中考压轴冲刺二 动态几何定值问题

中考压轴冲刺二 动态几何定值问题本类问题主要有三种：1、线段（和差）为定值问题；2、角度（和差）为定值问题；3、面积（和差）为定值问题。

解答本类问题的方法，1 、先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置；2、找出定值的表达式，然后写出证明.类型一 【线段及线段的和差为定值】例1、已知：△ABC 是等腰直角三角形，△BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D △AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当△CA ′D ＝15°时，作△A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．△写出旋转角α的度数；△求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接P A ，PF ，若AB ，求线段P A +PF 的最小值．（结果保留根号）类型二 【线段的积或商为定值】例2、如图△，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图△，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图△，在旋转过程中，PE PF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ；△在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积；△在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.类型三 【角及角的和差定值】例3、如图，在△ABC 中，△ABC ＞60°，△BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．（1）若△ABC =90°，△BAC =30°，求△BDC 的度数；（2）当△BAC =2△BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由；（3）当△BCD 等于多少度时，△BAC =2△BDC 恒成立．类型四 【三角形的周长为定值】例4、如图，现有一张边长为的正方形ABCD ，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H ，折痕为 EF ，连接 BP ，BH .（1）求证：EPB EBP ∠=∠；（2）求证：APB BPH ∠=∠；（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由； （4）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式.类型五【三角形的面积及和差为定值】例5、综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中△MQN与旋转角△AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角△AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）练习：1．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，△BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，（1）如图1，当AE△BC时，求线段BE、CG的长度．（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（3）如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF△BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．3．如图，四边形ABCD中，AD△BC，△ABC=90°．(1)直接填空：△BAD=______°.(2)点P在CD上，连结AP，AM平分△DAP，AN平分△P AB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设△DAM=α°．△求△BAN 的度数(用含α的代数式表示)．△若AN △BM ，试探究△AMB 的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用α的代数式表示它．4．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A 旋转，连接BC ，DE ．探究S △ABC 与S △ADC 的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图△）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图△）（3）两块三角板中，△BAE +△CAD ＝180°，AB ＝a ，AE ＝b ，AC ＝m ，AD ＝n （a ，b ，m ，n 为常数），S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，用含a ，b ，m ，n 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图△）5．（解决问题）如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．ABC ∆10AB AC ==CG AB ⊥G P BC P PE AB ⊥PF AC ⊥E F（1）若，，则的面积是______，______．（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值．6．如图，已知锐角△ABC 中，AB 、AC 边的中垂线交于点O3PE =5PF =ABP ∆CG =PE PF CG ABC ∆10AB AC BC ===P ABC ∆PE BC ⊥PF AC ⊥PG AB ⊥E F G PE PF PG ++ABCD EF D B C C 'P EF P PG BE ⊥PH BC ⊥G H 8AD =3CF =PG PH+（1）若△A=α（0°＜α＜90°），求△BOC；（2）试判断△ABO+△ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．7．△O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE△CD交AB于E，DF△CD交AB于F．（1）求证：AE＝BF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点．（1）直接写出点D的坐标及AB的长；（2）若直角△NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．△当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM△△MON，求点N的坐标；△在直角△NDM绕点D旋转的过程中，△DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．9．如图，在菱形ABCD中，△ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接P A，PE，AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求四边形ABDE的周长和面积；（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：△C1+C2，△S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．10．如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：△当△PDE的周长最小时的点P坐标；△使△PDE的面积为整数的点P的个数．。