全微分的定义(精)
第三节 全微分
t
t
z z x s x s
z z x z dy t x t y dt
注意 设 z f (u, x, y) ,u ( x, y) z f [ ( x, y), x, y]
x
链式图
x
z
y y
u
链式法则 z z u f
x u x
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1.一元函数的微分： 2.全微分的定义 若函数 z f ( x, y) 在点( x, y )的某一邻域内偏导数
z z 在该点可微,且称 x dx y dy 为函数 z f ( x, y)
z x
z z f ( x, y) 、 y 存在,且在这一点它们都连续，则
z z u z v y u y v y
u x
z
v
y
例1 设 z e sin v
u
z ,而 u xy , v x y ,求 x
u x
,
z y
解
z z u z v x u x v x
u u
z
e sin v y e cosv 1
dz z du z dv dt u dx v dt
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数，又有 多元函数的情形,设 z f x, y , x s, t , y t
z f s, t , t
z
y
s
x
链式图
链式法则
v ( x, y)在点( x, y )处有偏导数, 函数 z f (u, v) 在对应点
(u , v) 处有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]
全微分的定义(精)
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
下一页
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
同线相乘，分线相加
例 1 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
求全导数dz .
dt
z
u v
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t), (t)]在对应点 t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于 x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分，
Ax By称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的全 微分，记为dz，即 dz= Ax By.
下一页
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
t
w t
解
dz z du z dv z
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z A x B y o () , (x)2(y)2
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，AxBy称为函数 f (x,y)
当 |x|,| y|,|z|很小时，有常见的近似公式
(1 x )(1 y) 1 x y ,
ln 1(x)ln 1(y)x,y arctaxny xy.
1xy
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内容小结
1. 微分定义: (以 zf(x,y)为)例 定义
z fx(x ,y ) x fy(x ,y ) yo()
(x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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例1. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
当 |x|,| y|,|z|很小时，有近似公式
f ( x , y , z ) f ( 0 , 0 , 0 ) f x ( 0 , 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 , 0 ) y f z ( 0 , 0 , 0 ) z 于是
1.002 2.00 23 3.003 4
第四节 全微分
第六章
一元函数 y = f (x) 的微分
y A x o ( x )
dyf(x) x 应用 近似计算
本节内容:
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
全微分的定义与应用
全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。
在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。
**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。
假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。
在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。
**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。
通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。
这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。
**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。
对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。
通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。
**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。
这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。
**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。
通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。
**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。
全微分讲义
第三节 全微分一、 全微分的定义及计算定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义。
如果自变量x 和y 在点),(00y x 处分别有增量x ∆和y ∆，则函数相应有增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ (18)我们称z ∆为函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量。
一般说来，计算全增量z ∆比较复杂。
在一元函数微分学中，我们用函数)(x f y =的微分（即函数增量的线性主部）来近似替代函数的增量。
现在对于二元函数),(y x f z =，我们也希望能够用自变量的增量y x ∆∆,的线性函数来近似替代函数的增量z ∆。
为此，引入全微分的概念。
定义 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域有定义，如果函数的全增量z ∆可写成：)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆（19）其中B A ,仅与00,y x 有关而与y x ∆∆,无关，()22)(y x ∆+∆=ρ，则称y x ∆⋅B +∆⋅A为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处的全微分。
记作),(00y x dz ，即),(00y x dz =y x ∆⋅B +∆⋅A（20）此时，又称函数()y x f z ,=在点),(00y x 处是可微的。
定理 1 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则（1）),(y x f z =在点),(00y x 处连续；（2）),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，且),(00y x dz =),(00y x f x 'y y x f x y ∆⋅'+∆⋅),(00（21）证 （1） 由于函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，所以函数在点),(00y x 的增量可表示为)(ρo y B x A z +∆⋅+∆⋅=∆而当0,0→∆→∆y x 时，0→ρ，故有0)(→ρo ，因此0lim 00=∆→∆→∆z y x 设yy y x x x ∆+=∆+=00,，则当0,0→∆→∆y x 时，00,y y x x →→，所以()0),(),(lim00),(),(00=-→y x f y x f y x y x ，即),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→，也即),(y x f z =在点),(00y x 处连续。
全微分的概念与计算
全微分基本公式是dz=z'(x)dx+z'(y)dy。
如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。
全微分定义
全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。
但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。
第四节,全微分及其应用解析
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解 设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.
高等数学课件第八章全微分
则
称为函数
在点 (x, y) 的全微分, 记作
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
思考与练习
1. P72 题 1 (总习题八)
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2. 选择题
答案:
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03
在点 (0,0) 可微 .
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,
证: 1)
因
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
证明函数
所以
同理
极限不存在 ,
在点(0,0)不连续 ;
同理 ,
在点(0,0)也不连续.
2)
3)
4) 下面证明
可微 :
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
第八章
*二、全微分在数值计算中的应用
应用
第三节
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算
估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
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e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
下一页
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
下一页
v dv , t dt
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
下一页
• • • • • • • •
课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
下一页
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
下一页
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
f (1,2) 1,
f x ( x , y) yx
y 1
,
f y ( x , y) x y ln x ,
f x (1, 2) 2,
f y (1, 2) 0,
由公式得 (1.04) 2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
三、小结 １、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系．
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
z
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
Ax By 称为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全 微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
下一页
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
也可写成
f ( x x , y y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y.
下一页
例3
计算 (1.04) 2.02的近似值.
解
设函数 f ( x, y) x .
y
下一页
取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
6.4
全微分
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
下一页
4 4
下一页
全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z f ( x , y) 在点 P ( x , y) 的两 个偏导数 f x ( x , y), f y ( x , y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
z dz f x ( x, y)x f y ( x, y)y.
具有对x 和y 的偏导数，且函数 z f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w . y u y v y w y
通常我们把二元函数的全微分等于它的 两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分 符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
下一页
多元函数连续、可偏导、可微的关系 函数连续 函数可偏导
下一页
z
u v w
x
y
例 2 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
u
z
x
y
z z u z v x u x v x
v
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x , y 而仅与 x , y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分，
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为
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 2 x y 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
下一页
在点(0,0) 处有
f x (0,0) f y (0,0) 0
极限不存在！不连续！不可微！
（注意：与一元函数有很大区别）
下一页
6.5
复合函数微分法 与隐函数微分法（一）
下一页
一、链式法则
定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 可 导， 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数，则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 t 可 导，且其导数可用下列公式计算：
其逆否命题是什么？
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分 y
z z dz x y ． x y
函数可微 偏导数连续
下一页
例 1 计算函数z e xy 在点( 2,1) 处的全微分.
解
z xy ye , x
z xy பைடு நூலகம்xe , y
z z 2 2 e , 2e , x ( 2 ,1 ) y ( 2,1)
所求全微分 dz e 2dx 2e 2dy.
下一页
例 2 求函数 z y cos( x 2 y ) ，当x ，y ， 4
下一页
链式法则如图示
u
z
x
y
下一页
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
同线相乘，分线相加
类似地再推广，设u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、
结束
dx
解
4
，dy 时的全微分.
z y sin( x 2 y ), x z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( , )
4
z z 2 dx dy ( 4 7 ). x ( , ) y ( , ) 8
•说明： •多元函数的各偏导数存在并不能保 证全微分存在。
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
下一页
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
u v w
t
下一页
同线相乘，分线相加
例 1 设 z uv sin t ，而 u e t ， v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
z
dz z du z dv z dt u dt v dt w
u v w t
t
ve u sin t cos t