一道竞赛题的多种解法
奥数-鸡兔同笼问题的四种题型
鸡兔同笼冋题的几种解法鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。
通过学习解鸡兔同笼冋题，可以提高我们的分析问题、解决问题的能力。
下面我来介绍几种解鸡兔同笼问题的方法：大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题，这就是著名的“鸡兔同笼”问题。
书中是这样叙述的：”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？〃意思就是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数, 有94只脚，问鸡和兔各有多少只？解法一：列表枚举法列表枚举法就是让我们列出表格，采用依次列举，逐步尝试的方法来解决这个问题。
详细过程见下表:鸡3534333226252423兔01239101112脚7072747688909294解法二：抬腿法这是古人解题的方法，也就是《孙子算经》中采用的方法。
1、抬腿，即鸡"金鸡独立”，兔两个后腿着地，前腿抬起，腿的数量就为原来数量的一半。
944- 2=47 只脚。
2、现在鸡有一只脚，兔有两只脚。
笼子里只要有一只兔子，脚数就比头数多1。
3、那么脚数与头数的差47-35=12就是兔子的只数＜4、最后用头数减去兔的只数35-12=23就得岀鸡的只数。
所以，我们可以总结岀这样的公式：兔子的只数二总*2-总只数。
解法三：假设法假设法是鸡兔同笼类间题最常用的方法之一。
假设这35个头都是兔子，那么腿数就应该是35X4=140,就比94还多，那么是哪里多的呢？当然是我们把两条腿的鸡看成了四条腿的兔子了。
我们都知道一只兔子比一只鸡多2条腿，多2条腿就有1只鸡，那么多的腿数当中有多少个2就有多少只鸡。
我们可以列式为：鸡的只数二（35X4- 94） - （4-2）.总结公式为：鸡的只数二（兔的脚数X总只数-总腿数）三（兔的腿数-鸡的腿数）。
当然我们也可以把这35个头都看成鸡的，那么腿数应该是35X2=70,就比94还少，相信不说你也明白为什么少了？对，因为我们把4条腿的兔子看成了2条腿的鸡，那么每少两条腿就有1只兔子。
一道竞赛题的几种不同解法（初三）
一道竞赛题的几种不同解法（初三）
张发斌
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】题目已知x，y为实数，且满足x2-xy＋4y2=4，记u=x2＋xy＋4y2的最大值为M，最小值为m，则M＋m= ．解法1 由x2-xy＋4y2=4，得 x2＋4y2=xy=4.
【总页数】1页(P37-37)
【作者】张发斌
【作者单位】福建省厦门大学附属实验中学,363123
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
【相关文献】
1.一道“希望杯”竞赛题的几种简捷解法
2.对一道竞赛题的几种解法
3.创建物理图景求解静电能问题——一道竞赛题的几种解法
4.由一道数学竞赛题的几种解法反思数学教学
5.一道上海市初三数学竞赛题的几何解法举例
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六年级数学一题多解试题
六年级数学一题多解试题六年级数学一题多解试题一、引言最近在一次 100 字小作文比赛中，小明遇到了一道六年级数学题：3+2÷5×4-6÷3=?突然，小明脑海中浮现出了一个问题：这道题的答案是不是只有一个呢？他开始查阅资料，发现这道题的答案竟然有多种解法，于是，他思考这道题的不同解法的背后的数学道理，以及这种多解现象的原因。
二、多种解法的探究最常见的解法是：3+（2÷5）×4-（6÷3）= 3+0.8×4-2 = 0.2但还有另外两种解法，分别是：1.（3+2) ÷ (5×4-6÷3) = 5 ÷ (20-2) = 0.252. 3 + 2÷(5×(4-6)÷3) = 3+2÷（5×（-2）÷3） = 3-2÷3 = 5÷3 = 1.67三、多解现象的原因事实上，这种一题多解的现象并不是在数学里面特有的。
通常来说，一题多解的原因有两方面。
首先，或许是因为题面的表述不够准确，导致了不同的理解方式以及不同解法的出现。
比如本题，如果将除法的计算顺序界定好，将会避免不必要的多解，让答案更稳定。
第二，也许是因为不同的人对问题的看法和切入点不一样，因此产生了不同的思路和解法，促使了多样的答案。
四、多解现象的启示1.帮助学生理解“多种答案同样正确”的概念。
教师应该引导学生不仅限于答案的获取，而更关注解题的数学思想和规律。
2.提高学生抽象思维能力。
通过分析多解的原因，学生可以理解在不同的条件下，问题模型和解决的方式也会不同，提供了好的机会来检验他们的智力发展。
3.提高学生的表达能力。
教师不应该仅热衷于判断对错，同时也要关注学生的表达方式和思考过程，帮助他们提高解题的组织和表述能力。
五、结尾总的来说，一道数学题有多种解法，说明数学的世界是充满想象和创造力的，而且也提醒我们，数学中多样性探索的精神可以促进学生抽象思考和数学兴趣的产生。
变通已知条件巧解道竞赛题(一)
变通已知条件巧解道竞赛题(一)随着数学竞赛的日益普及，越来越多的学生开始参加各类数学比赛。
然而，在这些比赛中，有一类题目常常让考生感到困惑，那就是需要变通已知条件巧解的题目。
如何在考场上熟练运用变通方法解决这类题目，是每个数学竞赛爱好者必须掌握的技巧。
一、了解基本定理在变通已知条件巧解道竞赛题之前，先要了解一些基本定理。
例如，对于任意一条直线，其垂线垂直于这条直线；平面内任意两条平行线的截距比相等；直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和等等。
掌握这些基本定理，能够帮助我们更加深刻地理解题目，从而更好地变通已知条件。
二、利用图形性质在解决数学竞赛题目中，图形性质常常是变通已知条件的关键。
对于一个已知条件，我们可以通过绘制图形、加入构造线等方式，创造更多的条件，从而更好地解决问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求中点M坐标的问题，我们可以考虑引入坐标系中心O，并加入连线OM和ON，利用直角三角形定理解题。
三、指数化变量有时，我们需要巧妙地利用已知条件的指数化来进行运算。
例如，已知abc=1，求(a+b)(b+c)(c+a)的值。
我们可以先将abc=1指数化，得到lna+lnb+lnc=0，然后将(a+b)(b+c)(c+a)拆开，化简得到(a+b)(b+c)(c+a)=abc+ab+bc+ca，再将abc=1代入，化简得到(a+b)(b+c)(c+a)=a+b+c+ab+bc+ca。
通过指数化变量，我们巧妙地利用已知条件简化了计算，获得正确答案。
四、利用等式变形对于一个已知条件，我们有时需要进行等式变形，从而得到更多的信息。
例如，已知a+b+c=0，求a^3+b^3+c^3的值。
我们可以利用等式变形，得到a^3+b^3+c^3=3abc，然后考虑怎样利用已知条件abc=-abc解题。
五、灵活利用代数方法在解决数学竞赛题目中，代数运算是经常用到的方法之一。
多种方法解鸡兔同笼问题
【题目】鸡与兔共有100只，兔比鸡多190只脚，问鸡和兔各有多少只？解法一：画图。
首先画100个圆代表一共有100个头，再给每个圆添上两个竖线，表示每个头上有2条腿，这时候把所有的动物都看作是鸡，此时兔子比鸡少了200条腿，和实际相差200+190=390条。
因此要把鸡换成兔子，于是再把每只鸡添上2条腿就变成了一只兔子。
每换1次，鸡和兔子腿的差就减少6条，需换出390÷6=65（只）兔子才能符合题意，鸡就只有100-65=35（只）。
由于题里数字太大，这种方式画起来比较麻烦。
解法二：列表。
先假设鸡和兔子各有50只，再算出它们腿数的差，然后逐步调整，直到符合题意为止。
说明兔子有65只，鸡有35只。
解法三：假设都是兔子，兔子的脚就比鸡多100×4=400（只），与实际相差400-190=210（只），拿出1只兔子换成1只鸡，脚的只数差就减少4+2=6（只），就要有210÷6=35（只）兔子换成了鸡，兔子只能有100-35=65（只）。
解法四：假设都是鸡，鸡的脚数比兔子多2×100=200（只），与实际相差了200+190=390（只），拿出1只鸡换成1只兔子，则脚的差减少4+2=6（只），就要有390÷6=65（只）鸡换成了兔子，鸡只能是100-65=35（只）。
解法五：还可以列方程解答，设鸡有x 只，则兔子有（100-x ）只。
4（100-x ）-2x =190x =35
则兔子就有100-35=65（只）。
◎徐洪梅
兔只数
鸡只数
兔腿比鸡腿多的条数5050100554513060401606535190。
一道数学竞赛题的五种解法及一般形式
一道数学竞赛题的五种解法及一般形式孙倩【摘要】给出第十届江苏省大学生数学竞赛一道试题的五种解法并对试题作出推广.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)001【总页数】4页(P114-117)【关键词】数学竞赛;一题多解;级数;比值判别法;推广【作者】孙倩【作者单位】安徽大学数学科学学院,合肥230601【正文语种】中文【中图分类】O173.1第十届（2012年）江苏省大学生数学竞赛本科一级竞赛题的第七题为已知数列记，判别级数的敛散性．该试题的参考答案如下：应用数学归纳法得，严格递增．由于收敛，故由正项级数敛散性的比较判别法知收敛．除上面解法之外，本文再给出该试题的其他四种解法并给出该试题的推广，亦即它的一般形式．解法一利用正项级数敛散性的比值判别法．由题设知设），则由知从而有故由归纳法原理知，对，因此由正项级数敛散性的比值判别法知级数收敛．注也可由及知收敛．解法二利用正项级数收敛的充要条件由解法一知，，从而记，则由上式知，所以上式说明正项级数的部分和数列｛Sn｝有上界，因此级数收敛．解法三通过解二阶差分方程求出｛an｝的通项，进而判别的敛散性．因为数列｛an｝满足二阶常系数齐次差分方程an＋1－3an＋an－1＝0，此差分方程对应的特征方程为λ2－3λ＋1＝0，解得其特征根，故其中c1，c2为待定常数．由a1＝1，a2＝2知解此方程组得，故由｛an｝的通项公式知an＞0（n＝1，2，…），从而上式右端分子、分母同除以，注意到，则有由正项级数敛散性的比值判别法的极限形式知级数收敛．解法四利用矩阵方法求出｛an｝的通项，进而判别的敛散性．由题设an＋1＝3an－an－1知记，则矩阵A的特征方程为解得特征值为，与λ1，λ2对应的特征向量分别为记，则，且．由此知于是因此所以上式右端分子、分母同除以λn－11，注意到，则有，由正项级数敛散性的比值判别法的极限形式知级数收敛，即绝对收敛，从而收敛．下面给出本文所讨论试题的一般形式及相关结论．设数列｛an｝满足其中α，β为实常数且a1，a2为已知（n＝2，3，…）．若方程λ2＋αλ＋β＝0存在实根λ1，λ2，且，则级数收敛．证因为二阶线性齐次差分方程的特征方程λ2＋αλ＋β＝0的两个实根分别为λ1，λ2（不妨设所以其中c1，c2为待定常数（由a1，a2定出），于是上式右边分子、分母同时除以λn1，注意到令n→∞，由于，所以利用正项级数敛散性的比值判别法的极限形式知级数收敛，即绝对收敛，因此级数收敛．特别取α＝3，β＝－1，由于，故级数收敛，这也就是本文开头所讨论试题的结论．【相关文献】［1］同济大学数学系．高等数学（下册）［M］．6版．北京：高等教育出版社，2012．。
殊途 同归——试论一道题目的多种解法
＝２ａｘ＋１＋(６ａｘ＋４ａ＋１)(ｘ＋１)－２(３ａｘ２＋４ａｘ＋ｘ)(ｘ＋１)３ꎬ即ｈᶄ(ｘ)＝２ａｘ＋１＋(２ａ－１)ｘ＋４ａ＋１(ｘ＋１)３.因为ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘ＝０附近左增右减ꎬ即存在ｘ１<０ꎬ使当ｘɪ(ｘ１ꎬ０)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)>０ꎻ使当ｘɪ(０ꎬ－ｘ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)<０.因为ｇ(０)＝ｆᶄ(０)＝０ꎬ所以存在ｘ２>０ꎬ使函数ｇ(ｘ)在区间(－ｘ２ꎬｘ２)单调递减ꎬ即ｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)ɤ０对ｘɪ(－ｘ２ꎬｘ２)恒成立ꎬ因为ｇᶄ(０)＝０ꎬ所以ｘ＝０是函数ｈ(ｘ)极大值点ꎬ则ｈᶄ(０)＝０ꎬ得:ａ＝－１６.验证:当ａ＝－１６时ꎬｈᶄ(ｘ)＝－ｘ(ｘ＋６)３(ｘ＋１)３(ｘ>－１)ꎬ可得:函数ｈ(ｘ)在ｘɪ(－１ꎬ０]单调递增ꎬ在ｘɪ(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)ɤ０对ｘɪ(－１ꎬ＋¥)恒成立ꎬ且仅当ｘ＝０时取等号.由以上分析ꎬａ＝－１６符合题意.综上所述:所求ａ＝－１６.反思与评注㊀１.以上问题(２)的解决紧紧扣住ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点这个条件ꎬ逐层分析ꎬ逐层求导ꎬ得出ｘ＝０是ｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)的极大值点ꎬ则ｈᶄ(０)＝０得:ａ＝－１６ꎬ然后再验证ａ＝－１６符合题意ꎬ化突兀的分段讨论为求值验证ꎬ虽然需要三次求导ꎬ运算量也不小ꎬ但整个思路自然流畅ꎬ是比较容易接受的解决方法.２.问题(２)在高考的参考解答中ꎬ是分成ａȡ０时ꎬ证明不会符合ꎻａ<０时ꎬ设函数ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)２＋ｘ＋ａｘ２＝ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ２＋ｘ＋ａｘ２ꎬ说明ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点当且仅当ｘ＝０是ｈ(ｘ)的极大值点ꎬ然后对ｈ(ｘ)求导数ꎬ分段讨论解决ꎬ虽然避开了三次求导ꎬ但讨论的分段让人觉得突兀ꎬ而且运算量仍然很大.有兴趣的读者可自行上网查询ꎬ加以比较.㊀㊀参考文献:[１]许银伙.意念引领㊀攻克难题[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０１５(８):４０－４２.[２]许银伙ꎬ杨苍洲.我解压轴题之:端点尝试㊀预测思路[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１):３５－３８.[责任编辑:李㊀璟]殊途㊀同归试论一道题目的多种解法张占宾(山西省运城市芮城中学㊀０４４６００)摘㊀要:数学是一门以严谨性著称的学科.数学学科的严谨性在答案上彰显得淋漓尽致ꎬ每道数学题都有唯一的答案(多选题除外)和确定的结果.但是得到这个结果的方法和途径却不是唯一的.条条大路通罗马ꎬ同样的在解答数学题目时对于一种类型的题目可以有多种不同的解法.本文将以２０１９年高考数学一卷第４题为例详细阐述如何采用多种解法得出题目的最终答案.关键词:数学题ꎻ解题方法ꎻ高考中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１６－００１８－０２收稿日期:２０２０－０３－０５作者简介:张占宾(１９８０.１１－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁由因推果ꎬ正向解题法正向解题法是最为常规和普遍的解题方法ꎬ他主要根据题目中所给出的相关条件(显性条件和隐性条件)列出数学算式并最终得到结果.因此在数学题目的解答中ꎬ这种方法是最为普遍的㊁最为常规的一种解法.我们结合２０１９年高考数学全国一卷第４题详细阐述正向解题法.首先是这道题目 古希腊时期ꎬ人们认为最美的人体的头顶至肚脐的长度与肚脐是足底的长度之比是(５－１)/２(ʈ０.６１８)ꎬ这被称为黄金分割比例.著名的 ꎬ此外最美的人体头顶至咽喉的长度与咽喉至肚体的长度之比也是(５－１)/２ꎬ若某人满足上述两个黄金分割比例ꎬ前腿长为１０５厘米ꎬ头顶至脖子下端的长度为２６厘米ꎬ则其身高可能是(㊀㊀).８１Ａ.１６５ｃｍ㊀Ｂ.１７５ｃｍ㊀Ｃ.１８５ｃｍ㊀Ｄ.１９０ｃｍ .通过阅读这个题目我们可以发现他所给出的条件是非常多的ꎬ而且在题干中除了考查学生的数学知识以外还额外地向学生科普了有关黄金分割比例的知识ꎬ是一道非常精彩的题目.那么我们通过正向解题法来分析这道题目ꎬ大致解题过程如下:首先根据已知条件ꎬ分别求出身高的上限和下限.题目中明确给出了腿长为１０５厘米ꎬ而腿长是等于肚脐到足底的长度的ꎬ而根据题目中的黄金分割比例就可以算出头顶至肚脐的长度为１０５ˑ０.６１８＝６４.８９厘米ꎬ再把头顶至肚脐的长度与腿长相加就可以得到身高下限为１６９.８９厘米.然后计算身高的上限:已知条件头顶到脖子下端的长度为２６厘米ꎬ这可以理解为头顶至咽喉的长度ꎬ而后根据是２６厘米就可以计算出咽喉到肚脐的长度为２６/０.６１８ʈ４２厘米ꎬ肚脐到足底的长度为(２６＋４２)/０.６１８ʈ１１０厘米ꎬ然后把这三个部分的长度相加就可以得到身高总值上限为１７８厘米.由此可以推断ꎬ正确答案应当位于１６９.８９~１７８的区间内ꎬ而４个选项中只有Ｂ项１７５厘米满足这一条件ꎬ所以正确答案为Ｂ.㊀㊀二㊁由果推因ꎬ反向解题法通往罗马的路不止一条ꎬ得出正确答案的方法也可以有很多种.比如在一些题目中可以采取逆向思维ꎬ这类思维在数学证明题中以反证法的形式运用的最多ꎬ但是这类思维在其他题型中也有用武之地ꎬ比如说本文中所选的这道高考真题.由于这是一道选择题ꎬ４个备用选项中必然有一个是正确的ꎬ所以在解决这道题目时也可以采用逆向思维法ꎬ把每一个结果当成正确的代入题干中求取黄金分割比例并验证自己计算出的黄金分割比例是否与题干中的黄金分割比例一致.如果自己计算出的黄金分割比例与题干中的相差甚远那么对应的答案就是错的ꎬ反之则说明所选答案为正确.仍然是这道题目ꎬ我们可以把每一个选项依次代入题干中ꎬ具体步骤可以按照以下方法展开:首先是Ａ项１６５厘米ꎬ我们把这一项当成正确答案代入题干中ꎬ通过列数学算式 １６５－１０５－２６ 得出脖子至肚脐的长度为３４厘米.而后我们根据题干中所给出的黄金分割比例的定义进行计算ꎬ头顶至肚脐的长度为６０厘米ꎬ那么头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为６０/１０５ʈ０.５７１ꎬ头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐长度的比例为０.７６４.接下来看Ｃ项１８５厘米ꎬ采用与ａ项解题思路相同的方法ꎬ先求出咽喉至肚脐的长度为５４厘米ꎬ所以头顶至肚脐的长度为８０厘米ꎬ那么这一数值所产生出的黄金分割比例为８０/１０５ʈ０.７６２ꎬ头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比例为０.４８１.用此同样的方法验证其余两个选项ꎬ我们可以发现在４个选项中只有Ｂ项的１７５厘米与实际的黄金分割比例最为接近ꎬ所以正确答案为Ｂ.通过观察我们不难发现ꎬ反向解题法虽然在逻辑上可以帮助学生更好地理解ꎬ但是在实际的解题过程中ꎬ学生需要消耗大量的时间和精力.而且由于黄金分割比例数值为无限不循环小数ꎬ所以学生在逆向求解黄金分割比例数值时很难实现精确的结果.虽然反向解题法也可以得出最终的答案ꎬ但是在分秒必争的高考考场上此种方法不应当作为学生的首选.㊀㊀三㊁寻根溯源ꎬ生活解题法数学是一门来源于生活的学科ꎬ所以在日常生活中就可以发现一些数学题目的答案ꎬ只不过学生长期受到教室教学环境的影响固化了思维ꎬ难以想到结合数学科目的特点密切联系实际生活ꎬ在实际生活中寻找答案.但是这道题目的出现却给了学生一个非常明显的提示ꎬ我校的部分学生就是通过密切联系实际生活的方法得出了这道题目的计算结果.通过阅读这道题目ꎬ我们获取了一个非常重要的信息就是黄金分割比例ꎬ黄金分割比例讲述的对象是人体身高以及各个部分之间的比例系数ꎬ所以这与人体的审美密切相关.而且在题目中所提到的维纳斯断臂作为一座非常著名的以人为主题的雕塑对学生而言并不陌生ꎬ所以我们可以结合现实生活的具体案例解答这道题目.比如当下阶段的学生热爱追星ꎬ对明星的基本情况非常了解ꎬ而在当下阶段的明星关ˑˑꎬ其身高条件完美地契合了黄金分割比例.在２０１９年的高考中ꎬ我校的部分学生虽然不知道具体的解题过程如何开展ꎬ但是他们看到黄金分割比例的字眼首先就联想到了这位明星ꎬ这位明星的身高就是１７５厘米ꎬ所以这些学生通过这种方式选出了正确答案.此外也有部分学生反映ꎬ在讲解三角形时ꎬ涉及到勾股定理和切割三角形时ꎬ教室也在课堂上向大家大致地介绍了黄金分割比例的知识ꎬ并在班级内挑选了一名符合黄金分割比例条件的同学现身说法ꎬ这让很多学生印象深刻ꎬ最终也帮助他们在解答这道高考题时选出了正确的答案.数学题的答案是非常严谨的ꎬ但是得到其答案会有多种不同的方法ꎬ因此在面对一道数学题目时我们不能仅仅停留在把题目做对就行的程度而是要尝试从多个角度以各种不同的方法解答这道题目ꎬ这不仅有利于对该题目认识的进一步深化同时也有助于发散数学思维ꎬ提升数学能力.㊀㊀参考文献:[１]郭道明.中学生创新思维能力的培养 从一道数学题的多种解法谈起[Ｊ].南阳师范学院学报ꎬ２００９ꎬ８(０９):１２０－１２１.[２]卢昌海ꎬ周丰.浅谈解数学题的思维方法 一道题的多种解法联想[Ｊ].昭通师专学报ꎬ１９９６(０３):７１－７３ꎬ７９.[责任编辑:李㊀璟]９１。
一道数学竞赛题的简单解法
一道数学竞赛题的简单解法
数学竞赛题的解法因题目而异，无法给出一个通用的解法。
在解决算术题目时，可以采用以下方法：
1. 熟悉基本的算术运算符和运算规则，熟悉数学运算的基础知识，包括数论、代数、几何等；
2. 阅读题目内容，分析题目意思，弄清题目中问题和最后求解内容；
3. 将难题分解，从容易到难的分类，找出解题特点，结合实际运用一些解题公式或已知方法；
4. 概述解题步骤，正确而有条理的推导解题过程；
5. 检查使用的运算符、变量以及结论是否正确，检查解答答案是否满足题目要求。
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因为 Ａ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ， Ｂ ， 所 以 ＺＡ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ ．Ｂ ＿ Ｂ．
同理 ，若 却 ＝ｖ３－ ，可得 ：一ｖ３－ 下
．
从而 ＝ （ ） Ｖ３－ 却＋ ＝丁
．
【 明】 说 方法 １ 为原试题答案 ，由于 《 学课 程标 准 对相 数 》
函数关系式 为 ｙ：— —
—ｔ ．
即（ｘ ～３ （８ ） ． ４ ５ ） —３ ＝０
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Ｙ —
： 一 ，
所 以 却＝
Ｚａ
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由
一
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ａｔ一 ￡
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又 （， ＝ ～ ，＋￣ 由１ 得 Ｑ一 ＸＸ ． ） 手 ３ ｐＱ３
ｙ
、
Ｉ（ ） ，／Ａ Ｐ ＿ Ｂ ￣ １可知 ｔ Ｂ ＝／ Ｑ＝３￣ Ｃ＝、 ０ Ｄ＝、 丁 ｂ Ａ ０ ，Ｂ ／ ，Ｂ ／ ． 所以 Ａｃ＝、 。 ，Ａ ／ 一２ Ｄ＝２ ／ ． 一、 ¨ ３６ 因为 Ｐ ／Ｄ Ｃ ／ Ｑ，
所 以 ＡＡＣ ＡＡＤ ． Ｐ Ｑ
一
所 点 坐 为 － ，） 以 Ｅ标 ｃ ０ ＿ ．
孚 川 或＝ 川． ｙ
（ 方法 ２ ）设直线 ） 函数关系式为 Ｙ＝ ＋ ，其中 ｔ ． 的 ｔ ＝１
由 （ ） 知 ， ／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ＝３ 。 １可 ＿ Ｂ ＿ Ｂ ０． 所以口 ｐ＝２ Ｑ Ｄ ．
［］ ３ 李玉荣．一道经典几何题 新考［］ Ｊ．中国数 学教 育 （ 中 初
似 三角 形 的 判定 及 一元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系 的要 求 降低 ， 因
所直 的数系 以， 函关劫 孚 川或＝ ｌ 线 ｙ 孚
（ 方法 ３ ）如 图 ４ ，设 Ｂ Ｐ交 轴
ｙ
此学 生更容易想到方法 ２ 、方法 ３中的证 明思路 ，尤其是方法 ３ 于点 Ｅ ．
版 ） ０ ０ １） ０ ６ ，２ １ （０ ：４ ，４ ．
［］ ４ 王飞兵． ００年浙江省 台州市中考动 态数 学试题 赏析 与教 ２１ 学启示［］ Ｊ．中国数学教育 （ 中版） ０ ０ １ ） ７ ４ ． 初 ，２ １（２ ：３－ ０
４８
所 以直 线 Ｐ 的 函数 关 系式 为 ｙ Ｑ ：一
＋１ ．
［］ ２ 冯仲庆． 应用特征式 “２ ：ｎ ａ ”解数学竞赛题［ ］ ｂ Ｊ．中国
根 据 对 称 性 可 知 ，所 求 直 线 Ｐ 的 函 数 关 系 式 为 Ｙ＝ Ｑ
一
数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：４ — ８ 初 ，２ １ （ ） ６ ４ ．
Ｑ两 点．
于 Ｐ 、
、
Ｑ作 Ｙ 轴的８＃ ５２，垂足分别为点 ｃ 、ｎ
设尸 ｃ：０ ｐ＝ｂ ，Ｄ ，
Ｄ
（） １ 求证 ：／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ； ＿ Ｂ ＿ Ｂ （） ２ 若点 Ａ 的坐标为 （ ，１ ，且 ０ ）
解 ： １证 明：方法 １ （） （ ）如 图 ２ ，分
因 为 Ｏ ＝Ｏ ＝ｔ Ｏ ａ， Ａ Ｂ ， Ｃ＝ ２
设 的 标 （ 丁２ 点Ｐ 坐 为。 ２ ） ， “，
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则 Ｐ 于 轴 对 点 Ｉ坐 为一 ２２ 点 关 ｙ 的 称 Ｐ － ７ １ ０ １０ — ５
作者 简介 ：刘志风 （ ６ 一） １ ７ ，女 ，河南郑州人 ，中学高级教师 ，主要从事 中学数学教 育教 学及教材教辅的开发与建设研 究 ９
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图 ２
由
＝ ｘ＋ｔ ｋ ’
所茜 ＝Ｃ 以 ， Ａ
由
得 一＝ 手 ０ ．
，
．
于 是 Ｑ ￡ 即 ｆ Ｑ ＝一 ３ ：一２
于 ＝ 是 等
当 ＋ ３ ； ‘
… 霸 ＋ｔ ｖ
２
化 ， ｎ鲁． 简 得＝
①， ａ 肚 ｎ ２ ’ ３ ｔ １
应 用 对 称 性 质 解题 ，思 路 清 晰 ， 方 法巧 妙 ． （ ） ：（ 法 １ 设 Ｐ ａ Ｑ＝ｂ ２解 方 ） Ｃ＝ ，Ｄ ，不 妨设 ａ≥ ｂ ， ＞０ 由（ ） ， ＺＡ Ｐ＝ＺＡ Ｑ＝３。 １知 ．Ｂ ＿Ｂ ０． 解 因为 Ｏ ＝Ｏ Ａ Ｂ＝１ ， 方 程 组
一Ｉ 。 ２ ＿
３
ｔｎ Ｂ ． ａ ／Ａ Ｑ
３
所 以 ４ ＝ ＬＡ Ｑ Ｂ．
和 一 ３ ２ ３ ‘
丢 Ｐ ｘ １…Ｐ Ｑ 一（ — ） 。
一 Ｑ
（ 方法 ３ ）设点 Ａ 的坐标为（ ，ｔ ， ０ ）
则点 Ｂ的坐标 为（ ，一 ） ０ ．
Ｖ Ｑ ） （Ｖ 。 … —… Ｐ
ｚ
则点 Ｂ的坐标为（ ，一） ０ ｔ． 设 直线 尸 Ｑ的 函 数 关 系式 为 Ｙ＝ ＋ ，点 Ｐ ￡ 、Ｑ的坐标分别为（ ，Ｙ） ，
（Ｑ ｏ． ，Ｙ）
Ｄ
、
ｔＱ 刍 。 ａ ＝ ｎ … ②
因为Ｐ ｆＤ ， Ｃ Ｑ
所 以 ＡＡＣ Ｐ— ＡＡ Ｑ Ｄ ．
丝
又 因为 所 以 ＝一 ｐ， Ｘ ＝Ｐ Ｃ
摘要 ：探讨 ２ １ 年全 国初 中数 学竞赛 第 １ 题 的 多种解法 ， ０１ ３ 结合初 中学生的认知特点及知识基础 ，分析 、解 决问题 的通性 、
通 法．
．
关键词 ：数 学竞赛；一题 多解
例 （０ １年 全 国初 中 数 学 竞 赛 ２１
目
Ｉ
ｎｐ
０— ６
图１
／Ｐ Ｑ＝６ 。 Ｂ ０ ，试求所有满足条件 的直线 Ｐ Ｑ的函数关系式
别 过 点 Ｐ Ｑ作 Ｙ轴 的 垂 线 ，垂 足 分 、
Ｏ ＝ Ｄ
６，
＝
别为点 Ｃ ． 、Ｄ
设 点 的 坐 标 为 （ ，ｔ， ０ ）
～ 一＝ 玄 ， ①
ｙ＝ 一
则 Ｐ 坐 为一 ， ）（／ ，） 点 的标 （ 丁或一 ２ １ 、 ．
所 以直线 Ｐ Ｑ的函数关系式为 ｙ 一 ＝ ＋１ ） 或 ， ＝ ＋１ ．
所 ＝ ，＋＝￣ ． 以 孚 。６ — ３Ｙ
于是可求得 ｏ＝２ ｂ＝、丁 ． ／
【 明】 说 方法 １与方法 ２为原试题答案 ，显然 由于点 Ａ 的坐
ｙ
Ｅｏ ＼
图４
Ｉ
＝
『 Ｉ
２ 则 直线 日 Ｐ的函数关 系式 为 Ｙ：
一 ３
２，
、 一１ ／３ ．
一
一
于嚣＝ 是
由 （ ） Ｐ￣ ＝一３ １中 ｄＱ Ｆ
，
手 等 ・ ＝
得 ＝寻 一 一．
孚 ’ 或
ｔ ＝ ２． ｙ
，
得
所 以 。＋ｂ ／ ａ ． ＝、 ｂ
ｙ
因为 ＺＢ Ｐ＝／Ｂ ＿Ｃ ＤＱ＝９ 。 ０， 所 以 ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｑ Ｃ Ｄ ． 故 ／Ａ Ｐ：／ＡＢ ． ＿ Ｂ ＿ Ｑ
～
第１ ３题）如 图 １ ，点 Ａ为 Ｙ 正半轴 轴 上一点 ， ４、曰两点关于 轴 对称 ，过
（ 方法 ２ 如图 ３ ） ，分别 过点 Ｐ、
点 Ａ任作直线交抛 物线 Ｙ ＝
４ ７
霉
则 直线
ｐ ｌ 的函数关系式 为 Ｙ＝ ＾ａ 一ｔ ２ ＋ｔ 直 线 Ｊ曰 的 —一
，
故 ２ ｏ＝Ｖ ．（ ｏ １ ． ｘ ４ Ｙ＋ ） －
将 ） ＝丁 代入上式 ， ２ Ｑ
，
平方并整理 ，得 ４ 一１ 弼 ５；＋９ ， ＝０
一
—
ａ２
一
ｔ
Ｎ ． ２ １ Ｏ４ ０ ２
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
２ ２年 ０１
第 ４期
遭 莞ｆ 寨 趣 盼 多 。 解 种
＿
刘 志凤 （ 南省基础 教 育教 学研 究 室） 河
将＝ 代 ｙ２ 得点 的标 ， ） 标及 ＡＰＢＱ的值 已经给 出，因此方法 ３更简便 、快捷． ６ 孚 入＝ 到 Ｑ坐（ 争． ．
再将点 Ｑ的坐标代人 ｙ ＋ｌ ＝ ，求得 ＝～ 业
３ ．
参考文献：
［］ １ 张宁． 对一道初 中数学竞赛试题的变式探 究［］ Ｊ．中国数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：２ — ２ 初 ，２ １ （） ９ ３ ．