一、微分的概念讲解
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
导数微分知识点总结
导数微分知识点总结一、微分的定义微分是微积分中的基本概念之一。
在微积分中，微分是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，若x在x_0处有一个增量Δx，对应的函数值的增量Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)，那么函数f(x)在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数。
二、导数的定义导数是微分的数学概念，是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，在x_0处导数f'(x_0)的定义为：若极限lim_(Δx→0)(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在x_0处的导数，记作f'(x_0)。
导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以用偏导数来描述多元函数的变化率。
三、微分和导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们之间存在着密切的联系。
微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数，可见微分和导数之间有直接的联系。
微分是导数的一种应用，而导数也可以通过微分来求得。
四、微分和导数的性质1.导数的性质：（1）常数的导数为0: (c)'=0（2）幂函数的导数: (x^n)'=nx^(n-1)（3）和差函数的导数: (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）积函数的导数: (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）商函数的导数: (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)（6）复合函数的导数: 若y=f[g(x)]，则y'=(f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)2.微分的性质：（1）微分的线性性质：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)（2）微分的乘法法则：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)五、导数的计算方法1.通过定义求导：根据导数的定义，可以直接求出给定函数的导数。
微分的知识点总结
微分的知识点总结一、微分的基本概念微分是微积分中的一个重要概念，它是研究函数变化率的一种数学工具。
在微分学中，我们将函数在某一点的变化率称为该点的导数，用数学符号表示为f’(x)或y’。
其中f’(x)代表函数f(x)在x点的导数，y’代表函数y(x)在x点的导数。
在微分学中，函数在某一点的微分是函数在该点的导数与自变量的微小增量之积。
即如果函数y=f(x)在点x处可导，则在这一点，函数f(x)在自变量x的增量Δx的一个小区间内的增量Δy与自变量x的增量Δx之比接近于某一常数k，当Δx趋于0时，这一比值趋于常数k，则常数k称为函数f(x)在x点的导数。
因此，函数在某一点的微分可以用下式表示：dy = f’(x)·dx其中dy是函数在x点的微分，f’(x)是函数在x点的导数，dx是自变量x的微小增量。
微分的基本概念可以用图形表达，函数在x点处的微分可以用函数的切线来表示。
函数在x点处的微分就是函数在这一点的切线的斜率。
二、微分的求法微分的求法有不同的方法，主要包括几何法、代数法和微分方程法。
1. 几何法几何法是通过函数的图形上的点的切线来求函数在某一点的微分。
函数在某一点的微分是该点的切线的斜率。
2. 代数法代数法是通过导数的定义来求函数在某一点的微分。
导数的定义是函数在某一点的变化率，导数即函数的微分。
3. 微分方程法微分方程法是通过微分方程来求函数在某一点的微分。
微分方程是用微分形式表达的方程，通常包括微分变量的导数和未知函数变量。
微分方程法是微分学的一个重要应用领域，用于求解实际问题中的微分方程。
三、微分的应用微分是微积分的重要分支，有着广泛的应用。
微分在工程、物理、经济学、生物学等领域都有重要应用。
微分的主要应用包括：导数的应用、微分方程的应用、微分的几何应用等。
1. 导数的应用导数是微分的本质，是函数在某一点的变化率。
导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
例如在物理学中，速度和加速度是物体运动的导数，而在经济学中，边际成本和边际收益是函数的导数。
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微分知识点总结
微分知识点总结一、微分的基本概念1. 导数的定义在微分的讨论中，导数是一个非常核心的概念。
在数学中，导数表示了函数在某一点的变化率，也可以理解成函数曲线在该点的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：\[ f'(x_0)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]2. 微分的概念微分是导数的一个相关概念，它主要研究了函数在某一点的局部线性变化。
设函数y=f(x)，在点x0处的微分dy定义为：\[ dy=f'(x_0)dx \]3. 微分形式微分dy=f'(x)dx这个等式称为微分形式，它表示了函数在某一点的微分。
在微分形式中，导数f'(x)表示了函数在该点的变化率，dx表示自变量x的变化量，dy表示因变量y的对应变化量。
4. 微分的几何意义从几何学的角度来看，微分表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。
也就是说，微分可以帮助我们理解函数在某一点的局部变化规律，对于研究函数的极值、凹凸性、临界点等性质非常重要。
二、微分的性质1. 微分的线性性质设函数y=f(x)，g(x)分别在点x0处可导，常数a、b，则：\[ d(af(x)+bg(x))=af'(x)dx+bf'(x)dx \]这个性质表示了微分在加法、乘法和数乘方面的线性性质，这对于微分的运算和计算是非常重要的。
2. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)都分别在对应的点可导，那么复合函数y=f(g(x))在x0的微分为：\[ dy=f'(u)g'(x)dx \]链式法则是微分中的一个重要性质，它描述了复合函数的微分计算规则。
对于求解复合函数的微分非常有用。
3. 高阶微分高阶微分指的是对微分的多次计算，设函数y=f(x)，它的一阶微分为dy=f'(x)dx，二阶微分为d2y=f''(x)dx2，以此类推。
微分的基本概念与计算方法
微分的基本概念与计算方法微分是微积分学中一个重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
微分的概念包括函数的导数、导函数以及微分的计算方法。
本文将介绍微分的基本概念和计算方法。
一、微分的基本概念微分的基本概念是描述函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为 df(x) = f'(x)dx，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
微分可以理解为函数f(x)在点x处的线性逼近。
当dx趋近于0时，微分趋近于函数在该点的切线斜率。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要有以下两种：几何法和代数法。
1. 几何法几何法是一种直观的计算微分方法，它通过绘制函数的图形和切线来计算微分。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)在点x处的切线；（2）切线与x轴的交点为(x, f(x))，将x的增量表示为dx，函数的增量表示为df(x)；（3）根据切线的斜率计算导数f'(x)；（4）得到微分df(x) = f'(x)dx。
2. 代数法代数法是一种通过运用导数的性质和规则来计算微分的方法。
具体方法如下：（1）根据函数f(x)的定义，求导数f'(x)；（2）将dx看作一个无穷小量，将f'(x)dx作为微分df(x)；（3）得到微分df(x) = f'(x)dx。
三、微分的应用微分在数学和其他应用领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 极值问题通过微分可以求解函数的极值问题。
根据函数的导数和微分的性质，可以求解函数的最大值和最小值，并找到极值点的坐标。
2. 曲线的切线与法线微分的概念可以用来求解曲线在不同点处的切线和法线。
通过计算函数在给定点处的导数和微分，可以确定曲线在该点处的切线和法线的斜率和方程。
3. 速度和加速度微分的概念可以用来描述物体在运动过程中的速度和加速度。
通过求解位置函数的导数和微分，可以得到物体在某一时刻的速度和加速度。
微分的概念和计算
微分的概念和计算微分在数学中是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
微分的概念和计算是求导数的过程，通过微分，我们可以研究函数在某一点的变化率和曲线的斜率。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是数学中一个基本的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在某一点处的微分表示为df(x)或者dy。
微分可以表示函数在该点附近的线性逼近。
在微分的概念中，有一个非常重要的概念叫做导数。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，可以用来表示函数图像上某一点的切线的斜率。
导数是微分的计算结果。
二、微分的计算方法微分的计算方法主要包括两种，一种是基于极限的方法，另一种是基于公式的方法。
1. 基于极限的方法基于极限的方法是微分的基本思想，通过求极限来计算微分。
对于一个函数f(x)，它在x点的导数可以表示为f'(x)，即f(x)在x点的瞬时变化率。
导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h在计算导数时，我们可以根据具体的函数形式进行具体的计算方式，如常见的幂函数、指数函数、对数函数等等。
2. 基于公式的方法基于公式的方法是一种更加简单和快捷的计算微分的方法，它利用了一些函数的特定规律和性质。
对于常见的函数，我们可以利用一些已知的微分公式进行计算。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，它的导数可以表示为f'(x) =nax^(n-1)。
这是一个常用的微分公式，可以简化我们的计算过程。
三、微分的应用微分作为微积分的基本概念，被广泛应用于各个领域。
以下是微分的一些常见应用：1. 曲线的切线和法线：通过微分，我们可以准确地求得曲线在某一点处的切线和法线。
这在物理学、工程学等领域中是非常重要的应用。
2. 极值问题：通过导数的计算，我们可以找到函数的极值点，即函数的最大值和最小值。
这在经济学、物理学等领域中有着广泛的应用。
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义微分的定义：微分是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化率和函数的局部特性的工具。
微分的定义可以通过极限的方式来描述。
对于函数f(x)，如果存在一个实数a和一个实数k，使得当x无限接近a时，函数f(x)的增量Δy和自变量增量Δx之比无限接近于k，即k = lim(Δy/Δx) = lim(f(x) - f(a))/(x - a)，其中lim表示极限。
微分的几何意义：微分在几何上有着重要的意义，它可以用来描述函数的局部特性和刻画曲线的形状。
微分可视为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
具体来说，微分的几何意义主要包括以下几个方面：1.切线的斜率：假设有一个函数曲线y=f(x)，在其中一点P处的切线斜率就是函数在该点的导数f'(x)，也称为函数的微分。
微分告诉我们，函数曲线在该点附近的变化速度，即函数值的增减率。
2.切线与曲线的切点：微分还可以确定函数曲线与其切线的切点位置。
给定一个曲线f(x)和一个点P，通过微分求解，可以得到切线与曲线的切点坐标。
3.泰勒展开：微分的另一个重要应用是构造泰勒展开式。
泰勒展开式可以将一个函数在其中一点展开为一个无穷级数，通过微分的概念，可以推导出泰勒展开式的表达式，并且可以利用泰勒展开式来逼近函数的近似值。
4.极值点：微分还可以帮助我们确定函数的极值点。
当函数在其中一点处的微分为零时，说明函数在该点处取得了极值。
通过对微分进行求解，可以求得函数的极值点。
总之，微分在几何上是一种刻画函数曲线局部特性的工具。
它不仅可以帮助我们理解函数的变化规律和刻画曲线的形状，还可以用于求解切线的斜率、切点的位置、构造泰勒展开式以及寻找极值点等问题。
微分是微积分中的重要概念，对于深入理解函数和曲线的性质具有重要意义。
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d2 y f ( x)d x2;
(6)
当 x 是中间变量( y f ( x), x (t) ) 时, 二阶微分
为
d2 y d( f ( x)dx ) f ( x)d xd x f ( x)d(d x)
f ( x)d x2 f ( x)d2 x.
(7)
依次下去, 可由 n 1 阶微分求 n 阶微分: dn y d (dn1 y) d( f (n1)( x) dxn1) f (n)( x)d xn .
对 n 2 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不
具有形式不变性. 当 x 是自变量时, y f ( x) 的二
阶微分是
一、微分的概念
微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的 线性部分, 请先看一个具体例子. 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函 数. 如果给边长 x 一个增量 Δ x , 正方形面积的增量 Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 : Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因 此, 当边长 x 增加一个微小量 Δx 时, Δ S 可用Δx
它比 (6) 式多了一项 f ( x)d2 x, 当 x (t) 时,
d2 x (t)dt 2 不一定为 0, 而当 x 为自变量时,
d2 x 0.
例4 设 y f ( x) sin x , x (t) t 2, 求 d2 y.
解法一 先将 x (t) 代入 y f ( x), 得 y sin t 2,
sin x x, tan x x, ln1 x x, ex 1 x.
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).
解
sin 33
sin(
π 6
π 60
),
取
f ( x) sin x,
x0
π 6
,
x
π 60
,
由公式 (9) 得到
sin 33 sin ( π ) cos ( π ) π 0.545 .
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于 Δ x 的高阶无穷小量 (Δ x)2, 即以 Δ x 为边长的小 正方形(如图).
x2
xΔ x
Δx 2
xΔ x
定义 5 设函数 y f ( x), x U ( x0 ). 如果增量
Δ y f ( x0 Δ x) f ( x0 ) 可以表示成
表示为 x 的线性部分 f ( x0 )Δ x ,与关于Δ x 的高
阶无穷小量部分 o(Δ x) 之和.所以 f 在点 x0 可微, 且 d y x x0 f ( x0 )Δ x .
微分概念的几何解释, 示于下图:
f 在点 x0 的增量为 Δy RQ,
而微分是 dy RQ,
y
于是
Δy A o(1). Δx
f
( x0 )
lim
Δ x 0
Δy Δx
lim ( A
Δ x0
o(1))
A
,
即 f 在点 x0 可导, 且 f ( x0 ) A . (充分性) 设 f 在点 x0 处可导,则由 f 的有限增量 公式 Δ y f ( x0 )Δ x o(Δ x), 说明函数增量 Δ y 可
(3)
它既依赖于 Δ x , 也与 x 有关.
习惯上喜欢把Δ x 写成 d x ,于是 (3) 式可改写成
d y f ( x)d x , x I .
(4)
这相当于 y x 的情形, 此时显然有 d y dx Δ x .
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
记 x x0 Δ x , 即当 x x0 时，(8) 式可改写为
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ).
(9)
(9) 式的几何意义是当 x 与 x0充分接近时, 可用点
P( x0, f ( x0 )) 处的切线近似代替曲线, 这种线性近 似的方法可以简化一些复杂的计算问题. 公式 (9) 分别用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), 可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ):
38792.39
cm3
,
V
05 2
138.54cm3 ;
V
|V0 |
1 2 1 6
πd02 πd03
d
3 d
d0
3.57 ‰.
u( x) v( x)d u( x) u( x)dv( x)
3.
d
v( x)
v2(x)
;
4. d ( f g( x)) f (u) g( x)d x , 其中 u g( x) .
由于 d u g( x)d x , 故运算法则 4 又可以写成
d y f (u)du . 它在形式上与(4)式完全一样, 不管 u 是自变量还
三、高阶微分
若将一阶微分 d y f ( x)Δ x 仅看成是 x 的函数, 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为 d(d y) d( f ( x)Δ x ) f ( x)Δx Δx f ( x)d(Δx)
f ( x) (Δx)2 f ( x) (d x)2. 或写作 d2 y f ( x)d x2 , 称为 f 的二阶微分. 注 由于Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x) d(d x) d2 x 0, 它与 d x2 (d x)2, d( x2) 2 xd x 三者各不相同, 不可混淆.
关于Δ x 的高阶无穷小量,而 d y 是Δ x 的线性函数.
更通俗地说, dy 是 Δ y 的线性近似.
定理 1 函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在
点 x0 可导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是 y 2t cos t 2, y 2cos t 2 4 t 2 sin t 2.由 (6) 得
d2 y ( 2cos t 2 4t 2 sin t 2 ) dt 2. 解法二 依 (7) 式得
d2 y f ( x)d x2 f ( x)d2 x sin xd x2 cos xd2 x sin t 2. ( 2t dt )2 cos t 2.2dt 2
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d( u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ x0 RQ
f ( x0 ) 0 ,
故若
f
( x0 )
0,
则得到
lim
Δ x0
QQ RQ
0.
这说明当
Δ x 0 时, QQ 还是 RQ 的高阶无穷小量.
若函数 f 在区间 I 上每一点都可微,则称 f 是 I 上 的可微函数. f ( x) 在 I 上的微分记为
d y f ( x)Δ x, x I ,
§5.5 微 分
若在有限增量公式 y f (x0) x o( x)
中删去高阶无穷小量项 y 关于的x 一个线性近
似式, 这就是“微分”; 其中的线性因子f ( x0 )即为 导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.
一、微分的概念 二、微分的运算法则 三、高阶微分 四、微分在近似计算中的应用
则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x . 称 y | f ( x0 ) | x 为 y0 的绝对误差限, 而 y0 的
相对误差限则为
Δ y AΔ x o(Δ x),
(1)
其中 A 是与 Δ x 无关的常数, 则称函数 f 在点 x0 可微, 并称 AΔx 为 f 在点 x0 处的微分, 记作
d y x x0 AΔ x, 或 d f ( x ) x x0 AΔ x . (2) 由定义, 函数在点 x0 处的微分与增量只相差一个
( 2cos t 2 4t 2 sin t 2 )d t 2. 如果将 f ( x)d2 x 漏掉就会产生错误.
四、微分在近似计算中的应用
1. 函数值的近似计算
由于 Δ y f ( x0 )Δ x o(Δ x), 故当 Δ x 很小时, 有
Δ y d y. 由此得
f ( x0 Δ x) f ( x0 ) f ( x0 )Δ x. (8)
6
6 60
2. 误差的估计
设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 y f ( x) 经过
计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误 差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x0 . 由 x0 计 算得到的 y0= f (x0) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即 | Δ x | | x x0 | x ,