有等腰三角形时常用的辅助线
等腰三角形知识点总结
等腰三角形知识点总结等腰三角形的知识点不算十分的多，而且较为简单，但却是的必考点之一。
以下是小编为大家精心整理的等腰三角形知识点总结，欢迎大家阅读。
等腰三角形知识点总结等腰三角形的轴对称性:(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.例1.一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60 °角的AC方向前进至C，在C处测得C=30 ° .量出AC的长，它就是河宽(即A，B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由.解：小聪的测量方法正确.理由如下：∵ ∠DAC= ∠B+ ∠C(三角形的外角的性质)∴ ∠ABC= ∠DAC- ∠C=60 ° -30 ° =30 °∴ ∠ABC= ∠C∴AB=AC(在一个三角形中，等角对等边.)60 °BAC例2：上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A+∠C∴∠C=80°- 40°= 40°∴ BA=BC(等角对等边)∵AB=20(12-10)=40∴BC=40答：B处到达灯塔C40海里ABN80°40°C1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)14或162、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________判断下列语句是否正确。
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学等腰三角形中做辅助线的七种常用方法在数学中，等腰三角形是一种非常常见的三角形，其两边长度相等，而另外一边则为底边。
由于等腰三角形的对称性，中心轴线即底边中线，将等腰三角形分为两个对称的部分。
在解决等腰三角形问题时，我们可以运用七种常用的辅助线方法来简化解题过程。
下面将一步一步回答这个主题。
一、作中线中线是连接等腰三角形底边中点和对立角顶点的直线线段。
相比于直接解题，中线的作用是将等腰三角形分解成一个矩形和两个全等直角三角形。
我们可以利用三角形的性质和数学定理，来推导出等腰三角形的各种性质和解题方法。
例如，在求等腰三角形的面积时，利用中线将其分成两个全等直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解。
二、作高线高线是从三角形一个顶点，垂直于另一条边所作的线段。
在等腰三角形中，高线不仅垂直于底边，而且还平分底边。
利用高线我们可以求出三角形的高和底边中分线段的长度。
例如，当已知等腰三角形的底边和顶角时，我们可以利用高线分割出一个全等直角三角形。
再根据勾股定理，直接求出等腰三角形的两边长度和面积。
三、作角平分线角平分线是从一个角的顶点，把角分成两个角度相等的线段。
在等腰三角形中，角平分线从顶点出发，与底边平行，平分底边长度，并将等腰三角形分成两个全等三角形。
例如，在已知等腰三角形两边长度和底边角度的情况下，我们可以画出角平分线并运用正弦定理求解。
四、作中垂线中垂线是连接等腰三角形底边中点和对立角的角平分线的垂线。
利用中垂线，我们可以将等腰三角形分解成一个底边中垂线分割的两个全等直角三角形。
例如，当已知等腰三角形的两边长度和底边长度时，可以利用中垂线将三角形分成两个全等直角三角形。
再根据直角三角形勾股定理求出等腰三角形的两边长度和面积。
五、作垂线垂线是从一个点到一条线段垂直的线段。
在等腰三角形中，垂线从顶点出发，垂直于底边，平分底边，并将等腰三角形分解成两个全等直角三角形。
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
等腰三角形中常见辅助线(中考)
等腰三角形中常见辅助线一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且AE＝BE.求证：CE⊥AC.证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°，∴CE⊥AC1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证DE＝DF.练习：证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.三、作平行线构造等腰三角形如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.练习如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与边BC相交于点D .(1)求证PD＝QD.证明：如图，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ .∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠CQD .又∵AB ＝AC ，(1)求证PD ＝QD.∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝PF ，∴PF ＝CQ .在△PFD 和△QCD 中，∴△PFD ≌△QCD (AAS)．∴PD ＝QD .DPF DQC PDF QDC PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，在P，Q移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．解：ED的长度保持不变.理由如下：由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=DC,∴ED=EF+FD=BE+DC= BC∴ED为定值四、用截长补短法构造等腰三角形如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°.求证BD ＋DC ＝AB.练习：证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.五、作垂直构造K字型全等如图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求△ABC的面积．六、常将等腰三角形转化为等边三角形如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P为形内一点，若∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。
几何证明题辅助线经典方法
几何证明题辅助线经典方法
引言
几何证明题是数学中常见的题型，也是学生们认识几何图形、发现几何规律的重要手段。
辅助线是解决几何证明题时常用的方法之一，本文将介绍几种经典的辅助线方法。
方法一：画垂直平分线
对于某些几何图形中的线段，我们可以通过画垂直平分线来辅助证明。
垂直平分线将线段分成两等分，从而在几何证明过程中起到重要的辅助作用。
方法二：画过顶点的高
在证明三角形相等或等腰三角形时，辅助线中的高是常见的方法之一。
通过画一条从顶点到对边的垂线，我们可以将几何图形转化为更容易处理的形式，从而证明所需结论。
方法三：画过顶点的中位线
在证明平行四边形或矩形时，辅助线中的中位线是一种常见的
方法。
通过画一条从顶点到对边中点的线段，我们可以将问题简化，并且利用矩形或平行四边形的性质得到所需结论。
方法四：画三角形的内切圆
在证明三角形的某些性质时，画三角形的内切圆是一种常见的
辅助线方法。
内切圆与三角形的各边均相切，通过利用内切圆的性质，我们可以得到有关三角形的一些重要结论。
方法五：画过顶点的角平分线
在证明两角相等或证明某些三角形相似时，画过顶点的角平分
线是一种常见的辅助线方法。
通过将角细分为两等分，我们可以得
到有关角度的一些重要关系，从而得到所需结论。
结论
辅助线方法在解决几何证明题时起到了重要的作用。
以上介绍
的几种经典辅助线方法仅是其中的一部分，通过熟练掌握这些方法，并结合具体问题，我们可以更好地解决几何证明题，提高数学水平。
专题课堂(四)-等腰三角形中的证明
【对应训练(xùnliàn)】 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是高，相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝ 2BD.
证明(zhèngmíng)：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝ 90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH，可证 △BCE≌△AHE(ASA)，∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC ＝2BD，∴AH＝2BD
证明：连接(liánjiē)AD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝45°， ∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴AD＝BD，∠B＝∠CAD.∵AB＝AC， AE＝CF，∴BE＝AF.在△BDE和△ADF中，∵AD＝BD，∠B＝∠CAD， BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF，∠BDE＝ ∠ADF.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∴∠ADF＋∠EDA＝90°，即∠EDF ＝90°，∴△DEF是等腰直角三第四角页，共形10页。
第九页，共10页。
内容(nèiróng)总结
专题课堂(四) 等腰三角形中的证明。分析：过点E作EG∥AC交BC于G，构造等腰△EBG，可 得EB＝EG＝FC，再证△EGD≌△FCD即可．。【对应训练】。3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD
No ，BE是高，相交(xiāngjiāo)于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. Image
＝CF，∴EG＝CF.在△EGD 和△FCD 中，∠∠DEDEGG＝＝∠∠FF，DC，∴△EGD EG＝FC，
≌△FCD(AAS)，∴DE＝DF
第三页，共10页。
等腰三角形的常用辅助线
等腰三角形的常用辅助线等腰三角形的常用辅助线，这个话题一说到，很多小伙伴可能会皱起眉头，觉得“哎呀，又是数学的那些东西”！其实呢，没那么复杂，只要把它看成一块小蛋糕，我们就能轻松地吃掉它。
等腰三角形，顾名思义，就是两条边相等的三角形。
它的特性呢，大家都知道，底边两侧的角度相等。
可是呀，单纯的等腰三角形有时候看着不太显眼，搞不好就会错过一些隐藏的“玄机”。
这个时候，辅助线就派上用场了。
你可别小看这些不起眼的辅助线，它们可真是神奇的工具，让我们在解题时游刃有余。
那这些辅助线到底有哪些呢？今天我们就来聊聊这个。
最常见的辅助线，就是垂直平分线。
哎呀，这个名字一听就有点严肃是不是？不过其实呢，它就是把等腰三角形的底边“砍”成两段一样长的线。
如果你仔细看看，垂直平分线还跟三角形的顶点连在一起，那是有多神奇！它不仅能把底边分成两段一样长的部分，还能让顶点到这条线的距离是最短的。
更妙的是，它还能帮助你把三角形分割成两个完全对称的小三角形，哇，简直是像拆解拼图一样，一块一块的弄清楚，结果一下子问题就解决了。
所以啊，碰到等腰三角形，想要对称性好一点，垂直平分线一定得用起来！然后，还有个很重要的辅助线，那就是角平分线。
角平分线啊，说白了，就是把三角形的一个角一分为二，把两边分成对称的部分。
好家伙，你看，这个角平分线的作用可大了。
它不仅能帮助你把角度弄清楚，还能直接给出一些相等的比值。
简直是无敌的“妙招”，解题时能带来不小的帮助。
你知道吗？有时候你在一个等腰三角形里，角平分线不仅能告诉你角度之间的关系，还能帮助你计算一些线段的长度。
不管是在解几何题目，还是在日常的数学练习中，这个“神器”都能让你快速抓住关键，给出精准的答案。
所以呢，如果你遇到需要计算比例关系的题目，角平分线就是你最好的朋友。
不过，别以为只有垂直平分线和角平分线才厉害，还有一个秘密武器叫做中线。
中线呢，就是从顶点往下拉，连接底边的中点。
看起来像是个平凡无奇的小线段，可实际上它的功能不容小觑。
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天数姐整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
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有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：已知，如图，AB = AC, BDLAC于D,
求证：/ BAC = 2/DBC
证明：（方法一）作Z BAC的平分线AE,交BC于E,则Z 1 = Z 2 = 又v AB = AC 1
-Z BAC 2
••• AEL BC
•••/ 2+Z ACB = 90°
••• BD L AC
•••/ DBCM ACB = 90°
•••/ 2 = / DBC
•••/ BAC = 2 / DBC
（方法二）过A作AEL BC于E （过程略）
（方法三）取BC中点E,连结AE （过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC，D 为BC 中点，DEL AB 于E，DFL AC于F, 求证：DE = DF
证明：连结AD.
v D为BC中点，
••• BD = CD
又v AB =AC
••• AD平分/ BAC
v DEL AB, DFL AC
••• DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF, 求证：EFL BC
证明：延长BE至U N,使AN = AB,连结CNJ则AB = AN = AC •••/ B = / ACB, / ACN = / ANC
vZ B+Z ACB^Z ACNbZ ANC = 180°
••• 2Z BC外2Z ACN = 180°
•••Z BCAbZ ACN = 90°
即Z BCN = 90°
•NCL BC
v AE = AF
•Z AEF = Z AFE
又vZ BAC = Z AEF + Z AFE
Z BAC = Z ACN + Z ANC
•Z BAC =2Z AEF = 2 Z ANC
•Z AEF = Z ANC
•EF// NC
•EFL BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ ABC中，AB = AC, D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE,连结DE 交BC于F
求证：DF = EF
证明：（证法一）过D作DN/ AE,交BC于N,则/ DNB= /
/ NDE = / E，
••• AB = AC，
•••/ B = / ACB
•••/ B = / DNB
••• BD = DN
又••• BD = CE
••• DN = EC
在厶DNF^P^ ECF中
/ 1 = Z 2
/ NDF =Z E
DN = EC
•••△ DNF^A ECF
••• DF = EF
（证法二）过E作EM/ AB交BC延长线于M,则/ EMB =/ B （过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，
求证：
如图，△ ABC中, AB =AC E在AC上, D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE DEL BC
证明：（证法一）过点E作EF// BC交AB于F,贝U
Z AFE =Z B
/ AEF =Z C
••• AB = AC
•••/ B = / C
•••/ AFE =Z AEF
••• AD = AE
•••/ AED =Z ADE
又•••/ AFE^Z AE阡/ AED^Z ADE = 180
••• 2Z AE阡2Z AED = 90°
即Z FED = 90° ••• DEI FE
又v EF/ BC ••• DEI BC
（证法二）过点D作DN/ BC交CA的延长线于N,（过程略）（证法三）过点A作AM/ BC交DE于M,（过程略）
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例：已知，如图，△ ABC 中，AB = AC，Z BAC = 80 ° ,P 为形内一点，若Z PBC = 1C0 Z PCB = 3C0 求Z PAB的度数•
解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE
则Z BAE =Z ABE = 60°
AE = AB = BE
v AB = AC
N D
E
••• AE = AC / ABC =Z ACB •••/ AEC =Z ACE
vZ EAC =Z BAC-Z BAE
=80 0— 60° = 20 0
1
••• Z ACE = (180° — Z EAC)=
2
1
vZ ACB= - (180 °—Z BAC)= 50°
2
•••Z BCE =Z ACE-Z ACB
0 0 0
=80 — 50 = 30
vZ PCB = 30°
•Z PCB = Z BCE
vZ ABC =Z ACB = 5O0, Z ABE = 60。
•Z EBC =Z ABE-Z ABC = 600— 500 =10
vZ PBC = 100
•Z PBC = Z EBC 在^ PBM3 EBC中
Z PBC = Z EBC
BC = BC
ZPCB = Z BCE
•△ PBC^A EBC
•BP = BE v AB = BE
•AB = BP
•Z BAP =Z BPA
vZ ABP =Z ABC-Z PBC = 500— 100 = 40
1
• Z PAB = (1800—Z ABP)= 700
2
解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：以BC为一边作等边三角形△ BCE连结AE,则
EB = EC = BC ,Z BEC =Z EBC = 600 v EB = EC
•E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上
•EA所在的直线是BC的中垂线
•EAL BC
1
Z AEB = - Z BEC = 300 = Z PCB
2
由解法一知：Z ABC = 500
•Z ABE = Z EBC-Z ABC = 100 = Z PBC
•• Z ABE =Z PBC,BE = BC, Z AEB =Z PCB ••△ ABE^A PBC
•• AB = BP •/ BAP =Z BPA
•• Z ABP =ZABC-Z PBC = 500— 100 = 40
800 E
1
•••/ PAB = (180°—/ ABP)=
2 1
2
(180
°-
40)= 70
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：已知，如图，AB = AC, BDLAC于D,
求证：/ BAC = 2/DBC
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：已知，如图，△ ABC中, AB = AC，D为BC中点，DEL AB于E，
DF丄AC于F,
求证：DE = DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△ ABC中, AB= AC，在BA延长线和AC上各取
一点E、F,使AE = AF,
求证：EFL BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△ ABC中, AB = AC, D在AB上, E在AC延长线
上，且BD = CE,连结DE交BC于F
C
求证：DF = EF
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，如图，△ ABC中, AB =AC F在AC上, E在BA延长
线上，且AE = AF,连结DE
求证：EFL BC
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例：已知，如图，△ ABC中，AB = AC, / BAC = 80 ° ,P 为形
内一点，若/ PBC = 10° ,
/ PCB = 30° 求/ PAB的度数.。