高三数学总复习知能达标训练第八章

高三数学总复习知能达标训练第八章 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系

(时间40分钟，满分80分) 一、选择题(6×5分＝30分) 1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

解析 由 y＝kx＋2，y2＝8x，得ky2－8y＋16＝0， 若k＝0，则y＝2，若k≠0， 则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1， 因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1. 答案 D

2．(2012·长沙模拟)已知椭圆C的方程为x216＋y2m2＝1(m＞0)，如果直线y＝22x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为 A．2 B．22 C．8 D．23 解析 根据已知条件c＝16－m2，

则点(16－m2，2216－m2)在椭圆x216＋y2m2＝1(m＞0)上， ∴16－m216＋16－m22m2＝1，可得m＝22. 答案 B 3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为 A．2 B．4 C．6 D．8

解析 焦点F(1,0)，AF的直线方程为 y－0＝tanπ3(x－1)， 即y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x， 得[3(x－1)]2＝4x，

即3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13(舍去)， 故点A的坐标为(3,23)， |AF|＝3－12＋23－02＝4. 答案 B

4．(2012·杭州模拟)AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为 A．b2 B．ab C．ac D．bc 解析 设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)， 则S△FAB＝12|OF||2y1|＝c|y1|≤bc. 答案 D 5．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为

A．2 B.455 C.4105 D.8105 解析 设椭圆交直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由 x2＋4y2＝4，y＝x＋t.消去y， 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 则有x1＋x2＝－85t，x1x2＝4t2－15. ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝2· －85t2－4×4t2－15＝4255－t2， 当t＝0时，|AB|max＝4105. 答案 C 6．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 A．y2＝32x B．y2＝3x C．y2＝92x D．y2＝9x 解析 由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离， 由|BC|＝2|BF|得∠BCM＝30°，

又|AF|＝3，∠AFx＝60°，从而Ap2＋32，332， A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝32. 答案 B 二、填空题(3×4分＝12分)

7．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．

解析 ∵方程x25＋y2m＝1表示椭圆，∴m＞0且m≠5. ∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，

应有：025＋12m≤1，m≥1， ∴m的取值范围是m≥1且m≠5. 答案 m≥1且m≠5 8．(2012·湛江模拟)直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________．

解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由 y＝kx－2，y2＝8x，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

由题意得 Δ＝[－4k＋2]2－4×k2×4＞0，x1＋x2＝4k＋2k2＝2×2， ∴ k＞－1，k＝－1或k＝2，即k＝2. 答案 2 9．在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M、N的坐标分别为________． 解析 设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2， 整理得x2＋x－b＝0，Δ＝1＋4b， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1， y1＋y22＝－x1＋x2

2＋b＝12＋b，

则－12，12＋b在直线y＝x＋3上，代入得b＝2， 解得x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1. 答案 (－2,4)，(1,1) 三、解答题(38分)

10．(12分)(2011·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2| ＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率e； (2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，

且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程． 解析 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)， 因为|PF2|＝|F1F2|， 所以a－c2＋b2＝2c.

整理得2ca2＋ca－1＝0， 得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12. (2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)． A，B两点的坐标满足方程组 3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c. 消去y并整理，得5x2－8cx＝0. 解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解 x1＝0，y1＝－3c，

 x2＝85c，

y2＝335c. 不妨设A85c，335c，B(0，－3c)， 所以|AB|＝ 85c2＋335c＋3c2＝165c. 于是|MN|＝58|AB|＝2c. 圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2 ＝3|2＋c|2. 因为d2＋|MN|22＝42， 所以34(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0.得c＝－267(舍)，或c＝2. 所以椭圆方程为x216＋y212＝1. 11．(12分)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别为双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一

点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值． 解析 (1)M(－a,0)，N(a,0)，

由kPM·kPN＝y0x0＋a·y0x0－a＝y20x20－a2＝15，

又x20a2－y20b2＝1， ∴a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305. (2)联立 x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24. 设OC→＝(x3，y3)，由于OC→＝λOA→＋OB→， 即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2. 又C为双曲线上一点，∴x23－5y23＝5b2， 即(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2， 即λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. 又A，B在双曲线上， ∴x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2. 又x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c) ＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ∴λ2＋4λ＝0，λ＝0或λ＝－4.

12．(14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC并延长，交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB. 解析 (1)由题设知，a＝2，b＝2， 故M(－2,0)，N(0，－2)，

所以线段MN中点的坐标为－1，－22. 由于直线PA平分线段MN， 故直线PA过线段MN的中点， 又直线PA过坐标原点，

所以k＝－22－1＝22.

(2)直线PA的方程为y＝2x， 代入椭圆方程得x24＋4x22＝1， 解得x＝±23， 因此P23，43，A－23，－43. 于是C23，0，

直线AC的斜率为0＋4323＋23＝1， 故直线AB的方程为x－y－23＝0. 因此，d＝23－43－2312＋12＝223. (3)证法一 将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1， 解得x＝±21＋2k2.记μ＝21＋2k2， 则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)． 故直线AB的斜率为0＋μkμ＋μ＝k2， 其方程为y＝k2(x－μ)， 代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，