Catenyms解题报告by John

Catenyms解题报告 学号：不详 姓名：钟鏸 日期：2011.6.10-2011.6.20 题目 http://172.21.81.30/ZQUOJ/problem/Problem.jsp?id=1394

题意 catenym是用一个连接符号( .)串接起来的两个单词，其中，前一个单词的最后一个字母，与后一个单词的第一个字母，是一样的。如题干所示，下面就是两个catenym： dog . gopher 或 gopher . rat 然后，题干定义一个“组合catenym”就是若干个前后相连起来的catenym，如：aloha.aloha.arachnid.dog.gopher.rat.tiger （前一个单词的最后一个字母 = 下一个单词的第一个字母） 现题目给出若干个单词，让我们构造一个“组合catenym”。构造时，要求每个单词都出现一次，且仅一次。

题意弄懂之后，还有几个事项是需要注意的： 1. 给出的单词，不一定是按照字典序从小到大的顺序给出的，因此有可能需要排序 2. 问题的规模是1000个单词 3. 所给的若干个单词，存在构造不出一个“组合catenym”的可能性，即无解，此时输出"***" 4. 关于“the lexicographically least compound catenym”，为什么提出要“字典序最小”？ 如何去满足这个“字典序最小”的条件？

分析 题目要求把所有单词前后连接在一起，每个单词出现一次且仅一次，看起来就是一个排列问题，用穷举法貌似可以解决。但问题规模达到1000个单词，那么，就有1000！种排列，要从这1000！种排列中判断是否存在满足“组合catenym”条件的排列，如存在，则寻找字典序最小的排列。总的计算量非常巨大。“超时”是必然结果。

题目所给的第一个样例太简单了，一眼就能看出可以构造出“组合catenym”，所以不具有什么代表性。因此，需要我们自己设计一些具有代表性的例子：

例1： ejjjc assse bfffa dkkkb ebbd bnnna dcccb ayyye 由于catenym涉及的只是单词的首字母以及最后一个字母，对于单词中间的字母以及长度，是根本不敏感的，所以，在设计这些单词的时候，中间的字母都是随意设计。 经过尝试，对于例1，我们可以构造出多个“组合catenym”：

dkkkb.bfffa.assse.ebbd.dcccb.bnnna.ayyye.ejjjc —— ①

dcccb.bnnna.ayyye.ebbd.dkkkb.bfffa.assse.ejjjc —— ② dcccb.bfffa.assse.ebbd.dkkkb.bnnna.ayyye.ejjjc —— ③ ……

因此，如果不给出限制条件，答案是不唯一的。正因为如此，题目才给出“字典序最小”这个条件，使得答案唯一。对于例1，正解是③。 例1告诉我们答案的多样性，以及如何根据题目条件选择合适的答案。那么，什么情况下会出现无解呢？ 题目所给的第二个样例同样是太简单，一眼就看出不能构造出“组合catenym”：因为单词oak无法与任何其他单词前后连接起来。 有没有具有代表性的无解的例子呢？ 我们可以思考设计出这样的例子：

例2：akkkb annnc bfffc

例3：akkkb acccb bfffc bjjjc 例2和例3都是无法满足“使用全部单词一次且仅一次”这个条件来构造出“组合catenym”的。

通过以上分析，自然而然打算采用“搜索”策略来解题，希望通过搜索解空间，寻找符合题目条件的正解。（如果我们没有这样的想法，说明我们没接触过“搜索”法，或者还没有建立“搜索”策略的思维。）

如果没有接触过“欧拉图”或“半欧拉图”的概念，自然打算用朴素的“深度优先搜索DFS”来求解本题。（广度优先搜索BFS在理论上可以求解本题，但BFS多用在求最短路径，用于本题速度很慢）

如果没有时间上的限制，或者问题规模较小，朴素的DFS是可以求得正解的。对例1画出搜索过程的示意图如下： 说明：DFS搜索过程中，为了尽快搜到正解，每一步在有多个单词可供选择时，先选择字典序小的单词，这样这样可以尽快搜到正解（满足字典序最小的“组合catenym”），避免遍历整棵搜索树。

以上做法虽然看似可以求解问题，但是，考虑到问题的数据规模：1000个单词，那么，搜索树高度最多可达1000层，第一层有1000个节点，第二层有1000*999个节点，第三层有1000*999*998各节点，依此类推，那么，这棵搜索树是极为庞大的。 此外，由例1的搜索图解，必须想到的是，按字典序选择最小的单词作为第一个单词，往往求不出一个可能解。 根据经验，这些题目的大多数测试数据的正解往往不在搜索树的左下角，平均几率是在搜索树的中间底部位置，最坏的情况是在搜索树的右下角（这也是ICPC题目喜欢出的数据）。 再考虑到无解的情况，必定是搜完整棵树之后才知道无解。那么，搜索所花的时间就会很长，耗费的空间也很多。 根据经验，朴素的BFS搜索策略的结果必然是TLE。 因此，朴素搜索策略在本题是不适用的，必须要加上剪枝。

本题所考的知识点是“欧拉图”和“半欧拉图”，如果没接触过，就不能AC本题。因此，我们只能老老实实学一学“欧拉图”、“半欧拉图”、“欧拉回路”和“欧拉通路”等概念。

先看定义： 定义1 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次，行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路。 定义2 通过图中所有边一次并且仅一次，行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。 定义3 具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。

学习了以上定义，我们可以把每个单词看作一条弧，单词的首字母看作弧的始点，单词的最后一个字母看作是弧的终点。因此，本题对应的是有向图。

题目所给第一个样例的图如下：

例1的图如下： 学习了以上定义，我们也可以想到，题干所说的“每个单词都使用一次，且仅一次”，与欧拉路径的性质是完全吻合的。

题目本质 此时，本题就从表面上的字符串连接问题，首先否定了朴素的穷举思想（排列问题模型），然后建立搜索问题模型，最终归结为有向图的欧拉图问题——求欧拉回路或欧拉通路。 利用欧拉图的知识建立强有力的剪枝条件，再加上搜索的优先条件：按字典序从小到大选用单词（也就是说，我们要对所有单词进行排序），就可以大大缩小搜索空间。

解题思路 有了以上概念之后，再看欧拉图的相关定理： 定理1 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。（意思就是：每个顶点的度都是偶数。） 定理2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两个奇度顶点。 定理3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。 定理4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。 定理5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈的并。（“非平凡的”指的是图中大于一个顶点） 其中定理1和2是针对无向图的，定理3是针对欧拉图的，定理4是针对半欧拉图的。定理3和定理4都适用于本题。（请问定理5适用于什么问题？） 有了定理3和定理4，在本题判断是否存在“组合catenym”，也就是判断是否存在可能解，就是轻而易举的事情了，时间复杂度大大降低。 首先，要满足“连通”条件，像题目所给的第二个样例，由于它是非连通图（就更不用说强连通了），所以可以马上判定它无解。 示意图如下：

其次，只要测试数据满足了定理3或定理4的条件，那么它就一定有解，剩下的问题就是怎样尽快找到正解。

经思考，本题的数据可分为3种情况： 1. 不存在欧拉通路（此时当然也不存在欧拉回路），此时无解 2. 存在欧拉通路，但不构成欧拉回路 根据定理4，问题有解，且可行解不止一个，但出发点只有一个：应该选择“出度比入度大1”的顶点作为欧拉通路的出发点，按字典序选择下一个可用的单词（弧）走下去即可得正解。（顺便说一句，“入度比出度大1” 的顶点必然成为欧拉通路的终点。）这样就可以大大缩小搜索树的第一层，也就是从“源头”就缩小了搜索树。 再举例如下图所示： 在这个图中，欧拉通路的出发点就应该是"s"，而不选择字典序最小的以"k"开头的单词，因为s的入度为3，出度为4。欧拉通路的终点是"p"。

3. 存在欧拉回路 此时，问题肯定有解，且可行解不止一个，那么，就选定字典序最小的单词的首字母作为出发点。然后按字典序选择下一个可用的单词（弧）走下去即可得正解。 可以想象，在第2种和第3种情况下，应该都是一气呵成走完整个搜索过程，无需回溯。

现在，可以写出伪代码如下： 1. 检查所给图形是否欧拉图或半欧拉图 如果否，则"***" 如果是，则把单词按字典序排序，备用。 2. 如果是欧拉图，则从最小的字母出发 否则就是半欧拉图，则从“出度比入度大1”的字母出发 3. DFS，每次选取一个“未用过”的字典序最小的单词（即未走过的弧），一直走下去，一边走一边输出单词。（也可以一边走一边记录行走路线，最后一次性输出路径）

其中，1要判断是否连通图，弱连通也可以。可用并查集来实现。在这个过程中，可顺便统计每个顶点的入度、出度。然后，检查每个顶点，看出度是否等于入度；出度比入度大1的顶点是否只有一个；入度比出度大1的顶点是否只有一个。

代码 const int maxn=10000;

int V,E; // 顶点数 边数 struct edge { int t; // s->t = w char w[30]; // 存储单词本身 int next; };

int p[maxn]; // 表头节点 edge G[maxn]; // 邻接表

// u->v=w, 邻接表节点 l