七年级的动态几何图形问题

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《易错题》七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项(含答案)

一、解答题1．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点．(1)用1个单位长度表示1cm，请你在数轴上表示出A，B， C三点的位置；(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm.(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索:CA−AB的值是否会随着t的变化而改变?请说明理由．解析：（1）数轴见解析；（2）6；（3）CA−AB的值不会随着t的变化而改变，理由见解析；【分析】（1）在数轴上表示出A，B，C的位置即可；（2）求出CA的长即可；（3）不变，理由如下：当移动时间为t秒时，表示出A，B，C表示的数，求出CA-AB的值即可做出判断．【详解】(1)如图:(2)CA=4−(−2)=4+2=6cm，(3)不变，理由如下:当移动时间为t秒时，点A. B. C分别表示的数为−2+t、−5−2t、4+4t，则CA=(4+4t)−(−2+t)=6+3t，AB=(−2+t)−(−5−2t)=3+3t，∵CA−AB=(6+3t)−(3+3t)=3∴CA−AB的值不会随着t的变化而改变.【点睛】此题考查数轴，两点间的距离，整式的加减，列代数式，解题关键在于结合数轴进行解答. 2．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n-条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n-条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.3．如图所示，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=22°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数.解析：5°【解析】【分析】首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得∠AOE =12∠AOD ，进而得到答案．【详解】∵∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°，∴∠AOD =35°+50°+22°=107°．∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =12∠AOD =12×107°=53.5°，∴∠BOE =∠AOE －∠AOB =53.5°－35°=18.5°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．4．如图，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC 为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．解析：6π立方厘米【解析】试题分析：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可．试题过B 作BD ⊥AC ，∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，∴AC=2234=5（厘米），斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米），所形成的立体图形的体积：132.42 5 =9.6π（立方厘米）．5．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．(1)若DE=9cm，求AB的长.(2)若CE=5cm，求DB的长．解析：（1）AB=18；（2）DB=15.【分析】（1）由线段中点的定义可得CD=12AC，CE=12BC，根据线段的和差关系可得DE=12AB，进而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．∴CD=12AC，CE=12BC，∵DE=CD+CE=9，∴12AC+12BC=12(AC+BC)=9，∵AC+BC=AB，∴AB=18.（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，∴AC=BC，CE=BE=12BC，，AD=CD=12AC，∴AD=CD=CE=BE，∴DB=CD+CE+BE=3CE，∵CE=5，∴DB=15.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．6．如图，点B和点C为线段AD上两点，点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，M是AD的中点，若MC＝2，求AD的长．解析：AD=36.【分析】根据点B、C将AD分成2︰3︰4三部分可得出CD与AD的关系，根据中点的定义可得MD=12AD，利用MC=MD-CD即可求出AD的长度.【详解】∵点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD，∵M是AD的中点，∴MD=12 AD，∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2，∴AD=36.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．7．已知直线l上有三点A、B、C，AB=3，AC=2，点M是AC的中点.(1)根据条件，画出图形；(2)求线段BM的长.解析：（1）见解析；（2）2或4.【分析】（1）分C点在线段AB上和C点在BA的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB的长即可.【详解】（1）点C的位置有两种：当点C在线段AB上时，如图①所示：当点C在BA的延长线上时，如图②所示：（2）∵点M 是AC 的中点，AC=2，∴AM=CM=12AC=1，如图①所示，当点C 在线段AB 上时，∵AB=AM+MB ，AB=3，∴MB=AB-AM=2.如图②所示：当点C 在BA 的延长线上时，MB=AM+AB=4.综上所述：MB 的长为2或4.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 8．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”解析：34个【分析】在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个.【详解】用逆推法：解： ()32221234⎡⎤⨯+⨯+⨯=⎣⎦（个）【点睛】送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个.9．（1）如图，AC =DB ，请你写出图中另外两条相等的线段．（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m ，则首尾两颗大树之间的距离是_____．解析：(1)AB=CD ；(2)10.5m.【分析】（1）根据等式的性质即可得出结论；（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．【详解】（1）因为AC =BD ，∴AC －BC =DB －BC ，即AB =CD ．（2）设首尾之间的距离为x ，由8棵树之间共有7段间隔，可得x =7×1.5=10.5（m ）．故答案为：10.5m ．【点睛】本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．10．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.解析：如图①，（1）见解析，理由：两点之间线段最短；（2）见解析.【分析】（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到G的最短途径．（2）分情况讨论，作图解答即可.【详解】（1）如图①，理由：两点之间线段最短．（2）如图②，这种最短路线有4条．【点睛】本题考查了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平面图形是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．11．说出下列图形的名称．解析：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【分析】根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．【详解】根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【点睛】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别.12．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.解析：40°【分析】根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.【详解】解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠，40120=︒+︒，160=︒，又∵OD 平分AOC ∠， ∴1802AOD AOC ∠=∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠，8040=︒-︒， 40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用.13．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可．（3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时，分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =．②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时： 11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．14．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a相等；（2）在射线OD上作线段OD′，使OD′与线段b相等；（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.解析：详见解析【解析】【分析】（1）以点O为圆心，a为半径作圆，分别交射线OA，OB，OC于A′、B′、C′；、（2）以点O为圆心，b为半径作圆，分别交射线OD，于D′.（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.（2）如图所示OD′.（3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.15．仓库里有以下四种规格且数量足够多的长方形、正方形的铁片（单位：分米）．从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒（不浪费材料），甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒．（1）甲型盒的容积为________立方分米；乙型盒的容积为________立方分米；（直接写出答案）（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒入一个水平放置的甲型盒，甲型盒中水的高度是多少分米？（铁片厚度忽略不计）解析：（1）40，8；（2）甲型盒中水的高度是2分米【分析】（1）甲型盒是由2块规格①、1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，可得一个长为2分米，宽为4分米，高为5分米的长方体，其中规格②为长方体的底，可求体积为40立方分米，乙型盒是容积最小，即长宽高最小，可得到长宽高都为2分米的正方体，体积为8立方分米，（2）甲盒的底面为长2分米，宽为4分米的长方形，根据体积相等，可求出高度．【详解】（1）因为甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的，⨯⨯=（立方分米）．所以甲型盒的容积为24540乙型盒容积最小，即长、宽、高最小，因此乙型盒为长、宽、高均为2分米的正方体，⨯⨯=（立方分米），容积为2228故答案为40，8．⨯=（平方分米），（2）甲型盒的底面积为248⨯=（立方分米），两个乙型盒中的水的体积为8216÷=（分米）．所以甲型盒内水的高度为1682答：甲型盒中水的高度是2分米．【点睛】考查长方体、正方体的展开与折叠，长方体、正方体的体积的计算方法，掌握折叠后的长方体或正方体的棱长以及体积相等是解决问题的关键．16．计算（1）34°41′25″×5；（2）72°35′÷2＋18°33′×4．解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．【详解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．17．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．解析：画图见详解.【分析】分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所有看到的棱都要表示到三视图中.【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查了三视图的画法，所有看到的棱都要在三视图中表示出来是画图的关键. 18．如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图(单位：cm).从A，B两题中任选一题作答.cm.A．该长方体礼品盒的容积为______3B．如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为____cm.解析：A:800；B:146【分析】A:根据题意可以得到长方体的长为16宽为10高为5，即可求出体积.B:依据题意展开，计算即可.【详解】解：A:根据题意高为20-15=5 宽为15-5=10 长为 26-10=16V=16×10×5=800B:依据题意展开如图周长=5×2+16×6+10×4=146【点睛】此题主要考查了立体图形体积计算及最大展开周长，注意最大展开周长一定是最长棱长最多的.19．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．解析：（1）见解析；（2）72°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．20．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．【分析】设这个锐角为x度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个锐角为x度，由题意得：()18049030x x-=--，解得50x=．即这个锐角的度数为50︒．905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．【点睛】本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 21．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ．解析：（1）-4；（2）-88【分析】（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值．【详解】（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-，所以1021p =+-=-；若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-，所以3104p =--+=-．（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．【点睛】本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．22．如图，C ，D 两点将线段AB 分成2:3:4三部分，E 为线段AB 的中点，6cm AD =．求：（1）线段AB 的长；（2）线段DE 的长．解析：（1）10.8cm ；（2）0.6cm【分析】（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =，则根据6cm AD =列式计算即可. （2）由E 为线段AB 的中点，且根据（1）知AB 的长为10.8cm ，即可求出DE 的长．【详解】（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =．则有236x x +=，解得 1.2x =．则234910.8x x x x ++==．所以AB 的长为10.8cm ．（2）因为E 为线段AB 的中点，所以1 5.4cm 2AE AB ==．所以6 5.40.6cm DE AD AE =-=-=【点睛】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键． 23．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥（2）求该几何体的体积．解析：（1）C ；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．24．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可．【详解】（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠．因为108AOC ∠=︒，所以54BOD ∠=︒【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，25．如图，射线OA 的方向是北偏东15°，射线OB 的方向是北偏西40°，∠AOB ＝∠AOC ，射线OE 是射线OB 的反向延长线.(1)求射线OC 的方向角；(2)求∠COE 的度数；(3)若射线OD 平分∠COE ，求∠AOD 的度数.解析：(1)射线OC 的方向是北偏东70°；(2)∠COE ＝70°；(3)∠AOD ＝90°.【分析】（1）先求出∠AOC=55°，再求得∠NOC 的度数，即可确定OC 的方向；（2）根据∠AOC=55°，∠AOC=∠AOB ，得出∠BOC=110°，进而求出∠COE 的度数；（3）根据射线OD 平分∠COE ，即可求出∠COD=35°再利用∠AOC=55°求出答案即可．【详解】(1)∵射线OA 的方向是北偏东15°，射线OB 的方向是北偏西40°即∠NOA ＝15°，∠NOB ＝40°，∴∠AOB ＝∠NOA ＋∠NOB ＝55°，又∵∠AOB ＝∠AOC ，∴∠AOC ＝55°，∴∠NOC ＝∠NOA ＋∠AOC ＝15°+ 55°70=°，∴射线OC 的方向是北偏东70°.(2)∵∠AOB ＝55°，∠AOB ＝∠AOC ，∴∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝55°+55°＝110°，又∵射线OD 是OB 的反向延长线，∴∠BOE ＝180°，∴∠COE ＝180°－110°＝70°，(3)∵∠COE ＝70°，OD 平分∠COE ，∴∠COD ＝35°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝55°+35°＝90°.【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．26．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析.【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论；（2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论．【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒， 180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒，9060150COB ∴∠=︒+︒=︒，∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒， 756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）COD ∠是直角，AOC a ∠=，1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-，9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-，∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-， ()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=．（3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠， 90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，即2AOC DOE ∠=∠．【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 27．已知，A 、B 是线段EF 上两点，已知EA ：AB ：BF=1：2：3，M 、N 分别为EA 、BF 的中点，且MN=8cm ，求EF 的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x ，AB=2x ，BF=3x ，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12. 【详解】解：∵EA ：AB ：BF=1：2：3，可以设EA=x ，AB=2x ，BF=3x ，而M 、N 分别为EA 、BF 的中点， ∴MA=12EA ，NB=12BF ， ∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x ， ∵MN=8cm ，∴4x=8，∴x=2， ∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF 的长为12cm ．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.28．如图，点C 是AB 的中点，D ，E 分别是线段AC ，CB 上的点，且AD ＝23AC ，DE ＝35AB ，若AB ＝24 cm ，求线段CE 的长．解析：CE ＝10.4cm ．【分析】根据中点的定义，可得AC 、BC 的长，然后根据题已知求解CD 、DE 的长，再代入CE=DE-CD 即可.【详解】∵AC=BC=12AB=12cm ，CD=13AC=4cm ，DE=35AB=14.4cm ， ∴CE=DE ﹣CD=10.4cm. 29．如图所示，点A 、O 、C 在同一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，90EOF ∠=︒，()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒.（1）求1∠的度数（请写出解题过程）.（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画DOF COF ∠=∠，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由.解析：（1）1140∠=︒；（2）边OD 与边OB 成一直线，理由详见解析.【分析】（1）因为OE 是∠BOC 的平分线所以∠BOC=2∠2，再根据点A 、O 、C 在一直线上，求出∠1和∠2关于x 的关系式，列出等式求出x 的值；（2）根据∠EOF=∠EOC+∠COF=90°和∠EOC=12∠BOC ，∠FOC=12∠DOC ，12∠BOC+12∠DOC=90°，得出∠BOC+∠DOC=180°，进而可可判断边OD 与边OB 成一直线．【详解】（1）因为OE 是BOC ∠的平分线，所以22BOC ∠=∠，因为点A 、O 、C 在同一直线上，所以1180BOC ∠+∠=︒，又因为()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒，所以()()420210180x x ++-=，解得：30x =，1140∠=︒（2）边OD 与边OB 成一直线.理由：因为90EOF EOC COF ∠=∠+∠=︒，又因为12EOF BOC ∠=∠，12FOC DOC ∠=∠. ∴119022BOC DOC ∠+∠=︒，即180BOC DOC ∠+∠=︒，所以点D 、O 、B 在同一直线上，即边OD 与边OB 成一直线.【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系.30．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB＝°，∠COB+∠BOD＝①所以∠AOC＝．②因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝°．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：．解析：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB＝90 °，∠COB+∠BOD＝90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．【点睛】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．。

冀教版数学七年级上册第5课时几何图形及动点问题同步课件

解得y=5或15 ，
故5或
1 5
秒钟后QA=2QB．
随堂演练
1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ D ）
A.12cm B.18cm C.24cm D.30cm
2.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳
池,且游泳池的宽比长短10 m,设游泳池的长
Q
4
解得 t=3.
A P
B
答：当t =2(s)时，AQ=AP；当t =3(s)时，AQ+AP等于
长方形ABCD周长的 1 . 4
问题在例1的情境中，如果点P到达点B后沿BC方向继续运动，点Q到
达点A后沿AB方向继续运动，如图所示．当点P到达点C时，点P和点
Q同时停止运动．试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段CP长度
的一半．
D
C
P
A Q
B
解：设再运动t s时，有
AQ 1 CP，AQ t，CP=6-2t. 2
依题意，得
t= 1 (6 2t) 2
D
C
解得
Q
t=1.5.
答：当t=1.5时，线段AQ的长度等于线段 A P
B
CP长度的一半．
几何图形问题
归纳：将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类
新问题，解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.
2
因为点N在CQ上，CQ＝3CN，所以CN＝3t，
2
所以在数轴上点N表示的数是7－3t，
2
所以MN＝7－3t－(－13＋5t)＝20－19t.
2
2
6
(3)当t为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点？

七年级动点问题三角形

七年级动点问题三角形
摘要：
一、动点问题的引入
二、七年级动点问题的三角形类型
三、解决动点问题的方法与技巧
四、动点问题在实际生活中的应用
五、总结与展望
正文：
动点问题在七年级数学中是一个重要的内容，它涉及到图形的运动和变化，是几何知识中的一个难点。

本文将详细介绍动点问题的引入，七年级动点问题的三角形类型，解决动点问题的方法与技巧，以及动点问题在实际生活中的应用。

动点问题的引入主要依赖于图形的运动，比如平移、旋转等。

通过观察图形的运动，我们可以发现动点问题的规律。

在七年级的数学课程中，动点问题主要体现在三角形的运动上。

七年级动点问题的三角形类型主要有以下几种：
1.动点在三角形的内部，且三角形的三边长度不变。

2.动点在三角形的边界上，如顶点或边上。

3.动点在三角形外部，且与三角形有某种关系，如距离不变或角度不变。

解决动点问题的方法与技巧主要是观察和分析。

观察动点的运动轨迹，分析它与三角形的关系，从而找到解决问题的方法。

在解决动点问题时，我们需
要灵活运用几何知识，如全等三角形、相似三角形等。

动点问题在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、机械制造等领域，动点问题可以帮助我们更好地理解和设计图形的运动。

在计算机图形学中，动点问题也有重要的应用，如动画制作、游戏设计等。

总的来说，动点问题是七年级数学中的一个重要内容，它涉及到图形的运动和变化，需要我们灵活运用几何知识来解决。

七年级下册数学三角形全等动点问题

初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点BBCPA CQBPA QDBCPAA运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC.请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

第四章第06讲难点探究专题：几何图形中动态问题七年级数学上册同步学与练(北师大版2024)[含答案]

第06讲难点探究专题：几何图形中的动态问题（5类热点题型讲练）目录【考点一利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】【考点二几何图形中动角求定值问题】【考点三几何图形中动角探究数量关系问题】【考点四几何图形中动角求运动时间问题】【考点五几何图形中动角之新定义型问题】【考点一利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】例题：（24－25七年级上·全国·期末）1．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线,120OC BOC Ð=°，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10/s °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 s 时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð（图②）．【变式训练】（23－24七年级下·广东广州·期末）2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知30D Ð=°，60E Ð=°，45B C Ð==°∠，若保持三角板ADE 不动，将三角板ABC 绕点A 在平面内旋转．当AB DE ^时，EAC Ð的度数为．（23－24七年级下·天津和平·期中）3．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC 和含有30°角的直角三角板BDE 尝试完成探究．试探索；保持三角板ABC 不动，将45°角的顶点与三角板BDE 的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE ，使得ABD Ð与ABE Ð中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的ABE Ð的度数．【考点二几何图形中动角求定值问题】例题：（23－24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）4．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．(1)如图①，三角尺ABP 的直角顶点P 在直线CD 上，点A ，B 在直线CD 的同侧．若40APC Ð=°，求BPD Ð度数．(2)绕点P 旋转三角尺ABP ，使点A ，B 在直线CD 的同侧，如图②，若PM 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，他们发现MPN Ð的度数为定值，请你求出这个定值．(3)绕点P 旋转三角尺ABP ，使点A ，B 在直线CD 的异侧，PM 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，设BPD a Ð=，如图③，探究MPN Ð的度数．【变式训练】（23－24七年级上·江苏徐州·期末）5．已知110AOB Ð=°，40COD Ð=°．OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð．(1)如图①，当OB OC ，重合时，求AOE BOF Ð-Ð的值；(2)当COD Ð从图①所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（010t <<）；在旋转过程中AOE BOF Ð-Ð的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（23－24七年级下·陕西榆林·开学考试）6．【问题情境】已知，120AOB Ð=°，40COD Ð=°，OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð．【特例分析】（1）如图1，当OB 、OC 重合时，求AOE BOF Ð-Ð的值；【深入探究】（2）如图2，当OB 、OC 不重合，OC 在OB 的下方时，设BOC x Ð=，AOE BOF Ð-Ð 的值是否会因为x 的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；【问题解决】（3）在（2）的条件下，当12COF Ð=°时，求ÐBOE 的度数.（23－24七年级上·广东汕头·期末）7．如图，90AOB Ð=°，40DOE =°∠角的顶点O 互相重合，将AOB Ð绕点O 旋转．(1)当射线OB ，OD 重合时，AOE Ð=______°，(2)在AOB Ð绕点O 旋转的过程中，若射线OB ，OD 与OE 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则BOD Ð的度数为______；(3)在AOB Ð绕点O 旋转的过程中，若射线OB 始终在DOE Ð的内部．①普于思考的小明发现，在旋转过程中，AOE BOD Ð-Ð的值为定值，请你求出这个定值；②作BOD Ð和AOE Ð的平分线OM ，ON ，在旋转过程中MON Ð的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．【考点三几何图形中动角探究数量关系问题】例题：（23－24七年级上·吉林·期末）8．已知90AOB COD Ð=Ð=°，OE 平分BOC Ð．(1)如图，若30AOC Ð=°，则DOE Ð的度数是______°；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“30AOC Ð=°”改为“AOC Ð是锐角”，猜想DOE Ð与AOC Ð的关系，并说明理由．【变式训练】（23－24六年级下·山东烟台·期中）9．如图，90EOC Ð=°，请你根据图形，求解下列问题：(1)在,,,EOA AOC EOB EOD ÐÐÐÐ中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“<”把它们连接起来；(2)BOD Ð是哪两个角的和？(3)写出,,,EOD EOC DOC EOA ÐÐÐÐ中某些角之间的两个等量关系；(4)如果EOD COB Ð=Ð，则BOD Ð的度数为_________°．（2024七年级上·河北·专题练习）10．已知O 为直线AB 上一点，射线OD OC OE 、、位于直线AB 上方，OD 在OE 的左侧，120AOC Ð=°，80DOE Ð=°．(1)如图1，当OD 平分AOC Ð时，求EOB Ð的度数；(2)点F 在射线OB 上，若射线OF 绕点O 逆时针旋转n °（0180n <<且60n ¹），3FOA AOD Ð=Ð．当DOE Ð在AOC Ð内部（图2）和DOE Ð的两边在射线OC 的两侧（图3）时，FOE Ð和EOC Ð的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．（23－24七年级上·福建福州·期末）11．如图1，将一副三角板的直角顶点C 叠放在一起．(1)观察分析∶若30DCE Ð=°，则ACB =∠ ，若145ACB Ð=°，则DCE Ð= ；(2)猜想探究∶如图2，若将两个同样的三角尺，60°锐角的顶点A 重合在一起，请你猜想DAB Ð与CAE Ð有何关系，请说明理由；(3)拓展应用∶如图3，如果把任意两个锐角AOB COD ÐÐ、的顶点O 重合在一起，已知AOB a Ð=，COD b Ð=（a 、b 都是锐角），请你直接写出AOD Ð与BOC Ð的关系．（23－24七年级上·江苏苏州·期末）12．数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB 的直角顶点O 放在直尺EF 的边缘，将直角三角板绕着顶点O 旋转．(1)若三角板AOB 在EF 的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现AOE Ð、BOF Ð的大小发生了变化，但它们的和不变，即AOE BOF Ð+Ð=______°．(2)若OA 、OB 分别位于EF 的上方和下方，如图2所示，则AOE Ð、BOF Ð之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；(3)射线OM 、ON 分别是AOE Ð、ÐBOE 的角平分线，若三角板AOB 始终在EF 的上方，则旋转过程中，MON Ð的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点四几何图形中动角求运动时间问题】例题：（23－24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）13．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中45ABC ACB Ð=Ð=°，90BAC EDF Ð=Ð=°，30DFE Ð=°，60DEF Ð=°）按如图1所示摆放，边BC 与EF 在同一条直线MN 上（点C 与点E 重合）．如图2，将三角板ABC 从图1的位置开始绕点C 以每秒5°的速度顺时针旋转，当边BC 与边EF 重合时停止运动，设三角板ABC 的运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，CA 平分DCF Ð？(2)当t 为何值时，3ACF BCD Ð=Ð？【变式训练】（23－24七年级上·安徽合肥·期末）14．如图，O 为线段AB 上一点，90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，定义OC 与OA 重合时为初始位置，将COD Ð绕着点O 从初始位置开始，以10/°秒的速度顺时针旋转，至OD 与OA 重合时终止．(1)当COD Ð从初始位置旋转6秒，求此时EOB Ð的度数；(2)当COD Ð从初始位置旋转至120EOB Ð=°时，求此时t 的值；(3)当COD Ð从初始位置旋转至EOB m Ð=°时，t =__________秒（用含有m 的代数式直接表示）．（23－24七年级上·福建厦门·期末）15．【实践操作】三角尺中的数学(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C 叠放在一起，90ACD ECB Ð=Ð=°．①若38ECD Ð=°，则ACB =∠ ；若150ACB Ð=°，则ECD Ð= ；②猜想ACB Ð与ECD Ð的大小有何数量关系，并说明理由．(2)如图2，若是将两个同样的含60°锐角的直角三角尺叠放在一起，其中60°锐角的顶点A 重合在一起，90ACD AFG Ð=Ð=°．①探究GAC Ð与DAF Ð的大小有何数量关系，并说明理由；②若一开始就将ADC △与AFG V 完全重合（AF 与AC 重合），保持ADC △不动，将AFG V 绕点A 以每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t ．在旋转的过程中，t 为何值时AG AC ^．（24－25七年级上·全国·单元测试）16．如图①，把一副三角板拼在一起，边OA OC ，与直线EF 重合，其中45AOB Ð=°，60COD Ð=°．此时易得75BOD Ð=°．(1)如图②，三角板COD 固定不动，将三角板AOB 绕点O 以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB 一直在EOD Ð的内部，设三角板AOB 运动时间为t 秒．①当2t =时，BOD Ð= °；②当t 为何值时，2AOE BOD Ð=Ð？(2)如图③，在（1）的条件下，若OM 平分BOE ON Ð，平分AOD Ð．①当20AOE Ð=°时，MON Ð= °；②请问在三角板AOB 的旋转过程中，MON Ð的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出MON Ð的度数．【考点五几何图形中动角之新定义型问题】例题：（23－24七年级上·陕西汉中·期末）17．【问题背景】如图1，已知射线OC 在AOB Ð的内部，若AOB Ð，AOC Ð和BOC Ð三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB Ð的“量尺金线”．【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】（2）如图2，60MPN Ð=°．若射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”，则QPN Ð的度数为________；【问题推广】（3）在（2）中，若MPN x Ð=°，060x °<£°，射线PF 从PN 位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P 按逆时针方向旋转，当FPN Ð首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为()s t ．当t 为何值时，射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”？（用含x 的式子表示出t 即可）【变式训练】（23－24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）18．【问题初探】在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．例如：图1中2AOC BOC Ð=Ð，则射线OC 是AOB Ð的“奇妙线”．（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）【类比分析】（2）如图2，若60MPN Ð=°，在MPN Ð内部画一条射线PQ ，使PQ 是MPN Ð的“奇妙线”，求MPQ Ð的度数；【变式拓展】（3）如图3，若60MPN Ð=°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始以每秒10°的速度逆时针旋转，同时射线PM 以每秒6°的速度也绕点P 逆时针旋转，当射线PQ 与射线PM 重合时全部停止运动．设旋转时间为t 秒，请直接写出t 为何值时，射线PQ 是MPN Ð的“奇妙线”．（2023七年级上·全国·专题练习）19．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P 在直线l 上，射线PR ，PS ，PT 位于直线l 同侧，若PS 平分RPT Ð，则有2RPT RPS Ð=Ð，所以我们称射线PR 是射线PS ，PT 的“双倍和谐线”．[迁移运用](1)如图1，射线PT _____（选填“是”或“不是”）射线PS ，PR 的“双倍和谐线”；射线PS _____（选填“是”或“不是”）射线PR ，PT 的“双倍和谐线”；(2)如图2，点O 在直线MN 上，OA MN ^，40AOB Ð=°，射线OC 从ON 出发，绕点O 以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t 秒，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止．①当射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”时，求t 的值；②若在射线OC 旋转的同时，AOB Ð绕点O 以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD 平分AOB Ð，当射线OC 位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM ，OD 的“双倍和谐线”时，求CON Ð的度数．1．6或24##24或6【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，得到三角板旋转的度数，进而得到t 的值．【详解】解：120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°，当直线ON 恰好平分锐角AOC Ð时，如图：1302BON AOC Ð=Ð=°，此时，三角板旋转的角度为903060°-°=°，60106t \=°¸°=；当ON 在AOC Ð的内部时，如图：三角板旋转的角度为3609030240°-°-°=°，2401024t \=°¸°=；t \的值为：6或24．故答案为：6或24．2．60°或120°【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案．【详解】解：当∥D E A C 时，AB DE ^，分以下两种情况：如图1所示，DE AC Q P ，60E Ð=°60EAC E \Ð=Ð=°；如图2所示，DE AC Q P ，90CAB Ð=°190CAB \Ð=Ð=°60E Ð=°Q 9030EAB E \Ð=°-Ð=°3090120EAC EAB CAB \Ð=Ð+Ð=°+°=°综上所述，EAC Ð的度数为60°或120°根据答案为：60°或120°．3．20°或40°或60°或120°【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．【详解】解：如图，∵2ABD ABE Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴602ABE ABE Ð+°=Ð，∴60ABE Ð=°；如图，∵2ABD ABE Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴360EBD ABE ABD ABE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴20ABE Ð=°，如图，∵2ABE ABD Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴1602EBD ABE ABD ABE ABE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴40ABE Ð=°，如图，∵2ABE ABD Ð=Ð，60EBD Ð=°，∴1602EBD ABE ABD ABE Ð=Ð-Ð=Ð=°，∴120ABE Ð=°，综上：ABE Ð为20°或40°或60°或120°．故答案为：20°或40°或60°或120°．4．(1)50BPD Ð=°(2)135MPN Ð=°(3)135MPN Ð=°【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．（1）根据180BPD APB APC Ð=°-Ð-Ð即可求解；（2）由90APB Ð=°可得到90APC BPD Ð+Ð=°，根据角平分线的定义，可得45APM BPN Ð+Ð=°，进而根据角的和差即可求解；（3）由BPD a Ð=，90APB Ð=°求得=90APD a Ð°-，90APC a Ð=°+，根据角平分线的定义可得1452APM a Ð=°+，12DPN a Ð=，最后根据MPN APM APD DPN Ð=Ð+Ð+Ð即可求解．【详解】（1）解：90APB Ð=°Q ，40APC Ð=°180180904050BPD APB APC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；（2）解：∵90APB Ð=°，∴18090APC BPD APB +=°-Ð=°∠∠，PM Q 平分APC Ð，PN 平分BPD Ð，12APM CPM APC \Ð=Ð=Ð，12BPN DPN BPD Ð=Ð=Ð()111190452222APM BPN APC BPD APC BPD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，4590135MPN APM APB BPN \Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°；（3）解：∵BPD a Ð=，90APB Ð=°，∴90APD APB BPD a Ð=Ð-Ð=°-，∴()1801809090APC APD a a Ð=°-Ð=°-°-=°+，∵PM 平分APC Ð，∴()1119045222APM APC a a Ð=Ð=°+=°+，∵PN 平分BPD Ð，∴1122DPN BPD a Ð=Ð=，11459013522MPN APM APD DPN a a a Ð=Ð+Ð+Ð=°++°-+=°．5．(1)35°；(2)不变，35AOE BOF Ð-Ð=°是定值，见解析．【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．∠AOE -∠BOF 的值是定值，（1）首先根据角平分线的定义求得111105522AOE AOB Ð°´°=Ð==，11402022BOF COD Ð=Ð=´°=°，然后求解即可；（2）首先由题意可得3BOC t Ð=°，再根据角平分线的定义得出31103AOC AOB t t Ð=Ð+°=°+°，3403BOD COD t t Ð=Ð+°=°+°，然后由角平分的定义解答即可．【详解】（1）解：∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴111105522AOE AOB Ð°´°=Ð==，11402022BOF COD Ð=Ð=´°=°，∴552035AOE BOF Ð-Ð=°-°=°；（2）解：35AOE BOF Ð-Ð=°是定值．理由如下：由题意：3BOC t Ð=°，则31103AOC AOB t t Ð=Ð+°=°+°，3403BOD COD t t Ð=Ð+°=°+°，∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴()113110355222AOE AOC t t Ð=Ð=°+°=°+°，()11340320222BOF BOD t t Ð=Ð=°+°=°+°，3355203522AOE BOF t t æöæöÐ-Ð=°+°-°+°=°ç÷ç÷èøèø．∴AOE BOF Ð-Ð的值是定值，定值为35°．6．（1）40°；（2）不会变化，定值为40°；（3）52°【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．（1）首先根据角平分线的定义求得AOE Ð和BOF Ð的度数，然后根据AOE BOF Ð-Ð求解；（2）根据角平分线的定义得出：()11112060222AOE AOC x x Ð=Ð=´°+=°+，1160204022AOE BOF x x æöÐ-Ð=°+-°+=°ç÷èø，然后代入求值即可；（3）根据12COF Ð=°，40COD Ð=°，求出401228DOF Ð=°-°=°，根据角平分线的定义求出28BOD BOF Ð=Ð=°，1682EOC AOC Ð=Ð=°，根据角度间的关系，求出结果即可．【详解】解：（1）∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，120AOB Ð=°，40COD Ð=°，∴111206022AOE AOC Ð=Ð=´°=°，11402022BOF BOD Ð=Ð==°´°，∴602040AOE BOF Ð-Ð-°=°=°；（2）AOE BOF Ð-Ð的值是定值；理由如下：∵BOC x Ð=，∴120AOC AOB BOC x Ð=Ð+Ð=°+，40BOD x Ð=°+，∵OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，∴()11112060222AOE AOC x x Ð=Ð=´°+=°+，()1114020222BOF BOD x x Ð=Ð=´°+=°+，∴1160204022AOE BOF x x æöÐ-Ð=°+-°+=°ç÷èø．∴AOE BOF Ð-Ð的值是定值，定值为40°；（3）∵12COF Ð=°，40COD Ð=°，∴401228DOF Ð=°-°=°，∵OF 平分BOD Ð，∴28BOD BOF Ð=Ð=°，∴281216BOC BOD COF Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴12016136AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°+°=°，∵OE 平分AOC Ð，∴1682EOC AOC Ð=Ð=°，∴681652BOE EOC BOC Ð=Ð-Ð=°-°=°．7．(1)50(2)20°或40°或80°(3)①50°；②MON Ð度数不发生变化，为定值65°，理由见解析【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；（2）分当OB 是DOE Ð的角平分线时，当OD 是ÐBOE 的角平分线时，当OE 是BOD Ð的角平分线时，三种情况讨论求解即可；（3）①9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，则904050AOE BOD BOE BOE -=°--°+=°∠∠∠∠；②先由角平分线的定义得到11452022EON BOE BOM BOE =°-=°-∠∠，∠，再由MON EON BOE BOM =++∠∠∠∠即可得到结论．【详解】（1）解：∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴当射线OB ，OD 重合时，50AOE AOB DOE Ð=-=°∠∠，故答案为：50；（2）解：如图2-1所示，当OB 是DOE Ð的角平分线时，则1202BOD DOE ==°∠；如图2-2所示，当OD 是ÐBOE 的角平分线时，则40BOD DOE ==°∠∠；如图2-3所示，当OE 是BOD Ð的角平分线时，则280BOD DOE Ð=Ð=°；综上所述，BOD Ð的度数为20°或40°或80°；（3）解：①如图所示，∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，∴904050AOE BOD BOE BOE -=°--°+=°∠∠∠∠；②MON Ð度数不发生变化，为定值65°，理由如下：∵90AOB Ð=°，40DOE =°∠，∴9040AOE BOE BOD BOE =°-=°-∠∠，∠∠，∵OM ，ON 分别是BOD Ð和AOE Ð的平分线，∴111145202222EON AOE BOE BOM BOD BOE ==°-==°-∠，∠，∴1145206522MON EON BOE BOM BOE BOE BOE =++=°-++°-=°∠∠∠∠∠∠∠．8．(1)60(2)1452DOE AOC Ð=°+Ð，理由见解析【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）先根据角之间的关系得到60BOC Ð=°，再由角平分线的定义得到30COE Ð=°，则60DOE COD COE =Ð-=°∠∠；（2）仿照（1）求解即可．【详解】（1）解：∵30AOC Ð=°，90AOB Ð=°，∴60BOC AOB AOC Ð=Ð-Ð=°，∵OE 平分BOC Ð，∴1302COE BOC Ð=Ð=°，∵90COD Ð=°，∴60DOE COD COE =Ð-=°∠∠，（2）解：1452DOE AOC Ð=°+Ð，理由如下：∵90AOB Ð=°，∴90BOC AOB AOC AOC Ð=Ð-Ð=°-Ð，∵OE 平分BOC Ð，∴114522COE BOC AOC ==°-∠，∵90COD Ð=°，∴1190454522DOE COD COE AOC AOC =Ð-=°-°+=°+∠∠∠∠．9．(1)EOD Ð是锐角，AOC Ð是直角，EOB Ð是钝角，EOA Ð是平角，EOD AOC EOB EOA Ð<Ð<Ð<Ð(2)BOD BOC CODÐ=Ð+Ð(3)EOC EOD DOC Ð=Ð+Ð，2EOA EOC Ð=Ð（答案不唯一）(4)90【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．（1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解；（2）根据图形即可求解；（3）根据图形即可求解；（4）由题意可知90EOD COD Ð+Ð=°，结合EOD COB Ð=Ð，即可得90COB COD BOD Ð+Ð=Ð=°．【详解】（1）解：由图可知，EOD Ð是锐角，AOC Ð是直角，EOB Ð是钝角，EOA Ð是平角，则EOD AOC EOB EOA Ð<Ð<Ð<Ð；（2）由图可知，BOD BOC COD Ð=Ð+Ð；（3）由图可知，EOC EOD DOC Ð=Ð+Ð，2EOA EOC Ð=Ð（答案不唯一）（4）∵90EOC Ð=°，∴90EOD COD Ð+Ð=°，又∵EOD COB Ð=Ð，∴90COB COD BOD Ð+Ð=Ð=°，10．(1)40°(2)不改变，2EOF EOC Ð=Ð，理由见解析【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．【详解】（1）解：∵OD 平分AOC Ð，∴1602COD AOC Ð=Ð=°，∵80DOE Ð=°．∴20COE DOE COD Ð=Ð-Ð=°，∴12020140AOE AOC COE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴18040BOE AOE Ð=°-Ð=°；（2）解：①DOE Ð在AOC Ð内部时．令AOD x Ð=°，则2DOF x Ð=°，802EOF x Ð=°-°，∴()120280240EOC x x x x Ð=°-°+°+°-°=°-°，∴2EOF EOC Ð=Ð；②DOE Ð的两边在射线OC 的两侧时．令AOD x Ð=°，则2DOF x Ð=°，120DOC x Ð=°-°，280EOF x Ð=°-°，∴()8012040EOC x x Ð=°-°-°=°-°，∴2EOF EOC Ð=Ð．综上可得，FOE Ð和EOC Ð的数量关系不改变，2EOF EOC Ð=Ð．11．(1) 150°； 35°；(2)180DAB CAE ÐÐ+=°，理由见解析．(3)AOD BOC a b Ð+Ð=+，理由见解析．【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可；（2）根据三角板的特点及角度和差求解即可；（3）根据角度和差求解即可；本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键．【详解】（1）由题意可得：90ACD BCE Ð=Ð=°，∵30DCE Ð=°，∴60ACE BCD Ð=Ð=°，∴9060150ACB BCE ACE Ð=Ð+Ð=°+°=°，同理：145ACB BCE ACE Ð=Ð+Ð=°，∴55ACE Ð=°，∴35DCE Ð=°故答案为：150°，35°；（2）180DAB CAE ÐÐ+=°，理由：由题意可知：90BAE DAC Ð=Ð=°，∴90DAE EAC EAC CAB Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴180DAE EAC EAC CAB Ð+Ð+Ð+Ð=°，∵DAB DAE EAC EAC Ð=Ð+Ð+Ð，∴180DAB CAE ÐÐ+=°；（3）AOD BOC a b Ð+Ð=+，理由：∵AOB AOC COB a Ð=Ð+Ð=，COD COB BOD b Ð=Ð+Ð=，∴COD AOB COB BOD AOC COB a b Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=+，∵AOD BOD AOC COB Ð=Ð+Ð+Ð，∴AOD BOC a b Ð+Ð=+．12．(1)90(2)90AOE BOF Ð-Ð=°，理由见解析(3)MON Ð的度数是一个定值，理由见解析【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．（1）由平角的性质可求解；（2）由补角和余角的性质可求解；（3）由角平分线的定义和平角的性质可求解．【详解】（1）解： 180AOE AOB BOF ÐÐÐ++=°Q ，90AOE BOF \Ð+Ð=°；故答案为90；（2）解：90AOE BOF Ð-Ð=°，理由如下：180AOE AOF Ð+Ð=°Q ，90AOF BOF Ð+Ð=°，90AOE BOF \Ð-Ð=°；（3）解：MON Ð的度数是一个定值，理由如下：Q 射线OM 、ON 分别是AOE Ð、ÐBOE 的角平分线，12EOM AOE \Ð=Ð，111()45222EON BOE AOE AOB AOE Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+°，45MON EON EOM \Ð=Ð-Ð=°．13．(1)t 为21(2)t 为22.5秒或24.75秒【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义，（1）根据角平分线的定义可得12ACF DCF Ð=Ð，从而得到三角板ABC 旋转的角度，再结合三角板ABC 运动的速度即可解题；（2）根据3ACF BCD Ð=Ð出现的情况分类讨论，再根据3ACF BCD Ð=Ð将BCD Ð与DCF ACB Ð-Ð的结果关联即可求解．【详解】（1）解：如图1，CA Q 平分DCF Ð，11603022ACF DCF \Ð=Ð=´°=°，\旋转的角度为1804530105°-°-°=°，105521t \=¸=（秒），答：当t 为21时，CA 平分DCF Ð．（2）解：由题可知：当3ACF BCD Ð=Ð时会出现以下两种情况：①如图2，由图可得：()()604515ACF BCD DCF ACD ACB ACD DCF ACB Ð-Ð=Ð-Ð-Ð-Ð=Ð-Ð=°-°=°，又3ACF BCD Ð=ÐQ ，315BCD BCD \Ð-Ð=°，7.5BCD Ð=°，\旋转的角度为180607.5112.5--=°°°°，\112.5522.5t ==¸（秒），②如图3，由图可得：()()604515ACF BCD DCF ACD ACD ACB DCF ACB Ð+Ð=Ð-Ð+Ð-Ð=Ð-Ð=°-°=°，又3ACF BCD Ð=ÐQ ，315BCD BCD \Ð+Ð=°， 3.75BCD Ð=°，\旋转的角度为18060 3.75123.75°°°°-+=，123.75524.75t \=¸=（秒），答：当t 为22.5秒或24.75秒时，3ACF BCD Ð=Ð．14．(1)75°(2)1.5(3)27102m t =-+【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算；（1）根据角平分线的定义可得1452DOE COD Ð=Ð=°，根据题意得61060AOC Ð=´°=°，进而根据补角的定义求得BOD Ð，根据EOB EOD DOB Ð=Ð+Ð，即可求解；（2）根据（1）的方法得出()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，将120EOB Ð=°代入，解一元一次方程，即可求解；（3）根据（2）可得()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，将EOB m Ð=°代入，解关于t 的一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：∵90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，∴1452DOE COD Ð=Ð=°，∵COD Ð从初始位置旋转6秒，∴61060AOC Ð=´°=°，∴6090150AOD AOC COD Ð=Ð+=°+°=°，∴18030DOB AOD Ð=°-Ð=°，∴453075EOB EOD DOB Ð=Ð+Ð=°+°=°，（2）解：∵90COD Ð=°，OE 为COD Ð的角平分线，∴1452DOE COD Ð=Ð=°，∵COD Ð从初始位置旋转t 秒，∴1010AOC t t Ð=´°=°，∴1090AOD AOC COD t Ð=Ð+=°+°，∴()1809010DOB AOD t Ð=°-Ð=-°，∴()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，∵120EOB Ð=°，∴459010120t +-=，解得： 1.5t =；（3）解：由（2）可得()459010EOB EOD DOB t Ð=Ð+Ð=°+-°，∵EOB m Ð=°，∴459010t m +-=，解得：27102m t =-+．故答案为：27102m -+．15．(1)①142°；30°；②猜想180ACB ECD Ð+Ð°=，理由见解析(2)①120GAC DAF Ð+Ð=°，理由见解析；②3或21【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出ACB Ð，DCE Ð的度数；②根据前两个小问题的结论猜想ACB Ð与ECD Ð的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；（2）①根据（1）解决思路确定GAC Ð与DAF Ð的大小并证明即可；②分点G 在AC 上方和下方两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：①∵=90ACD Ð°，38ECD Ð=°，∴52ACE ACD ECD =-=°∠∠∠，∵90ECB Ð=°，∴142ACB ECB ACE =+=°∠∠∠；∵150ACB Ð=°，90ECB Ð=°，∴60ACE ACB ECB =-=°∠∠∠，∵=90ACD Ð°，∴30ECD ACD ACE Ð=-=°∠∠故答案为：142°；30°；②猜想180ACB ECD Ð+Ð°=，理由如下：∵90ECB Ð=°，=90ACD Ð°，∴90ACB ACD DCB DCB Ð=Ð+Ð=°+Ð，90DCE ECB DCB DCB Ð=Ð-Ð=°-Ð，∴180ACB ECD Ð+Ð°=；（2）解：①120GAC DAF Ð+Ð=°，理由如下：∵GAC GAD DAF FAC Ð=Ð+Ð+Ð，60DAC GAF ÐÐ==°，∴GAC DAF GAD DAF FAC DAFÐÐÐÐÐÐ+=+++GAF DAC=Ð+Ð6060=°+°120=°；②如图所示，当点G 在AC 上方时，∵AG AC ^，∴90CAG Ð=°，∴由（3）①的结论可知，12030DAF CAG =°-=°∠∠，∴30CAF CAD DAF =-=°∠∠∠，∴30310t ==；如图所示，当点G 在AC 下方时，则在3t =的基础上再旋转180度时，AG AC ^，∴18032110t =+=；综上所述，t 的值为3或21．16．(1)①65；②10；(2)①37.5；②MON Ð的度数不发生变化，理由见解析．【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；②由2,AOE BOD Ð=Ð结合题意可得75,AOE BOD Ð+Ð=°从而得出25,50,BOD AOE Ð=°Ð=°进而求出时间t ；（2）①根据OM 平分,BOE ÐON 平分,AO D Ð可得1,2EOM BOM EOB Ð=Ð=Ð 12AON DON AOD Ð=Ð=Ð，则可以MON MOB BON Ð=Ð+Ð整理为()1,2MON EOA BOD Ð=Ð+Ð进而得出答案；②根据OM 平分,BOE ÐON 平分AOD Ð，可得122.5,2MOE AOE Ð=Ð+° 160,2NOD AOE Ð=°-Ð进而推导出1112022.56022MON AOE AOE Ð=°-Ð-°-°+Ð，继而得出答案．【详解】（1）解：①当2t =时，5210AOE Ð=°´=° ，∴751065BOD Ð=°-°=°，故答案为：65；②∵2AOE BOD Ð=Ð，75AOE BOD Ð+Ð=°，∴25BOD Ð=°，∴50AOE Ð=°，50105t °\==°(秒) ，∴当t 为10秒时，2AOE BOD Ð=Ð；（2）解：①∵OM 平分BOE ON Ð，平分AOD Ð，11,22EOM BOM EOB AON DON AOD \Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，12MON MOB BON EOB BOD DON \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð-Ð()1122EOA AOB BOD AOD =Ð+Ð+Ð-Ð()111222EOA AOB BOD AOB BOD =Ð+Ð+Ð-Ð+Ð11112222EOA AOB BOD AOB BOD =Ð+Ð+Ð-Ð-Ð()12EOA BOD =Ð+Ð1752=´°37.5,=°故答案为：37.5;°MON Ð②的度数不发生变化，理由如下：∵OM 平分,BOE Ð111()22.5222MOE BOE AOE ACB AOE °\Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+∵ON 平分,AO D Ð()1118022NOD AOD DOC AOE \Ð=Ð=°-Ð-Ð()11202AOE =°-Ð160,2AOE =°-Ð180MON DOC MOE NOD Ð=°-Ð-Ð-ÐQ1112022.56022MON AOE AOE æöæö\Ð=°-Ð+°-°-Ðç÷ç÷èøèø1112022.56022AOE AOE =°-Ð-°-°+Ð37.5=°．17．（1）是；（2）20或30或40；（3）12x ，23x ，x ；【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”，PM 在FPN Ð的内部，PF 在NPM Ð的外部，然后分三种情况求解即可．【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是；（2）60MPN Ð=°，射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：当2QPN MPQ Ð=Ð时，如图，∵260QPN MPQ Ð+Ð=°，∴260403QPN Ð=°´=°；当2MPQ QPN Ð=Ð时，如图，∵260QPN MPQ Ð+Ð=°∴160203QPN Ð=´°=°；当2NPM QPN Ð=Ð时，如图，∵60MPN Ð=°，∴160302QPN Ð=´°=°；综上：当QPN Ð为20°，30°，40°时，射线PQ 是MPN Ð的“量尺金线”．（3）∵射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”，∴PM 在FPN Ð的内部，∴PF 在NPM Ð的外部；分三种情况：①如图，当2NPM FPM Ð=Ð时，如图所示：1122FPM NPM x Ð=Ð=°∴1322FPN NPM FPM x x x Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴()313s 22t x x =¸=；②如图，当2FPN MPN Ð=Ð时，如图所示：∴2FPN x Ð=°，∴()2s 3t x =；③当2FPM NPM Ð=Ð时，如图所示：∵2FPM x Ð=°，∴3FPN NPM FPM x Ð=Ð+Ð=°，∴()33s t x x =¸=；综上：当t 为x 或12x 或23x 时，射线PM 是FPN Ð的“量尺金线”．18．（1）是；（2）20°或30°或40°；（3）307t =或52或203．【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；（3）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．【详解】（1）解：根据角平分线的定义可知：由OC 平分AOB Ð，得：22AOB AOC BOC Ð=Ð=Ð，则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，故答案为：是；（2）①当PQ 平分MPN Ð时，∴30MPQ Ð=°，②当13MPQ MPN Ð=Ð时，∴20MPQ Ð=°，③23MPQ MPN Ð=Ð，∴40MPQ Ð=°，则综上可知：MPQ Ð的度数为20°或30°或40°；（3）由题意得：如图，则10NPQ t Ð=°，16MPM t Ð=°，则11606M PN MPN MPM t Ð=Ð+Ð=°+°，∵射线PQ 是1M PN Ð的“奇妙线”，∴112NPQ M PN Ð=Ð①，即()1106062t t °=°+°，解得：307t =，113NPQ M PN Ð=Ð②，即()1106063t t °=°+°，解得：52=t ，123NPQ M PN Ð=Ð③，即()2106063t t °=°+°，解得：203t =，综上可知：307t =或52或203．19．(1)是；不是(2)①t 的值为52或352；②CON Ð的度数为160°或172°【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键．（1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：904AOC t Ð=°-，40AOB Ð=°，利用分类讨论的思想方法分2AOC AOB Ð=Ð或2AOB AOC Ð=Ð两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：4CON t Ð=，902AON t Ð=°+，20AOD Ð=°，702DON AON AOD t Ð=Ð-Ð=°+，利用分类讨论的思想方法分2COM COD Ð=Ð或2COD COM Ð=Ð两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．【详解】（1）解：∵PS 平分RPT Ð，∴2TPR TPS Ð=Ð，∴射线PT 是射线PS ，PR 的“双倍和谐线”；∵PS 平分RPT Ð，∴RPS TPS Ð=Ð，∴射线PS 不是射线PR ，PT 的“双倍和谐线”．故答案为：是；不是．（2）解：①由题意得：904AOC t Ð=°-，40AOB Ð=°．∵射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”，∴2AOC AOB Ð=Ð或2AOB AOC Ð=Ð，如图所示：当2AOC AOB Ð=Ð时，则：904240t -=´，解得：52=t ；如图所示：当2AOB AOC Ð=Ð时，则：()402904t =-，解得：352t =；综上，当射线OA 是射线OB 、OC 的“双倍和谐线”时，t 的值为52或352；②由题意得：4CON t Ð=，902AON t Ð=°+，20AOD Ð=°，702DON AON AOD t Ð=Ð-Ð=°+，∵当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止，∴此时AON CON Ð=Ð，∴9024t t +=，解得：45t =．∴当45t =秒时，运动停止，此时180AON Ð=°，。

数轴上的九类动态模型(学生版)--七年级数学几何模型全归纳

数轴上的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。

解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。

即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解(要检验解是否符合动点的运动时间范围)。

模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型2.单(多)动点匀速模型模型3.单(多)动点变速模型模型4.动点往返运动模型模型5.动态中点与n等分点模型模型6.动态定值(无参型)模型模型7.动态定值(含参型)模型模型8.数轴折叠(翻折)模型模型9.数轴上的线段移动模型【知识储备】①若A、B两点在数轴上对应的数字是a、b，则AB两点间的距离AB=a-b；AB的中点对应的数字是：a+b2。

②数轴动点问题主要步骤：1)画图--在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2)写点--写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3)表示距离--右-左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4)列式求解--根据条件列方程或代数式，求值。

注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。

③分类讨论的思想：(1)数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。

(2)对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。

模型1.动态规律(左右跳跃)模型模型(1)：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；模型(2)：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。

例1.(23-24七年级上·广西南宁·阶段练习)在数轴上，点O表示原点，现将点A从O点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动2个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动3个单位长度到达点A3，第四次将点A3向右移动4个单位长度到达点A4，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，当n=100时，点A100与原点的距离是个单位．例2.(2023·山东·七年级期中)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x n表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3=3；②x5=1；③x108<x104；④x2019>x2020．其中，正确结论的序号是．变式1.(23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习)已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+ 6|+(b+3)2=0，又b，c互为相反数．(1)求a，b，c的值．(2)若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度⋯依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．变式2.(23-24七年级上·福建泉州·期中)如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，⋯以此类推，移动5次后该点对应的数为．这样移动2023次后该点到原点的距离为．模型2.单(多)动点匀速模型模型(1):动点P从点A(点A在数轴上对应的数是a)出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B 点，B点对应的数是：a+vt。

七年级数学专题02 化动为静,破解几何动态问题(解析版)

专题02 化动为静，破解几何动态问题遇动点，心莫慌，细思量，找到不变与变量；画出图，细讨论，动变静，将线段（角度）逐一标上；列方程，细求解.【动点问题解题步骤】1. 分析题目找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上；2. 寻求表达式利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；3. 找等量关系，列方程判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方程求解.题型一：线段上的动点问题AC=厘【例1-1】（2020·成都市锦江区期中）（1）如图，己知点C在线段AB上，线段10 BC=厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；米，6-=，（2）己知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC AC a请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）作图如下，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∴MN=CN-CM=12（BC-AC）=12a．（3）以C为数轴原点，向右为正方向建立数轴，则A点表示的数为：-10，B点表示的数为：+6，设运动时间为t s，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，则P点表示的数为：-10+2t，Q点表示的数为：6-t，分三种情况讨论：①当C为P、Q中点时，-10+2t+6-t=0，解得：t=4，②当P为C、Q中点时，0+6-t=2（-10+2t），解得：t= 265，③当Q为C、P中点时，0-10+2t=2（6-t）解得：t=112，综上所述：t=4或265或112时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．【例1-2】（2020·丹东市期中）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若8,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上一动点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，BC=6cm ， ∴CM=12AC=4cm ，CN=12BC=3cm ， ∵点C 在线段AB 上， ∴MN=CM+CN=4+3=7cm ，（2）由（1）知CM=12AC ，CN=12BC ， ∵点C 在线段AB 上， ∴MN=CM+CN=12AC +12BC =12（AC+BC ） =a cm ，∴无论点C 在线段上移动到哪里，线段MN 的长度等于线段AB 长度的一半．【变式1-1】（2020·江西南昌市期末）已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝，DM ＝；（直接填空）（2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝（填空）（4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MNAB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm ；（3）4；（4）13或1．【解析】解：（1）根据题意知，CM ＝2cm ，BD ＝4cm ， ∵AB ＝12cm ，AM ＝4cm ， ∴BM ＝8cm ，∴AC ＝AM ﹣CM ＝2cm ，DM ＝BM ﹣BD ＝4cm ，故答案为：2cm ，4cm ；（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm ∵AB ＝12 cm ，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ；（3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC ， ∵MD ＝2AC ，∴BD +MD ＝2（MC +AC ），即MB ＝2AM ， ∵AM +BM ＝AB ， ∴AM +2AM ＝AB ， ∴AM ＝13AB ＝4，故答案为：4；（4）分两种情况讨论： ①当点N 在线段AB 上时，∵AN ﹣BN ＝MN ， ∵AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4 ∴13MN AB =； ②当点N 在线段AB 的延长线上时，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ＝12∴1MNAB=；故答案为13MN AB =或1．【变式1-2】（2020·河南南阳市期中）如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）（问题解决）和40，点C是线段AB的巧点，求（2）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是20点C在数轴上表示的数.（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线t s的所有可能值．段的巧点时，直接写出运动时间()【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)见解析．【解析】解：（1）线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．综上所述，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得，AP=2t，P点表示数为2t-20，AQ=60-4t，Q点表示的数为40-4t，∴PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|,①当A为P、Q两点的“巧点”时，AQ=2AP，60-4t=2×2t，解得：t=7.5或AP=2AQ，2t=2（60-4t），解得：t=12 ②当P为A、Q两点的“巧点”时，PA=2PQ，2t=2|60-6t|，解得：t=607或t=12或PQ=2PA，|60-6t|=2×2t，解得：t=6或t=30（舍）③当Q为A、P两点的“巧点”时，QA=2PQ，60-4t=2|60-6t|，解得：t=7.5或t=45 4或QP=2AQ，|60-6t|=2（60-4t），解得：t=907或t=30（舍）综上所述，运动时间的可能值为7.5、12、607、6、454、907.题型二：折线上的动点问题【例2-1】（2020·镇江市月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】见解析．【解析】解：（1）动点P 从点A 运动至C 分成三段，分别为AO 、OB 、BC ， AO 段时间为5s ，OB 段时间为10s ，BC 段时间为4s ， ∴动点P 从点A 运动至C 点需要时间为5+10+4=19（秒）；（2）点Q 经过8秒后从点C 运动到OB 段，再经进x 秒与点P 在OB 段相遇，此时P 所处点为3，依题意得：3+x+2x=10，解得：x=73，此时相遇点M 对应的数是为716333+=；（3）分四种情况讨论①当点P 在AO ，点Q 在BC 上运动时，依题意得： 10-2t=8-t ，解得：t=2，②当点P 、Q 两点都在OB 上运动时， t-5=2（t-8）解得：t=11，③当P 在OB 上，Q 在BC 上运动时， 8-t=t-5，解得：t=132； ④当P 在BC 上，Q 在OA 上运动时， t-8-5+10=2（t-5-10）+10，解得：t=17；即PO=QB 时，运动的时间为2秒或132秒或11秒或17秒．【变式2-1】（2020·浙江模拟）如图，数轴上，点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，在点B 和点C 处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数上相距20个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．【答案】（1）15；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）由题意知：点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，∴AB=6，BC=10，CD=4故动点P从点A运动到点D所需时间为6104212++=15（秒），故答案为：15；（2）由题意，PO=QO，分以下六种情况：①当点P在AB，点Q在CD时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为13-2t，∴-7+2t+13-2t=0，无解.②当点P在AB，点Q在CO时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为17-4t，∴-7+2t+17-4t=0，解得t=5，此时点P表示的数为3，不在AB上，舍去；③当点P在BO，点Q在CO时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t t-4+17-4t=0解得t=133，此时点P表示的数为13，不在BO上，舍去；④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，t-4=17-4t解得t=215，此时点P表示的数为15，点Q表示的数为15；⑤当点P在OC，点Q在OB时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t，∴t-4+17-4t=0解得t=133，此时点P表示的数为13，点Q表示的数为13-，符合题意；⑥当点P在OC，点Q在BA时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为8-2t，t-4+8-2t=0解得t=4，此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去；综上所述，点P表示的数为15或13；（3）点Q到达点A所需时间为4106242++=7.5（秒），此时点P到达的点是3.5，点P到达点C所需时间为61021+=13（秒），此时点Q到达的点是6，故点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为2t-17，点Q表示的数为3t-34.5，2t-17=3t-34.5，解得t=17.5，此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．【变式2-2】（2019·武汉月考）如图1，在数轴上有一条线段AB，A，B表示的数分别是-2和-7．（1）若将线段AB的一端平移到原点处，则平移的距离为；（2）如图2，C为线段AB上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的左边且15AB BC=，求C点对应的数；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则B对应的数为（直接填空），此时数轴上的动点M，N分别从A，B出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度/秒，请问数轴上是否存在定点P，当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN，若存在求点P对应的数；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2或7;(2)见解析；（3）B对应的数为10，见解析．【解析】解：（1）∵数轴上有一条线段AB，表示的数分别是-2和-7，∴平移的距离为2或7；故答案为：2或7；（2）设点C对应的数为x，则对折后B表示的数是2x+7∴BC=2x+7，∵AB=15 BC，∴2x+7-（-2）=15(x+7)，解得：x=389 -，即C点对应的数是389 -；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则AB向右移动17个单位长度，B对应的数为10，故答案为：10；设点P对应的数是y，t秒时满足OM=2PN，点M表示的数是：15-4t，点N表示的数是：10-2t，∵OM=2PN，∴15-4t=2|y-10+2t|，①15-4t=2（y-10+2t），2y=35-8t，y随t的变化而变化，不符合题意，②15-4t=2（-y+10-2t），化简为15-4t=-2y+20-4t，即y=52，故存在，点P对应的数是52．题型三：角度中的动点问题【例3-1】（2020·江苏盐城市月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝秒时，OA与OB第一次重合；（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝°；（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON 的夹角?【答案】（1）9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．【解析】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，根据题意可得：15t+5t=180，解得t=9，故答案为：9；（2）当t=3秒时，∠AOM=45°，∠BON=15°，∴∠AOB=120°故答案为：120；（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，①当OA与OB重合之前，由题意：180+5t-15t=20，解得t=16；②当OA与OB重合之后，由题意：15-5t-180=20，解得t=20，∴当运动16或20秒时，OA与OB的夹角为20°；（4）由题意知：0≤t≤24，∴∠BON=5t，∠AON=|180－15t|，当ON平分OA与OB的夹角时，即∠AON=∠BON，即5t=180-15t，解得t=9；当OA平分OB与ON的夹角时，即∠AON=∠AOB,即5t=2（15t-180），解得t=14.4．【变式3-1】（2020·焦作市月考）已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b ﹣18|＝0．（1）a＝，b＝，点A和点B之间的距离为；（2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q 沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过秒，动点P，Q两点能相遇；（3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度；（4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度．【答案】（1）﹣12，18，30；（2）5；（3）（4）见解析．【解析】解：（1）∵|a+12|+|b﹣18|＝0，∴a+12＝0，b﹣18＝0，解得，a＝﹣12，b＝18，∴AB＝|﹣12﹣18|＝30，故答案为：﹣12，18，30；（2）30÷（2+4）＝5（秒），故答案为：5；（3）设再经过x秒后点P、点Q相距6个单位长度，当P点在Q点左边时，2（x+3）+4x+6＝30，解得，x＝3；当点P在点Q右边时，2（x+3）+4x﹣6＝30，解得，x＝5；即再经过3或5秒后，点P、Q两点相距6个单位长度；（4）设点Q的运动速度为x cm，当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x＝30﹣6，解得，x＝14；当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x＝30﹣2，解得，x＝6；即点P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度为每秒14cm或6cm．【变式3-2】（浙江月考）已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤60秒）．（1）用含t 的代数式表示下列各角的度数：MOA ∠=______，NOB ∠=______．（2）在运动过程中，当0秒30t ≤≤秒时，AOB ∠=45°，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 是由射线OM ．射线OA 、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）3t ，6t 或 360-6t ；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∠MOA=3t ，∠NOB=6t 或360-6t ，故答案为：3t ，6t 或 360-6t ；（2）若OA ，OB 相遇前，∠AOB=45°，∴3t+6t+45°=180°，∴t=15s若OA ，OB 相遇后，∠AOB=45°，∴3t+6t-45°=180°，∴t=25s∴t 为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）分三种情况：①OB 平分∠AOM 时，由12∠AOM=∠BOM 得32t=180-6t ，解得t=24②OB 平分∠MON 时，由∠BOM=12∠MON ，即∠BOM=90°，得6t=90，或6t-180=90，解得：t=15，或t=45；③OB 平分∠AON 时，由∠BON=12∠AON，得6t=12（180-3t），解得：t=12；综上所述，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．。

七年级动点问题三角形

七年级动点问题三角形【最新版】目录1.引言：介绍七年级动点问题三角形的概念和意义2.动点问题的基本概念：解析动点、定点、轨迹等基本概念3.三角形的性质：详述三角形的性质及其在动点问题中的应用4.七年级动点问题三角形的解题方法：解析几何法、代数法等解题技巧5.案例分析：通过具体案例分析七年级动点问题三角形的解题思路6.总结：回顾七年级动点问题三角形的学习要点和解题技巧正文【引言】七年级动点问题三角形是初中数学中一个重要的知识点，它涉及到动点问题、几何图形和代数计算等多个方面。

掌握好七年级动点问题三角形，不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以为以后的数学学习打下良好的基础。

本文将从动点问题的基本概念入手，详细解析七年级动点问题三角形的性质、解题方法以及具体案例分析。

【动点问题的基本概念】动点问题是指在平面直角坐标系中，已知一个点的位置随时间变化而变化，求该点的轨迹问题。

在动点问题中，有两个基本的概念，分别是解析动点和定点。

解析动点是指在平面直角坐标系中，一个点的坐标随时间变化而变化，它的轨迹是一条曲线。

而定点则是指在平面直角坐标系中，一个固定位置的点，它的坐标不随时间变化而变化。

在动点问题中，三角形也是一个重要的概念。

三角形是由三条线段组成的封闭图形，它有三个顶点和三个内角。

在动点问题中，三角形的性质和计算方法与静态几何中的三角形有很大的不同。

【三角形的性质及其在动点问题中的应用】在七年级动点问题三角形中，三角形的性质主要体现在它的三条边和三个顶点上。

三角形的三条边有长短之分，三个顶点有角度大小之分。

在动点问题中，三角形的性质主要体现在它的三条边和三个顶点的变化上。

在动点问题中，三角形的应用主要体现在求解三角形的周长、面积以及三角形的形状等。

例如，在求解一个三角形的周长时，可以利用解析几何法求解；在求解三角形的面积时，可以利用代数法求解。

【七年级动点问题三角形的解题方法】在七年级动点问题三角形中，解题方法主要有解析几何法和代数法两种。

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七年级的动态几何图形问题
摘要：动态几何这类问题，已成为初中生他们日常学习中的重难点以及考试中的失分点。

本文将通过一些具体的实例重点介绍七年级动态几何问题的分类、特点以及解题方法，并对这类问题进行归纳与总结，从解决几个典型例子中找出解决七年级动态几何问题的一般规律，帮助他们解决数学的一大障碍。

关键词：动点；数形结合；数轴；类比
七年级的动态几何问题主要有“点动”和“角动”这两类。

例1.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.
（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_____
（2）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，N的距
离相等？
分析：这是一道典型的数轴上的动点问题，如果能利用数轴上的“中点”公式（）、和动态点的数量表
示即起始点数a，向右（左）运动，速度为b，时间为t，就可表示为a+bt（a-bt），解决起来就容易得多。

解析：（1）点P到点M，点N的距离，P即为MN的中点，点P对应的值即为
（2）此题如果用一般的方法去解决，即先画图再分析数量关系，势必要画出运动过程的点的动态图形，例如图（2）
而图2只是其中一种图形而已，三个动点运动之后，还会出现图（3）、图（4）、图（5）
但是如果利用数轴上的中点公式和点的数量表示，P到点M，N的距离即分为两种情况，其1运动后的点P是点M’和N’的中点，，t=2；其2就是M’与N’两点重合，.
总结：解决动点问题要数形结合，巧用数轴“中点”公式和动态点的数量表示。

例2.如图1，A是数轴上一定点，A表示的数是5，B是数轴上一动点，B从原点O出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点C在点B的右侧，BC=1，点D在点B的左侧，BD=2AC，设B 运动的时间为t秒。

（1）若点B在线段OA上运动，且CD=2，求t
的值.
（2）整个运动过程中，当OD=AC时，写出点D所表示的数。

分析：（1）如果先画图，图形情况不一，C在A 的左边，C在A的右边，两种情况下D可能在O的左边，也可能在O的右边，学生需要先算出各种临界值，来判断各种情况是否存在。

如果利用前面例1提到的数轴上点的数量表示法，先表示出C，D，马上就能迎刃而解。

解析：点C：t+1，由题意点D即可表示为：t-1，那么BD=t-（t-1）=1，AC=0.5，再根据C有两种可能的位置，t+1=4.5，t+1=5.5，求出t=3.5或4.5.
分析：（2）类似于（1），如果先考虑图形，将会有四种可能的情况，同样情况复杂，如果利用数轴上的距离公式即，先一网打尽，再分类求解即可。

解析：C：t+1，，BD=2AC，
BD=2t-4，D=t-2t-4，OD=t-2t-4-0，即可得方程：t-2t-4-0=t-4，然后再分类讨论解决绝对值方程。

总结：七年级的动态问题，不必急于画图，学会用绝对值方程一网打尽。

例3 如图，教室里挂的时钟，时针、分针、秒针均按时匀速转动，分别用OB，OA，OC来表示，（1）秒针的速度为____度/秒；分针的速度为
____度/秒；时针的速度为_____度/秒
（2）从4点到6点有几次∠AOB等于60°，分别是几时几分？
（3）从4点整开始，若秒针OC从12的位置上开始，经过多少秒，OC第一平分∠AOB.
分析：第（2）中，根据OA和OB的运动速度，它们的位置关系一定会出现两种情况，再根据4点到5点，5点到6点两个时间段，将出现4种可能。

每一种图形中，根据其中角的和差关系建立方程，对于七年级的学生来说难度是比较大的。

但是如果把射线的运动类比作“追及问题”，那么解决起来就一点都不难了。

解析：追及问题的公式：，4点整即为初始位置，∠AOB为120°，若∠AOB变为60°，“路程差”即为60°或180°，，或是.如果换成5点到6点之间，那么起始位置的∠AOB=150°，或是。

分析：第（3）题中，OA，OB，OC三条射线都在运动，由图像得出角的和差关系，显然难度很大，如果把角的角平分线类比作“中点”，将12时的位置
看作数轴上的原点，那么问题就很好解决。

秒针的速度为6度/秒，分针的速度为0.1度/秒，时针的速度为度/秒，类比于数轴上点的表示，可以把射线OA 表示作：0+0.1t，射线OB表示作：，射线OC表示为：0+6t，射线OC平分∠AOB即可类比作C是A 和B的中点，利用“中点公式”，可得，即可解得。

总结：角的动态问题即射线运动，可以类比为点的“追及问题”；角平分线问题也可类比为“中点问题”。

例4：如图1，∠AOB=30°，∠BOC为∠AOB外的一个锐角，且∠BOC=80°
（1）如图2若OM平分∠BOC，ON平分
∠AOC，求∠MON的度数。

（2）如图，射线OP从OC处以10°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB
处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分钟时，
∠MON的度数是30°？直接写出答案。

[注：本题所涉及的角都是小于180°的角]
分析：（1）可以根据角平分线的和差关系解决；第（2）问，很多同学也是先画出图形，然后再根据
角的和差关系去解决，难度是相大的，因为有两条动态的射线，进而又产生两条动态的角平分线，图形虽然已有，但角的和差关系还是十分复杂。

在解决完第（1）后，如果能进一步推导∠MON的角度的规律，∠MON的度数一定等于∠AOB的一半，那么将可以非常简单地解决第（2）问。

解析：不妨先来推导一下（1）的一般规律：设∠AOB=a，∠BOC=b，∠AOC=a+b，，，那么，也就是说：原来两个角的差为a，各自的角平分线所形成的角的度数即为；其实还可推广到：原来两个角的和为a，各自的角平分线所形成的角的度数也为。

有了这个规律，第（2）中∠MON的度数是30°，可以反推出∠AOQ=60°，那么本来是要考虑4条动态射线的问题只要考虑OQ一条即可。

OQ可以表示为：30+10t，∠AOQ=60°，30+10t=60或者
30+10t=300.
总结：两条角平分线的问题经常会存在规律，如果根据数量关系将规律总结出来，可以帮助解复杂的动态问题。

通过对以上四道题的分析，七年级的动态几何图形显然不同于中考复习中的动点问题，不要急于画出动态的分类图形，而是要学会数形结合，灵活运用数
轴的中点公式、动点的数量表示，距离公式绝对值方程等代数方法去解决，而动态角的问题，图形更为复杂，巧用类比方法和探究数量规律，问题便可迎刃而解。

参考文献：
[1]王中文.初中数学动点问题的解题策略.读与写：教育教学刊，2012
[2]姚万里，丁艳芳.动点入题心旷神怡[J].中学生数理化，2012（5）：17-18.。