一道初中几何题的多种解法
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一道初中几何题的多种解法
【题目】已知：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.
求证：FBAFEDAE2.
【分析】平行线分线段成比例
【提示】系数2既是难点，又是突破点
【解法1】
证：连BE，则由同高三角形面积关系得
BCFACFBEFAEFSSSSFBAF，CDEAECSSEDAE
根据等比性质得：
BCEACEBEFBCFAEFACFSSSSSSFBAF
∵D为BC的中点，
∴DCEBCESS2
∴DEAEFBAF2，即FBAFEDAE2
【解法2】
证：过D作CFDM//交AB于M，
∵CFDM//，
∴FMAFEDAE
∵D为BC的中点，CFDM//
∴M为BF的中点，即BFMF21，
∴BFAFEDAE21，即FBAFEDAE2
【解法3】
证：过D作ABDN//交CF于N，
∵ABDN//， EDABCFMEDABCFNEDABCFEDABCF2
∴DNAFEDAE
∵D为BC的中点，ABDN//
∴N为CF的中点，
∴DN为BCF的中位线，则BFDN21
∴BFAFEDAE21，即FBAFEDAE2
【解法4】
证：过B作CFBG//交AD延长线于G，
∵CFBG//，
∴EGAEFBAF
∵D为BC的中点，CFBG//
∴D为GF的中点，即DEEG2
∴DEAEFBAF2，
即FBAFEDAE2
【解法5】
证：过B作ADBH//交CF延长线于H，
∵ADBH//，
∴BHAEFBAF
∵D为BC的中点，ADBH//
∴E为CH的中点，
∴DE为BCH的中位线，则DEBH2
∴DEAEFBAF2，即FBAFEDAE2
【解法6】
证：过A作BCAK//交CF延长线于K，
∵BCAK//， GEDABCFHEDABCFKEDABCF3
∴BCAKFBAF，DCAKEDAE
∵D为BC的中点，
∴DCBC2
∴EDAEDCAKBCAKFBAF22
即FBAFEDAE2
【解法7】
证：过A作CFAP//交BC延长线于P，
∵CFAP//，
∴CBPCFBAF，
CDPCEDAE
∵D为BC的中点，
∴DCBC2
∴EDAECDPCCBPCFBAF22
即FBAFEDAE2
【解法8】
证：过D作ACDP//交CF延长线于P，交AB于Q，
∵ACDP//，
∴DPACEDAE，QPACFQAF
∵D为BC的中点，ACDP//
∴Q为AB的中点，
即FQAFBF2，ACDQ21，
∵QPACFQAF，由合比性质得FQAFAFPQACAC21212121，即BFAFDPAC21 PEDABCFQPEDABCF4
∴BFAFEDAE21，即FBAFEDAE2
【解法9】
证：过B作ACBM//分别交CF、AD的延长线于M、N，
∵ACBM//，
∴BMACFBAF，MNACENAE
∵D为BC的中点，ACBM//
∴DNAD，ACBN
则EDAEEN2，
∵MNACENAE，即MNACEDAEAE2
由合比性质得ACMNACEDAE2，
即BMACEDAE2
∴BFAFEDAE2，即FBAFEDAE2
【解法10】
证：过C作ADCK//交BA延长线于K，
∵ADCK//，D为BC的中点，
∴ABAK，ADCK2，
∵ADCK//
∴FKAFCKAE，即AKAFAFADAE2，
∴AKAFAFADAE2
由合比性质得
AFAKAFAFAEADAE22，即AFABAFDEAE2，
∴FBAFEDAE2
【解法11】 NMEDABCFKEDABCFPEDABCF5
证：过C作ABCP//交AD延长线于P，
∵ABCP//，D为BC的中点，
∴ADPD，ABPC，
∵ABCP//
∴PCAFEPAE，
由合比性质得AFPCAFAEEPAE
即BFAFDEAE2，
∴FBAFEDAE2
【解法12】
证：过F作ADFQ//交BC于Q，
∵ADFQ//，∴BABFBDBQADFQ，CQCDFQDE
∴CQBQADDE，
由合比性质得BQCQBQDEADDE，即QDBQAEDE2
∵ADFQ//，∴FABFQDBQ，∴AFBFQDBQAEDE22，即FBAFEDAE2
【解法13】
证：过F作BCFR//交AD于R，
∵BCFR//，
∴RDARFBAF，EDRECDFRBDFRABAF，
由合比性质得REEDREAFABAF，
即REEDREBFAF
∴REEDRERDARBFAF，
由等比性质得REEDRDREARBFAF，即EDAEBFAF2∴FBAFEDAE2.
【解法14】 QEDABCFREDABCF6
证：过E作BCEM//交AB于M，
∵BCEM//，
∴ADAEABAMBDMEBCMEFBFM222，
由等比性质得FBABFMAMADAE22，
即AFABAFADAE2
∴AFABAFADAE2
由合比性质得AFAFABAFAEADAE22，∴FBAFEDAE2
【解法15】
证：过E作ABEP//交AC于P，交BC于Q，
∵ABEP//，
∴QDBQEDAE，QCBCEQFB，DBDQABEQ
∴QCDQABFB2，即DQQCFBAB2
由合比性质得DQDQQCFBFBAB22，即DQBQFBAF2，
∴DQBQFBAF2，∴FBAFEDAE2
【解法16】
证：过E作ACMN//交AB于M，交BC于N，
∵ACMN//，
∴DCDNACENDADE，ACMEFAFM，
DCDNFAFMACENACMEACMNBCBNBABM，
∴11DCBNFAAMDCBDBNFAAMFABABM
又DCBC2，则FAAMBCBNBABM2
即FAAMBABMBABM2，∴FAAMBABM MEDABCFQPEDABCFNMEDABCF7
∴BNCNBMAMBAFA
由合比性质得CNBNCNFABAFA，即DNCNBFFA2
∴DEAEBFFA2，即FBAFEDAE2
【解法17】
证：过F作ACFM//交BC于M，交射线AD于N，
如图（1）：∵ACFM//，
∴ACNMACFNACNMFNACFMBABF，
则ADANADAEAEANDADNAENEBABF
ADANAEAN11ADAEAEADAN
∴ADAEDEANBABF，
∴BFAFBMCMBMBCCDCMBFABADANDEAE22，
即FBAFEDAE2
如图（2）：∵ACFM//，
∴ACNMACFNACNMFNACFMBABF，
则ADADANAEAEANDADNAENEBABF
ADANAEAN11ADAEAEADAN
同图（1）得：FBAFEDAE2
【解法18】
证：直线CEF截ABD，由梅涅劳斯定理， MNEDABCF图（1）
MNEDABCF图（2）
EDABCF8
得：1EADECDBCFBAF
又CDBC2，
∴21EADEFBAF，
则FBAFEDAE2
一道解析几何题多种解法一道解析几何题多种解法论文
一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法
【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。
【关键词】几何题；解法
题目 已知圆c:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
一、设而不求
解 设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2)。
由题意知oa⊥ob，则x1x2+y1y2=0。（*）
即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。
由y=x+b,
(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得
2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。
δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，
即b2+6b-90。
所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线c截得的弦ab为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．
二、抓关键点——弦ab的中点
直接法:设直线l的方程为y=x+b,ab的中点为d,
则cd⊥ab,得kcd=-1,直线cd方程为x+y+1=0,
由x+y+1=0,
y=x+b，得d-b+12,b-12。
在rt△acd中,ac=3,cd=|3+b|2,ad=do=
b+122+b-122。
由勾股定理,ac2=cd2+ad2。
即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。
所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．
间接法: 设直线l的方程为y=x+b, ab的中点d(a,b)。
由cd⊥ab,得b+2a-1=-1。
(1)
在rt△acd中,ac=3,cd=(b+2)2+(a-1)2,ad=do=a2+b2。
初中数学几何题解题技巧
初中数学⼏何题解题技巧
⽴体⼏何是初中数学中的重要内容,也是学习的难点,⽽且在中考中⽴体⼏何属于必考点,通常在⼀个题⽬
中会包含多个⽴体⼏何的考查点,掌握⽴体⼏何解题技巧⾄关重要。那么接下来给⼤家分享⼀些关于初中数学
⼏何题解题技巧，希望对⼤家有所帮助。
⼀.添辅助线有⼆种情况
1按定义添辅助线：
如证明⼆直线垂直可延长使它们,相交后证交⾓为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证⾓
的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个⼏何定理都有与它相对应的⼏何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性
质⽽基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防⽌乱添线，添辅助线也有规律可
循。举例如下：
(1)平⾏线是个基本图形：
当⼏何中出现平⾏线时添辅助线的关键是添与⼆条平⾏线都相交的等第三条直线
(2)等腰三⾓形是个简单的基本图形：
当⼏何问题中出现⼀点发出的⼆条相等线段时往往要补完整等腰三⾓形。出现⾓平分线与平⾏线组合时
可延长平⾏线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形。
(3)等腰三⾓形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三⾓形底边上的中点添底边上的中线;出现⾓平分线与垂线组合时可延长垂线与⾓的⼆边相交得
等腰三⾓形中的重要线段的基本图形。
(4)直⾓三⾓形斜边上中线基本图形
出现直⾓三⾓形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直⾓三⾓形的斜边则
要添直⾓三⾓形斜边上的中线得直⾓三⾓形斜边上中线基本图形。
(5)三⾓形中位线基本图形
⼏何问题中出现多个中点时往往添加三⾓形中位线基本图形进⾏证明当有中点没有中位线时则添中位
线，当有中位线三⾓形不完整时则需补完整三⾓形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带⼀个
中点则可过这中点添倍线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线
段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形。
初中数学几何模型的60种解题技巧
初中数学作为学生学习的基础课程之一，其中的几何模型在数学解题中占据着重要的地位。掌握几何模型的解题技巧不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以提高他们的解题效率。本文将介绍初中数学几何模型的60种解题技巧，希望能为学生们的学习提供帮助。
1. 角度概念的运用：在几何模型的解题过程中，学生可以通过具体的角度概念来解答问题，例如利用垂直角、平行线、内角和为180度等概念来解题。
2. 图形相似的判断：判断两个图形是否相似是解题的基础，学生可以利用边长比例、角度比例等方法来确定图形的相似性。
3. 平行线相关性质的应用：平行线的性质在几何模型的解题中经常会出现，学生可以通过平行线与角度的关系来解答问题。
4. 圆的相关性质的利用：圆的性质在几何模型中也是常见的，学生需要掌握圆的直径、半径、圆心角等概念，以便解题。
5. 三角形的分类和性质的运用：学生需要掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型三角形的性质，并根据题目的要求来进行合理的运用。
6. 应用解题：在学习几何模型的解题过程中，学生需要结合实际的应用场景，将抽象的几何原理与具体的问题相结合来解答问题。
7. 连线问题的求解：对于一些多边形的连线问题，学生可以通过几何模型的知识来进行合理的求解。
8. 几何图形的对称性：对称图形在几何模型中也是常见的，学生可以通过对称性来解答与对称图形相关的问题。
9. 正多边形的性质：正多边形的性质是几何模型解题中的重要内容，学生需要掌握正多边形的内角和为180度、外角的性质等知识。
10. 形状的变换：在几何模型的解题中，学生需要掌握形状的平移、旋转、翻转等变换操作，以便解答形状变换后的问题。
11. 圆的面积和周长的求解：学生需要掌握圆的面积和周长的相关公式，并结合题目要求来进行求解。
12. 三角形的面积和周长的求解：学生需要掌握不同类型三角形的面积和周长的求解方法，并灵活运用到不同的题目中。
初中解析几何题型及解题方法
初中解析几何题型及解题方法
解析几何是初中数学中的一个重要部分，主要涉及直线、圆、抛物线、双曲线等图形的性质和特点。以下是一些常见的初中解析几何题型及解题方法：
1. 求直线的方程
题型描述：给定直线上两点或一点及斜率，要求求出直线的方程。
解题方法：
+ 两点式：$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
+ 点斜式：$y - y_1 = m(x - x_1)$
2. 求圆的方程
题型描述：给定圆上的三点或两点及半径，要求求出圆的方程。
解题方法：$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心，$r$ 是半径。
3. 直线与圆的位置关系
题型描述：给定直线和圆的方程，要求判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。
解题方法：计算圆心到直线的距离，与半径比较。
4. 求抛物线的方程
题型描述：给定抛物线上的两点或一点及焦点，要求求出抛物线的方程。 解题方法：标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。如果知道焦点和准线，则可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。
5. 求最值问题
题型描述：在给定的图形中，求某一点的坐标或某条线段的长度，使得该值最大或最小。
解题方法：使用配方法、顶点式、导数等方法求最值。
6. 实际应用题
题型描述：给定生活中的实际问题，如最短路径、最大面积等，要求用解析几何知识求解。
解题方法：建立数学模型，转化为几何问题，然后使用解析几何的知识求解。
在解决解析几何问题时，除了掌握上述方法外，还需要培养自己的空间想象能力和逻辑推理能力。同时，多做练习题也是提高解题能力的有效途径。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。下面将详细讲解一些常见的解题技巧：
1. 利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2. 利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3. 利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4. 利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。 5. 利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
关于求解费马点问题的多种方法探究与综述
关于求解费马点问题的多种方法探究与综述
费马点问题是一个经典的几何问题，它的解法有很多种。本文将探究和综述多种求解费马点问题的方法。
一、费马点问题的定义
费马点问题是指在平面上给定两点A、B和一条直线L，求一点P，使得PA、PB到直线L的距离之和最小。
二、求解费马点问题的方法
1. 构造法
构造法是最常用的求解费马点问题的方法。具体步骤如下：
（1）以A、B为圆心，PA、PB为半径，画两个圆，交于点C和D。
（2）连接CD，作垂线EF，使EF与CD垂直且相交于点P。
（3）连接AP、BP，使AP、BP与CD垂直。
则点P即为所求的费马点。
2. 向量法
向量法是一种比较简单的求解费马点问题的方法。具体步骤如下：
（1）设点P的坐标为(x,y)，则向量AP的坐标为(x-a,y)，向量BP的坐标为(x-b,y)。
（2）设点P到直线L的距离为d，则向量AP和向量BP的夹角为arcsin(d/PA)和arcsin(d/PB)。
（3）根据向量的加法和减法，可以得到向量AP和向量BP的和向量CP的坐标为(2x-a-b,2y)。
（4）由于向量CP与直线L垂直，所以向量CP与直线L的斜率为-1/斜率L。
（5）根据向量的坐标公式，可以得到点P的坐标为((a+b-2cy)/(2(1+c^2)),(a+b-2cx)/(2(1+c^2)))。
3. 三角形面积法
三角形面积法是一种比较直观的求解费马点问题的方法。具体步骤如下：
（1）以A、B为圆心，PA、PB为半径，画两个圆，交于点C和D。
（2）连接CD，作垂线EF，使EF与CD垂直且相交于点P。
（3）连接AP、BP，使AP、BP与CD垂直。
（4）以AP、BP、CD为边构成三角形ABC和三角形ABD。
（5）根据三角形面积公式，可以得到三角形ABC和三角形ABD的面积。
（6）由于点P到直线L的距离之和等于线段AC和线段BD的长度之和，所以点P到直线L的距离之和等于(面积ABC+面积ABD)/CD。
几何问题的解析几何解法
几何问题的解析几何解法
几何问题是数学中一类常见的问题类型，而解析几何则是解决这类问题的一种有效方法。解析几何通过运用代数和几何的相互联系，以坐标系为基础，利用代数符号和方程式来研究几何图形的性质和变换。本文将介绍几何问题的解析几何解法，并提供一些实例来加深理解。
一、直线的解析几何解法
直线是几何中最基本的元素之一，通过坐标系的引入，我们可以用解析几何的方法来研究直线的性质和特点。对于已知两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，要确定这两点之间的直线方程，可以使用以下公式：
\[
\frac{{y-y₁}}{{x-x₁}} = \frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}
\]
这个公式称为点斜式，其中斜率为 \(\frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\)。通过这个方程，我们可以得到直线的斜率、截距等重要信息，从而进一步理解和分析直线的特性。
二、圆的解析几何解法
圆是另一类常见的几何图形，在解析几何中也有相应的解法。已知圆心为C(a, b)，半径为r的圆，其方程可以表示为：
\[
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]
在解析几何中，我们可以根据圆心和半径的信息，推导出关于圆的性质和变换的一系列公式。例如，通过对圆心的平移、旋转和缩放等操作，我们可以得到新的圆的方程和特征。这些解析几何的方法在实际问题中具有广泛的应用，例如在计算机图形学和物理学领域。
三、多边形的解析几何解法
多边形是由多条线段组成的几何图形，其解析几何解法也是基于坐标系的引入和运用。对于一个n边形，我们可以通过提取顶点的坐标，组成一个由点组成的集合。通过连接这些顶点，我们可以得到多边形的边界。进一步，我们可以运用向量加法、平移以及旋转等解析几何的方法来研究多边形的性质和变换。
除了以上提到的几何图形，解析几何还可以用于研究曲线、立体图形等问题。通过引入坐标系，用代数的方法来解决几何问题，解析几何在数学领域扮演着重要的角色。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。下面将逐一介绍这些常用解法。
一、暴力法：
暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。具体步骤如下：
1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。
2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。
二、排序法：
排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。具体步骤如下： 1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。
2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。
3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。
三、差分法：
差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。具体步骤如下：
1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。
2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。
3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。
4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。 5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。
6.时间复杂度为O(n)。
四、前缀和法：
前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。具体步骤如下：
1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。
2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。
3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。
4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
解决几何最值问题的理论依据是：两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。根据不同特征转化是解决最值问题的关键。通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。
几何最值问题中的基本模型举例：
1.三角形三边关系
在三角形ABC中，M，N分别是边AB，BC上的动点，求AM+BN的最小值。
解析：先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点。
2.图形对称
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△XXX沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值。
解析：转化成求AB'+B'N+NC的最小值。
二、典型题型
1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△XXX的周长的最小值为．
解析：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长。根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解。
解答：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△XXX的周长最短，最短的值是CD的长。
PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP。同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD。
COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD。
COD是等腰直角三角形。则CD=2OC=2×32=64.
分析】首先，把题目中的图形画出来，理清楚纸片折叠后的几何关系。然后，可以利用勾股定理求出三角形的边长，再根据两点之间线段最短的原理，确定点A′在BC边上可移动的最大距离。
一道几何题的多种思考
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一道几何题的多种思考
作者：董旗旗 魏春强
来源：《考试周刊》2013年第35期
问题［１］：在△ABC中，∠B=2∠A，则AC■=BC■+AB·BC.
经过多方面的思考，我们得出以下解法：
证明一：如图1，在△ABC中，∠B=2∠A.
图1
由正弦定理得：■=■
∴2BC·cosA=AC
∴cosA=■
又∵余弦定理：cosA=■
AC■（AB-BC）=BC·（AB-BC）（AB+BC）
当BC≠AB时，AC■=BC■+BC·AB；
当BC=AB时，此时△ABC为等腰直角三角形，等式依然成立.
证明二：如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点D.
图2
∴∠ABD=∠DBC=∠A
∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠ABC
∴△BDC≈△ABC
∴■=■=■
即有：BC■=DC·AC①
BC·AB=BD·AC② 龙源期刊网
∵AD=BD
∴①+②=AC■=BC■+AB·BC
证明三：如图3，利用三角形面积公式可得：
图3
S■=■×BC·AB·sinB①
S■=■×AB·AC·sinA②
由①=②得：cosA=■③
cosA=■④
由③=④得：AC■（AB-BC）=BC·（AB-BC）（AB+BC）
当BC≠AB时，AC■=BC■+BC·AB；
当BC=AB时，此时△ABC为等腰直角三角形，等式依然成立.