08微分几何试题A

第 1 页 共 1 页 xx 大学数学科学学院2007—2008学年第二学期期末试卷答题纸（A 卷） 年级：06 专业：数学与应用数学 考试科目：微分几何 一．填空题（每题3分，共24分） 1、曲面的高斯曲率只与曲面的 基本形式有关。 2、曲面S 在0P 点沿非零切向量u v w r r ζη=+的法曲率定义为()n w κ= 。 3、设空间曲线的曲率0κ>，则该空间曲线落在某个平面上的充要条件是 。 4、可展曲面的高斯曲率等于 。 5、曲面的克里斯托斐耳符号k ij Γ= 6、利用主曲率计算曲面法曲率的Euler 公式是 。 7、主曲率为常数的曲面是 、 或 。 8、曲线的弧长、曲率和挠率在 运动下不变。 二．判断题.对的打’√’错的打’╳’（每小题3分，共18分）

1、如果一个一一对应保持两张曲面间的任意曲线的长度不变，则称该对应为这两个曲面的等距变换（ ）。

2、可展曲面的高斯曲率0K ≤（ ）。

3、两曲面的第二基本形式不同则其Gauss 曲率不同.( )。

4、任意曲面上每一点都有一个邻域，它可以和欧氏平面的一个区域间建立保角变换( )。

5、Weingarden 变换与曲面的参数选取有关( )。

6、曲面的结构方程指的是Gauss-Bonnet 公式（ ）。 三．证明题（每题9分，共18分） 1、证明可微向量函数具有固定长度的充要条件是该向量函数与其导向量处处垂直。 2、证明不存在曲面使得1,1,0,1,1E G F M L N ======- 四．计算题（每题10分，共40分） 1.求双曲面z axy =的第一、第二基本形式。 2. 求双曲面z axy =在（0，0）点的平均曲率和高斯曲率 3. 求圆柱螺旋面()(cos ,sin ,)(0)r t a t a t bt a =<的曲率和挠率。 4、求二次曲面221()2z ax by =+的法曲率。