专题三、数列教师版

1、（2009年安徽省理5分）已知na为等差数列，105531aaa，99642aaa。以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是(B) （A）21 （B）20 （C）19 （D）18

2、（2010年安徽省理5分）设na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,,XYZ，则下列等式中恒成立的是（D) A、2XZY B、YYXZZX C、2YXZ D、YYXXZX

3、（2012年安徽省理5分）公比为32等比数列{}na的各项都是正数，且31116aa，则216log=a【 】

()A4 ()B5 ()C ()D 【答案】B。 【考点】等比数列，分数指数幂，对数。 【解析】∵{}na是等比数列，且31116aa，∴2716a。 又∵等比数列{}na的各项都是正数，∴74a。。 ∴199933167==42=42=32aaq。 ∴521622log=log32=log2=5a。故选B。

4、（2011年安徽省理5分）已知⊿ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC的面积为 315 .

6、（2008年安徽省理）（本小题满分13分） 设数列na满足3*010,1,,nnaacaccNc其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]na对任意*nN成立的充分必要条件是[0,1]c； （Ⅱ）设103c，证明：1*1(3),nnacnN; （Ⅲ）设103c，证明：222*1221,13naaannNc



【答案】 (1) 必要性 ：120,1aac∵∴ ， 又 2[0,1],011ac∵∴ ，即[0,1]c 充分性 ：设 [0,1]c，对*nN用数学归纳法证明[0,1]na 当1n时，10[0,1]a.假设[0,1](1)kak 则31111kkacaccc，且31110kkacacc 1[0,1]ka∴，由数学归纳法知[0,1]na对所有*nN成立

(2) 设 103c，当1n时，10a，结论成立 当2n 时， 3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa∵∴

103C∵,由（1）知1[0,1]na，所以 21113nnaa 且 110na

113(1)nnaca∴ 21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac∴

1*1(3)()nnacnN∴

(3) 设 103c，当1n时，2120213ac，结论成立 当2n时，由（2）知11(3)0nnac 21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)nnnnnacccc∴

222222112212[3(3)(3)]nnnaaaaanccc∴

2(1(3))2111313ncnncc



7、（2009年安徽省理）（本小题满分13分） 首项为正数的数列{na}满足*21),3(41Nnaann. (Ⅰ)证明：若1a 为奇数，则对一切2n ，na 都是奇数； (Ⅱ)若对一切*Nn，都有nnaa1，求1a的取值范围。 【答案】：（I）已知1a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，

则由递推关系得213(1)14kkaamm是奇数。 根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。 （II）（方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na或3na。

另一方面，若01,ka则113014ka；若3ka，则21333.4ka 根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN 综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。

（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a。 22111133()(),444nnnnnnnnaaaaaaaa



因为21130,,4nnaaa所以所有的na均大于0，因此1nnaa与1nnaa同号。 根据数学归纳法，nN，1nnaa与21aa同号。 因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。

8、（2010年安徽省理）（本小题满分12分） 设数列12,,,,naaa中的每一项都不为0。

证明：na为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有 1223111111nnnnaaaaaaaa。 9、（2011安徽理）

在数1和100之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数

的乘积记作nT，再令,lgnnaT1n≥. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式； （Ⅱ）设1tantan,nnnbaa求数列{}nb的前n项和nS. 【答案】本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设221,,,nlll构成等比数列，其中,100,121ntt则 ,2121nnnttttT ①

,1221ttttTnnn

②

①×②并利用得),21(1022131nittttnin .1,2lg,10)()()()()2(2122112212nnTattttttttTnnnnnnnn

（II）由题意和（I）中计算结果，知.1),3tan()2tan(nnnbn

另一方面，利用,tan)1tan(1tan)1tan())1tan((1tankkkkkk 得.11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk 所以231tan)1tan(nknkknkkbS

.1tan3tan)3tan()11tantan)1tan((23nnkknk

11、（2007年安徽省理）（本小题满分14分） 某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。

（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。 【答案】本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.

解：

（Ⅰ）我们有).2()1(1narTTnnn

（Ⅱ）得反复使用上述关系式，对2,11naT nannnnararTarTT)1()1()1(1221

＝.)1()1()1(12211nnaaararara

 ①

在①式两端同乘1+r，得 ).1()1()1()1()1(21121rarararaTrnnnan

 ②

②-①，得 nnnnnarrrdrarT)1()1()1()1(211

＝,)1(1)1(1nnnararrrd 即1122(1)nnardarddTrnrrr

如果记,,)1(2121nrdrdraBrrdraAnnn 则,nnnBAT 其中是以为公比的等比数列为首项，以是以nnBrrrrdraA;)0(1)1(21 12

ardddrrr为首项，为公差的等差数列。

4．（2008陕西）已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：． 解析： （Ⅰ），，，