2020年1月6日浙江省普通高中学业水平数学试题及答案
浙江省2020年06月普通高校招生学业水平考试数学试题(学生版)
2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学学科试题选择题部分一、选择题：本小题共18小题.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1.已知集合A =x x 2=x ，B =-1,0,1 ，则A ∩B =()A.1B.0,1C.-1,0D.-1,0,12.已知向量a=1,1 ，则a =()A.1B.2C.3D.23.log 63-log 23=()A.12B.1C.log 43D.log 1234.圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是()A.-2,3B.-3,2C.2,-3D.2,35.不等式x +1 >2的解集是()A.x -1<x <1B.x x <-1 或x >1C.x -3<x <1D.x x <-3 或x >16.抛物线y 2=4x 的准线方程是()A.y =1B.y =-1C.x =1D.x =-17.如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.四棱柱8.过点A 1,-2 ，且与直线2x -y +1=0平行的直线方程()A.2x -y -4=0B.2x -y +4=0C.x +2y -3=0D.x +2y +3=09.设不等式组x ≥0x -y ≤12x +y ≤2所表示的平面区域为M ，则下列各点在M 内的是()A.点-1,1B.点1,0C.点1,1D.点1,-110.已知平面α//平面β，m ⊂α，n ⊂β，那么下列结论正确的是()A.m ，n 是平行直线B.m ，n 是异面直线C.m ，n 是共面直线D.m ，n 是不相交直线11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若A :B :C =1:1:4，则a :b :c =()A.1:1:4B.1:1:2C.1:1:3D.1:1:312.函数f x =x +cos x 的图像可能是()A. B.C.D.13.已知a ，b 是实数，则“a b >1”是“a +b >2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知双曲线x 2a 2 -y 2b2 =1的一条渐近线方程是y =2x ，则该双曲线的离心率为()A.5 B.2 C.3 D.215.已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且对任意实数λ，a -λb ≥a -b 恒成立，则a :b =()A.1:2B.2:1C.1:3D.3:116.已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，则下列说法正确的是()A.如果数列a n 成等差数列，则a 2，a 8，a 5成等比数列B.如果数列a n 不成等差数列，则a 2，a 8，a 5不成等比数列C.如果数列a n 成等比数列，则a 2，a 8，a 5不成等差数列D.如果数列a n 不成等比数列，则a 2，a 8，a 5不成等差数列17.抛物线y 2=2px p >0 的准线交x 轴于点C ，焦点为F ，过点C 的直线l 与抛物线交于不同两点A ，B ，点A 在点B ，C 之间，则()A.AF ⋅AB =BF 2B.AF +AB =2BFC.AF ⋅AB >BF 2D.AF +AB <2BF18.如图，已知点P 为边长等于4的正方形所在平面外的动点，PA =2，PA 与平面ABCD 所成角等于45°，则∠BPD 的大小可能是()A.π6B.π3C.π2D.5π6非选择题部分二、填空题：本大题共4小题.19.设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S n =n 2，n ∈N *，则a 1=，d =.20.若cosπ-x+cosπ2+x=22 ，则sin2x=.21.如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为.22.已知函数f x =5-x x≤0-x2+4x+1x>0和g x =ax+1.若对任意的x∈0,1 ，都有t1、t2∈-1,at1≠t2使得f t1=g x ，f t2 =g x ，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共3小题.23.已知函数f x =2sinωx⋅cosωxω>0的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f x 的单调递增区间；(Ⅲ)若fπ4 +α=23 ，(0<α<π2 )，求sin2α的值.24.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1的离心率为e =32 ，右焦点F 3,0 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l :y =kx +m km <0 与圆O :x 2+y 2=b 2相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，求MF +NF 的最小值.25.已知函数f x =x -a +x 2-b 2 ，其中a ，b ，x ∈R .(Ⅰ)若y =f x 是偶函数，求实数a 的值；(Ⅱ)当a =b =1时，求函数y =f x 的单调区间；(Ⅲ)若对任意x ∈0,1 ，都有f x ≤a +b 2恒成立，求实数a +b 2的最小值.2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学学科答案一、选择题(本大题共18小题)题号123456789答案B B B C D D B A B 题号101112131415161718答案D D A A A B C D C 二、填空题(本大题共4小题)(写成3+5也给分)22．0<a≤4 19．1，220．-12 21．2+102。
普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷01(解析版)
【详解】D为边AB的中点，所以AD=CD DB n AD n CD CA+=+=+-D.2023秋·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）下列各组函数相等的是（A．4B【答案】D【详解】在直观图中，OA所以在原图中，如下图所示，14．（2023春·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在CB D A．//AC平面1119．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数任意的12x x ≠，都有()11f x x A ．1B ．【答案】32-/132-【详解】根据图象可以得到A=因为5π112f⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π6ϕ+=ππ(1)若单位有100名员工，采用分层抽样的方法从这100名员工中抽取容量为量；(2)估计本单位员工通讯费用的众数、中位数和平均数．【答案】(1)1，2，4，3(2)众数为70；中位数为70；平均数68．【详解】（1）0.005：0.010：0.020：0.0151=：2：4：3⊥；(1)证明：BC AD(2)求三棱锥A BDE-的体积.【答案】(1)证明见解析(2)32四边形ABEC为菱形，AE BC∴⊥ ，即BD DC=AB AC=，O为BCAO DO⊂平面AOD ，,⋂=AO DO O∴⊥.AD⊂平面AOD，BC AD （2）由BC⊥平面AOD可得：BO。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是的既不充分也不必要条件D．是的充要条件2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A ．5海里B ．4海里C ．3海里D ．2海里4. 设复数满足（是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．5. 已知的展开式中的系数为10，则实数a 的值为（ ）A．B．C．D ．26. 若是第四象限角，则是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）A ．-8B ．0C ．-4D ．-28. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．9.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（ ）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为11. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（ ）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙城市日均气温的极差为D．乙城市日均气温的众数为12. 已知，下列结论正确的是（ ）A ．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得，则实数a 的值为________．14. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是________.（用数字作答）15.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.16.设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），求四边形面积的最大值和最小值．17. 如图，多面体中，平面，底面为等腰梯形，，，，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．19. 2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：（参考公式：，其中）20. 已知函数.（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在区间恰有一个零点.21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则C U A=( )A.∅B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}解析：根据补集的定义，C U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件.C U A={2，4，5}.答案：C2.双曲线221 3xy-=的焦点坐标是( )A.(-2，0)，(2，0)B.(-2，0)，(2，0)C.(0，-2)，(0，2)D.(0，-2)，(0，2)解析：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c=22a b+=2，∴该双曲线的焦点坐标为(±2，0)答案：B3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.2B.4C.6D.8解析：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.如图所示：故该几何体的体积为：V=()112222+⋅⋅=6.答案：C4.复数21i-(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：化简可得()()()2121111iz ii i i+===+--+，∴z的共轭复数z=1-i.答案：B5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是( ) A.B.C.D.解析：根据函数的解析式y=2|x|sin2x ，得到：函数的图象为奇函数，故排除A 和B.当x=2π时，函数的值也为0，故排除C.答案：D6.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：∵m ⊄α，n ⊂α，∴当m ∥n 时，m ∥α成立，即充分性成立， 当m ∥α时，m ∥n 不一定成立，即必要性不成立， 则“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件. 答案：A7.设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，( ) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小解析：设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是E(ξ)=1110122222p p p -⨯+⨯+⨯=+；方差是D(ξ)=2222211111111012222222422p p p p p p p p ---⨯+--⨯+--⨯=-++=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝，∴p ∈(0，12)时，D(ξ)单调递增； p ∈(12，1)时，D(ξ)单调递减；∴D(ξ)先增大后减小. 答案：D8.已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S-AB-C 的平面角为θ3，则( )A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1解析：∵由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心.过E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON ⊥EF 交EF 于N ，连接SN ，取CD 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN=OM ， 则θ1=∠SEN ，θ2=∠SEO ，θ3=∠SMO. 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角.∵13tan tan SN SN SONE OM OM θθ===，，SN ≥SO ，∴θ1≥θ3， 又32sin sin SO SOSM SE θθ==，，SE ≥SM ，∴θ3≥θ2.答案：D9.已知a b e ，，是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是( )3323解析：由2430b e b -⋅+=，得()()3b e b e -⋅-=0，∴()()3b e b e -⊥-，如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以(2，0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线y=3x(x ＞0)上.不妨以3为例，则a b-的最小值是(2，0)3x=y=0的距离减1.231=3131-+.答案：A10.已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，若a 1＞1，则( ) A.a 1＜a 3，a 2＜a 4 B.a 1＞a 3，a 2＜a 4 C.a 1＜a 3，a 2＞a 4 D.a 1＞a 3，a 2＞a 4解析：a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a 1＞1，设公比为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，不成立， 即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成立，排除A 、D.当q=-1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，等式不成立，所以q ≠-1；当q ＜-1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)不成立， 当q ∈(-1，0)时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，能够成立， 答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题(附解析)
2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题（附解析）一、单选题1．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ） A ．1A ∈B ．2A ∉C ．3A ∈D ．4A ∉2．函数()2xf x =的值域是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),-∞+∞3．已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（ ） A ．7B ．9C ．11D ．134．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=6．已知()f x 是奇函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知6A π=，4B π=，3a =，则b =（ ） A ．6B ．33 C ．32D ．68．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．若实数x ，y 满足不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．1210．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．1B ．32C ．3D ．9211．已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1B ．32C ．22D ．1212．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．210-B ．210C ．3210D ．721014．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下面说法正确的是（ ） A ．若//αβ，m α⊥，βn//，则//m n B ．.若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n D ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m n ⊥ 15．设数列(){}113n n +-⋅的前n 项和为n S ，则对任意的正整数n 恒成立的是（ ）A ．1n n S S +>B ．1n n S S +<C ．221n n S S ->D ．221n n S S -< 16．已知1a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()log log log log 0a a b b b a ⋅>B ．()()log log log log 0a a b b b a +>C ．()()log log log log 0a b b a a b ⋅>D ．()()log log log log 0a b b a a b +>17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C 上的点，PF x ⊥轴，且10sin 10PAF ∠<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．83π 二、双空题19．已知A 的方程为()()22221x y -+-=，则其圆心A 坐标为______；半径为______.20．已知幂函数()y f x =的图象过点()3,3，则()4f =______.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11BC BB ==，则直线1A B 与平面11A B CD 所成角的正弦值是______.22．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=++，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.四、解答题23．已知函数()22cos sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合.24．在平面直角坐标系中，点()1,0M -，()1,0N ，直线PM ，PN 相交于点(),P x y ，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率的差的绝对值是2. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()0y kx k =>交轨迹E 于不同的四点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .问：是否存在满足AB BC CD ==的直线l ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.25．设a R ∈，已知函数()22f x x a a x =-+-，[]1,1x ∈-.（Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）当0a ≤时，证明：()22f x a a ≤-+；（Ⅲ）若()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题（解析）一、单选题1．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．2A ∉ C ．3A ∈ D ．4A ∉【答案】D 【详解】因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉ 故选：D2．函数()2xf x =的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B 【详解】函数()2xf x =的值域是0,故选：B3．已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（ ） A ．7 B ．9C ．11D ．13【答案】C 【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+= 故选：C4．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A 【详解】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得：12a =.故选：A .2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠.5．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【答案】A 【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=，即30x y ±=故选：A6．已知()f x 是奇函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以()f x 的图象是故选：B7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知6A π=，4B π=，3a =，则b =（ ） A ．6 B ．33 C ．32D ．6【答案】C 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：323sinsin 42321sin sin 62a Bb A ππ====. 故选：C .8．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当21a =时，则1a =±，不一定有1a =， 故必要性不成立，所以“1a =”是“21a =”的充分而不必要条件. 故选：A9．若实数x ，y 满足不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12【答案】C 【详解】不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图，令2x y z +=，即122z y x =-+，由图可得当直线122zy x =-+过点()0,4时z 最大，最大值为8 故选：C10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．1B ．32C ．3D ．92【答案】B 【详解】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为113333322V =⨯⨯⨯⨯= 故选：B.11．已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1B ．32C ．22D ．12【答案】D 【详解】解：因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤ . 故选：D.12．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C 【详解】由已知1a =，2b =，1a b ⋅=得1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,a b π≤≤，所以a 与b 的夹角为60︒，故选：C.13．已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．210-B ．210C ．3210D ．7210【答案】A【解析】首先求出m ，然后由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，然后由正弦的两角和计算公式可得πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以45m =- 所以由任意角的三角函数的定义得4sin 5α=-，35=cos α 则πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()2sin cos 2αα+= 210- 故选：A14．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下面说法正确的是（ ） A ．若//αβ，m α⊥，βn//，则//m n B ．.若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n D ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【详解】若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥，故A 错误，B 正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交或异面，故C 、D 错误； 故选：B 15．设数列(){}113n n +-⋅的前n 项和为n S ，则对任意的正整数n 恒成立的是（ ）A ．1n n S S +>B ．1n n S S +<C ．221n n S S ->D ．221n n S S -<【答案】D 【详解】因为()12113n n n n S S +++-=-⋅，确定不了符号；()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<，所以221n n S S -<故选：D16．已知1a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()log log log log 0a a b b b a ⋅>B ．()()log log log log 0a a b b b a +>C ．()()log log log log 0a b b a a b ⋅>D ．()()log log log log 0a b b a a b +> 【答案】B 【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，log 1b a >，所以()()log log 0,log log 0a a b b b a <> 所以()()log log log log 0a a b b b a ⋅<，故A 错误， 同理可得()()log log log log 0a b b a a b ⋅<，故C 错误 令()log 0,1a t b =∈，则1log b a t=所以()()log log 111log log log log log log log log log log log log t t a a b b a ba b t t t t b a b a t t t t a b a b-+=+=-=-=⋅ 因为()0,1t ∈，1a b >>，所以log log t t b a >，log 0,log 0t t a b <<， 所以log log 0log log t t t t b aa b->⋅，即()()log log log log 0a a b b b a +>，故B 正确同理可得()()log log log log 0a b b a a b +<，故D 错误 故选：B17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C 上的点，PF x ⊥轴，且10sin 10PAF ∠<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【详解】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭所以()242210sin 10b a PAF b a c a∠=<++，所以()4422210b b a c a a<++ 所以()4229b a c a<+，所以()23b a a c <+，所以()2223a c a ac -<+所以22230a ac c --<，所以2230e e --<，解得23e >或1e <- 因为()0,1e ∈，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ， ∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部，∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面， 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 二、双空题 19．已知A 的方程为()()22221x y -+-=，则其圆心A 坐标为______；半径为______.【答案】()2,2 1 【详解】 因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1三、填空题20．已知幂函数()y f x =的图象过点()3,3，则()4f =______. 【答案】2 【详解】()y f x =为幂函数，∴可设()f x x α=，()333f α∴==，解得：12α=， ()12f x x ∴=，()42f ∴=.故答案为：2.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11BC BB ==，则直线1A B 与平面11A B CD 所成角的正弦值是______.【答案】1010【详解】如图，连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，由题，11A B ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥1BC ，又四边形11BB C C 是正方形， 所以1BC ⊥1CB ，11A B 11CB B =，所以1BC ⊥平面11CB A D ，即1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角， 又2AB =，11BC BB ==，所以22115A B AB AA =+=，11222BK BC ==，故112102sin 105BK BA K A B ∠===. 故答案为：101022．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=++，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.【答案】11 【详解】()2144121n n n n a a a a +=++=+，121n n a a +∴=+，()1121n n a a +∴+=+，∴数列{}1n a +是以1121a +=+为首项，2为公比的等比数列，()11212n n a -∴+=+⨯，()12121n n a -∴=+⨯-， 由22020n a ≥得：2020n a ≥，即()12021220212183721n -≥=⨯-≈+，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 四、解答题23．已知函数()22cos sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合. 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）1，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【详解】 解：（Ⅰ）22cos sin 1322f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）由二倍角公式得： ()cos 2cos 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()f x 的最大值为1. 当且仅当223x k ππ+=时，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 取得最大值，所以，取得最大值时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.24．在平面直角坐标系中，点()1,0M -，()1,0N ，直线PM ，PN 相交于点(),P x y ，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率的差的绝对值是2. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()0y kx k =>交轨迹E 于不同的四点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .问：是否存在满足AB BC CD ==的直线l ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）()()211y x x =±-≠±；（Ⅱ）存在，233. 【详解】（Ⅰ）由已知得，2PM PN k k -=，即211y y x x -=+-， 化简得到点P 的轨迹E 的方程为()()211y x x =±-≠±.（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y . 由方程组21y kx y x=⎧⎨=-⎩消去y ，整理得210x kx +-=，所以13x x k +=-. 因为AB BC =，所以点B 是AC 的中点，故2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点B 在21y x =-上，故22122k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由0k >，得233k =. 同理，由BC CD =得到233k =. 综上可知存在233k =的直线l 满足题意.25．设a R ∈，已知函数()22f x x a a x =-+-，[]1,1x ∈-.（Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）当0a ≤时，证明：()22f x a a ≤-+；（Ⅲ）若()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 为偶函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【详解】（Ⅰ）当0a =时，()2f x x x =+，定义域为[]1,1-，且对于任意的[]1,1x ∈-，有()()2f x x x f x -=+=恒成立，所以函数()f x 为偶函数.（Ⅱ）当0a ≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222f x x a a x x a a x =-+-=-+-222222x a a x a a x x a a ≤-++=-++≤-+.即对于任意的[]1,1x ∈-，()22f x a a ≤-+恒成立.（Ⅲ）记()()2211f x x a a x x =-+--≤≤的最大值为M ，则()4f x ≤恒成立4M ⇔≤. （ⅰ）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，对于任意的[]1,1x ∈-，()()221f x a a f ≤-+=-恒成立，所以，22M a a =-+.由2240a a a ⎧-+≤⎨≤⎩解得10a -≤≤. （ⅱ）当01a <≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()22224f x x a a x x a a x =-+-≤+++≤恒成立.（ⅲ）当1a >时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222221124f x x a a x a x a x x a a ⎛⎫=-+-=-+-=-++++ ⎪⎝⎭， 此时21124M f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭， 由21441a a a ⎧++≤⎪⎨⎪>⎩，得312a <≤. 综上所述，a 的取值范围为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2020年浙江省衢州市中考数学试卷(附答案解析)
2020年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）比0小1的数是（）A．0B．－1C．1D．±12．（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）A．B．C．D．3．（3分）计算（a2）3，正确结果是（）A．a5B．a6C．a8D．a94．（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以为（）A．0B．1C．2D．46．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1－x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1－x）2＝442D．368（1+x）2＝4428．（3分）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．9．（3分）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位10．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝．12．（4分）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x－1）※x 的结果为．13．（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是．14．（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD 的边长为4dm，则图2中h的值为dm．15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC 于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝．16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN 上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm．三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）17．（6分）计算：|－2|+（）0－+2sin30°．18．（6分）先化简，再求值：÷，其中a＝3．19．（6分）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．20．（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．被抽样的学生视力情况频数表组别视力段频数A 5.1≤x≤5.325B 4.8≤x≤5.0115C 4.4≤x≤4.7mD 4.0≤x≤4.352（1）求组别C（2）求组别A的圆心角度数．（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？21．（8分）如图，△A BC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．22．（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝－x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（－2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察－猜想－验证－应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．24．（12分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF ⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．【试题答案】一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）1．B【解答】解：0－1＝－1，即比0小1的数是－1．2．A【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；B、俯视图是正方形，故此选项错误；C、俯视图是长方形，故此选项错误；D、俯视图是长方形，故此选项错误．3．B【解答】解：由幂的乘方法则可知，（a2）3＝a2×3＝a6．4．A【解答】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：＝．5．D【解答】解：由题意得：x－3≥0，解得：x≥3．6．C【解答】解：，由①得x≤1；由②得x＞－1；故不等式组的解集为－1＜x≤1，在数轴上表示出来为：．7．B【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461．8．D【解答】解：A、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，本选项不符合题意．C、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，D、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．9．C【解答】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2－2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x－1）2－1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x－2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．10．A【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，由第二次折叠知，CD＝DE＝，∴AB＝．二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11． 1【解答】解；将方程移项得，2x＝2，系数化为1得，x＝1．12．x2－1【解答】解：根据题意得：（x－1）※x＝（x－1）（x+1）＝x2－1．13． 5【解答】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，∴x＝5×5－4－4－5－6＝6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，∴这组数据的中位数是5．14．（4+）【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4dm，∴②的斜边上的高是2dm，④的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，⑦的斜边上的高是dm，∴图2中h的值为（4+）dm．15． 40【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，∴FN＝MN＝3，∴AN＝MB＝8－3＝5，设OA＝x，则OB＝x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），又∵点F、M都在反比例函数的图象上，∴8x＝（x+3）×5，解得，x＝5，∴F（5，8），∴k＝5×8＝40．16．【解答】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA－AQ＝140－60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠P＝＝，∴＝，∴PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160cm，故答案为160．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．由题意AT＝PT－PA＝160－140＝20（cm），OA＝PA－OP＝140－50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，∵QH⊥OA，∴QH2＝AQ2－AH2＝OQ2－OH2，∴602－x2＝502－（90－x）2，解得x＝，∴HT＝AH+AT＝（cm），∴点Q到MN的距离为cm．故答案为．三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题6分，第22～23小题每小题6分，第24小题12分，共66分．请务必写出解答过程）17．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+1－3+2×＝2+1－3+1＝1．18．【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．【解答】解：原式＝•（a－1）＝，当a＝3时，原式＝＝．19．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．（2）如图，直线l即为所求、20．【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；（2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；（3）根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可．【解答】解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%＝500，m＝500×61.6%＝308，即m的值是308；（2）组别A的圆心角度数是：360°×＝18°，即组别A的圆心角度数是18°；（3）25000×＝7000（人），答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．21．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出＝，求出EC即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC－EC＝5－3.6＝1.4．22．【分析】（1）根据图中信息解答即可．（2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可．②分两种情形分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23－（420÷20）＝23－21＝2（h）．（2）①280÷20＝14h，∴点A（14，280），点B（16，280），∵36÷60＝0.6（h），23－0.6＝22.4，∴点E（22.4，420），设BC的解析式为s＝20t+b，把B（16，280）代入s＝20t+b，可得b＝－40，∴s＝20t－40（16≤t≤23），同理由D（14，0），E（22.4，420）可得DE的解析式为s＝50t－700（14≤t≤22.4），由题意：20t－40＝50t－700，解得t＝22，∵22－14＝8（h），∴货轮出发后8小时追上游轮．②相遇之前相距12km时，20t－40－（50t－700）＝12，解得t＝21.6．相遇之后相距12km时，50t－700－（20t－40）＝12，解得t＝22.4，∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．23．【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK （AAS），由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（－m，－2m+4），根据勾股定理得出l ＝EF2＝8m2－16m+16＝8（m－1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【解答】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG＝DH，∵直线AC的解析式为y＝－x+4，∴x＝0时，y＝4，∴A（0，4），又∵B（－2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的橫坐标为m，∴F（－m，－2m+4），∴ER＝2m，FR＝－2m+4，∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2－16m+16＝8（m－1）2+8，令－+4＝0，得x＝，∴0≤m≤．∴当m＝1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为2．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．由（2）得EF2＝8m2－16m+16，又∵BR＝－m+2，FR＝－2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（－m+2）2+（－2m+4）2＝5m2－20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2－20m+20）+（8m2－16m+16）＝（m+2）2，化简得，3m2－10m+8＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去），∴m＝．综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m＝．24．【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2－CD2＝[2（k+a）]2－（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k－2a，AC＝2（k－a），∴AD2＝AC2－CD2＝[2（k－a）]2－（k－2a）2＝3k2－4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k－2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2－4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．。
浙江省嘉兴市、舟山市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
浙江省嘉兴市、舟山市2020年中考数学试卷一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分)（共10题；共30分）1.2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m。
数36000000用科学记数法表示为( )A. 0.36×108B. 36×107C. 3.6×108D. 3.6×107【答案】 D【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：36000000=3.6×107.故答案为：D.【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。
其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
2.下图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为( )A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：从正面看有两列，第一列有两个小正方形只有A符合.故答案为：A【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体可得答案。
3.已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是( )A. 平均数是4B. 众数是3C. 中位数是5D. 方差是3.2【答案】C【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数=4，故A不符合题意；【解析】【解答】解：样本数据的平均数为2+3+5+3+75这组数据的众数是3，故B不符合题意；从小到大排列为2，3，3，5，7，处于最中间的数是3，这组数据的中位数为3，故C不符合题意；=3.2，故D不符合题意；这组数据的方差为(2−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(3−4)2+(7−4)25故答案为：C.【分析】利用平均数公式求出这组数据的平均数，可对A做出判断；利用众数是一组数据中出现次数最多的数，可对B做出判断，先将这组数据进行排序，可得到这组数据的中位数，可对C做出判断；利用方差公式求出这组数据的方差，可对D做出判断。
【附加15套高考模拟试卷】浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题含答案
浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．4(31)π-B ．4(21)π-C ．4(31)π-.D ．4(21)π-2．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为（ ）．A ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±4．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）A ．该地区在该月2日空气质量最好B ．该地区在该月24日空气质量最差C ．该地区从该月7日到12日持续增大D ．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．283πB ．323π C ．523π D ．563π6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．37．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥8．设实数x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是（ ）A ．[]4,1- B ．33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][),31,-∞-+∞U D ．[]3,1-9．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（ ） A ．726+ B ．722+C ．326+ D ．322+11．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．1412．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年浙江省湖州市中考数学真题 (解析版)
浙江省2023年初中学业水平考试（湖州市）数学试题卷友情提示:1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分．2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！4．参考公式:抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭卷Ⅰ一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．1.下列各数中，最小的数是（）A.2- B.1- C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【详解】解：|2|2-= ，|1|1-=，21>，2101∴-<-<<，∴最小的数是2-．故选：A ．【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．2.计算3a a ⋅的结果是（）A.2a B.3a C.4a D.5a 【答案】C【解析】【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可．【详解】解：34a a a ⋅=，故选C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．3.国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（）A.60.50210⨯ B.65.0210⨯ C.55.0210⨯ D.450.210⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：用科学记数法表示502000为55.0210⨯．故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．【详解】解：∵主视图和左视图是长方形，∴几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．5.若分式131x x -+的值为0，则x 的值是（）A.1B.0C.1-D.3-【答案】A【解析】【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．【详解】解：依题意得：10x -=且310x +≠，解得1x =．故选：A ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．6.如图，点A ，B ，C 在O 上，连接AB AC OB OC ，，，．若50BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数是（）A.80︒B.90︒C.100︒D.110︒【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理解答即可.【详解】解：∵50BAC ∠=︒，∴2110BOC BAC ∠=∠=︒；故选：C .【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.7.某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（）A.25立方米B.30立方米C.32立方米D.35立方米【答案】B【解析】【分析】根据平均数的计算公式将上面的值代入进行计算即可.【详解】解：平均每天的用水量是3040203030305++++=立方米，故选B.【点睛】本题考查从统计图中获取信息及平均数的计算方法，解题的关键是从图中获取确定这组数据中的数据.8.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）A.()201231.2x += B.()20122031.2x +-=C.()220131.2x += D.()22012031.2x +-=【答案】D【解析】【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得()22012031.2x +-=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．9.如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C ，D 两点，分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作圆弧，两条圆弧交于AOB ∠内一点P ，连接OP ，过点P 作直线PE OA ，交OB 于点E ，过点P 作直线PF OB ∥，交OA 于点F ．若60AOB ∠=︒，6cm OP =，则四边形PFOE 的面积是（）A.2B.2C.2D.2【答案】B【解析】【分析】过P 作PM OB ⊥于M ，再判定四边形PFOE 为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．【详解】解：过P 作PM OB ⊥于M ，由作图得：OP 平分AOB ∠，∴1302POB AOP AOB ∠=∠=∠=︒，∴13cm 2PM OP ==，∴OM ==∵PE OA ，PF OB ∥，∴四边形PFOE 为平行四边形，30EPO POA ∠=∠=︒，∴POE OPE ∠=∠，∴OE PE =，设OE PE x ==，在Rt PEM 中，222PE MP EM -=，即：()2223x x-=，解得：x =∴)·3cm OEPF S OE PM ===四边形．故选：B ．【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．10.已知在平面直角坐标系中，正比例函数()110y k x k =>的图象与反比例函数()220k y k x=>的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点()A t p ，和点()2B t q +，在函数1y k x =的图象上(0t ≠且2t ≠-)，点()C t m ，和点()2D t n +，在函数2k y x =的图象上．当p m -与q n -的积为负数时，t 的取值范围是()A.372t -<<-或112t << B.372t -<<-或312t <<C.32t -<<-或10t -<< D.312-<<-或01t <<【答案】D【解析】【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得12k k =．令12k k k ==，代入两个函数表达式，并分别将点A 、B 的坐标和点C 、D 的坐标代入对应函数，进而分别求出p m -与q n -的表达式，代入解不等式()()0p m q n --<并求出t 的取值范围即可．【详解】解：∵()110y k x k =>的图象与反比例函数()220k y k x =>的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴12k k =．令()120k k k k =>=，则1y k x kx ==，2k k y x x==．将点()A t p ，和点()2B t q +，代入y kx =，得()2p kt q k t =⎧⎨=+⎩；将点()C t m ，和点()2D t n +，代入k y x =，得2k m t k n t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩．∴1k p mp m kt k t t t ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭，()1(2222k q n k t t k t t t ⎛⎫-=-+-=+- ⎪++⎝⎭，∴()()211202p m q n k t t t t ⎛⎫⎛⎫--=-+-< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，∴11202t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭．∵()()()()()2222111311120 222t t t t t t t t t t t t t +-+-+-⎛⎫⎛⎫-+-=⋅=< ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，∴()()()1302t t t t -+<+，∴()()()1230t t t t -++<．①当3t <-时，()()()1230t t t t -++>，∴3t <-不符合要求，应舍去；②当32t -<<-时，()()()1230t t t t -++<，∴32t -<<-符合要求；③当20t -<<时，()()()1230t t t t -++>，∴20t -<<不符合要求，应舍去；④当01t <<时，()()()1230t t t t -++<，∴01t <<符合要求；⑤当1t >时，()()()1230t t t t -++>，∴1t >不符合要求，应舍去．综上，t 的取值范围是32t -<<-或01t <<．故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．卷Ⅱ二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.计算：（a +1）（a ﹣1）=_____．【答案】a 2﹣1【解析】【分析】符合平方差公式结构，直接利用平方差公式计算即可．【详解】（a +1）（a ﹣1）=a 2﹣1，故答案为：a 2﹣1.【点睛】此题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握，即可解题.12.在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______．【答案】710##0.7【解析】【分析】利用概率公式进行计算即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球有7310+=种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是红球的结果有7种，∴710P =故答案为：710．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．13.如图，OA 是O 的半径，弦BC OA ⊥于点D ，连接OB ．若O 的半径为5cm ，BC 的长为8cm ，则OD 的长是______cm ．【答案】3【解析】【分析】根据垂径定理可得AD 的长，根据勾股定理可得结果．【详解】解：∵BC OA ⊥，∴118422BD BC ==⨯=，∴3OD ===，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．14.已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜＜b ，则a+b=___．【答案】9【解析】【详解】解∵16<17<25，∴45<<∴a=4，b=5．∴a+b=9，故答案为：9．15.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架()EF 放在离树()AB 适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架()EF 上的点E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A ，再用皮尺分别测量BF ，DF EF ，，观测者目高()CD 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD BD ⊥于点D ，EF BD ⊥于点F ，AB BD ⊥于点B ，6BF =米，2DF =米，0.5EF =米， 1.7CD =米，则这棵树的高度（AB 的长）是______米．【答案】4.1【解析】【分析】过点E 作水平线交AB 于点G ，交CD 于点H ，根据镜面反射的性质求出CHE AGE ∽，再根据对应边成比例解答即可．【详解】过点E 作水平线交AB 于点G ，交CD 于点H ，如图，∵DB 是水平线，,,CD EF AB 都是铅垂线．∴0.5DH EF GB ===米，2EH DF ==米，6EG FB ==米，∴ 1.70.5 1.2CH CD DH =-=-=（米），又根据题意，得90,CHE AGE CEH AEG ∠=∠=︒∠=∠，∴CHE AGE ∽，EH CH EG AG ∴=，即2 1.26AG=，解得： 3.6AG =米，∴ 3.60.5 4.1AB AG GB =+=+=(米)．故答案为：4.1．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．16.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt ABE △和等腰Rt BCF ，③和④分别是Rt CDG △和Rt DAH V ，⑤是正方形EFGH ，直角顶点E ，F ，G ，H 分别在边BF CG DH AE ，，，上．（1）若3cm EF =，11cm AE FC +=，则BE 的长是______cm ．（2）若54DG GH =，则tan DAH ∠的值是______．【答案】①.4②.3【解析】【分析】（1）将AE 和FC 用BE 表示出来，再代入11cm AE FC +=，即可求出BE 的长；（2）由已知条件可以证明DAH CDG ∠=∠，从而得到tan tan DAH CDG ∠=∠，设AH x =，5DG k =，4GH k =，用x 和k 的式子表示出CG ，再利用tan tan DAH CDG ∠=∠列方程，解出x ，从而求出tan DAH ∠的值．【详解】解：（1）∵Rt ABE △和Rt BCF 都是等腰直角三角形，∴AE BE BF CF ==，，∵11cm AE FC +=，∴11cm BE BF +=，即11cm BE BE EF ++=，即211cm BE EF +=，∵3cm EF =，∴4cm BE =，故答案为：4；（2）设AH x =，∵54DG GH =，∴可设5DG k =，4GH k =，∵四边形EFGH 是正方形，∴4HE EF FG GH k ====，∵Rt ABE △和Rt BCF 都是等腰直角三角形，∴45AE BE BF CF ABE CBF ==∠=∠=︒，，，∴481212CG CF GF BF k BE k AH k x k =+=+=+=+=+，454590ABC ABE CBF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵四边形ABCD 对角互补，∴90ADC ∠=︒，∴90ADH CDG ∠+∠=︒，∵四边形EFGH 是正方形，∴90AHD CGD ∠=∠=︒，∴90ADH DAH ∠+∠=︒，∴DAH CDG ∠=∠，∴tan tan DAH CDG ∠=∠，∴DH CG AH DG =，即54125k k x k x k++=，整理得：2212450x kx k +-=，解得13x k =，215x k =-（舍去），∴9tan 33DH k DAH AH k∠===．故答案为：3．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．三、解答题（本题有8小题，共66分）17.计算：243-⨯．【答案】2-【解析】【分析】根据实数的运算顺序进行计算即可．【详解】解：原式423=-⨯46=-2=-．【点睛】本题考查实数的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．18.解一元一次不等式组2138x x x x +>⎧⎨<-+⎩①②【答案】12x -<<【解析】【分析】根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．【详解】解：2138x x x x +>⎧⎨<-+⎩①②，解不等式①，得1x >-，解不等式②，得2x <，所以原不等式组的解是12x -<<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键．19.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，点E 为AB 的中点，连结DE ．已知10BC =，12AD =，求BD ，DE的长．【答案】135,2BD DE ==【解析】【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出BD 的长，再根据勾股定理求得AB 的长，最后根据条件可知DE 是ABC 的中位线，求得DE 的长．【详解】解，∵AB AC =，AD BC ⊥于点D ，∴12BD BC =．∵10BC =，∴5BD =．∵AD BC ⊥于点D ，∴90ADB ∠=︒，∴在Rt △ABD 中，222AB AD BD =+．∵12AD =，∴13AB ===，∵E 为AB 的中点，∴11322DE AB ==．【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．20.4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．被抽查学生最喜欢的书籍种类的条形统计图被抽查学生最喜欢的书籍种类的扇形统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m 的值．（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．【答案】（1）200人，40（2）见解析（3）360人【解析】【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比；（2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可；（3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案．【小问1详解】被抽查的学生人数是4020%200÷=（人）∵80100%40%200⨯=，∴扇形统计图中m 的值是40．【小问2详解】∵20060804020---=（人），∴补全的条形统计图如图所示【小问3详解】∵601200360200⨯=（人），∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算．21.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的半圆与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，连结OB ．（1）求证：BD BC =．（2）已知1OC =，30A ∠=︒，求AB 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连结OD ，根据切线的性质得OD AB ⊥，再根据“HL ”证明Rt Rt ODB OCB ≌△△，可得答案；（2）先求出60ABC ∠=︒，可得CBO ∠，根据特殊角三角函数求出BC ，进而求出答案.【小问1详解】如图，连结OD ，∵半圆O 与AB 相切于点D ，∴OD AB ⊥．∵90ACB ∠=︒，∴90ODB OCB ∠=∠=︒.∵OD OC =，OB OB =，∴()Rt Rt ODB OCB HL ≌．∴BD BC =．【小问2详解】如图，∵30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴60ABC ∠=︒.∵Rt Rt ODB OCB ≌△△，∴1302CBO DBO ABC ∠=∠=∠=︒.∵1OC =，在Rt BCO △中，tan 30CO BC︒=，∴tan30OC BC ==︒在Rt ABC △中，sin 30BC AB ︒=，∴sin30BC AB ==︒．【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键．22.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）()3060x ≤<存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x （元/千克）5040日销售量y （千克）100200（1）试求出y 关于x 的函数表达式．（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W 元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x 为多少时，日销售利润W 最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】（1）10600y x =-+（2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元【解析】【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：设y 关于x 的函数表达式为()0y kx b k =+≠．将50100x y ==，和40200x y ==，分别代入，得：5010040200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：10600k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数表达式是：10600y x =-+；【小问2详解】解：()()230106001090018000W x x x x =--+=-+-，∵100-<，∴当9004520x =-=-时，在3060x ≤<的范围内，W 取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．23.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y x x c =-+的图象与y 轴的交点坐标为()0,5，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为()1,5．（1）求c 的值及顶点M 的坐标，（2）如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位()03t <<得到对应的矩形A B C D ''''．已知边C D ''，A B ''分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG A B ''⊥于点G ．①当2t =时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得PGQ △的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5c =，顶点M 的坐标是()2,1（2）①1；②存在，12t =或52【解析】【分析】（1）把()0,5代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；（2）①先判断当2t =时，D ¢，A '的坐标分别是()2,0，()3,0，再求出3x =，2x =时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出2QG =，易得P ，Q 的坐标分别是()2,45t t t -+，()21,22t t t +-+，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【小问1详解】∵二次函数24y x x c =-+的图象与y 轴的交点坐标为()0,5，∴5c =，∴()224521y x x x -=+=-+，∴顶点M 的坐标是()2,1．【小问2详解】①∵A 在x 轴上，B 的坐标为()1,5，∴点A 的坐标是()1,0．当2t =时，D ¢，A '的坐标分别是()2,0，()3,0．当3x =时，()23212y =-+=，即点Q 的纵坐标是2，当2x =时，()22211y =-+=，即点P 的纵坐标是1．∵PG A B ''⊥，∴点G 的纵坐标是1，∴211QG =-=．②存在．理由如下：∵PGQ △的面积为1，1PG =，∴2QG =．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是()2,45t t t -+，()21,22t t t +-+．如图1，当点G 在点Q 的上方时，()224522322QG t t t t t =-+--+=-=，此时12t =（在03t <<的范围内），如图2，当点G 在点Q 的下方时，()222245232QG t t t t t =-+--+=-=，此时52t =（在03t <<的范围内）．∴12t =或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．24.【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ⊥，交BC 的延长线于点M ．求证：DAP DCM ≌△△．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ⊥，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ⊥，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，2AD DB =，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC ∠=∠，PQM ∠的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），求PQ QM 的值（用含m ，n 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）83；（3【解析】【分析】（1）根据ASA 证明DAP DCM ≌△△即可；（2）证明DQP NQM ∽△△，得出PQ DQ DQ QM QN DB==，根据勾股定理6AB ==，根据DQ BC ，得出ADQ ABC ∽△△，求出23DQ AD BC AB ==，得出163DQ =，求出83PQ DQ QM DB ==；（3）BC ==，作QN BC ⊥于点N ，证明QAP QNM ∽△△，得出PQ AQQM NQ =．证明QCN BCA ∽△△，得出QN CQ BA CB ===，求出PQ AQ QM NQ ==．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，A ADC BCD 90∠=∠=∠=︒，AD DC =，∴90A DCM ∠=∠=︒，∵DM PD ⊥，∴90ADP PDC CDM PDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADP CDM ∠=∠，∴()ASA DAP DCM ≌．（2）如图1，作QN BC ⊥于点N ，如图所示：∵90ABC ∠=︒，DQ AB ⊥，∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN DB =，∵QM PQ ⊥，∴90DQP PQN MQN PQN ∠+∠=∠+∠=︒，∴DQP MQN ∠=∠，∵90QDP QNM ∠=∠=︒，∴DQP NQM ∽△△，∴PQ DQ DQ QM QN DB==，∵8BC =，10AC =，90ABC ∠=︒，∴6AB ==，∵2AD DB =，∴2DB =，∵90ADQ ABC ∠=∠=︒，∴DQ BC ，∴ADQ ABC ∽△△，∴23DQ AD BC AB ==，∴163DQ =，∴83PQ DQ QM DB ==；（3）∵AC mAB =，CO nAC =，∴CQ mnAB =，∴()AQ AC CQ m mn AB =-=-．∵90BAC ∠=︒，∴BC ==，如图2，作QN BC ⊥于点N ，∵360A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠=︒，∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．∵PQM PBC ∠=∠，∴PQM AQN ∠=∠，∴AQP NQM ∠=∠，∵90A QNM ∠=∠=︒，∴QAP QNM ∽△△，∴PQ AQ QM NQ =．。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S ，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A．B．C．D ．12. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数A．B．C．D．5. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．486. 在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图时，用函数作为重组率和交换率的校正公式（R 代表基因重组率，x 代表基因交换率），当某生物的基因重组率为时，其交换率为（ ）（参考数据：，）A ．1.2424B ．0.2894C ．0.0323D ．0.14387.如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（）A．B．C．D．8. 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．10.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为11. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A ．若复数z ＝3+i，则B ．复数z 满足|z ﹣2i|＝1，z 在复平面内对应的点为，则x 2+＝1C ．若复数z 1，z 2，满足，则D ．复数z ＝13i 的虚部是312. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（ ）A．B．若，则C．D．（）13.已知等差数列公差，其前n 项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.14.在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.15.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则=_________.16. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.17. 随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率．18. 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次106030已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据：62.14 1.54253550.12 3.47其中.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19. 如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，证明：.(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.20. 某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附：，.0.050.010.0053.841 6.6357.87921. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，.（1）若，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由；（2）若，点在边上，且，求长.。