高中物理竞赛必备辅导资料角动量例题

“角动量守恒”及其应用

在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。

1 角动量守恒定律

1．1质点对参考点的角动量守恒定律

如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量

为L ，其值αsin p r L ⋅=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0

的位置矢量r 的夹角。其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩

t M ∆⋅（M 为外力对参考点O 的力矩）

，即t M L ∆⋅=∆。若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。 1．2质点系对参考点的角动量守恒定律

由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量

t M i ∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M L i ∆⋅=∆∑。同样当0=∑i M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。

如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。

1．3角动量守恒的判断

当外力对参考点的力矩为零，即0=∑i M 时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的

影响，角动量近似守恒。

2 角动量守恒定律的应用 例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）

如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球

B 、D 和

C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度v 0沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞。求刚碰后小球A 、B 、C 、

D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规

M D B

C A V 0 图2

律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。

解析 ①小球A 、B 碰撞瞬间，球A 挤压B ，其作用力方向垂直于杆，使球B 获得沿0v 方向的速度B v 。从而在碰撞瞬间使小球C 、D 的速度也沿0v 方向。对质点组B 、C 、D 与A

组成的系统，碰撞前后动量守恒。由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的质点组的质心处，所以小球C 的速度也就是质点组的质心速度。

可得：0A C 3M M m =+v v v （1）

②质点组B 、C 、D 与A 是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，得 222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （2） ③对质点组B 、C 、D 在碰撞瞬间，在B 处受到A 球的作用力，若取B （与B 球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B 、C 、D 在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得：C D 02ml ml =+v v （3）

④由杆的刚性条件有：D c c B v v v v -=- （4）

由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得

C 0456M M m =+v v （5）

A 05656M m M m -=+v v （6）

B 01056M M m =+v v （7）

D 0256M M m =-+v v （8） ⑤碰撞后各小球的运动

碰撞后，质点组B 、C 、D 不受外力作用，其质心作匀速运动，即C 0456M M m =

+v v ，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为

0656B M l M m ω-==+C v v v l

方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，由于M 、m 取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使A 0v =；A 0v <；A 0v >且A C v v 情景的出现，在此不作详细讨论。

例题2 （第20届物理竞赛复赛第1题）如图3

所示，a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球

体，O 为其球心．己知取无限远处的电势为零时，

球表面处的电势为U =1000 V ．在离球心O 很远的

O ′点附近有一质子b ，它以 E k ＝2000 eV 的动能沿与O 'O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与O 'O

线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把质子换图3

成电子，再求l 的最大值．

解析 ①质子在运动过程中受到a 球对它的库仑力作用，且库仑力总是通过a 球的球心。类似这样的力我们称之为有心力。如取球心O 为参考点，则其作用力对O 的力矩始终为零，即质子在运动过程中对参考点O 的角动量守恒。即在有心力作用下角动量守恒。 如图4所示，令m 表示质子的质量，0v 和v 分别表示质子的初速度和到达a 球球面处的速度，e 表示元电荷。质子在b 处的角动量

为max 0l mv L b =；到达球a 表面时的角

动量为R mv L a ⋅=

所以得：max 0mv l mvR = （1） ②质子从b 运动到a ，能量守恒，由于无穷远处电势能为零，故得：

2201122

mv mv eU =+ （2） 由式（1）、（2）可得 20max 1/2eU l R mv =-

代入数据，可得 max 2l R = ③若把质子换成电子，此时式（2）中e 改为e -。同理可求得

max 6l R =

例题3 如图5所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同，均为M ，处于静止。现有距盘底高为h 质量为m 的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。不计滑轮与绳质量，及轴承摩擦和绳的伸长。

解析 ①对盘、重物、胶泥组成的质点系，在胶泥下落过程中，质点系

对轴心O 的外力矩为胶泥的重力矩。当胶泥与盘碰撞时，碰撞内力对O

的内力矩远大于胶泥的重力矩，从而得质点系对O 的角动量近似守恒。

②质点系碰撞前对O 的角动量r mv L 01

= （1） （v 0为m 碰前的速度，r 为滑轮的半径）；

质点系碰撞后瞬间对O 的角动量()Mrv vr M m L ++=2 （2）

③胶泥碰前作自由落体运动，所以gh v 20

= （3） 由（1）、（2）、（3）式可得gh m M m v 22+= 图4

v 图5 m M O