等腰三角形常见的辅助线的做法
教师用：全等角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线D C BAED F CB A（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
八年级数学几何图形第12讲 等腰三角形常作的辅助线(学生版)
第12讲等腰三角形常作的辅助线（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用三线合一作辅助线（1）连接顶角顶点和底边中点典例1（2021秋•无棣县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF．求证：∠AED＝∠AFD．针对训练11．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝AF．本号资料皆来源于微信@公众号：数学第六感求证：（1）DE＝DF；（2）BG＝CH．（2）作底边的高典例2（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA ＝EC．求证：EB⊥AB．针对训练22．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=12∠BAC．类型二作平行线构造等腰三角形（1）作腰的平行线构造等腰三角形典例3（2010秋•青山区月考）如图，△ABC中，点D在AB上，E是AC延长线上一点，BD＝CE，DE交BC于点F，DF＝EF，DP∥AE交BC于点P，求证：AB＝AC．（2）作底边的平行线构造等腰三角形典例4（湖州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．（3）利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形典例5（靖江市校级月考）（1）如图1，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证明△PMO≌△QNO．（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．针对训练33．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．4．（2020秋•阆中市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．5．（2018秋•蔡甸区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ 分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．类型四利用∠α=2∠β构造等腰三角形典例6（香坊区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AB＝3.5，则AD ＝ 2.5．针对训练46．（江岸区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．（1）求证：BE+DE＝AB+BD；（2）若BD＝2，DE＝3，求AB的长．类型四截长补短构造等腰三角形典例7 如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．。
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .由(1)知△PFD ≌△QCD ，∴DF ＝CD ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。
八年级几何常见辅助线作法及例题(几何画板精确作图)
八年级几何常见辅助线作法及例题（几何画板精确作图）1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.7.角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、等腰三角形“三线合一”法1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：2CE=BD.中考连接：（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.ABC ∆例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考连接：（09崇文）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．三、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN 上，且2AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？中考连接：(2012年北京)如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
几种常用辅助线的做法
AD BCE图2-1常见辅助线得作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形,可作底边上得高，利用“三线合一"得性质解题，思维模式就是全等变换中得“对折”。
2) 遇到三角形得中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用得思维模式就是全等变换中得“旋转”.3) 遇到角平分线,可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线，利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定得平分线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或就是将某条线段延长,就是之与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来，利用三角形面积得知识解答。
一、 倍长中线法有以线段中点为端点得线段、有三角形中线时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例1、 在△ABC 中，已知AD 为 △AB Ｃ得中线,求证：AB+A Ｃ>2AD例2、 CB,C Ｄ分别就是钝角△A ＥC 与锐角△ABC 得中线,且AC=AB.求证:CE ＝２CD 。
例3、 已知:如图，△A ＢC （AB≠AC)中,D 、E 在ＢC 上,且DE=EC,过D 作ＤF ∥ＢA 交AE 于点F ，DF=ＡC 。
求证:A Ｅ平分∠ＢAC.例4、如图,△ABC 中，E 、Ｆ分别在A Ｂ、ＡC 上,DE ⊥D Ｆ,Ｄ就是中点，试比较BE+ＣF 与EF 得大小、二、截长补短法例1、如图，已知在ΔAB Ｃ中,∠Ｂ=2∠C ，ＡD 平分∠BA Ｃ,求证：A Ｃ=AB+BD练习、如图，在中,,就是得平分线，且,求得度数、例2、 如图2—１,ＡD ∥B Ｃ，点Ｅ在线段ＡB 上,∠AD Ｅ＝∠ＣD Ｅ，∠DCE ＝∠ECB 、求证:ＣＤ=AD +BC 、 例3、点M ,Ｎ在等边三角形ＡBC 得AB 边上运动,B Ｄ＝DC ，∠BDC =１2０°，∠MDN =60°,求证MN =ＭB +ＮC 。
北师大版数学八年级下册第一章等腰三角形中辅助线的作法PPT
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶 角的平分线互相重合，我们将等腰三角形这一性 质称之为“三线合一”，“三线合一”适用于等 腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的 边角问题.
类型一：利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 如图，已知△ABC 中，AB＝AC，CD⊥AD 于 D，CD＝ 1 BC，D 2
A
证明：在DC上截取DE＝DB ∵AD⊥BC
B DE
C
∴∠ADB＝∠ADE
又∵∠AED＝∠C＋∠EAC
又∵AD＝AD
∴∠C＝∠EAC
∴△ADB≌△ADE(SAS)
∴AE＝CE
∴AB＝AE，∠ABD＝∠AED ∵∠B＝2∠C
∴AB＋BD＝AE＋DE
∴∠AED＝2∠C
＝CE＋DE＝CD.
⑵ 在⑴中如果条件∠B＝2∠C与结论AB＋BD＝CD互换，仍然成立吗？试说明
2
B
EC
而 CD＝ 1 BC
2
∴BE＝CD
在Rt△ACD和Rt△ABE中 BE=CD AB=AC
∴ Rt△ACD≌Rt△ABE(HL) ∴∠ACD＝∠B
二、构造等腰三角形 ⑴ 在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD
A
B DE
C
⑴ 在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝CD
在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运 用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形 解题.
理由.
解：仍然成立，理由如下：
∴AE＋DE＝CD
A
在DC上截取DE＝DB
而CE＋DE＝CD
∵AD⊥BC
三角形辅助线总结及口诀要点
三角形作辅助性方法大全口诀：总则：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。
{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。
等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边。
{4}2、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三角，大外小找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。
{3}3、两线做比较，截长补短可求证。
特殊角求三边，带平方都要用直角三角形。
三角形构四边，四边周长小于三角形周长；。
{3}4、角分线，到边距离相等经常用，也可两边截等段；三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等，三角形角平分线交予一点，且到三边距离相等。
平行线间角分线的交点一定是中点(见后){2}5、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段；{1}6垂分线上点连线段端点有帮助；{3}7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点；如图，AE\AD是角分线，AB//DC.E一定是bc中点Bc为任意线段一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
1、三线合一例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE = DF 证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，求证：EF ⊥BC2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB ，∠NDE = ∠E ，∵AB = AC ， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF（证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B （过程略） 引入：如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是( ) A 、d ＞h B 、d ＜h C 、d ＝hFE D C B A21NF E D C B A 21M F ED C B AD、无法确定三种方法1.过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等2.连接B、P，将大三角形转换为两个小三角形，并利用三角形面积公式。
初中数学课件：等腰三角形中辅助线的做法
E C
F
过B点做AC的平行 线，交DE的延长线 于G点 （证明略）
G
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
Q
求证：DE⊥DC。
证明： 过B点做DE的平行 线，交CA的延长线 于Q点 （证明略）
B A
D
图3
E
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
K
D
A
图6
E
（证明略）
B
F
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
D
证明： 过D点做AC的平行线， 交BC的延长线于H点， 并延长DE交BC于F点 （证明略）
B
F
A
图7
E
C
H
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
D
A
E
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D 在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
证明：
D
延长DE交BC边于F点
（证明略）
A
E
B
F
C
图1
D
A
证明：
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,E在AC上， D在BA的延长线上， B AD=AE，连结DE。
求证：DE⊥DC。
如果把已知中的ＢＤ＝ＣＥ与 Ｂ 结论ＤＦ＝ＥＦ互换，而其它 条件不变，那此题是否成立？
等腰三角形证明以及辅助线做法
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后;笔者认为;可以根据学生的实际情况;补充“三线合一”的逆命题的教学;因为这种逆命题虽然不能作为定理用;但它在解题中非常常见的..掌握了它;可以为我们解题增加一种重要思路..它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．线段垂直平分线的性质②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此;三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆;笔者简言之：两线合一;必等腰..本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线;构建等腰三角形且证明之来解决问题..一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1;△ABC中;AD是BC边上的中线;又是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：AD就是BC边上的垂直平分线;利用线段垂直平分线的性质;可以推出AB=AC;所以△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明②：已知:如图1;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD;由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明③：已知:如图2;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的中线..求证：△ABC是等腰三角形..方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC;直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行;那就换种思路;经验告诉我们;在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”即通过延长三角形的中线使之加倍;以便构造出全等三角形来解决问题的方法;即延长AD到E点;使DE=AD;由此问题就解决了..证明：如图2;延长AD到E点;使DE=AD;连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE;∠CAD=∠BED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠BED=∠BAD∴AB=BE又∵AC=BE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形..方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦;经验告诉我们;遇到角的平分线;我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线;从而构造出了高;再利用面积公式开辟出新思维..具体做法是：如图2;过点D作DF⊥AB;DE⊥AC垂足分别为F、E..又因AD是∠BAC的角平分线;所以DF=DE..因为BD=DC;利用“等底同高的三角形面积相等”的原理;所以=;再根据“等积三角形高相等则底也相等”;因为===;又因DF=DE;所以AB=AC;可见“面积法”给解题带来了简便;这种方法也正是被人们易忽视的..当然;学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时;很容易形成思维定势;证明两组直角三角形分别全等;从而证明∠B=∠C;所以AB=AC;此法明显较麻烦些;但是思路要给予肯定..需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性;但是这种逆命题不能作为定理来用;掌握了它和它的证明过程;其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法..二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线;构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用即线段垂直平分线的性质的应用例1人教版八上第十二章章节复习题中的第5题：如图4;D、E分别是AB、AC 的中点;CD⊥AB于D;BE⊥AC于E;求证：AC=AB..经笔者验证;学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形;所以连接AO图略;证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等;其中还要用到线段的垂直平分线的性质;证明OA=OB=OC;方法相当地麻烦..分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句;所以学生最初拿到这个题目;很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起..如果学生有“两线合一;必等腰”的思维;很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：连结BC;∵CD⊥AB;AD=BD∴AC=BC注：利用线段垂直平分线的性质同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致;所以笔者在此就不过多的举例..2、逆命题②的应用例2已知：如图5;在△ABC中;AD平分∠BAC;CD⊥AD;D为垂足;AB>AC..求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC;CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：延长CD交AB于点E;由题目提供的条件;可证△AED≌△ACD;∠2=∠AEC;又∠AEC=∠1+∠B;所以结论得证..例3在学习等腰三角形知识时;会遇到这个典型题目：如图6;在△ABC中;∠BAC=900;AB=AC;BE平分∠ABC;且CD⊥BE交BE的延长线于点D;求证：CD=BE分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”;所以延长CD和BA;交于点F;补全等腰三角形..简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD;可知△BCF是等腰三角形∴CD=DF=CF再证△ABE≌△ACF∴BE=CF∴CD=BE可见;学会“两线合一;必等腰”的思维;对满足“三线合一”性质的逆命题的条件;添加适当的辅助线来构造等腰三角形;为我们解决相关问题开辟了新思维..笔者认为;三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出..例4逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7;在△ABC中;AD平分∠BAC;交BC于点D;过点C作AD的垂线;交AD 的延长线于点E;F为BC的中点;连结EF..求证：EF∥AB;EF=AC-AB分析：由已知可知;线段AE既是∠BAC的角平分线;又是EC边上的高;即“两线合一”;就想到把AE所在的等腰三角形构造出来;因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G..简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE;得出△AGC是等腰三角形;AG=AC ∴EG=CE又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB;EF=BG=AG-AB=AC-AB3、逆命题③应用：例5已知：如图8;△ABC中;AD是它的角平分线;且BD=CD;DE∥AC、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E;F..求证：DE=DF分析：根据已知条件;利用相似性知识;可证：点E;F分别是AB、AC的中点初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理;又因点D是BC的中点;再利用三角形中位线的性质可知;DE=AC;DF=AB;可见只要证明AC=AB;题目所求证的结论就可得证..因为AD既是∠BAC的角平分线;又是BC边上的中线;即“两线合一”;所以△ABC是等腰三角形可证;方法见逆命题③的证明..证明：过程略..还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件;而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件;使题目符合“两线合一”思路..例6如图9;梯形ABCD中;AB∥CD;E是BC的中点;DE平分∠ADC;求证：AD=CD+AB例7分析：拿到这个题目;学生的思维很活跃;有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F;易证△ABE≌△FCE;所以AB=CF;AE=EF;可见只要证明AD=FD;题目所求证的结论就可得证..可是学生想到这一步;思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线;又是AF边上的中线;△DAF肯定是等腰三角形;就是不知道怎么证明..可见;学生如果有“两线合一;必等腰”的思维和掌握了它的证明方法;那么此法是可行..只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取;但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的..由于笔者在研究过程中;发现逆命题③的应用不是很多;所以在此就不过多的举例..三、请读者小试牛刀学习了以上“两线合一;必等腰”的新思路;笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合;所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明;不能作为定理用;切记切记谨防与“三线合一”性质搞混淆..请读者试解下面问题前2题提示;后3题不予提示1、已知;如图10;△ABC中;∠BAC＝90°;AD⊥BC于D;∠ABC的平分线交AD于E;交AC于P;∠CAD的平分线交BP于Q..求证：△QAD是等腰三角形..提示：可证∠AQB=90°;延长AQ..此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用解法：AD⊥BC于D;∠ADF=∠ADB=90°;∠ABC+∠BAD=90°;∠CAD+∠BAD=90°;∠AB C=∠BAD∠ABC/2=∠BAD/2;∠DBE=∠QAE;∠BED=∠AEQ;对顶角;故∠BDE=∠AQE=9 0°;∠ABQ=∠FBQ;BQ=BQ;∠BQA=∠BQF=90°;RT△BQA≌RT△BQF;ASAAQ=FQ;Q为RT △ADF斜边AF的中点;AQ=DQ;△QAD是等腰三角形.2、如图图略;读者自己画;在△ABC中AB≠AC;M为BC的中点;AD平分∠BAC交BC于点D;BE⊥AD于E;CF⊥AD于F．求证：ME=MF．提示：延长BE、CF．3、如图图略;BE、CF是△ABC的角平分线;AM⊥CF于M;AN⊥BE于N．求证：MN∥BC．画图时;注意AB≠AC解法∵BE为∠ABC的角平分线;BE⊥AG;∴∠BAM=∠BGM;∴△ABG为等腰三角形;∴BM也为等腰三角形的中线;即AM=GM．同理AN=DN;∴MN为△ADG的中位线;∴MN∥BC．4、如图图略;已知梯形ABCD中;AB∥CD;∠C的平分线CE⊥AD于E;且DE=2AE;CE 把梯形ABCD分成两部分;求这两部分面积之比．画图时;注意AB为上底;CD为下底;E 点在线段AD上5、BD、CE是△ABC的两个外角的平分线;AD⊥BD于D;AE⊥CE于E．求证：1DE∥BC．2DE 等于△ABC的周长的一半．画图时;注意BD;CE在直线BC的同侧等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维;强化了学生通过添加辅助线解题的能力;而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想..。
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等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。