一道数学高考题的多种解法
一道高考题的多种解法
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Ｐ Ｄ上Ｄ △Ｐ Ｅ为直角三角形 ，． Ｅ＝ ２ Ｅ， Ｄ ．Ｐ √ ． ’
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在 △Ｐ Ｃ中，Ｅ＝ Ｃ＝／ ，Ｅ＝ ， Ｅ Ｐ Ｐ ￣ Ｃ ２ ２
’ ． ．
由 ／Ｂ Ｄ ＝ ０ ， Ｂ Ｄ ． Ｃ ９ 。 得 ＣＪ Ｃ ＿ 又 Ｐ ＤｎＤ Ｃ： Ｐ Ｄ， Ｄｃ平 面 Ｐ Ｄ， ｃ平 面 Ｐ Ｄ， Ｃ ＤＣ Ｃ
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戮・
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解 题 技 巧 与 方 法
棼
一
道高考题的多种解法
◎ 张 学 富 （ 苏 省 东海县 石 榴 高级 中学 江 ２２１） ２ ３４
【 要 】 文 将 针 对 ２ １ 江 苏 高考 数 学 第 １ 提 出 摘 本 ０ ０年 ６题
多种 不 同 的解 法 ， 参 考． 供
又 ／Ｂ Ｄ ＝９ 。 得 ＢＣ上ＤＣ， ＤＣ・曰 Ｃ ０， 即 ｅ＝０ ．
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． ． ：ｆ ＋ ） 赢 ： ． ＋ ． ： ． 商 ． 商 蔚 ０
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１． 到平面 Ｐ Ｃ的距离为 ｄ 则 ｄ为蔚 在 向量 Ｊ： ）设点 Ｂ ， ｌ
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上 ．Ｐ 上Ｃ 蔚 ． Ｃ Ｂ． ・ ．
【 关键词 】 立体几何 ； 向量 ； 法； 解 垂直 ； 距离
例 如 图 ， 四棱 锥 Ｐ— Ｂ Ｄ 中 ， 在 Ａ Ｃ
Ｐ 平 面 Ａ Ｃ ， Ｄｉ Ｂ Ｄ ＰＤ ：ＤＣ ＝ ＢＣ ： １。
及Ｄｌ 三 锥 — ｃ体 ｙ÷ ・ ： ； Ｐ＝得 棱 ＰＡ 的 积 ＝ ｓ Ｐ ÷ ， Ｂ Ｄ
— — — — —
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／Ｂ Ｐ ＝９ 。 即 ＰＣ上 Ｂ ． Ｃ ０ ， Ｃ
高考数学题的十种常用解法
高考数学选择题的10种常用解法解数学选择题p两个基本思路ÿ一是直接法ĀÐ是间接法d充分利用题干和选择支两方面提供的信息，快 1准确地作出判断，是解选择题的基本策略2e解选择题的基本思想是ÿ既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答Ā更应看到2根据选择题的特殊性，必定存在着若干异于常规题的特殊解法2我们需把这两方面有机地结合起来，对具体问题具体分析211直接求解法11如果()732log log log 0x =ùùûûÿ那N 12x−等于ÿ Ā()A 13(B (C (D .21方程sin 100xx =的实数解的个数为 ÿ Ā ()61A ()62B ()63C ()64D练`精选1ā已知f(x)=x(sinx+1)+ax 2,f(3)=5,则f(Ā3)=( ) (A)Ā5 (B)Ā1 (C)1 (D)无法确定2ā若定O在实数集R P的函数y=f(x+1)的à函数是y=f Ā1(x Ā1),且f(0)=1,则f(2001) 的值为( )(A)1 (B)2000 (C)2001 (D)20023.已知奇函数f(x)满足ÿf(x)=f(x+2)ÿ且当x ∈(0,1)时ÿf(x)=2x Ā1,则12(log 24)f 的值为ÿA Ā12− ÿB Ā52− ÿC Ā524− ÿD Ā2324− 4ā设a>b>c,n ∈N,且11na b b c a c+ó−−−恒r立ÿ则n 的最大值是ÿ Ā (A)2 (B)3 (C)4 (D)55.如果把y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段Ā象à似地看作直线的一段ÿ设a f c f b ÿ那N f(c)的à似值可表示为ÿ Ā(A)ûý1()()2f a f b +(C)()[()()]c a f a f b f a b a −+−− (D) ()[()()]c af a f b f a b a−−−− 6āpO个命题ÿd垂直于\一个 面的两条直线 行Āe过 面α的一条斜线l p且仅p一个 面P α垂直Āf异面直线,a b O垂直ÿ那N过a 的任一 面P b 都O垂直2其中l确的命题的个数为( )A.0B.1C.2D.37ā数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n Ā1,…的前99ù的和是ÿ ĀÿA Ā2100Ā101 ÿB Ā299Ā101 ÿC Ā2100Ā99 ÿD Ā299Ā99 练`精选答案ÿB DACCDA21特例法把特殊值ï入原题或考虑特殊情况1特殊位置ÿ从而作出判断的方法Ā为特例法.ÿ_Ā特殊值法Ā(1)、从特殊结构入手3 ĀA 、1B 、21C 、2D 、22图1(2)、从特殊数值入手41已知ππ2,51cos sin ≤ü=+x x x ÿ则tan x 的值为ÿ ĀA 、43−B 、43−或34−C 、34−D 、4351△ABC 中ÿcosAcosBcosC 的最大值是ÿ ĀA 1383B 181C 11D 121(3)、从特殊位置入手61如Ā2ÿ已知一个lO角形内接于一个边长为a 的lO角形中ÿ问x 取ĀN值时ÿ内接lO角形的面 ÿ最小ÿ ĀA 12aB 13aC 14aD 图271ß曲线221x y −=的þ焦点为F ÿ点P 为þ支Q半支异于顶点的任意一点ÿ则直线PF 的 斜率的变化范围是ÿ ĀA 1 (,0)−∞B 1(,1)(1,)−∞−+∞C 1(,0)(1,)−∞+∞D 1(1,)+∞ 图3(4)、从变化趋势入手81用长度V别为213141516ÿ单位ÿcm Ā的5根细木棍围r一个O角形ÿ允许连接ÿ但O允许折断Āÿ能够得到的O角形的最大面ÿ为多少？ÿ ĀA 12B 12C 12D 120 cm 291()11,lg lg ,lg 22a b a b P Q a b R +ööþþ==+=÷÷øøÿ则 ÿ Ā ()A R P Q üü ()B P Q R üü ()C Q P R üü ()D P R Q üü注ÿ本题_可尝试利用基本O等式进行变换.101一个长方体共一顶点的O个面的面ÿV别是ÿà个长方体对角线的长是ÿ Ā()A ()B ()6C (D练`精选1ā若04παüüÿ则ÿ Ā(A)sin 2sin ααþ (B)cos2cos ααü (C)tan 2tan ααþ(D)cot 2cot ααü2ā如果函数y=sin2x+a cos2x 的Ā象关于直线x=Ā8π对Āÿ那N a=( (B)(C)1 (D)Ā13.已知+1(x g 1).函数g(x)的Ā象沿x 轴负方向 移1个单位^ÿ恰好P f(x)的Ā象关于直线y=x 对Āÿ则g(x)的解析式是ÿĀÿA Āx 2+1(x g 0)(B)(x Ā2)2+1(x g 2)(C) x 2+1(xg 1)(D)(x+2)2+1(x g 2)4.直O棱柱ABC —A /B /C /的体ÿ为V ÿP 1Q V别为侧棱AA /1CC /P的点ÿ且AP=C /Q ÿ则四棱锥B —APQC 的体ÿ是ÿ ĀÿA Ā12V ÿB Ā13V ÿC Ā14V ÿD Ā15V 5ā在△ABC 中ÿA=2B ÿ则sinBsinC+sin 2B=( ) (A)sin 2A (B)sin 2B (C)sin 2C (D)sin2B6.若(1-2x)8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则|a 1|+|a 2|+…+|a 8|=( ) ÿA Ā1 ÿB ĀĀ1 ÿC Ā38Ā1ÿD Ā28Ā17ā一个等差数列的前n ù和为48ÿ前2n ù和为60ÿ则它的前3n ù和为ÿ Ā (A) 24− (B) 84 (C) 72 (D) 368ā如果等比数列{}n a 的首ù是l数ÿ}比大于1ÿ那N数列13log n a üüÿÿýýÿÿþþ是ÿ Ā(A)递增的等比数列Ā (B)递减的等比数列Ā (C)递增的等差数列Ā (D)递减的等差数列2 9.ß曲线222222(0)b x a y a b a b −=þþ的两渐à线夹角为αÿ离心率为e ÿ则cos 2α等于ÿ Ā(A)e (B)2e (C)1e(D)21e练`精选答案ÿBDBBACDDC31ï入验证法将选择支ï入题~或将题~ï入选择支进行检验ÿ然^作出判断的方法Ā为ï入法.112=的值是 ÿ Ā()3A x = ()37B x = ()2C x = ()1D x =注ÿ本问题若从解方程去找l确支实属Q策.121已知101,1 1.log ,log ,a a ab ab M N b büüþþ==且则1log bP b=.O 数大小关系为 ÿ Ā()A P N M üü ()B N P M üü ()C N M P üü ()D P M N üü练`精选1ā如果436m m C P =ÿ则m=ÿ Ā (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 2ā若O等式0f x 2Āax+a f 1的解集是单元素集ÿ则a 的值为ÿ Ā (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 3ā若f (x)sinx 是周期为 π 的奇函数ÿ则f (x)可ñ是( ) (A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x4.已知复数z 满足arg(z+1)=3πÿarg(z Ā1)= 65π,则复数z 的值是( )(A)i 31+− (B) i 2321+− (C) i 31− (D)i 2321−5ā若l棱锥的ß面边长P侧棱长相等,则该棱锥一定O是āāÿ Ā (A)O棱锥 (B) 四棱锥 (C) 五棱锥 (D) ~棱锥练`精选答案ÿBBBBD41Ā象法ÿ数形结合法Ā通过画Ā象作出判断的方法Ā为Ā象法.131方程()lg 410x x +=的根的情况是 ÿ Ā()A 仅p一根 ()B p一l根一负根 ()C p两个负根 ()D 没p实数根141已知(){}()(){}222,,,1E x y y x F x y x y a =ó=+−≤ÿ那N使EF F =r立的充要条件是 ÿ Ā()54A a ó()54B a =()1C a ó ()0D a þ 15ÿ2011 高考海南卷文科12)已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈−时2()f x x =,那N函数()y f x =的Ā象P函数|lg |y x =的Ā象的交点共p ( )A.10个B.9个C.8个D.1个练`精选1.方程lg(x+4)=10x 的根的情况是( )(A)仅p一根 (B)p一l一负根 (C)p两负根 (D)无实根2.E 1F V别是l四面体S 4ABC 的棱SC 1AB 的中点,则异面直线EF P SA 所r的角是 (A)90o (B)60o (C)45o (D)30o3.已知x 1是方程x+lgx=3的根,x 2是方程x+10x =3的根,那N x 1+x 2的值是( )(A)6 (B)3 (C)2 (D)14.已知函数f(x)=x 2,集合A={x|f(x+1)=ax,x ∈R},且A ∪R +=R +,则实数a 的取值范围是 (A)(0,+>) (B)(2,+>) (C)[4,)+∞ (D)(,0)[4,)−∞+∞5.函数f(x)=12ax x ++在区间(-2,+ >)P为增函数,则a 的取值范围是( ) (A)0<a<12(B)a<-1或a>12(C)a>12(D)a>-26.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2-2x,构造函数F(x),定O 如Q :当f(x)g g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)<g(x)时,F(x)=f(x).那N F(x)( )(A)p最大值3,最小值-1(B)p最大值无最小值(C)p最大值3,无最小值(D)无最大值,_无最小值7āω是l实数ÿ函数f(x)=2sin ωx 在[,]34ππ−P递增ÿ那N ( )(A)0<ωf 32 (B)0<ωf 2 (C)0<ωf247(D) ωg 28(0)x a þ的解集为{}x m x n ≤≤ÿ且2m n a −=ÿ则a 的值等于ÿ Ā (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49.f(x)是定O在R P的奇函数,且f(3Āx)=f(3+x),若 x ∈(0,3)时f(x)=2x ,则f(x)在(Ā6,Ā3)P的解析式是f(x)=ÿ ĀÿA Ā2x+6 ÿB ĀĀ2x+6 ÿC Ā2x ÿD ĀĀ2x 练`精选答案ÿCCBACBABB51逻 V析法根据选择支的逻 结构和解题指ð的关系作出判断的方法Ā为逻 V析法. ÿ1Ā若ÿA Ā真⇒ÿB Ā真ÿ则ÿA Ā必排出ÿ否则P<p且仅p一个l确结论=相矛盾. (2) 若ÿA Ā⇔ÿB Āÿ则ÿA ĀÿB Ā均假2 ÿ3Ā若ÿA ĀÿB Ār矛盾关系,则必p一真,可否定(C)(D).161若1,c a b þ==则Q列结论中l确的是 ÿ Ā()A a b þ ()B a b =()C a b ü()D a b ≤171当ûý44,0,13x a x ∈−+时恒r立ÿ则a 的一个可能取值是 ÿ Ā ()5A()53B()53C −()5D −练`精选1. 行~面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的两个对角面ACC 1A 1P BDD 1B 1都是矩形,则à个 行~面体是( )(A)l方体 (B)长方体 (C)直 行~面体 (D)l四棱柱2.当x ∈[-4,0]时413a x ≤+恒r立,则a 的一个可能值是( )(A)5 (B)-5 (C)53(D)53−3.已知z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1,a 2,b 1,b 2均为实数)是两个非零复数,则它们所对Þ的向量1OZ P 2OZ 互相垂直的充要条件是( ) (A)12121b b a a =− (B) a 1a 2+b 1b 2=0 (C)z 1-iz 2=0 (D)z 2-iz 1=04.设,a b 是满足0ab ü的实数ÿ那Nÿ Ā(A)a b a b +þ− (B) a b a b +ü− (C)a b a b −ü− (D) a b a b −ü+ 5.若a 1b 是任意实数ÿ且a > b,则ÿ Ā (A) a 2 > b 2 (B) ba <1 (C) lg(a 3b)>0 (D) (12 )a<( 12) b6..在直角O角形中两锐角为A 和B ÿ则sinAsinB=ÿ Ā(A) p最大值12 和最小值0 (B) p最大值12 ,但无最小值 (C) 既无最大值_无最小值 (D) p最大值1,但无最小值练`精选答案ÿCBBBDB61逆向思维法当问题从l面考虑比较困难时ÿ采用逆向思维的方法来作出判断的方法Ā为逆向思维法.181若l棱锥的ß面边长P侧棱长相等ÿ则该棱锥一定O是 ÿ Ā()A O棱锥 ()B 四棱锥 ()C 五棱锥 ()D ~棱锥191:中华人民共和ÿ个人所得税法;规定ÿ}民全oý资1薪金所得O超过800元某人一o份Þ交纳mù税款26.78元ÿ则他的当oý资1薪金所得介于()A 800~900元 ()B 900~1200元 ()C 1200~1500元()D 1500~2800元19解ÿ设某人当oý资为1200元或1500元ÿ则其Þ纳税款V别为ÿ400ô5%=20元ÿ500ô5%+200ô10%=45元ÿ可排除()A 1()B 1()D .故选()C .注ÿ本题_可采用ÿ1Ā估算法.由500ô5%=25元ÿ100ô10%=10元ÿ故某人当oý资Þ在1300~1400元之间. 故选()C .ÿ2Ā直接法.设某人当o ý资为x 元ÿ显然13002800x üü元ÿ则()130010%5005%26.78x −ô+ô=.解之得1317.8x =元. 故选()C .练`精选1ā若O等式0f x 2Āax+a f 1的解集是单元素集ÿ则a 的值为ÿ Ā(A)0 (B)2 (C)4 (D)6 2.对于函数f(x),x ∈[a,b]及g(x), x ∈[a,b]2若对于 x ∈[a,b],总p()()1()10f xg x f x −≤ ÿs们Āf(x)可被g(x)ÿï.那NQ列给出的函数中能ÿï, x ∈[4,16]的是( )(A)g(x)=x+6, x ∈[4,16] (B)g(x)=x 2+6, x ∈[4,16] (C)g(x)=15, x ∈[4,16] (D)g(x)=2x+6, x ∈[4,16]3.在Q列Ā象中ÿÐ次函数y=ax 2+bx P指数函数xb y a öö=÷÷øø的Ā象只可能是ÿ Ā(A) (B) (C) (D)4.若圆222(0)x y r r +=þP恰p相异两点到直线43250x y −+=的距离等于1ÿ则r 的取值范围是( )(A)ûý4,6 (B)û)4,6 (C)(ý4,6 (D)()4,65ā已知复数z 满足z+z·2(1)4i z +=,则复数z 的值是( )(A)12i − (B)122i + (C)122i −+(D)122i −−6.已知y=f(x)的Ā象如右ÿ那N f(x)=( )(C)x 2Ā2|x|+1 (D)|x 2Ā1| 练`精选答案ÿBBCDCA7、估算法所谓估算法就是一种粗略的计算方法ÿ即对p关数值作扩大或缩小ÿ从而对ß算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法220如Āÿ在多面体ABCDEF 中ÿ已知面ABCD 是边长为3的l方形ÿEF//AB ÿEF=3/2ÿEF P面AC 的距离为2ÿ则该多面体的体ÿ为………………………………ÿ Ā A Ā9/2 B Ā5 C Ā6 D Ā15/2练`精选1ā:中华人民共和ÿ个人所得税法;规定ÿ}民全oý资1薪金所得O超过800元的部V O必纳税ÿ超过800元的部V为全oÞ纳税所得额ÿmù税款按Q表V希累进计算2ÿA Ā800～900元 ÿB Ā900～1200元 ÿC Ā1200～1500元 ÿD Ā1500～2800元2. 2002 3o 5日九届人大五次会议:政府ý作报告;ÿ<2001 ÿ内生产总值达到95933ÿ元ÿ比P 增长了7.3%ÿ如果<十2五=期间ÿ2001 -2005 Ā每 的ÿ内生产总值都按m 增长率增长ÿ那N到<十2五=来sÿÿ内生产总值为ÿ ĀÿA Ā115000ÿ元 ÿB Ā120000ÿ元 ÿC Ā127000ÿ元 ÿD Ā135000ÿ元3.向高为H 的水瓶中注水, 注满为k . 如果注水量V P水深h 的函数关系的Ā象如右Ā所示, 那N水瓶的形状是( )h O H 41若,α是锐角ÿ且31)6sin(=−παÿ则αcos 的值是ÿ ĀA6162+ B 6162− C 4132+ D 4132− 练`精选答案ÿCCBB8、直觉分析法即在熟练掌握基础知识的基础P凭直觉判断出答案的方法2ECF D21若sin α+cos α=1/5ÿ且0fαffπÿ则tg α的值是……………………ÿ ĀA ĀĀ4/3B sin α+cos α=1/5ĀĀ3/4C Ā4/3D Ā3/422复数-i 的一个立方根是i ÿ它的另外两个立方根是…………………………ÿ ĀA±12i B Ā±12i C+12i D12i 9、排除筛选法排除法即首先对某些选择ù举出à例或否定^得到答案的解法223已知两点M ÿ1ÿ5/4ĀÿN ÿĀ4ÿ-5/4Āÿ给出Q列曲线方程ÿd 4x+2y-1=0e x 2+y 2=3 f 222x y +=1 g 222x y −=1在曲线P存在点P 满足|MP|=|NP|的所p曲线方程是………………………………ÿ ĀA ĀdfB ĀegC ĀdefD Āefg24 ÿ2010 高考山东卷文科11Ā函数22xy x =−的Ā像大ô是( )25函数y=tg ÿ1123x π−Ā在一个周期内的Ā像是…………………ÿĀ(A) (B) (C) 练`精选1.如ĀÿI 是全集ÿM 1P 1S 是I 的3个子集ÿ则阴影部V所表示的集合是( )2. 函数111−−=x y ( ) ÿA Ā在ÿ-1ÿ+>Ā内单调递增ÿB Ā在ÿ-1ÿ+>Ā内单调递减ÿC Ā在ÿ1ÿ+>Ā内单调递增ÿD Ā在ÿ1ÿ+>Ā内单调递减 3.过原点的直线P圆相Wÿ若W点在第O象限ÿ则该直线的方程是ÿ ĀS P)(M (D) S P)(M (C)S P)(M (B) S P)(M (A) IMP SÿA Ā ÿB Ā ÿC Ā ÿD Ā4.在复 面内ÿ把复数i 33−对Þ的向量按ú时针方向旋转3πÿ所得向量对Þ的复数是( ) ÿA ĀÿB ĀÿC ĀÿD Ā5.函数y=3xcosx 的部VĀ象是( )练`精选答案ÿCCCBD10、特征分析法m方法Þ用的关键是ÿ找准位置ÿ选择特征ÿ实现特殊到一般的转化226在复 面内ÿ把复数3i 对Þ的向量按ú时针方向旋转π/3ÿ所得向量对Þ的复数是………………………………………………………………………………ÿ ĀA ĀB ĀĀiC Ā3iD Āi练`精选1ā若关于x p两个O等实根ÿ则实数k 的范围是ÿ Ā(A)( (B)( (C)( (D)3113(,][,)3223−− 2.设S 为半径等于1的圆内接O角形的面ÿÿ则4S+9S的最小值为ÿ Ā(B) 3ā若关于x 的O等式|x-sin 2θ|+|x+cos 2θ|<k 的解集非空ÿ则实数k 的取值范围是ÿ Ā(A)k g 1 (B)k>1 (C)0<k<1 (D)0<k f 1 4.若复数z 满足|z+1z|=1ÿ则z 的模的范围是ÿ Ā(A) (B) (C) (D)5.把函数sin2x 的Ā象经过变换得到y=2sin2x 的Ā象ÿà个变换是ÿ ĀÿA Ā向þ 移512π个单位 ÿB Ā向右 移512π个单位 ÿC Ā向þ 移12π个单位 ÿD Ā向右 移12π个单位6ā如Āÿ半径为2的⊙M W直线AB 于O 点ÿ射线OC 从OA 出发绕O 点ú时针方向旋转到OB 2旋转过程中ÿOC 交⊙M 于P ÿ记"PMO 为x ÿ弓形PnO 的面ÿ为S=f(x)ÿ那Nf(x)的Ā象是(A) (B) (C) 练`精选答案ÿCCBDDD1D2C 3A 24C 2本题选自某一著]的数学期刊ÿ作者提供了Q列 Q供读者比较ÿ设y=cosAcosBcosC ，则2y=[cos ÿA+B Ā+ cos ÿA-B Ā] cosC ，∴cos 2C- cos ÿA-B ĀcosC+2y=0，构 一元二次方程x 2- cos ÿA-B Āx+2y=0，则cosC 是一元二次方程的根，由cosC 是实数知ÿ△= cos 2ÿA-B Ā-8y g 0，即8y f cos 2ÿA-B Āf 1，∴81≤y ，故应选B 2 à就是<经典=的小题大作！Ï实Pÿ由于O个角A 1B 1C 的地位完全 等ÿ直觉告诉s们ÿ最大值必定在某一特殊角度取得ÿ故只要ðA=B=C=60゜即得答案B ÿà就是直觉法的威力ÿà_l是命题人的真实意Ā所在26A 27C 28B 29B10D11D12B13C14解ÿE 为抛物线2y x =的内部ÿ包括周界ĀÿF 为动圆()221x y a +−=的内部ÿ包括周界Ā.该题的几何意O是a 为何值时ÿ动圆进入区域E ÿ并被E 所覆盖.ÿĀ略Āa 是动圆圆心的纵坐标ÿ显然结论Þ是()a c c R +ó∈ÿ故可排除()(),B D ÿ而当1a =时ÿ.E F F ≠ÿ可验证点()0,1Ā.故选()A . 15A16V析ÿ由于a b ≤的含O是.a b a b ü=或于是若()B r立ÿ则p ()D r立Ā\理ÿ若()C r立ÿ则()D _r立ÿñPP指ð<供选择的答案中只p一个l确=相矛盾ÿ故排除()(),B C .再考虑()(),A D ÿ取3c =ï入得2a b ==ÿ显然a b þÿ排除()D .故选()A .17解ÿ()()()()240x x A B C D −−óü⇒⇒⇒真真真真.故选()D .注ÿ本题由解题指ð<只p一个供选答案l确=可知选()D 才l确.18解ÿ若是~棱锥ÿ则à个~棱锥的ß面外接圆半径1ß面边长1侧棱长都相等ÿà是O可能的.故选()D .解析ÿ连接BE 1CE 则四棱锥E ĀABCD 的体ÿV E-ABCD =13×3×3×2=6ÿ又整个几何体大于部V的体ÿÿ所求几何体的体ÿV 求> V E-ABCD ÿ选ÿD Ā21A22本题解法较多ÿ如特征V析1直接求解1数形结合1逆推验证等Ā但相比较ß是用特征V析法求解较简单ÿ解析ÿ复数i 的一个 角为900ÿ利用立方根的几何意O知ÿ另两个立方根的 角V别是900+1200P 900+2400ÿ即2100P 3300ÿ故虚部都小于0ÿ答案为ÿD Ā2解析ÿP 满足|MP|=|NP|即P 是MN 的中垂线P的点ÿP 点存在即中垂线P曲线p 交点2MN 的中垂线方程为2x+y+3=0ÿP中垂线p交点的曲线才存在点P 满足 |MP|=|NP|ÿ直线4x+2y-1=0P 2x+y+3=0 行ÿ故排除ÿA Ā1ÿC Āÿ又由2223012x y x y ++=üÿý+=ÿþ⇒△=0ÿp唯一交点P 满足|MP|=|NP|ÿ故选ÿD Ā2 24A25A解析ÿ∵复数3i 的一个 角为Āπ/6ÿ对Þ的向量按ú时针方向旋转π/3ÿ 所得向量对Þ的 角为Āπ/2ÿm时复数Þ为纯虚数ÿ对照各选择ùÿ选ÿB Ā2。
高中数学一道三角函数问题的多种解法学法指导
word 1 / 2 一道三角函数问题的多种解法 何玲
一题多解，一题多变，从不同的侧面去观察和思考问题，有利于培养同学们的求异思维和发散思维，有利于开阔视野，培养观察、分析和解决问题的能力，从而学会从不同的方面去领会和掌握所学知识，本文通过一道习题的多种解法，旨在提高大家的发散思维能力。
例 求80cos20sin380cos20sin22的值。
解法1：原式=60sin100sin23160cos12140cos121 43100sin2340cos60cos2
1
1
41100sin2360sin100sin41。
解法2：原式2060cos20sin32060cos20sin22
20sin2320cos2120sin320sin2320cos2120sin
2
2
4120cos4120sin4122。
解法3：原式10sin1030sin310sin1030sin22 =10sin30cos10cos30sin310sin10sin30cos10cos30sin22 10sin
10sin10sin2310cos21310sin10sin2310cos2
12
2
10sin2310cos10sin2310sin10cos10sin2310sin4310cos4
12222
4110sin4110cos4122。
解法4：令80cos20sin380cos20sinM22，则其对偶式 80sin20cos380sin20cosN22。
80sin20cos80cos20sin3
高考数学典型题一题多解系列一
第1题 真数相同的对数式比较大小的3种解法比较大小： 15log 3 12log 3解法一（图象法）：利用两个函数12log y x =和15log y x =图象如右图，得12log 315log 3<．解法二： （单调性法）利用一个函数log 3x y =的单调性考虑函数31log 3log x y x==， 因为函数3log y x =在(0,1)上是增函数， 所以log 3x y =在(0,1)上是减函数， 又1125>，所以12log 315log 3<． 解法三：（作差法） 利用函数lg y x =的单调性，直接作差表达更简单因为 12log 31255lg 3lg 3lg 3(lg 2lg 5)log 3lg 3lg 30lg 5lg 2lg 5--=-+=-=<， 所以12log 315log 3<．第2题 真数底数都不同的对数式比较大小的2种解法 比较24log25与25log 26的大小解法一：（作差法）22425lg 25lg 26lg 25lg 24lg 26log 25log 26lg 24lg 25lg 24lg 25--=-=∵2lg 24lg 26lg(2426)lg[(251)(251)]lg 25lg 24lg 26lg 252222+⨯-⨯+<==<=，∴2lg 25lg 24lg 26>，∴2425log 25log 26>． 解法二： （分离常数法，利用换底公式）242425log 251+log 24=，252526log 261+log 25=， ∵252612425>> ∴242525252526log log log 242425>>，∴2425log 25log 26>． 第3题 一对特殊关系的指数方程与对数方程的两根和的3种解法设方程340xx的根为1x ，方程log 403xx 的根为2x ，求12x x .解法一：（观察法+证明法）因为13140，所以1x 方程340x x 的一个根，又()34xf x x在R 上为增函数，所以()34xf x x在R 上最多只有一个零点，所以11.x因为3log 3340，所以3x方程3log 40xx的一个根，3()log 4f x xx 在(0,)上为增函数，所以3()log 4f x xx在(0,)上最多只有 一个零点，所以23.x 所以124.x x解法二： （化归为同种函数法）显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x .此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：11340xx ①322log 40x x ②①式可以变形为1134xx ，即为311log (4)x x ，若设14x t ，则14x t，于是3log 4tt ，②式变为322log 4x x ，t与2x 都是方程3log 4xx 的根，而这个方程即3log 40xx， 又函数3()log 4f x xx在(0,)上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214xx ，所以124.x x解法三: （利用一对反函数图象） 将方程340xx 变形为34xx ，将方程log 403xx变形为log 43xx，在同一坐标系内分别作出函数3x y，log 3yx ， 4yx 的图像， 因为3x y与3log yx 互为反函数，图像关于直线yx对称，而4y x 与y x 垂直，设垂足为C ， 则直线4yx与3x y，3log yx 的图像的交点A ，B 关于点C 对称，易求得C 点坐标为(2,2)，又A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ， 由中点坐标公式得124.x x第4题 一道含有绝对值函数的零点问题的2种解法已知函数||()2x f x x =+，方程2()f x kx =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围.x解法一：（去掉绝对值号，化为二次函数问题） 原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+有三个不同的实数解. ⑴当0x >时，方程化为：12kx x =+，即2210kx kx +-=，①0k =时 ，方程无解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=+=+， ⅰ）当10k -<<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k >时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=-<，结合0x >知原方程有一个正根.ⅲ）1k ≤-时，2440k k ∆=+≥，而此时122x x +=-，1210x x k=->，结合0x >知方程无解. ⑵当0x <时，方程化为：12kx x =-+，即 2210kx kx ++=，①0k =时 ，方程无实数解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=-=- ⅰ）当01k <<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k <时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=<，结合0x <知原方程有一个负根.ⅲ）1k =时，方程显然有两个相等的负根.ⅳ）1k >时，2440k k ∆=->，而此时122x x +=-，1210x x k=>，结合0x <知方程有两个不等的负根.综上可得，当1k >时，方程2()f x kx =有四个不同的实数解.解法二：（利用两个函数图象法，利用斜率几何意义法）原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+（*） 有三个不同的实数解.显然0k ≠，在同一个坐标系中作出函数1()2g x x =+和函数()||h x k x =（0k ≠）的图像：由图像可知，当0k <时，两个函数图像仅有一个交点；当0k >时，若()||h x k x =的图像在第二象限的部分与双曲线相交，则在第二象限内有两个交点，而在第一象限内显然总有一个交点，因此我们只要利用判别式求出相切时k 的值0k ，那么本题的答案就是0k k >. 当0k >，0x <方程即2210kx kx ++=，由2444(1)0k k k k ∆=-=-=得： 1.k = 因此k 的取值范围1k >.第5题 一道自主招生函数零点问题的2种解法函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，问：(())f f x x =是否有实数根？证明你的结论． 解法一：（没有实根问题转化为证明不等式恒成立）(())f f x x =是没有实数根．证明：因为()f x x =没有实数根，所以()f x x >，或()f x x <， 当()f x x >时，再以()f x 代x 有(())()f f x f x >，所以(())f f x x >， 当()f x x <时，再以()f x 代x 有(())()f f x f x <，所以(())f f x x <，所以(())f f x x =是没有实数根． 解法二：（用反证法）(())f f x x =是没有实数根．证明：若存在0x x =使得00(())f f x x =，令0()f x t =，则0()f t x =，即有0(,)x t 和0(,)t x 是y f x =（)的点，显然这两点关于y x =对称， 所以()y f x =与y x =必有公共点，从而()f x x =有实数解，与已知矛盾． 所以(())f f x x =是没有实数根． 规律总结：替换法是一个重要的方法。
高考数学典型题一题多解系列二
第6题 分子分母都是二次式的分式型函数值域问题的2种解法函数228y 1ax x bx ++=+的值域为[1,9]，求实数,a b ．（2005年上海交大报送推优题，是个老题）解法一：（等价转化为不等式）22222819189(1)1ax x b x ax x b x x ++≤≤⇔+≤++≤++ 显然，0a >．且28y ax x b =++必与21y x =+及29(1)y x =+都相切，22281(1)810644(1)(1)0ax x b x a x x b a b ++=+⇒-++-=⇒---=，22289(1)(9)890644(9)(9)0ax x b x a x x b a b ++=+⇒-++-=⇒---=(1)(1)165(9)(9)165a b a a b b --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 解法二：（等价转化为方程，再转化为不等式）2228y ()801ax x b y a x x y b x ++=⇒--+-=+， （1）y a =时，[1,9]8a bx +=∈， （2）y a ≠时，644()()0y a y b ∆=---≥，此不等式解集应是[1,9]，而不等式显然是一个一元二次不等式，所以644()()0y a y b ---=的两个解即为1和9，所以(1)(1)165(9)(9)165a b a a b b --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩，显然满足（1）。
综上55a b =⎧⎨=⎩第7题 一道分式不等式恒成立题的3种解法已知函数[)221x af x x xx++=∈+∞（），，若对任意[)10x f x ∈+∞，，（）＞恒成立，试求实数a 的取值范围。
解法一：（转化为二次函数法）在区间[)∞+，1上，022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立， 设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ，∴当x=1时a y +=3min ，于是当且仅当03>+=a y min 时，函数恒成立，故 a>—3．解法二：(分类讨论法)[)21af x x x x=++∈+∞（），，当a 0≥的值恒为正, 当a<0时,函数）（x f 为增函数．故当x=1时a x f +=3）（min ，于是当且仅当3+a>0时恒成立, 故 a>—3．解法三： (分离参数法)在区间[)∞+，1上xa x x x f ++=22）（恒成立 022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立，故a 应大于[)221u x x x =∈+∞——，，时的最大值—3， ()211a x ∴>++—当x=1时，取得最大值 —3 .3a ∴>—.第8题 一道绝对值不等式证明题的2种解法证明：对任意实数,a b ，三个数||,||,|1|a b a b a +--中至少有一个不小于12。
高考数学典型题一题多解系列三
第11题 一道根式函数题的6种解法设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题）解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ，故t 的取值范围是⎤⎦解法二：（三角换元法）注意到))()211x +=-≤≤，可用三角换元法，如下：2sin ,0,2πααα⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦得 2sin 4t πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由32sin 244424ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪⎝⎭t ∴的取值范围是⎤⎦解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有cos sin cos sin 2222t θθθθ⎫⎫==+=+⎪⎪⎭⎭以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问题的，解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手．解法四：（双换元法）,u v x ==消去得：222u v +=，问题转化为方程组2202u v tu v u v +=⎧≤≤≤≤⎨+=⎩在条件下有解时，求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时，求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。
解法五：（构造等差数列）由t =22t=⨯，2t成等差数列。
22t td d =-=+，消去x 得222222,442t d t d =+=-，由20d ≥知22444t d =-≤，得2t ≤。
0。
222d d ≤≤-≤≤221444422t d ∴=-≥-⨯=2t ≤≤解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α，则112cos 2t p q t αα=⋅=+=∴≤由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。
01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。
高考数学选择题10大解法实例解析
高考数学选择题10大解法实例解析1、特值检验法对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC 的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。
题中没有给定A、B、C 三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。
2、极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
3.剔除法利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
4.数形结合法由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
5.递推归纳法通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
6.顺推破解法利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
例：银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为A.5%B.10%C.15%D.20%解析：设共有资金为α，储户回扣率χ，由题意得解出0.1α≤0.1×0.4α+0.35×0.6α-χα≤0.15α 解出0.1≤χ≤0.15，故应选B.7.逆推验证法（代答案入题干验证法）将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
一道高考题的三种解法
一道高考题的三种解法
发表时间：2012-08-28T17:03:14.730Z 来源：《数学大世界(教育导向)》2012年第4期供稿作者：颜士桥
[导读] 解法三是运用向量的坐标运算求解。
江苏省淮安市新马高级中学颜士桥
解题关键。
解法二运用向量的定义，结合矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义解决问题。
解法三是运用向量的坐标运算求解。
三种方法正体现了向量的运算常见的几种形式，是中学生必须要掌握的知识点，要求考生根据题目的特点灵活选用，本题选用向量的坐标运算最为简单。
一道高考题的十种解法
‘
解 法 ２：
） 即 ＋ｙ １ ０ ， ２一 ＝ ．
设 Ｄ在 轴上的射影为 Ｄ ， Ｅ在 轴 上的射影为 Ｅ ，
第（） 题有一 定的难度 ， 少学 生 ３小 不
做起来就不那么顺手了 ，分析其原因 ， 关 键是条件 ＭＥ ２ Ｍ， ＝ Ｄ 不少学 生不 知道 如何
角度一 ： 利用相似形将条件转化 为坐
＝ｆ ２ ２ ｍ＋
、
， 得 ６ 、 解得６ １ 解／ ＿ ／ ＝
２
，
（） １求抛物线 ｃ的标准方程 ；
（） ２ 求过点 Ｆ 且与直线 Ｏ ， Ａ垂直 的直
线的方程 ；
所 以，， ＝Ｅ ３ ＝ 、 ｆ Ｄ ＝６
ｙ
Ｉ （＞） ＿ ｍ ｏ．
ｏ ＝
＝ Ｍ ＝ Ｄ 利用相似 形转化 为坐标 关系进 Ｅ ２Ｍ
害
。 ｍ
ｌｙｌ ＝ ２ ＋ Ｏ
，
＝ Ｅ ＝ Ｘ （－ ２ ｙ ｙ ＝ Ｄ ／ｘ ｘ％（ｌ ２ ， ） －）
由①、 ②得 １ｉ ２ ：ｎ， ｍ，
又因为 ｙ２２ｌ￣ ２ ２可解得 ｌＩ １ ｘ， ＝ ｘ， ＝ ｙ ＝ｎ， ２２ Ｙ 、 ＿＿ ２２ ／ ＝ ｍ， ／ ， ＝ 、 ． 一 ｙ 即 Ｄ ，ｘ￣－， （ ，、 ， 一 ／ ）Ｅ２ ２ ／ Ｌ ｍ 所以由两点间距离公式得 ：
上 ， 以 ４ 和 ， ｐ ｌ 因此抛物线 ｃ的标 所 ＝ 即 ＝， 准方程为 ＝ ．
Ｊ — ＝ 设 Ｄ Ｙ ， ｙ ， ｍ ０， ， 据线 。 Ｅ ， Ｍｆ，ｊ Ｊ ３ ＝ 根
ｆ＋ １
４１ ２ ｋ） （＋ ｍ ｚ
一
： ｋ
（ ｍ ｍ ） （＞） ｍ ０．
２ ｋｍ ＝ ０，
一道高考选择题的多种解法
一道高考选择题的多种解法题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。
已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。
两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ）A. 45B. 30C. 5.22D.15解法一：力矩平衡辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。
又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。
以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。
附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。
θθθθcos 22sin 22sin 223cos 223+=⋅-⋅ 整理可得：32tan -=θ图2图1可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。
这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。
解法二：共点力平衡——正弦定理受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。
由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ-4和θπ+4。
在两个三角形中分别用正弦定理，有4sin 4sin 1πθπg m F=⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2)4sin 4sin 2πθπg m F=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (3)（2）式除以（3）式，整理可得34sin 4sin 12==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。
解法三：共点力平衡——正交分解法如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。