等腰三角形中的常见辅助线
2022七年级数学上册第二章轴对称阶段核心方法等腰三角形中作辅助线常用的八种方法鲁教版五四制
解法三：如图③，在BC上截取CE＝CA，连接DE. 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD. 又因为CD＝CD，所以△ACD≌△ECD(SAS)． 所以AD＝DE，∠BAC＝∠DEC. 因为∠BAC＝2∠B，且易知∠DEC＝∠B＋∠BDE， 所以∠BDE＝∠B.所以DE＝BE， 所以AC＋AD＝CE＋BE＝BC.
所以△ABE≌△PBE(AAS)．所以 BA＝BP. 所以 BC＝CP＋BP＝CE＋AB.
(2)DE⊥DF. 解：因为△BED≌△AFD， 所以∠BDE＝∠ADF. 所以∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°. 所以∠EDF＝90°. 所以DE⊥DF.
2 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于 D，E是AD上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.
解：如图，作EF⊥AC于点F. 因为EA＝EC，所以AF＝FC. 因为AC＝2AB，所以AF＝AB. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAE＝∠FAE. 又因为AE＝AE，所以△ABE≌△AFE(SAS)． 所以∠ABE＝∠AFE＝90°.所以EB⊥AB.
过点 E 分别作 EM⊥BA 交 BA 的延长线于点 M，EN⊥BC 于点 N. 因为 BE 平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，所以 EM＝EN. 因为∠BAC＝100°，所以∠CAM＝180°－100°＝80°.
∠EAM＝∠NDE＝80°， 在△EMA 和△END 中，∠AME＝∠DNE＝90°，
第二章
轴对称
阶段核心方法 等腰三角形中作辅助线常用的八种方法
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答案呈现
1 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为 BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝ AF.试说明： (1)DE＝DF； (2)DE⊥DF.
(完整)等腰三角形时常用的辅助线作法
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，求证:DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC中,AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC,F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF,连结DE求证:EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---—--等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,∠BAC = 80o，P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数。
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图，AB = AC,BD⊥AC于D，求证:∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1 = ∠2 = 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC(方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）(方法三）取BC中点E，连结AE(过程略)⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF21EDC BA证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC 中，AB = AC,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ， 求证：EF ⊥BC证明:延长BE 到N ，使AN = AB ，连结CN ，则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANCF E DCBAN FE CBA∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一)过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB,∠NDE = ∠E ，∵AB = AC, ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M ，则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线21NFED C BA21MFED CBA例:已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N,(过程略） （证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形————--等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 80o ，P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oN M FE D CBA PECBAAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12（180o－∠EAC）= 80o∵∠ACB= 12（180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12（180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。
中考专题之与三角形有关的辅助线
第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似 并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。
等腰三角形几种常见辅助线精典题型
等腰三角形几种常见辅助线精典题型
等腰三角形是指两边相等的三角形。
在解决等腰三角形相关题目时，常常使用辅助线来辅助推导和证明。
以下是几种常见的等腰三角形辅助线题型：
1. 画中线
对于一个等腰三角形ABC，如果我们画出边AC的中线DE，那么DE就会和边AB、边BC的中点F、G分别重合。
这是因为等腰三角形的两底角相等，所以边DE和边AB、边BC同样长度，且平行。
因此，边DE和边AB、边BC的中点会重合在一条直线上。
2. 画高线
另一个常见的辅助线是画出等腰三角形ABC的高线AD，垂直于底边BC。
根据等腰三角形的性质，高线AD会和底边BC的中点E重合。
这是因为高线AD与底边BC垂直，而等腰三角形的两底角相等，所以高线AD与边AB和边AC平行。
因此，高线AD 和底边BC的中点会重合在一条直线上。
3. 划分等腰三角形
我们还可以使用辅助线将等腰三角形划分为更小的等腰三角形。
例如，我们可以从等腰三角形ABC的顶点A开始，划分出三角形ABD和三角形ACD。
这样，我们就得到了两个与原等腰三角形相
似的等腰三角形。
通过划分等腰三角形，我们可以更方便地推导和
证明相关问题。
在解决等腰三角形的相关题目时，使用这些常见的辅助线题型
能够帮助我们更好地理解等腰三角形的性质，简化问题的处理过程，并得到准确的结论。
> 注意：以上内容仅供参考，具体问题具体分析。
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结讲课稿
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
专题 等腰三角形中常用的辅助线作法(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》专题等腰三角形中常用的辅助线作法解题技巧提炼当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD．【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB．【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=12BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝∠B．【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数；（2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠ACB．【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝5，求ED的长．【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD．（1）求证：BE＝CE；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AE平分∠DAB．【例题2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 交AB 于点E ，交BC 与点D ．交AC 的延长线于点F ，且BE ＝CF ．求证：DE ＝DF ．【变式2-1】如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 延长线上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝AD ，求证：DB ＝DE．【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G．（1）试说明EG＝FG；（2）试说明AB+AC＞2EG．【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式2-7】如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．（1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG；（3）求AB AC CG的值．【例题3】如图，△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：AB ＝AD +BC ．【变式3-1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E 为BC 上一点，BE ＝DE ．求证：BC ＝CD +AD．解题技巧提炼对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=12（AB+AC）．【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【变式3-4】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【变式3-5】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【变式4-2】如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE ＝AC ．若∠C ＝70°，∠DAC ＝50°，求∠EBD的度数．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形.【变式4-3】（2022秋•文峰区月考）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD ＝∠BDA，求证：AC＝2AE．【变式4-4】阅读并完成以下填空：如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD．连接EC，则AE＝2AD．∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．在△ABD和△CED中，BD＝CD， ， ．∴△ABD≌△CED．∴AB＝EC．在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE．而AB＝EC，AE＝2AD，∴AB+AC＞2AD．这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：问题1：如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF 交AC于点E．求证AE＝EF．【变式4-5】（2023春•汉寿县期中）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC．【变式5-1】在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB+BD．求证：∠B＝2∠C．【变式5-2】如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长．【变式5-3】（2022•南京模拟）小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．。
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
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即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
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∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法
技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。
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等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.
方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线
1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF
方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高
2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.
方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线
3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B
不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
（1）试说明：PD=QD
（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线
4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，
DG⊥BE于G，求证：BG=EG.
方法5补形法构造等腰三角形
5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.
方法6 倍长中线法构造等腰三角形
6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF
方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形
7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.
方法8 截长补短法构造等腰三角形
8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。