2 x, 当 x (t) 时,
d2 x (t)dt 2 不一定为 0, 而当 x 为自变量时,
d2 x 0.
例4 设 y f ( x) sin x , x (t) t 2, 求 d2 y.
解法一 先将 x (t) 代入 y f ( x), 得 y sin t 2,
sin x x, tan x x, ln1 x x, ex 1 x.
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).
微分 PPT课件
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
微分概念及其计算
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
微分的基本概念及其应用
微分的基本概念及其应用微积分是数学中一门重要的分支，其中微分是其核心概念之一。
微分主要研究函数的变化率，以及在这种变化中的应用。
本文将介绍微分的基本概念以及其应用，帮助读者更好地理解和应用微分。
一、微分的基本概念在介绍微分之前，我们首先需要了解几个相关的基本概念。
1.1 函数函数是自变量和因变量之间的一种关系。
通常用字母表示自变量，用函数符号表示因变量。
例如，y = f(x)中，x为自变量，y为因变量，f 为函数符号。
1.2 极限极限是微积分中一个基础的概念。
它描述了当自变量趋近于某个值时，函数的值的趋势。
用极限符号表示为lim(x→a)f(x)，表示x在趋近于a的过程中，f(x)的取值趋势。
1.3 导数导数是函数的一种变化率。
它描述了函数在某一点上的瞬时变化速度。
用符号f'(x)表示，即函数f(x)的导数为f'(x)。
1.4 微分微分是导数的基本应用，是微积分的核心概念之一。
微分用Δx表示函数自变量的一个无穷小的增量，用Δy表示函数因变量的相应的增量。
微分的定义为dy = f'(x)dx，其中dy为函数因变量的微分，f'(x)为函数在点x处的导数，dx为函数自变量的微分。
二、微分的应用微分作为微积分的核心概念，在数学和其他领域具有广泛的应用。
以下列举了微分在几个重要领域中的应用。
2.1 曲线研究微分可以用于研究曲线的性质。
通过计算曲线上某一点处的导数，可以得到该点切线的斜率。
通过分析导数的正负性，可以确定函数在不同区间上的增减情况，进而描绘出曲线的形状。
2.2 最值问题微分可以用于求解最值问题。
最值问题是指在一定范围内，寻找函数取得最大或最小值的点或值。
通过求解函数的导数，将导数为零的点带入函数中，便可得到函数的最值点。
2.3 调和分析微分方程是微分学的重要组成部分。
微分方程描述了函数及其导数之间的关系。
通过对微分方程的求解，可以获得函数解析解，进而分析函数在不同条件下的特性。
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
求函数微分
求函数微分
先求导，微分＝导数×dx
dy＝y‘dx
过程如下图：
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx 处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
微分是函数改变量的线性主要部分。
微积分的基本概念之一。
拓展资料
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。
函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。
于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
微分的定义式
微分的定义式一、微分的定义式：其中，X=f(x)，表示f(x)的定义域;代表积分的符号;D， D分别是dx和dy的定积分的符号;而，=f(x) dxdy+g(x)dxdy^2+dz d是由原函数f(x)=f(x)求得的代表f(x)=f(x)的条件.(1)要求函数在x=0处可导，设函数在x=0处连续，则有：函数f(x)在(0， 2pi)上可导，所以函数f(x)在x=0处的导数为f'(x)=f(x).(2)设f'(x)=f(x)+g(x)dxdy^2+dz d=f(x)dxdy+g(x)dxdy^2+dz d=f(x)dxdy，解得： g(x)dxdy+dzd=f(x)dxdy+g(x)dxdy^2，即得： f(x)在x=0处的导数为f''(x)=f'(x)+g(x)dxdy^2+dzd=f'(x)dxdy+g(x)dxdy^2，因此函数f(x)在x=0处的导数也是f'(x).(3)已知： dx=f(x)dxdy， dy=g(x)dxdy^2+dz d，所以y(x)=f'(x)y(x)=f(x)(dx+dy)，即可用f'(x)y(x)dxdy求得函数f'(x)dxdy+g(x)dxdy^2.(4)由(3)，得： f''(x)=f'(x)+g(x)dxdy^2+dz d+f'(x)(dx+dy)=f'(x)dxdy+g(x)dxdy^2+dzd=f'(x)dxdy，所以y'(x)=f'(x)(dx+dy)=f'(x)dxdy，即可用y'(x)dxdy求得函数f''(x)dxdy+g(x)dxdy^2.(5)由(4)，得： f''(x)dxdy=f'(x)(dx+dy)-f'(x)(dx)dy+g(x)(dy)=f'(x)dxdy-f'(x)(dx)dy-g(x)(dy)=f'(x)dxdy-f'(x)dx dy=f'(x)dxdy.(6)根据已知数据，得： f''(x)dxdy+g(x)dxdy^2=f'(x)dxdy+g(x)dxdy^2-f'(x)(dx)dy+g(x)dxdy^2=f'(x)dxdy-f'(x)dx dy=f'(x)dxdy。
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函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。
叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量
，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，
函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对
应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
导数公式微分公式
函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则
拉格朗日中值定理
如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使
成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
描述如下：
若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，
那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。
罗彼塔(L'Hospital)法则
当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在
则：=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则
注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且
二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗
彼塔法则存在的条件破列。
曲线凹向的判定定理
定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
若在(a,b)内，＞0，则在[a,b]对应的曲线是下凹的；
若在(a,b)内，＜0，则在[a,b]对应的曲线是上凹的；
不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，
记作。
由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族
F(x)+C.
即:=F(x)+C
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：
(uv)'=u'v+uv'，移项，得
uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
，
这就是分部积分公式
例题：求
解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。
选取u和dv一般要考虑两点：
(1)v要容易求得；
(2)容易积出。
有理函数的积分举例
有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，
反之为真分式。
我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？
定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
定积分的性质
性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）.
即：
性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.
即：
性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则
≤（a<b)
性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤≤M(b-a)
性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：
=f(ξ)(b-a)
注：此性质就是定积分中值定理。