全微分的定义
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全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
全微分的定义(精)
t
e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
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v dv , t dt
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
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• • • • • • • •
课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
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由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
下一页
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
e t cos t e t sin t cos t
e t (cos t sin t ) cos t .
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
( x, y) 如果u ( x , y ) 及v ( x , y ) 都在点
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
u du , t dt
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v dv , t dt
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
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课堂练习与习题 6-4 1、选一 7 6-5 2 4 6、选一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u ( t t ) ( t ), v ( t t ) ( t );
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由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数
z z z u v 1 u 2 v , u v
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
0
f ( x, y)
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故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
全微分的定义
V r
V h
h
所以
dV
V r
r
h 2 rh r r h
2
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3 . 14 20 40 0 . 1 3 . 14 20 ( 0 . 5 )
因此，函数 z f ( x , y ) 在点（x，y）连续。 又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与 Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。 不妨取Δy=0，则有
z A x (| x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
V = r h
2
40cm
39.5cm
20cm
20.1cm
此时
dV = ∂V ∂r • r + ∂V ∂h • h = 2 rh • r + r
2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
= — 125 . 6 ( cm
3
故有
2
V ≈ dV ≈ 2 × 3 . 14 × 20 × 40 × 0 . 1 + 3 . 14 × 20 × (
3
dy
2 6
u z
dz
例1 求函数 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
z 4 xy 5x y
z x
4 y
3
10 xy
6
z y
6
12 xy
2
30 x
2
y
5
所以
dz ( 4 y 10 xy ) dx (12 xy 30 x y ) dy
V h
h
所以
dV
V r
r
h 2 rh r r h
2
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3 . 14 20 40 0 . 1 3 . 14 20 ( 0 . 5 )
因此，函数 z f ( x , y ) 在点（x，y）连续。 又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与 Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。 不妨取Δy=0，则有
z A x (| x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
V = r h
2
40cm
39.5cm
20cm
20.1cm
此时
dV = ∂V ∂r • r + ∂V ∂h • h = 2 rh • r + r
2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
= — 125 . 6 ( cm
3
故有
2
V ≈ dV ≈ 2 × 3 . 14 × 20 × 40 × 0 . 1 + 3 . 14 × 20 × (
3
dy
2 6
u z
dz
例1 求函数 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
z 4 xy 5x y
z x
4 y
3
10 xy
6
z y
6
12 xy
2
30 x
2
y
5
所以
dz ( 4 y 10 xy ) dx (12 xy 30 x y ) dy
7.3 全微分
x →0 y →0
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 .
2009年7月5日星期日 15
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2) ∵ f ( x,0) ≡ 0 , ∴ f x (0,0) = 0 ; 同理 f y (0,0) = 0. 3) 当( x, y ) ≠ (0,0) 时 , 1 x2 y 1 f x ( x, y ) = y ⋅ sin 2 − cos 2 2 2 3 x +y (x + y ) x2 + y2
∂u ∂u ∂u du = dx+ d y + dz ∂z ∂x ∂y
记作 d x u
dy u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du = dx u + d y u + dz u
2009年7月5日星期日 9
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z = e x y 在点 (2,1) 处的全微分. 例1 计算函数 ∂z ∂z xy ye , xe x y = = （自学课本 例1） 解: ∂y ∂x ∂z = e2 , ∂ x (2,1)
当点 P ( x, y ) 沿射线 y = x 趋于 (0,0) 时,
1 x 1 ⋅ sin − ⋅ cos ) = lim ( x 3 2 |1x | 2 2 | x | x →0 2| x| xy sin , ( x, y ) ≠ (0,0) x 2 在点(0,0)不连续 ; + y2 极限不存在= ∴ f x ( x, y ) f ( x, y ) , 0, ( x, 同理 , f y ( x, y ) 在点(0,0)也不连续. y ) = (0,0)
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 .
2009年7月5日星期日 15
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2) ∵ f ( x,0) ≡ 0 , ∴ f x (0,0) = 0 ; 同理 f y (0,0) = 0. 3) 当( x, y ) ≠ (0,0) 时 , 1 x2 y 1 f x ( x, y ) = y ⋅ sin 2 − cos 2 2 2 3 x +y (x + y ) x2 + y2
∂u ∂u ∂u du = dx+ d y + dz ∂z ∂x ∂y
记作 d x u
dy u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du = dx u + d y u + dz u
2009年7月5日星期日 9
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z = e x y 在点 (2,1) 处的全微分. 例1 计算函数 ∂z ∂z xy ye , xe x y = = （自学课本 例1） 解: ∂y ∂x ∂z = e2 , ∂ x (2,1)
当点 P ( x, y ) 沿射线 y = x 趋于 (0,0) 时,
1 x 1 ⋅ sin − ⋅ cos ) = lim ( x 3 2 |1x | 2 2 | x | x →0 2| x| xy sin , ( x, y ) ≠ (0,0) x 2 在点(0,0)不连续 ; + y2 极限不存在= ∴ f x ( x, y ) f ( x, y ) , 0, ( x, 同理 , f y ( x, y ) 在点(0,0)也不连续. y ) = (0,0)
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
全微分的定义与应用
全微分的定义与应用全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化与其自变量的微小变化之间的关系。
在本文中，我们将介绍全微分的定义以及一些常见的应用。
**一、全微分的定义**在微积分中，对于一个具有多个自变量的函数，其全微分可以被定义为函数在某一点处的线性逼近。
假设有一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn为自变量。
在点(a₁, a₂, ..., an)处，函数f的全微分df可以表示为如下形式：df = ∂f/∂x₁ · dx₁ + ∂f/∂x₂ · dx₂ + ... + ∂f/∂xn · dxn其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xn分别表示函数f对自变量x₁, x₂, ..., xn的偏导数，dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。
**二、全微分的应用**全微分的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些常见应用。
**1. 近似计算**全微分可以用于进行函数值的近似计算。
通过求解函数的全微分，可以将函数在某一点处的微小变化近似表示为自变量的微小变化量与偏导数的乘积之和。
这对于计算复杂函数在某一点处的近似值非常有用。
**2. 极值问题**全微分还可以用于求解函数的极值问题。
对于一个多元函数，函数的局部极值点处，其全微分等于0，即df=0。
通过求解这个方程组可以得到极值点的坐标。
**3. 函数的变化率**全微分还可以用于描述函数的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其全微分可以看作一个量对另一个量的变化率。
这对于分析函数在不同自变量取值情况下的变化规律非常有帮助。
**4. 微分方程的求解**全微分在微分方程的求解中也起到重要作用。
通过对微分方程进行全微分，可以将微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到方程的解析解。
**结语**全微分作为微积分中的一个重要概念，在数学和科学研究中有着广泛的应用。
全微分的推导
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ), f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
若 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可偏导,
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x o( x )
x
Q
四、全微分在近似计算中的应用
当 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续, 且 x , y 都较小时, 有近似等式
z dz f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
全微分的概念与计算
一、全微分的定义
二、全微分存在的条件 三、全微分的几何意义
四、全微分在近似计算中的应用
复习:一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x )
d y f ( x )x
可微
可导
一、全微分的定义
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对x和y的偏增量
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
由微分定义 :
x 0 y 0
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
例6
利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是
4π2l g 2 . 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为 T l 100 0.1cm , T 2 0.004s.问由于测定l与T的 误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?
第六章3 全微分
1 cos y + (2 2
的全微分.
yz ) d y ze
练习： 练习：设
注意: 注意 x , y , z 具有 x 解: Q f (x,0,0) = 轮换对称性 3 + cos x 1 x ′ = ) ∴ f x (0,0,0) = ( 3 + cos x x = 0 4
1 f y (0,0,0) = f z (0,0,0) = 4 ∴d f (0,0,0) = f y (0,0,0) d x + f y (0,0,0) d y + f z (0,0,0) d z 1 = (d x + d y + d z) 4
(∆x)2 + (∆y)2 ∆x ∆y = 0 2 2 (∆x) + (∆y)
≠ o(ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 定理 (充分条件) 若函数
的偏导数
在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
du =
记作
∂u + dz ∂z
dz u
dx u , d y u , dz u称为偏微分 故有下述叠加原理 偏微分. 偏微分 d u = d x u + d y u + dz u
1. 微分定义:
∆z =
+ o(ρ)
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
的全微分.
yz ) d y ze
练习： 练习：设
注意: 注意 x , y , z 具有 x 解: Q f (x,0,0) = 轮换对称性 3 + cos x 1 x ′ = ) ∴ f x (0,0,0) = ( 3 + cos x x = 0 4
1 f y (0,0,0) = f z (0,0,0) = 4 ∴d f (0,0,0) = f y (0,0,0) d x + f y (0,0,0) d y + f z (0,0,0) d z 1 = (d x + d y + d z) 4
(∆x)2 + (∆y)2 ∆x ∆y = 0 2 2 (∆x) + (∆y)
≠ o(ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 定理 (充分条件) 若函数
的偏导数
在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
du =
记作
∂u + dz ∂z
dz u
dx u , d y u , dz u称为偏微分 故有下述叠加原理 偏微分. 偏微分 d u = d x u + d y u + dz u
1. 微分定义:
∆z =
+ o(ρ)
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
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Байду номын сангаас
z 4 y 3 10 xy 6 x
z 12 xy 2 30 x 2 y 5 y
所以 dz (4y3 10 xy6 )dx (12 xy 30 x2 y5)dy
例2 求函数 f (x, y) x2 y3 在点（2，-1）处的全微分。 解：因为
f x (x, y) 2xy3 , f y (x, y) 3x2 y 2 f x (2,1) 4, f y (2,1) 12
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
可以表示为
z A x B y ( )
其中A，B与Δx,Δy无关， ( )是当 ( x )2 ( y )2
→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数 z f ( x, y )在点
（x，y）处可微， A x B y 称函数在点(x,y)
则有
V r 2h
所以
dV V r V h 2rhr r 2h
r
h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3.14 20 400.1 3.14 202 ( 0.5 )
125.6( cm3 ) 即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
3x2 x3 y3
f y( x, y ) 2
3y2 x3 y3
取 x0 1, y0 2, x 0.01, y 0.02
则
f ( 1,2 ) 13 23
fx( 1,2 ) 0.5,
所以
f y( 1,2 ) 2
1.013 1.983 3 0.50.01 2( 0.02 ) 2.965
由公式（1）还可得
( 2 ) f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) fx( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y
例5 计算 1.033 1.983 的近似值。
解： 构造函数 f ( x, y ) x3 y3 ，则
f x( x, y ) 2
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微分 偏导数连续
如图，一边长分别为x、y
y
Δy
的长方形金属薄片，受热后 x 在长和宽两个方向上都发生
变化，分别为Δx、Δy，那么 Δx
该金属薄片的面积A改变了多少？
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两部分组成：
三 全微分在近似计算中的应用
应用的公式：
( 1 ) z dz fx( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的 20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm， 求该金属体体积变化的近似值。
解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V
处的全微分，记作dz或df(x,y)，即
dz A x B y
显然，dz≈Δz
二 可微的必要和充分条件
定理（可微的必要条件）
如果函数z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微，则它在 该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且
dz z x z y
x
y
证明：由函数 z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微有
• h
=
2rh • r
+ r 2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5 故有
V ≈dV ≈2×3.14×20×40×0.1+ 3.14×202 ×( 0.5 )
= — 125.6( cm3 )
即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
精品课件！
精品课件！
四、小结
例5 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来 的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到 39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。
解：如下图所示。
设圆柱体的底面半
径为r，高为h，体积为
V，则有
40cm
39.5cm
V = r 2h
此时
20cm
20.1cm
dV
=
∂V ∂r
• r
+
∂V ∂h
所以
z A x B y ( )
lim z lim [ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0
x0 y0
x0 y0
即
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
x0
y0
因此，函数 z f ( x, y )在点（x，y）连续。
x2 y2 0 x2 y2 0
由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数 都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可 微。
定理（可微的充分条件）
如果函数z
f
(
x, y
)
的两个偏导数
z x
,
z y
在点（x，
y）都存在且连续，则该函数再给点可微。
以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以 上的函数中去。
x0
x
x0 x
即说明
xz存在，且
z x
A
同理可证 z 存在，且 z B
y
y
故有
dz z x z y
x
y
注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，
也不能保证函数 z f ( x, y )在点（x，y）可微。
讨论函数：
xy
x
2
y2
0
x x0
y 0
y 0
z e2x y sin( 3x 4 y ) 4e2x y cos( 3x 4 y ) x0 4
y x0
y 0
y 0
所以
dz z x z y 30.2 4 0.3 1.8
x y
此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量 Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且 Δz≈dz=1.8。
由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元
函数 z f ( x, y )的全微分习惯上可写为
dz z dx z dy
x
y
类似地，三元函数 u u( x, y,z ) 的全微分为
du u dx u dy u dz
x
y
z
例1 求函数 z 4xy3 5x2 y6 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与
Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。
不妨取Δy=0，则有
z A x (|x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
lim f ( x x, y ) f ( x, y ) A lim (| x |) A
所以
dz |(2,1) 4dx 12 dy
例3 设函数z e2x y sin( 3x 4 y ) 在点（0，0） 有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。
解：z 2e2xy sin( 3x 4 y ) 3e2xy cos( 3x 4 y ) x0 3
y x xy Δx，Δy的线性部分
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量
z 4 y 3 10 xy 6 x
z 12 xy 2 30 x 2 y 5 y
所以 dz (4y3 10 xy6 )dx (12 xy 30 x2 y5)dy
例2 求函数 f (x, y) x2 y3 在点（2，-1）处的全微分。 解：因为
f x (x, y) 2xy3 , f y (x, y) 3x2 y 2 f x (2,1) 4, f y (2,1) 12
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
可以表示为
z A x B y ( )
其中A，B与Δx,Δy无关， ( )是当 ( x )2 ( y )2
→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数 z f ( x, y )在点
（x，y）处可微， A x B y 称函数在点(x,y)
则有
V r 2h
所以
dV V r V h 2rhr r 2h
r
h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3.14 20 400.1 3.14 202 ( 0.5 )
125.6( cm3 ) 即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
3x2 x3 y3
f y( x, y ) 2
3y2 x3 y3
取 x0 1, y0 2, x 0.01, y 0.02
则
f ( 1,2 ) 13 23
fx( 1,2 ) 0.5,
所以
f y( 1,2 ) 2
1.013 1.983 3 0.50.01 2( 0.02 ) 2.965
由公式（1）还可得
( 2 ) f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) fx( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y
例5 计算 1.033 1.983 的近似值。
解： 构造函数 f ( x, y ) x3 y3 ，则
f x( x, y ) 2
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微分 偏导数连续
如图，一边长分别为x、y
y
Δy
的长方形金属薄片，受热后 x 在长和宽两个方向上都发生
变化，分别为Δx、Δy，那么 Δx
该金属薄片的面积A改变了多少？
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两部分组成：
三 全微分在近似计算中的应用
应用的公式：
( 1 ) z dz fx( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的 20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm， 求该金属体体积变化的近似值。
解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V
处的全微分，记作dz或df(x,y)，即
dz A x B y
显然，dz≈Δz
二 可微的必要和充分条件
定理（可微的必要条件）
如果函数z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微，则它在 该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且
dz z x z y
x
y
证明：由函数 z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微有
• h
=
2rh • r
+ r 2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5 故有
V ≈dV ≈2×3.14×20×40×0.1+ 3.14×202 ×( 0.5 )
= — 125.6( cm3 )
即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
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四、小结
例5 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来 的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到 39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。
解：如下图所示。
设圆柱体的底面半
径为r，高为h，体积为
V，则有
40cm
39.5cm
V = r 2h
此时
20cm
20.1cm
dV
=
∂V ∂r
• r
+
∂V ∂h
所以
z A x B y ( )
lim z lim [ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0
x0 y0
x0 y0
即
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
x0
y0
因此，函数 z f ( x, y )在点（x，y）连续。
x2 y2 0 x2 y2 0
由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数 都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可 微。
定理（可微的充分条件）
如果函数z
f
(
x, y
)
的两个偏导数
z x
,
z y
在点（x，
y）都存在且连续，则该函数再给点可微。
以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以 上的函数中去。
x0
x
x0 x
即说明
xz存在，且
z x
A
同理可证 z 存在，且 z B
y
y
故有
dz z x z y
x
y
注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，
也不能保证函数 z f ( x, y )在点（x，y）可微。
讨论函数：
xy
x
2
y2
0
x x0
y 0
y 0
z e2x y sin( 3x 4 y ) 4e2x y cos( 3x 4 y ) x0 4
y x0
y 0
y 0
所以
dz z x z y 30.2 4 0.3 1.8
x y
此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量 Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且 Δz≈dz=1.8。
由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元
函数 z f ( x, y )的全微分习惯上可写为
dz z dx z dy
x
y
类似地，三元函数 u u( x, y,z ) 的全微分为
du u dx u dy u dz
x
y
z
例1 求函数 z 4xy3 5x2 y6 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与
Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。
不妨取Δy=0，则有
z A x (|x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
lim f ( x x, y ) f ( x, y ) A lim (| x |) A
所以
dz |(2,1) 4dx 12 dy
例3 设函数z e2x y sin( 3x 4 y ) 在点（0，0） 有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。
解：z 2e2xy sin( 3x 4 y ) 3e2xy cos( 3x 4 y ) x0 3
y x xy Δx，Δy的线性部分
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量