初中平面几何中的定值问题

合集下载

定值问题的证法

四、定值问题的证法定值问题在初中平面几何中已经多次遇到，只不过没有明确它们是“定值”而已！如：底边固定，顶点在与底边的直线上移动，则三角形的面积为定值；点在弓形弧上移动，则对底边所张的视角为定值；过圆内一定点任意作弦，则弦被该点所分的两部分之积为定值； ……由此可见，定值问题反映出某种“动态”之下不变的量，正是这种不变的量，才使我们深刻地理解并掌握该“动态”的规律，因此，定值问题有着十分丰富的内容，由它还可以引发出一些生动的故事，引起人们对几何产生浓厚的兴趣．许多定值问题有时摇身一变，而成为我们欲定的轨迹，有些定值命题又可用来求极大、极小值，由于这多种用途，很有必要掌握它们的证法．定值问题常用的证明思路：定值问题，实质上也是一个等量问题．因此，前面介绍的各种方法，都可运用在定值问题中，但针对定值的特点，还应注意以下几个方面．1、探求有时，定值问题中并没有具体给出定值来，这时就需要以特殊位置先求这个定值．特殊情况随题而异，通常以动线处于平行、垂直的位置较易算之；对变动的三角形，则又以正的、等腰、直角为宜；涉及到圆，则圆心、切线、公共弦……又有很多性质好为我们利用．2、转化设法转化成已知的定值问题． 3、途径当定值问题不能转化时，通常可沿如下三条途径去试着论证． (1)证任一情形与某特殊情形有相同之值； (2)证任二情形有相同之值；(3)把任一情形的值用题中给定的常量表示出来．这最后一条，正是以前所讲的计算方法，不过在这里，计算之初，有时要先设一个参变量，以体现“动态”之动，然后以参变量为媒介，计算欲定之值，最后化简得出欲算之值不含该参变量，就表明它在“动态”之中确实不变．例3.12 已知⊙O 1、⊙O 2，每一圆的圆心在另一圆周上，A 、B 是二圆之交点，过B 任作一割线分别交二圆于M 、N ，B 在M 、N 之间．试求：切圆于M 、N 之二切线间的夹角．探索：从题意看，随割线的位置不同，所求之角若变化，这样是求不出的，因此所求之角应与割线无关，故不妨以特殊位置先定其大小．相对于公共弦AB ，宜取与它垂直的割线M 0N 0，如图3-83，这时，由∠ABM 0=∠ABN 0=90o可知，AM 0、AN 0分别过各圆之圆心．故△AM 0N 0是正△，因而易知所求之角应为120o．依此证之如下：证法1：与特殊值皆等如上之探索，先作一特殊割线M 0N 0，再作任一割线MN ，如图3-84．图 3-83图 3-84∵ ∠M 0AM =∠M 0BM =∠N 0BN =∠N 0AN ，∴ ∠MAN =∠M 0AN 0=60o．由弦切角定理，∠TMN +∠TNM =∠MAB +∠NAB =∠MAN =60o．∴ ∠MTN =120o(定值)．证法2：任二值相等将上述证法中的M 0N 0换成任意位置M 1N 1，如图3-85，则照搬上述过程，可证出∠MTN =∠M 1T 1N 1，即二切线之夹角为定值．证法3：算出任一个由每个圆心在另一圆上可知：∠AO 1B =∠AO 2B =120o．对任一割线MN ，如图3-86，皆有：o 11602AMN AO B ∠=∠=，o 21602ANM AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．∴ αβ+=60o ⇒∠MTN =120o(定值)．本例的三种证法，体现了上面所述的证定值问题的三种途径．不过，单凭第二种，只能肯定是定值，而未能定出具体值，但任二情形当然也包括特殊的，故如探索，即可定出．最后补充一点：如图3-87，B 不在M 、N 之间．∵ ∠AMN =180o -∠AMB =180o-∠AO 2B =180o -120o =60o，o 21602ANB AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．又 ∠AMT =∠ABM ，∠ANT =∠ABM ，∴ A 、M 、N 、T 四点共圆⇒∠MTN =∠MAN =60o．即，如果题中省略“B 在M 、N 之间”，则二切线MT 、NT 的夹角是60o或120o．例3.13 定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆周上滑动，SP ⊥AB 于P ，M 是ST 之中点．求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．探索：题中没给出角的大小，故应以特殊位置S 0T 0探求．相对于AB ，以S 0T 0∥AB 为宜，因为这时具有对称性，如图3-88，容易看出：∠S 0P 0M 0=∠S 0OM 012=∠S 0OT 0．图3-85图3-86图3-870图 3-88依此看来，弦长一定，所对的圆心角也定，而定角正是这弦长一定的产物．依此，可得如下两种证法．证法1：化归为圆心角如图3-89，连结OM 、OS 、OT ，则有：OM ⊥ST ⇒S 、P 、O 、M 四点共圆⇒SPM SOM ∠=∠，而 12SOM SOT ∠=∠．∴ 12SPM SOT ∠=∠=定值．证法2：化归为圆周角为使定角移至圆周角，先画出全圆周，再延长SP 交另一半圆周于Q ，再连TQ ，如图3-90，则由中位线定理知：PM ∥QT ．故 ∠SPM =∠SQT =定值．例3.14 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o ，以D 为顶点任作一个60o的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．求证：△AMN 的周长等于2．分析：因2AB BC +=，容易看出：△AMN 的周长等于2⇔MN BM CN =+，于是，只需证后式即可．为此，在MN 上取点E ，无论是使M DE M DB ∠=∠，还是使ME MB =，或是使DE ⊥MN ，企望直接用全等形去证：E 把MN 分成的两段恰与BM 、CN 分别相等，因缺一条件而遇到困难．既然直接去证困难，我们改用间接去证．证法1：同一法如图3-92，作M D E M D B ∠=∠，且使DE DB =，则有：△MDE ≌△MDB ⇒M ED M BD ∠=∠=90o． ∵ DB DC =， ∴ DE DC =．又 NDE MDE MDN ∠+∠=∠=60o．NDC MDB ∠+∠=120o MDN -∠=60o．∴ NDE NDC ∠=∠． ∴ △NDE ≌△NDC ⇒NED NCD ∠=∠=90o．∴ M 、E 、N 三点共线，即E 在MN 上．再由两组全等形知：BM EM =，CN EN =， ∴ MN BM CN =+．证毕．既然把MN 分成两段去证有难度，何不反过来，把BM 、CN 合成一段！即有：证法2：作出线段和如图3-93，延长MB 至F ，使BF CN =，连结DF ．则易知：Rt △BDF ≌Rt △CDN ⇒BDF CDN ∠=∠，DF DN =．从而有 MDF MDN ∠=∠=60o．图 3-89图3-90图3-91图 3-92图 3-93∴ △MDF ≌△MDN ，∴ MN MF BM CN ==+．证毕．作出图3-93中的辅助线还有下列方式：作BDF CDN ∠=∠，使DF DN =(或使DF 交MB 的延长线于F )，或将△CDN 绕点D 逆时针旋转120o，然后去证都行的通，自行不妨一试．当然，也可在NC 的延长线上作出MB ，但无本质区别．如果一时引不出辅助线，也可采用计算的办法，因为本例中含有直角等一些特殊角．证法3：计算如图3-94，设BM a =，CN b =，在△CDN 中，由余弦定理：222o 2cos60MN AM AN AM AN =+-⋅⋅22(1)(1)(1)(1)a b a b =-+---- 221()a b a b ab =++-+-在△BDC 中，易算得BD CD ==故tan α，tan β=．又tan 60tan()o αβ==+=，∴ 1()3a b ab -+=，∴ 22222()MN a b ab a b =++=+，即 MN BM CN =+．引申：对本例细加分析，就可看出它的来源，并加以推广．首先，从证法1中容易看出：自D 作DE ⊥MN于E ，如图3-95，则有DE DB DC ==，故以D 为圆心，以DB 为半径画圆，则BMNC 正是与此圆相切的折线，切点为B 、E 、C ．于是，原题的条件和结论：12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，都是十分显然的，因此，原命题之逆也是一个定值问题，即有：例3.15 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o，∠MDN 的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．若△AMN 的周长等于2，则∠MDN 为定值(60o)．从图3-95中进一步可看出，保持相切关系不变，当切点B 或C 在圆上滑动时，如图3-96，则正三角形变为等腰三角形，此时，12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，仍然成立．再隐去相切之圆，可得到如下推广：例3.16 已知等腰△ABC 中，AB AC =，D 与A 在BC 之异侧，且BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，M 、N 分别在AB 、AC 上．则12MDN BDC ∠=∠⇔△AMN 的周长等于2AB ．这再一次表明：深挖一下题目的背景和来源，有利于我们加深理解并加以推广．图3-94图3-95图 3-96如前所述，定值问题也可用来解决极值问题，对此，请看一道赛题．例3.17 设定点A 位于定圆⊙O 外，自A 引⊙O 的二切线AB 、AC ，再在劣弧 BC上任取一点P ，过P 引切线分别与AB 、AC 相交于M 、N ，如图3-97．试问：P 点在劣弧 BC上移动到何处时，△AMN 的面积最大？并证明之．证法1：利用定值由上例可知：△AMN 的周长为定值．而周长为定值的三角形以正三角形的面积为最大．又因∠MAN 为定角，故△AMN 只能以等腰时的面积为最大，因此，当P 处于 BC的中点时，△AMN 的面积为最大．证法2：计算如图3-97，设⊙O 的半径为r ，△AMN 的面积为S ．则：S ABOC BMNCO =-四边形的面积五边形的面积2MNO ABOC S ∆=-四边形的面积，由于四边形ABOC 的面积为定值，12MNO S r MN ∆=⋅，故当MN 最小时，S最大．记BOM α∠=，CON β∠=，则有：tan MP BM r α==，tan PN CN r β==，所以，(tan tan )tan()(1tan tan )MN MP PN r r αβαβαβ=+=+=+-，其中，1tan()tan tan 2r r BOC r BOA αβ+=∠=∠AB =为定值，而cos cos sin sin 2cos()1tan tan cos cos cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβ-+-==-++，故知当αβ=时，MN 达到最小值．此时易知，P 是 BC的中点．所以，当P 滑动到 BC的中点时，△AMN 的面积最大．进而，我们还可以求出△AMN 面积的最大值来：如图3-98，当△AMN 的面积S 最大时，易知P 也是MN 与AO 的交点．设AO a =，则cos()cos OB rBOA OA aαβ+=∠==， ∴ 221tan tan 1r a rr a a rαβ-==++．又tan()tan AB BOA OB αβ+=∠= ∴2r MN r a r ==+最小图 3-97图 3-98∴ 12S AP MN =⋅=最大最小当然，MN 的最小值也可由△AMP ∽△AOB 求出：MP APBO AB =⇒BO AP MP AB ⋅===⇒2MN MP ==最小．此外，还有定位问题，即在动态之中，某些动线恒过定点等，它们也很有趣．请看下节的例3.26．。

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

2
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在 AB 上滚动，切点为 T，⊙O 交 AO，BO 于 M，N，则弧 MTN（）
A.在 0°到 30°变化
B.在 30°到 60°变化
C.保持 30°不变
D.保持 60°不变
5.如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交，记点 A，B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）
A
C
(P) O
D
B
①
D
A
C P O
B D ①
D
C
PB O
D ①
O
C A
P
①
B
O
C
P
A (B)
①
O
(D)C
A(B)
P ①
（2）已知⊙O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点 E，F. PE·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.
（第 7 题图）
（第 8 题图）
8.如图，设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距离变小，这时乘积 S△ABC·S△HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 1 x 2 4 x 10 与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点 18 9
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）
【例 1】如图，已知 P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧A⌒D上任意一点.求证： PA PC 为定值. PB

人教版初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)

人教版初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图）（第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图）（第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图）（第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图）（第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点．例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角．例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35．例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。

平面几何中的定值问题初探

,
。
:
法)
,
已知尸为正方体对角线的六等分点例6 过只点且与对角线垂直的截面
.
.
,
试画
2 ) 过M (
R
作直线交 A B
。
,
BC于F
G
.
则
D B
,
分析与画法
:
,
:
如图
,
因截面刁 B I C 垂直对角线
:
.
F 口 F 尸确定的截面为所画的截面
,
,
2
.
5尸
,
,
S Q
所确定的平面
,
,
截面
,
平面ABC
,
面上三点分析
、
试画过这三点的截面
.
。
两两相交
.
画法
。
:
且交线易于确定 O ) 作过 S 尸 S Q 的截面交 A B
.
E
.
令 DE
尸
Q 交于 M 〔若尸 Q 刀 E D
,
,
读者考虑作
,
C B
于0
,
若将棱柱理解为顶点在无限远处的棱淮此题解法就与例 4 完全相似了只是辅助平面便由过 R Q 作平行于侧棱的两平行线所确定
,
·
·
等于其它两边的积
AC
·
A D = ZR A C A刀月E A F
·
A
H
A E
·
A F = R卜 A H 二

初中数学-平面几何的定值问题

平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.AP【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.AABCDEF（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（）A .30°B .40°C .50°D .60° 5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（）A ．在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动AB'B（第5题图）（第6题图）6.如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（） A .3 B .6 C .9 D .127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.。

解析几何中定值和定点问题

解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x ²/4+y ²/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A （1,3/2）另一个是E （x1，y1） ①代入②消去y 得（1/4+k ²/3）x ²-（2k ²/3-k ）x+k ²/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k ²/3-k-1/4）/（1/4+k ²/3）③ 将③的结果代入①式得y1=（-k ²/2-k/2+3/8）/(1/4+k ²/3)设AF 斜率为-k ，F （x2，y2）则AF 方程为y-（3/2）=-k （x-1）④ x ²/4+y ²/3=1 ② ②④联立同样解得x2=（k ²/3+k-1/4）/（1/4+k ²/3） y2=（-k ²/2+k/2+3/8）/（1/4+k ²/3） EF 斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

初中数学培优之平面几何的定值问题

解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答

专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。

)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程；若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。

这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF= 。

方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中点。

此种方法只适合小题。

方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。

方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅AB PE PF ⇒=+总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB 的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。

设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。

此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。

）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?方法1：三角形相似进行量的转化ABM PBE PCF∆∆∆,AM PE PF AM PB AM PCPE PF AB PB PC AB AB⋅⋅⇒==⇒==()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+====（板书）（M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅642455BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点）（板书）（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。

）(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间有什么联系，能不能用一个等式来表示？学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。

叫用方法1的同学先站起来回答，然后再叫用方法2的同学。

以达到过渡到下一题的目的。

）问：我把题中的5改为a ，6改为b ，PE+PF 还是定值吗？你能求出这个定值吗？答：是定值，求解方法不变。

问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=bh a⋅(a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问题？答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。

在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。

过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域运动，请看：【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 任意一动点， P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？（由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC∆∆∆∆=++⇒⋅=⋅+⋅+⋅PE PF PD AM ⇒++= 为定值（M 为BC 中点）（板书）可以用几何画板度量长度，进行演示（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）过渡：研究完了P 在三角形部运动的情况，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去，情况又会有何变化？【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？图1 图2 图3CCC在几何画板中操作，发现当点P 移出三角形时，h 1＋h 2＋h 3发生改变，那么h 1,h 2,h 3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？△PAB ，△PBC ，△PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不变的三角形ABC 的面积有何关系？（直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）图1：ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC PD ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PF PD AM ⇒+-=为定值（板书）图2：ABC ACP BCP ABP S S S S BC AM AC PF BC PD AB PE ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PF PD PE AM ⇒+-=为定值（只把结论板书）图3：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅PE PD PF AM ⇒+-=为定值（只把结论板书）图1 图2 图3 图1：ABC ACP ABP BCP S S S S BC AM AC PE AB PF BC PD ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PF PE PD AM ⇒--=为定值（板书）图2：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PE PD PF AM ⇒--=为定值（只把结论板书）图3：ABC BCP ABP ACP S S S S BC AM BC PD AB PE AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅PD PE PF AM ⇒--=为定值（只把结论板书）（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。

）（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。

）过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

C【问题2】已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C. 求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答：此题中的不变量是弧AB ，因此∠AMB 也是不变量；不变关系是相切。

问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1：问：要证∠ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB 有定值，只需证∠CAB+∠CBA 是定值，只需证∠MAB+∠MBA 是定值，只要∠AMB 是定值即可。

证明：在△ABC 中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB ， ∵M 是△ABC 的心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA ）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB －180＝60. ∴∠ACB 有定值60.方法2：问：要证∠ACB 有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证∠ACB 有定值，只需证∠EMF 是定值，只需证∠EMD+∠FMD 是定值，只要∠AMD+∠BMD 即∠AMB 是定值即可。

证明：在四边形CEMF 中，∠C+∠EMF=180， ∵M 是△ABC 的心，∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB ∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240∴∠EMF=120∴∠C =180-∠EMF=60总结：若要证的不变量比较困难，你可以先找找题中比较容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。

（设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，本题以圆为背景，研究角的定值问题。

）过渡：上题是道有关定值的证明题，也就是已经明确方向肯定是定值了，若不是证明题呢？【问题3】已知：O是如图同心圆的圆心,AB是大圆的直径?点P是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由.分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。

①点P放在直径AB上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.②点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.说明PA2＋PB2非常有可能是定值，而且这个值为2（R2＋r2）证明：（直角三角形计算法）PA2＋PB2＝HA2＋PH2+PH2＋HB2＝2PH2＋(OH+R)2+(R-OH)2 ＝2PH2＋2OH2+2R2=2(PH2＋OH2) +2R2=2r2＋2R2解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：①先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.②再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.结束语：数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。

希望同学们能够把握动态几何的解题规律。

【小结】问：这节课我们学习了一类怎么样的问题？用什么方法解决？答：动态几何中的定值问题特点：图形中的某个元素，按某种规律在运动类型：（1）点动（2）线动（3）旋转、平移（4）形变解题思路：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形之间的在联系，找到解题的途径。