河北省保定市2012届高三4月第一次模拟考试(数学文)WORD版
河北省保定市2024年数学(高考)统编版摸底(综合卷)模拟试卷
河北省保定市2024年数学（高考）统编版摸底(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若曲线上到直线的距离为2的点有4个，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（）A．B．C．或D．或第(3)题函数在下列哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．第(4)题为了得到的图象，只需把图象上所有点的（）A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变第(5)题美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题如图，E是边长为1的正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），，过点E作交的外角平分线于点F，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题已知实数，正实数满足方程，正实数满足方程，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知为双曲线的左焦点，点的坐标为，直线与交于两点．若，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(2)题下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A．B．C．D．第(3)题如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（）A．有水的部分始终是棱柱B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变C．棱始终与水面平行D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，不是定值三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
河北邯郸高三第一次模拟考试(数学文)答案及评分标准
2012年邯郸市高三第一次模拟考试数学（文）参考答案及评分标准一、选择题： BADCB DBDCA DD二、填空题 13． 6 14．.4 15．. 5π 16．. 22(6)20x y -+= 三、解答题17．（本小题共12分）解：(Ⅰ){}n a 是等差数列且215313a a a +=，233123a a ∴=， 又306n a a >∴=．…………………………………………………2分 177447()75682a a S a a +===∴=，……………………………4分 432d a a ∴=-=，3(3)2n a a n d n ∴=+-=． ………………6分（Ⅱ）112n n n n b b a a n ++-==且，12(1)n n b b n +∴-=+当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+，……………………8分 当1n =时，12b =满足上式，(1)n b n n =+1111(1)1n b n n n n ∴==-++ ……………………………………………………10分 12111111111111(1)()()()22311n n n T b b b b n n n n -∴=++++=-+-++-+--+ 1111n n n =-=++． ………………………………………………12分18．（本小题共12分）解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. …………2分 记未超标的4天为,,,a b c d ，超标的两天为,e f ．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15．…………4分（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．∴()815P A =；……………6分 （Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ， “2天都超标”为事件C ，其可能结果为ef ，…………………………8分故()115P C =，…………………………………………………………10分 ∴()()114111515P B P C =-=-=. …………………………………12分19．（本小题共12分）（I ）证明：连接CO2,2AE EB AB ===AEB ∴为等腰直角三角形O 为AB 的中点,1EO AB EO ∴⊥=……………………2分又,60AB BC ABC =∠=ACB ∴是等边三角形3CO ∴=，………………………………4分又2,EC =222EC EO CO ∴=+，即EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面……………………6分（II ）设点D 到面AEC 的距离为h2,2AE AC EC === ∴72AEC S =…………8分3ADC S =,E 到面ACB 的距离1EO = D AEC E ADC V V --=∴AEC ADC Sh S EO ⋅=⋅ ………………………………10分 2217h ∴= ∴点D 到面AEC 的距离为2217……………………12分 20．（本小题共12分）(I)由题可知：2221b c a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ …………2分解得1a c ==，1b ∴=∴椭圆C 的方程为22:12x C y +=…………………………4分 （II ）设直线l ：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.…………6分 所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+. ……………………8分 而2222(1)(12)FN x y x kx k =-=--，，，1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+，，，…………10分1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+1212[23()4]k x x x x =-++ 22221642442121k k k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭0= //FN FP ∴∴N F P 、、三点共线 ……………………………………12分21．（本小题共12分）（I ）当1a =时，1()xx f x e -= 2()xx f x e -+'∴= ………………………………………………………………2分 由()0f x '>得2,x <()0f x '<得2x >()f x ∴的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.………………4分 （II ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()f t t >恒成立， 则1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x ax x e ->恒成立， 即1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x a e x >+恒成立………………………………6分 设1()x g x e x =+，1[,2]2x ∈，则 21()x g x e x '=-，1[,2]2x ∈设21()xh x e x =-，32()0x h x e x '=+>在1[,2]2x ∈上恒成立 ∴()h x 在1[,2]2x ∈上单调递增 即21()x g x e x '=-在1[,2]2x ∈上单调递增………………8分 121()402g e '=-<，21(2)04g e '=-> ∴21()x g x e x '=-在1[,2]2有零点m ∴21()x g x e x '=-在1[,]2m 上单调递减，在(,2]m 上单调递增……………10分 ∴1()2(2)a g ag ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2212a a e ⎧>⎪⎨>+⎪⎩，∴212a e >+……………………12分 22．（本小题共10分）证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠............................ 2分 又因为AD CE ⊥，所以090ACD CAD ∠+∠=，又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠， ............................................... 4分 所以90OCA ACD ∠+∠=，即OC CE ⊥，所以CE 是O 的切线. ................ 6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，因为OAC CAD ∠=∠， ............................................................................................ 8分 所以△ABC ∽△ACD ，所以AC AD AB AC =，即2AC AB AD =⋅. ..................... 10分 23．（本小题共10分）解：（Ⅰ）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=，………………………………………………………………2分 由222,cos x y x ρρθ=+=得：224x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，…………………………4分 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. …………………………………………5分（Ⅱ）把112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=整理得250t -+=，……7分 设其两根分别为1t 、2t，则12125t t t t +==，…………………………8分12PQ t t ∴=-==10分 另解：化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得PQ 的值．24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>++-≥7211x x x ，或⎩⎨⎧>+++-<<-72112x x x ，或⎩⎨⎧>--+--≤7212x x x ………………3分 解得函数)(x f 的定义域为),3()4,(+∞⋃--∞； ………………………………5分 （Ⅱ）不等式3)(≥x f 即821+≥++-a x x ，R x ∈ 时，恒有3)2()1(21=+--≥++-x x x x ，…………………………8分 不等式821+≥++-a x x 解集是R ，83,a ∴+≤a ∴的取值范围是]5-,(-∞． ……………………………10分。
高三数学4月第一次模拟考试试题解析文学生试题
卜人入州八九几市潮王学校精品解析：西城区2021届高三4月第一次模拟考试数学〔文〕试题解析〔学生〕第一卷〔选择题一共40分〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么AB =〔〕 〔A 〕(2,2)- 〔B 〕(1,2)- 〔C 〕(1,2)〔D 〕(1,4)3．假设2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，那么以下结论正确的选项是〔〕 〔A 〕a c b <<〔B 〕c a b << 〔C 〕b c a << 〔D 〕c b a <<5．正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如下列图，那么其左视图的面积是〔〕〔A 〕243cm 〔B 〕223cm 〔C 〕28cm 〔D 〕24cm 6．假设实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩那么|3|x y -的最大值为〔〕〔A 〕6 〔B 〕5 〔C 〕4 〔D 〕37．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．那么“10a >〞是“32S S >〞的〔〕 〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件 8．集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.那么A 中所有元素之和是〔〕〔A 〕120 〔B 〕112 〔C 〕92 〔D 〕84第二卷〔非选择题一共110分〕二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分.9.向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .假设,90︒〈-〉=a b a ，那么实数λ=_____.10.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如下列图的频率分布直方图．假设从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11.函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 12.圆22430x y x +-+=的圆心到直线30x y -=的间隔是_____.13.函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩那么()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____． 14.如图，抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ， 2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =. 给出以下三个结论：①数列{}n y 是递减数列；②对*n ∀∈N ，0n y >；③假设14y =，23y =，那么523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程.15.〔本小题总分值是13分〕在△ABC 中，2sin cos sin()B A A C =+．〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕假设2BC=，△ABC 的面积是3，求AB ． 16.〔本小题总分值是13分〕某校高一年级开设研究性学习课程，〔1〕班和〔2〕班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取假设干名学生组成研究性学习小组，从〔2〕班抽取了3名同学． 〔Ⅰ〕求研究性学习小组的人数；〔Ⅱ〕规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17．〔本小题总分值是14分〕如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，假设点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心 的圆上，求k 的值．19.〔本小题总分值是13分〕如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上〔点C 在第一象限〕，CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．〔Ⅰ〕求面积S 以x 为自变量的函数式；〔Ⅱ〕假设||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值． 20.〔本小题总分值是13分〕对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换〞：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.这种“T 变换〞记作()B T A =.继续对数列B 进展“T 变换〞，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换完毕．〔Ⅰ〕试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换〞能否完毕？假设能，请依次写出经过“T 变换〞得到的各数列；假设不能，说明理由；〔Ⅱ〕设123:,,A a a a ，()B T A =．假设:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．〔ⅰ〕求a ，b ；〔ⅱ〕假设数列B 再经过k 次“T 变换〞得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由．。
河北省保定市高三数学第一次高考模拟考试(文理)合卷(含解析)
2015年保定市第一次高考模拟考试数学 (A 卷)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
1.已知集合A ＝{1，2，3，4}，{}B x x A==∈，则A ∩B 的子集个数是 A.2 B. 3 C. 4 D. 16解析：集合{}1B =，所以{}12A B I ＝，，故A ∩B 的子集个数为4.(文)已知集合A ＝{1，2，3，4}，{}B x x A==∈，则A ∩B=A. {1, 2,3}B. {}C. {1, 2}D. {1}解析：集合{}1B =，所以{}12A B ＝， 2.已知p ：α是第一象限角，q ：πα<2，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知i 是虚数单位，则31()1i i -+=A. 1B. iC. -i D -1.解析：231(1)2,().1(1)(1)2i i ii i i i i i ---===--=++-（文）已知i 是虚数单位，则1||1ii -+=A. iB. 1C. 2D. 0---===--=++-21(1)2, 1.1(1)(1)2i i ii i i i i 即-=+11i i 1. 4.sin15cos15-=o oA. B. 12C.D. 12- 解析211(s ,22-=）ooQ Q法2: sin15cos15sin(4530)cos(4530)2-=---=-o o o o o o法3：sin15cos15cos45cos15sin 45)45)2-=-=-=-o o o o o o o o5. 一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为A. 38B.382π-C.382π+D. 12π- 解析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为22(343141)212138ππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=6. 在边长为4的正方形ABCD 内任取一点M ，则∠AMB >90°的概率为A.π8B. 1-π8 C. 4π D. 1-4π解析：ππ⋅⨯2122p==448 7.已知函数(2)f x +是R 上的偶函数，当2x >时，2()1f x x =+，则当2x <时，()f x =A. +21x B. 285x x -+ C. 245x x ++ D. 2817x x -+解析1：2x <时，4-x >2, (2)f x +是偶函数∴+=-⇒=-=-+=-+22(2x)(2)f(x)f(4x)(4x)1817f f x x x解析2：可画图观察求解。
河北省保定市2023届高三模拟(一模)数学试题(含解析)
河北省保定市2023届高三模拟（一模）数学试题一、单选题1．（2023·河北保定·统考一模）已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．{}1,2,32．（2023·河北保定·统考一模）已知复数2i z =-，则()22z -=（ ）A ．8i-B ．8iC ．88i-D ．88i+3．（2023·河北保定·统考一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·河北保定·统考一模）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃ABCD ，中间划分出直角三角形MPQ 区域种玫瑰，直角顶点M 在边AB 上，且距离A 点5m ，距离B 点6m ，且P 、Q 两点分别在边BC 和AD 上，已知8m BC =，则玫瑰园的最小面积为（ ）A ．230mB ．215mC ．2D ．25．（2023·河北保定·统考一模）函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·河北保定·统考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2AB =，PAD V 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且P ABCD V -=，则PC 与平面PAD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12C D 7．（2023·河北保定·统考一模）函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0ω>，0πϕ<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是10π9B ．函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于直线π4x =对称D ．若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2023·河北保定·统考一模）已知14e 1a =-，12πb =，1sin 4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>二、多选题9．（2023·河北保定·统考一模）已知平面向量()2,1a =-r ，()4,2b =r ，()2,c t =r，则下列说法正确的是（ ）A ．若b c ⊥r r，则4t =B ．若//a c r r，则1t =-C ．若1t =，则向量a r 在c r上的投影向量为35c-r D ．若4t >-，则向量b r 与c r的夹角为锐角10．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22195x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）A ．2B ．8C ．10D ．1211．（2023·河北保定·统考一模）沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏的侧面积是2cmB ．沙漏中的细沙体积为316πcm 3C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是837秒()π 3.14≈12．（2023·河北保定·统考一模）如图所示的三角数阵，其中第m 行（从上到下），第n 列（从左到右）的数表示为mn a ，且11m a =，当2m n ≥≥时，有()()11mn m n na m n a -=-+，则下列说法正确的是（ ）A ．431a =B ．C n mn ma =C ．()()()1122223333441112nn n n a a a a a a a a n --+++⋅⋅⋅+<≥D ．()1234121mm m m m mm a a a a a m++++⋅⋅⋅+=-三、填空题13．（2023·河北保定·统考一模）二项式6x ⎛⎝展开式中常数项是________．（填数字）14．（2023·河北保定·统考一模）写出过抛物线24y x =上的点()1,P t 且与圆()2221x y -+=相切的一条直线的方程________．15．（2023·河北保定·统考一模）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．16．（2023·河北保定·统考一模）已知()f x '是函数()f x 在定义域上的导函数，且()()1e x f x f x -'+=，()11f =，若函数()()()ln 20mf x mx x m =-+>在区间()0,∞+内存在零点，则实数m 的最小值为________．四、解答题17．（2023·河北保定·统考一模）已知()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π．(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．18．（2023·河北保定·统考一模）已知1a ，21a a -，32a a -，…，()12n n a a n --≥是以1为首项，1为公差的等差数列．(1)求n a 的通项公式；(2)求数列(){}cos πn n a 前2n 项的和2n S ．19．（2023·河北保定·统考一模）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为ABCD 为正方形，11π3A AB A AD ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内．(1)若O 为AC 中点，求证：1A O AO ⊥；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值．20．（2023·河北保定·统考一模）在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以ξ表示选取的人中服药后有效的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．21．（2023·河北保定·统考一模）如图，双曲线的中心在原点，焦距为点分别为A ，B ，曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得4P T x x =（其中P x ，T x 为点P ，T 的横坐标），若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2023·河北保定·统考一模）已知函数()()sin ln 1f x x a x =-+．(1)当1a =时，证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≥；(2)当[]0,πx ∈时，()2e 2xf x ≤-恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】解一元二次不等式再求交集.【详解】因为{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，所以A B =I {}1,2,3.故选：D 2．A【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--， 所以()228i z -=-.故选：A 3．B【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD .在平面11ABB A 内，除直线AB 外，其他所有与11A B 平行的直线，都与平面ABCD 平行，但是平面11ABB A 与平面ABCD 不平行；若//αβ，根据面面平行的定义可知，平面α内的直线都与平面β平行.所以，“α内有无数条直线与β平行”是“//αβ”的必要不充分条件.故选：B.4．A【分析】设BMP θ∠=根据直角三角形的性质可将6cos MP θ=，5sin PQ θ=，进而可得115tan tan MPQS θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭V ，再根据P 、Q 两点分别在边，BC 和AD 上，可得54tan ,83θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而可得最小值.【详解】如图所示，设BMP θ∠=，则2AMQ πθ∠=-，AQM θ∠=，所以6cos MP θ=，5sin MQ θ=，所以222115sin cos tan 11151515tan 2sin cos sin cos tan tan MPQS MP MQ θθθθθθθθθθ++⎛⎫=⋅==⋅=⋅=+ ⎪⋅⎝⎭V ，又P 、Q 两点分别在边BC 和AD 上，所以[]6tan 0,8BP θ=∈，[]50,8tan AQ θ=∈，所以54tan ,83θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1tan 2tan θθ+≥=，当且仅当1tan tan θθ=，即tan 1θ=时，等号成立，所以115tan 30tan MPQS θθ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭V ，即MPQ S V 的最小值为230m ，故选：A.5．B【分析】函数()()22ln 11x f x x +=+是由函数()22ln xg x x =向左平移1个单位得到的，而()22ln x g x x=是偶函数，所以得()()22ln 11x f x x +=+的图像关于直线=1x -对称，再取值可判断出结果.【详解】解：因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x =向左平移一个单位得到的，因为()22ln ()(0)()x g x g x x x --==≠-，所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于=1x -对称，故可排除A ，D 选项；又当<2x -或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>，所以()0f x >，故可排除C 选项.故选：B .【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.6．B【分析】连接PO ，O 为AD 的中点，结合面面垂直性质定理证明PO ⊥平面ABCD ，根据锥体体积公式求PD ，再由面面垂直性质定理证明CD ⊥平面PAD ，根据线面角的定义证明PC 与平面PAD 所成角的平面角为CPD ∠，解三角形求其正切值.【详解】取AD 的中点O ，连接PO ，由已知PAD V 为等边三角形，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设PD x =，则PO ，AD x =，又2AB =，所以矩形ABCD 的面积2ABCD S x =，所以四棱锥P ABCD -的体积211233P ABCD ABCD V S PO x x -=⨯⨯=⨯=，2，所以4x =，所以4PD =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以CDP △为直角三角形，斜边为PC ，因为CD ⊥平面PAD ，所以PC 与平面PAD 所成角的平面角为CPD ∠，在Rt CDP △中，2CD AB ==，4PD =，所以1tan 2CD CPD PD ∠==，PC 与平面PAD 所成角的正切值为12.故选：B.7．D【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定A 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CM OM OC =+，求得A 的值，可判定D 正确.【详解】解：由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以A 不正确；又由2π2T ω==，且π()06f -=，即ππsin[2()]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,1)23(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12()3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2)cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π0sin 3f A A ==，即OM A ,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()123A =+，解得A ()f x 的解析式为()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D.8．D【分析】利用构造函数法，结合导数，先判断,a c 的关系，然后判断,b c 的关系，从而确定正确答案.【详解】构造函数()()e 1sin 0xf x x x =--≥，()()e cos 0,x f x x f x '=-≥在[)0,∞+上单调递增，所以()104f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即141e 1sin 04-->，也即141e 1sin 4->，则a c >.10.1592πb =≈，设()()21cos 1012g x x x x =+-≤≤，()sin g x x x '=-+，设()()sin 01h x x x x =-+≤≤，()cos 10h x x =+'-≥，所以()h x 在[]0,1上递增，()()00h x h ≥=，即()0g x '≥，()g x 在[]0,1上单调递增，所以()1004g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11131cos 10,cos 432432+->>，构造函数()()sin 01cos xm x x x x=-≤≤，()2222cos sin 1110cos cos x x m x x x+'=-=-≥，()m x 在[]0,1上递增，所以()104m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1sin111131140,sin cos 0.2421875144441282πcos 4b ->>>=>=，即c b >.综上所述，a c b >>.故选：D【点睛】利用导数来比较代数式的大小，主要是通过构造函数法，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来比较出代数式的大小.在比较大小的过程中，如果无法一次比较出大小关系，可通过多次比较大小（放缩法）来进行比较.9．BC【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB 选项，根据投影向量定义可得判断C 选项，由 4t >-可得0b c ⋅>r，但此时向量b r 与c r 的夹角可以为零角并非锐角，可得D 错误.【详解】解：已知平面向量(2,1)a =-r，(4,2)b =r ，(2,)c t =r ，对于A ，若b c ⊥r r ，可得0b c ⋅=r r，即4220t ⨯+=，解得4t =-，所以A 选项错误；对于B ，若//a c r r，根据平面向量共线性质，可得221t-=，即1t =-，所以B 选项正确；对于C ，若1t =，则(2,1)c =r，由投影向量定义可知向量a r 在c r 上的投影向量为222413215a c c c c c ⋅-+⋅==-+r r r r r r ，所以C 选项正确；对于D ，若4t >-，则422820b c t t ⋅=⨯+=+>r r ，所以cos ,0b c b c b c ⋅=>⋅r rr r r r ；但当1t =时，cos ,1b c b c b c ⋅====⋅r rr r r r ，此时向量b r 与c r的夹角为0︒，所以D 选项错误；故选：BC.10．ACD【分析】根据已知，光线自1F 出发，可以沿11F A 方向传播，也可以沿12F A 方向传播，也可以不沿x 轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.【详解】设抛物线左焦点为1F ，右焦点为2F ，左顶点为1A ，右顶点为2A .由已知可得，3a =，2224c a b =-=，所以2c =.①当光线从1F 出发，沿11F A 方向传播，到达1A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿11A F 方向传播，第一次经过1F ，此时所经过的路程为()11222A F a c =-=，故A项正确；②当光线从1F 出发，沿12F A 方向传播，到达2A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿22A F 方向传播，过点2F 后，继续传播第一次经过1F ，此时所经过的路程为()212210A F a c =+=，故C 项正确；③当光线从1F 出发后，不沿x 轴传播，如图2光线开始沿1F P 传播，到达P 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿2PF 方向传播，过点2F 后，继续传播到达Q 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿1QF 方向传播，第一次经过1F ，此时所经过的路程为1221PF PF QF QF +++.根据椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，1226QF QF a +==，所以121212PF PF QF QF +++=，故D 项正确.故选：ACD.11．BD【分析】A 选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B 选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C 选项，由B 选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D 选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.【详解】A 选项，设下面圆锥的母线长为l ，则l =，故下面圆锥的侧面积为π3S rl ==⨯=2cm ，故沙漏的侧面积为2S =2cm ，故A 错误；B 选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的23，所以细沙形成的圆锥底面半径为2323⨯=cm ，高为2643⨯=cm ，故底面积为2π24π⋅=，所以沙漏中的细沙体积为3116π4π4cm 33⨯⨯=，B 正确；C 选项，由B 选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为316πcm 3，其中此锥体的底面积为2π39π⋅=，故高度为16π3163 1.89π9⨯=≈cm ，C 错误；D 选项，16π16 3.14837.3300002.2⨯÷≈⨯≈秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D 正确.故选：BD 12．ACD【分析】运用累和法，结合组合数公式、裂项相消法、二项式系数和公式逐一判断即可.【详解】因为()11mnm n a m n an--+=,所以有()()()12111212111C 12m n n mnm mn m m m m n m n a a a m n m n m a a a a a n n m----+-+-=⋅⋅=⋅⋅=-LL 343411C 4144a =⨯=⨯=，所以A 对，B 错，而1mm a m=，()()()1111111nn n n a a n n n n--==---，所以()()11222233334411111111111,2231nn n n a a a a a a a a n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 因此C 对()()12012123411C C C C C C C 1m mm m m m mm m m m m m m m a a a a a m m++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-()121mm=-，因此D 对.故选：ACD【点睛】关键点睛：运用累和法、逆用组合数公式、裂项相消法是解题的关键.13．240【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为3662166C 2C rrr r r r r T x x--+==，令3602r -=，解得4r =，所以常数项为44562C 240T ==，故答案为:240.14．10x -=或34110x y +-=或34110x y --=（写出其中一个即可）【分析】由已知求出点()1,2P 或()1,2P -.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.【详解】由题意可知，24t =，解得2t =±，所以，点()1,2P 或()1,2P -.又圆()2221x y -+=的圆心()2,0C ，半径1r =.①当点()1,2P 时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为1k ，此时直线l 方程为()121y k x -=-，即1120k x y k --+=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离1d r =，1，整理可得，1430k +=，解得134k =-，代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y +-=.②当点()1,2P -时当直线l 斜率不存在时，此时l 方程为1x =，与圆相切，满足题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为2k ，此时直线l 方程为()221y k x +=-，即2220k x y k ---=.因为，直线l 与圆相切，所以圆心()2,0C 到l 的距离2d r =，1，整理可得，2430k -=，解得234k =， 代入直线方程整理可得，直线方程为34110x y --=.综上所述，直线方程为1x =或34110x y +-=或34110x y --=.故答案为：1x =.15．96【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有：24C 6=种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：14C 4=种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有1134C C 12=种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：()612496⨯+=种情况，故答案为：96.16．1【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数()1e x xf x -=，再变形得到()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=，通过构造函数()e 1=--t g t t 得到1ln 0x mx -+=，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求m 的取值范围.【详解】在()y f x =中，()()1e xf x f x -'+=，∴()()e e e x xf x f x '+=，∴()()()e e x f x x ''⋅=∴()e e xf x x c ⋅=+（c 为常数），由()11f =，解得：0c =，∴()1e x xf x -=，若()1ln 2e x x mmx x -=-+在区间()0,∞+内存在零点，整理可得：()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=，设()e 1=--t g t t ，()e 1tg t '=-，令()0g t '=，得0=t ，当0t <时，()0g t '<，函数单调递减，当0t >时，()0g t '>，函数单调递增，所以当0=t 时，函数()g t 取得最小值，()00g =，所以()0g t ≥，当0=t 时，等号成立，所以()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-≥当且仅当1ln 0x mx -+=时，上式取等号即存在()0,x ∈+∞，使1e x m x -=，设()1e x h x x -=，()()12e 1x x xh x --'=，令()0h x '=，得1x =，当1x <时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以当1x =时，函数()h x 取得最小值，()11h =，所以1e 1x m x -=≥，故m 最小值为1,故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数()f x 的解析式，关键二是利用同构得到等式()1ln e1ln 10x mxx mx -+--+-=，再构造函数求得1ln 0x mx -+=，参变分离后即可求解.17．(1)0(2)π3B =，()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，结合公式2πT ω=计算可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即可求解π6f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由正弦定理和诱导公式可得1cos 2B =，即可求出角B ；进而20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）∵()2cos cos f x x x xωωω=-11π12cos 2sin 22262x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为π．即2ππ2ω=，得1ω=，∴()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,πB ∈，则π3B =.∵2ππ3A C B +=-=，∴20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴()π11sin 21,622f A A ⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.18．(1)()12n n n a +=(2)2n S 2n n=+【分析】（1）根据题意和等差数列前n 项求和公式可得当2n ≥时，(1)2n n n a +=，验证1a 符合该式即可；（2）由（1）可得2122n n a a n --+=，()()()1cos π12nn n n n a +=-，结合等差数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】（1）当2n ≥时，()()()()21213211122n n n n na a a a a a a a n n n -++-+-+⋅⋅⋅+=+-==-，又11a =，符合上式，∴2(1)22n n n n n a ++==；（2）由（1）知，()()212212221222n n n n n n a a n --⋅+-+=-+=，()()()()1cos π112nnn n n n n a a +=-=-，∴()()221222112233422222n n n n n S -⋅+⨯⨯⨯=-+-+⋅⋅⋅-+2(123)n =++++L ()122n n +=⨯2n n =+.19．(1)证明见解析【分析】（1）由条件先求1AD AA ⋅u u u r u u u r ，1AB AA ⋅u u u r u u u r ，AD AB ⋅u u u r u u u r，再证明10AO AO ⋅=u u u r u u u r ，由此完成证明；（2）建立空间直角坐标系，设(),,0P m n ，求平面1D AE 的法向量和直线FP 的方向向量，由条件列方程确定,m n 的关系，再求CP u u u r的最小值即可.【详解】（1）由已知1AB A A AD ===1π3A AD ∠=，1π3A AB ∠=，π2BAD ∠=，所以11π1cos 232AD AA ⋅==u u u r u u u r ，11π1cos 232AB AA ⋅==u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r，因为O 为AC 中点，所以111222AO AC AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，又()11111112222A O AO AO AA AO AB AD AA AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以111110002244A O AO ⋅=+++--=u u u r u u u r ，所以1AO AO ⊥u u u r u u u r所以1A O AO⊥（2）连接1A D ，1A B ，∵1A A AD ==1π3A AD ∠=∴1A D∵1A A AB ==1π3A AB ∠=∴1A B =连接BD ，由正方形的性质可得,,B O D 三点共线，O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥，由第一问1A O AO ⊥，,AO BD ⊂平面ABCD ，AO BD O =I ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点， 1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()1,0,0A 、()0,1,0D -、()10,0,1A 、()0,1,0B 、()1,0,0C -()112,1,1AD AD AA =+=--u u u u r u u u r u u u r1131,1,222AE AB BE AB AA ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面1D AE 法向量为n r ，(),,n x y z =r，则100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，所以203022x y z zx y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， ∴73022x z -+=，令3x =，则7z =，1y =．∴()3,1,7n =r为平面1D AE 的一个法向量，因为点P 在平面ABCD 内，故设点P 的坐标为(),,0m n ，因为()112FP OP OF OP OC CF OP OC AA =-=-+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以31,,22FP m n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r ，0FP n ⋅=u u u r r，则310m n ++=，所以CP ====u u u r ，所以当25m =-时，CP u uu r 有最小值，最小值为20．(1)分布列见解析，95(2)13【分析】（1）由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；（2）由全概率公式即可求解.【详解】（1）由题意可知ξ的可能取值有0、1、2、3，()34310C 10C 30P ξ===，()2146310C C 31C 10P ξ===，()1246310C C 12C 2P ξ===，()36310136ξ===C P C ，所以随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P1303101216所以，()1311901233010265ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E .（2）设B =“任取一人新药对其有效”，=i A “患者来自第i 组”（1i =，2，3，分别对应甲，乙，丙），则123A A A Ω=U U ，且1A ，2A ，3A 两两互斥，根据题意得：()10.4P A =，()20.32P A =，()30.28P A =，()10.64P B A =，()20.75P B A =，()30.8P B A =，由全概率公式，得()()()()()()()1122330.40.640.320.750.280.80.72P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率()()()()()()22220.320.7510.723P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为13.21．(1)双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y+=(2)存在，()4,3P 【分析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，根据焦距和离心率求出22,a b 可得答案；（2）设()0,p x t ，()11,M x y ，()22,N x y ， 根据P 、A 、N 三点共线，P 、B 、M 三点共线可得()()2102102222y x x x y x --=++，令T x n =得直线MN l 的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得()()2102102222y x x x y x --=++22nn-=+，若存在4p T x x =，即04x n =代入可得答案；法二：()00,p x y ，()11,M x y ，()22,N x y 设直线AP ：()0022y y x x =++与椭圆方程联立可得N x ，M x 、T x ，若存在4pT x x =，则0044x x =⨯可得答案.【详解】（1）由已知可设双曲线方程为22221x y a b-=，椭圆方程22221x y a b +=，222274132a b a b ⎧+=⎧=⇒⎨==⎩所以双曲线方程：22143x y -=，椭圆方程为：22143x y +=；（2）设()0,p x t ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，P 、A 、N 三点共线，22022y tx x =++，P 、B 、M 三点共线，11022y tx x =--，相除：()()2102102222y x x x y x --=++，令()22T x n n =-<<，则设MN l ：x my n =+，联立椭圆方程：()22222346312034120x my nm y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，易得0∆>，所以21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++，∴2121242y y n y y mn-=+，()()()()()()()()21211221222112121121222222222222y x y my n my y n y mny y n n y x y y my n my y n y mny y n n y -+-+-+-===+++++++()()()()()()()()()()()()21221221212142222222222422n y y n n y n n y n y n n n n y n y n y y n n y -++-⎡⎤-++--⎣⎦===⎡⎤++++--+++⎣⎦，若存在4p T x x =，即04x n =，0022422242n x n n x n ---==+++，得21n =，又P 在第一象限，所以1n =，()4,3P ；法二：()00,p x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，直线AP ：()0022y y x x =++，()()()()022*********22000241616231202223412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎡⎤=+⎪+⇒+++-=⎢⎥⎨+++⎢⎥⎪⎣⎦+=⎩，显然0∆>，由()()22002200161222324N y x x x y -+-=++，又因为P 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()222200000222200000008626246224246232432312N y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即04N x x =，同理BP ：()0022y y x x =--，可得04M x x =，所以04T x x =，若存在4p T x x =，即0044x x =⨯，而P 在第一象限，所以04x =，即()4,3P .【点睛】思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入()()2102102222y x x x y x --=++进行化简运算，考查了学生的思维能力和运算能力.22．(1)证明见解析(2)[)1,-+∞【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到()0f x ¢>，故()()00f x f ≥=；法二：多次求导，结合隐零点，得到()f x '先增后减，结合端点值的符号，得到()0f x ¢>在()0,1x ∈上恒成立，求出()()00f x f ≥=；（2）法一：构造()()2e 2sin ln 1x g x x a x =--++，变形后结合()e 100xx x --≥≥，()0sin 0x x x -≥≥，()()0ln 10x x x -+≥≥，且在0x =处取等号，得到1a ≥-时，()0g x ≥符合题意，1a <-时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：构造()()2e 2sin ln 1xg x x a x =--++，求导后考虑0a ≥，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑a<0，由()g x '在()0,π单调递增，且()01g a '=+，分10a +≥与10a +<两种情况，进行求解，得到答案.【详解】（1）法一：首先证明sin x x ≤，[)0,x ∈+∞，理由如下：构造()sin j x x x =-，[)0,x ∈+∞，则()cos 10j x x '=-≤恒成立，故()sin j x x x =-在[)0,x ∈+∞上单调递减，故()()00j x j ≤=，所以sin x x ≤，[)0,x ∈+∞，()()sin ln 1f x x x =-+，[]0,1x ∈，()22111cos 12sin 1212121x x f x x x x x ⎛⎫'=-=--≥--⎪+++⎝⎭()21111012121x x x x x=--≥--≤≤++，故()()2122202222x x x x x f x x x -+---'≥=>++在[]0,1x ∈上恒成立，所以()f x 在[]0,1单调递增，故()()00f x f ≥=法二：()()sin ln 1f x x x =-+，[]0,1x ∈，()1cos 1f x x x'=-+，且()00f '=，令()()1cos 1f x x xq x '=-=+，则()()21sin 1q x x x '=-++，令()()()21sin 1w q x x x x =-+='+，则()()32cos 01w x x x '=--<+在[]0,1x ∈上恒成立，所以()()21sin 1q x x x '=-++单调递减，又()010q '=>，其中π1sin1sin62>=，故()1sin1014q =-+<'，故()00,1x ∃∈，使得()00q x '=，且当()00,x x ∈时，()0q x '>，当()0,1x x ∈时，()0q x '<，所以()f x '先增后减，又()00f '=，()11cos102f '=->，∴()0f x ¢>在()0,1x ∈上恒成立，所以()f x 单调递增，()()00f x f ≥=；（2）法一：()()2e 2sin ln 1xg x x a x =--++，()()()()()2e 1sin ln 11ln 10x g x x x x x x a x =--+-+-++++≥，下证：()e 100xx x --≥≥，()0sin 0x x x -≥≥，()()0ln 10x x x -+≥≥，且在0x =处取等号，令()()0e 1x x r x x -=-≥，则()()e 100x r x x -≥'=≥，故()()0e 1xx r x x -=-≥单调递增，故()()00r x r ≥=，且在0x =处取等号，()0sin 0x x x -≥≥在（1）中已证明；令()()()0ln 1t x x x x =-≥+，则()()101011x t x x x x '=-≥++≥=，故()()()0ln 1t x x x x =-≥+单调递增，故()()00t x t ≥=，且在0x =处取等号，当0x >时，()ln 10x +>，当10a +≥时，即1a ≥-时，()0g x ≥符合题意，当1a <-时，()00g =，()2e cos 1x ag x x x '=-++，()010g a ='+<，其中当1a <-时，2e 2e a ->，()cos 1a -≤，11111111a a a a a -+-==-≤-+-+-+，故()()2e cos 01aag a a a -'-=--+>-+，令()()2e cos 1xau x g x x x '==-++，[]0,πx ∈，则()()22e sin 01xau x x x '=+->+在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x '在[]0,πx ∈上单调递增，故()10,x a ∃∈-，使得()10g x '=，()g x 在()10,x 单调递减，故()()100g x g <=与()0g x ≥矛盾，舍去；综上：a 的取值范围为[)1,-+∞；法二：()()2e 2sin ln 1x g x x a x =--++，()2e cos 1xag x x x '=-++，()0,πx ∈，①当0a ≥时，()2e 10xg x '≥->，()0,πx ∈，()g x 在[]0,π单调递增，且()()00g x g ≥=符合题意，②当a<0时，()2e cos 1xag x x x '=-++在()0,π单调递增，()0211g a a '=+-=+，③当10a +≥时，即10a -≤<时，()()010g x g a ''≥=+≥ ()g x 在[]0,π单调递增，()()00g x g ≥=符合题意，②当10a +<时，即1a <-时，()00g =，()2e cos 1x ag x x x '=-++，()010g a ='+<，其中当1a <-时，2e 2e a ->，()cos 1a -≤，11111111a a a a a -+-==-≤-+-+-+，故()()2e cos 01aag a a a -'-=--+>-+，令()()2e cos 1xau x g x x x '==-++，[]0,πx ∈，则()()22e sin 01xau x x x '=+->+在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x '在[]0,πx ∈上单调递增，故()10,x a ∃∈-，使得()10g x '=，()g x 在()10,x 单调递减，故()()100g x g <=与()0g x ≥矛盾，舍去；综上：a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。
河北省保定市2025届高三数学上学期期末考试试卷文含解析
2024-2025学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满意，则（）A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴，解得或．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满意f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，推断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质可得a∥b；在B、D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A中，，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，，，，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，由a，，则，又，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，，，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，考查数形结合思想，是中档题．4.定义运算，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据新定义可得函数1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个即可推断．【详解】从定义运算a⊕b上看，对于随意的a、b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本领件总数n＝6×6＝36，利用列举法能求出m+n＝5包含的基本领件有4个，由此利用对立事务概率计算公式能求出m+n≠5的概率．【详解】连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，基本领件总数n＝6×6＝36，m+n＝5包含的基本领件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，∴m+n≠5的概率是p＝1．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事务概率计算公式、列举法等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 36B. 32C. 30D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，推断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S四棱锥4×3+5×35×34×3+3×3＝36．故选：A．【点睛】本题考查的学问点是由三视图求表面积，其中依据三视图推断出几何体的形态，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8.在中，若，（），则当最小时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可求的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵（1，2），（﹣x，2x）（x＞0），∴（﹣x﹣1，2x﹣2），∴||令y＝5x2﹣6x+5，x＞0依据二次函数的性质可知，当x，y min，此时BC最小，∴，（，），0，∴，即C＝90°，故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简洁应用，考查运算求解实力，是基础题．9.已知函数，且图像在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数进行求导，求出f′（1），然后依据导数的几何意义求出切线斜率k＝f′（2）＝tanα，然后依据诱导公式及同角基本关系可得sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，代入可求．【详解】∵f（x）＝x3+2x2f′（1）+2，∴f′（x）＝3x2+4xf′（1），∴f′（1）＝3+4f′（1），即f′（1）＝﹣1，f′（x）＝3x2﹣4x，∴图象在点x＝2处的切线的斜率k＝f′（2）＝4＝tanα，则sin（α）cos（α）＝﹣cosαsinα，故选：D．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础学问的综合应用．10.在数列中，若，，，则该数列的前100项之和是（）A. 18B. 8C. 5D. 2【答案】C【解析】【分析】先分别求出{a n}的前9项，视察这9项知a n是周期为6的周期函数，由此能求出{a n}前100项之和．【详解】∵a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3＝3﹣1＝2，a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣3+1＝﹣2，a7＝﹣2+3＝1，a8＝1+2＝3，a9＝3﹣1＝2，…∴a n是周期为6的周期函数，∵100＝16×6+4，∴S100＝16×（1+3+2﹣1﹣3﹣2）+（1+3+2﹣1）＝5．故选：C．【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要留意周期性和递推式的合理运用．11.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据23，计算出△PAB，△PAC，△PBC面积的关系，求出概率，作积得答案．【详解】如图，令，，．则P为△A1B1C1的重心，∴，而，，．∴2S△PAB＝3S△PAC＝6S△PBC，∴，，．则P△PBC P△PBA P△PAC．故选：D．【点睛】本题考查的学问点是几何概型概率计算公式，计算出满意条件和全部基本领件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．12.已知且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得αcosα＞βcosβ，令f（x）＝x cos x（0），利用导数结合奇偶性可得f（x）＝x cos x在[，]上为增函数，则答案可求．【详解】∵α，β∈[，]，∴cosα＞0，cosβ＞0，由0，得αcosα﹣βcosβ＞0，则αcosα＞βcosβ，令f（x）＝x cos x（0），则f′（x）＝cos x﹣x sin x≥cos x﹣sin x≥0．∴f（x）＝x cos x在[0，]上为增函数，而f（x）＝x cos x为奇函数，可得f（x）＝x cos x在[，]上为增函数．又αcosα＞βcosβ，∴α＞β．故选：A．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，则__________．（用区间表示）【答案】（-1,0）【解析】【分析】化简集合N，依据补集与交集的定义写出．【详解】M＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1），N＝{x|0}＝[0，1），则∁M N＝（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．14.元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x＝0，则起先时输入的x的值为____________【答案】【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．【详解】第一次输入x＝x，i＝1执行循环体，x＝2x﹣1，i＝2，执行循环体，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3，执行循环体，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4＞3，输出8x﹣7的值为0，解得：x，故答案为：．【点睛】解答本题，关键是依据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．15.设实数满意，若的最大值为16，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类探讨，通过平移直线z＝kx+y得到最大值点A，即可得到答案．【详解】实数x，y满意的可行域如图：得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z＝kx+y，即y＝﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种状况．当k＞0时，目标函数z＝kx+y在A点取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，即16＝4k+4，得k＝3；当k＜0时，①当k时，目标函数z＝kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝4k+4，故k＝3．②当k时，目标函数z＝kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z＝kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16＝0×k+2，故k不存在．综上，k＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查简洁线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数给予几何意义．16.已知过椭圆上一点的切线方程为，若分别交轴于两点，则当最小时，__________．（为坐标原点）【答案】【解析】【分析】利用切线求得A、B两点坐标，表示出，再利用，结合基本不等式求得，再利用最小时的条件求得，，即可求解.【详解】因为点的切线方程为，若分别交轴于两点，所以A（，0），B（0，），==，又点P在椭圆上，有，=+)，当且仅当=时等号成立，，解得，，==，=.故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算实力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cos A，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于基础题．18.设，，，数列的前项和，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求满意（）的最大正整数.【答案】（1）a n＝6n－5 （）（2）8【解析】【分析】（1）依据f（x）＝3x2﹣2x，由（n，S n）在y＝3x2﹣2x上，知S n＝3n2﹣2n．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，知T n（1－），依据（）对恒成立,当且仅当，由此能求出全部n∈N*都成立的m的范围．【详解】（1）因为＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝1，所以，a n＝6n－5 （）.（2）由（1）得知＝，故T n＝＝＝（1－），且T n随着n的增大而增大因此，要使（1－）（）对恒成立,当且仅当n=1时T1=，即m<9，所以满意要求的最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础学问不坚固，不会运用数列学问进行等价转化转化．解题时要仔细审题，留意挖掘题设中的隐含条件．19.如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥B1﹣ANB的高．【详解】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长AA1＝2，底面边长AB＝1，N是CC1的中点．∴以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），N（0，1，），B1（，2，0），（），（﹣1，2，0），设平面ANB1的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（2，1，0），平面AA1B1B的法向量（0，0，1），∵0，∴平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）B（，0，0），（﹣1，0，0），设平面ABN的法向量（x，y，z），则，取z＝2，得（0，，2），∴点B1到平面ANB的距离d．∴三棱锥B1﹣ANB的高为．【点睛】本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题．20.为了主动支持雄安新区建设，激励更多优秀高校生毕业后能到新区去，某985高校组织了一次模拟聘请活动，现从考试成果中随机抽取100名学生的笔试成果，并按成果分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，（由于某种缘由，部分直方图不够清楚），同时规定成果不低于90分为“优秀”，成果低于90分为“良好”，且只有成果“优秀”的学生才能获得专题测试资格.（1）若已知分数段与的人数比为2:1，请补全损坏的直方图；（2）假如用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，设甲是选出的成果“优秀”中的一个，若从选出的成果“优秀”的学生中再任选2人参与两项不同的专题测试（每人参与一种，二者互不相同），求甲被选中的概率.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，由分数段[90，95）与[95，100]的人数比为2：1，求出分数段[90，95）与[95，100]对应的小矩形有高分别为0.02，0.01，由此能求出补齐损坏的直方图．（2）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，由此能求出甲被选中的概率．【详解】（1）依据题意得良好学生的人数为100×（0.01+0.07+0.06）×5=70人,所以优秀学生的人数为100-70=30人又因为分数段与的人数比为2:1，所以两分数段的分数分别为20人和10人.故补齐后的直方图如图所示（2）由频率分布直方图得：[90，100]的频率为：1﹣（0.01+0.07+0.06）×5＝0.3，∴用分层抽样的方法从成果为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，设甲是选出的成果“优秀”中的一个，从选出的成果“优秀”的学生中再任选2人参与两项不同的专题测试，基本领件总数n，甲被选中包含的基本领件个数m2．∴甲被选中的概率p．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础学问，考查运算求解实力，考查数形结合思想，是基础题．21.设点在以，为焦点的椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）经过作直线交于两点，交轴于，若，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由PF1+PF2＝2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，即可求得λ1+λ2为定值．【详解】（1）因为点P在以为焦点的椭圆C上，所以所以.又因为c=2，所以所以椭圆C的方程为（2）设A、B、M点的坐标分别为A（，），B（，）明显直线m存在斜率，设直线 m 的斜率为，则直线m的方程是．将直线m的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得,∴ ，又∵ 2，2，将各点坐标代入得，．又，所以，解得又点M在直线上，所以=-2k.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量的坐标运算，考查计算实力，属于中档题．22.已知函数，且函数的图像在点处的切线与轴垂直.（1）求函数的单调区间；（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.【答案】（1）的减区间为，增区间为.（2）7【解析】【分析】（1）由已知求得a，对f(x)求导，令和求得单调区间.（2）依据区间的定义得到，又由（1）中的单调性，分和探讨，分别求得，再求的最小值即可.【详解】（1）由已知因为，所以故.,令得（舍去）令得的减区间为，增区间为.（2）因为所以由得解得（舍去）或由（1）知的减区间为，增区间为,所以，若即时， .若即1<t<3时，，，则，1<t<3时，<0即单调递减，所以>故所求的最小值为7.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
河北省保定市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14-4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知00:,5100np n N ∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,5100n n N ∀∈<B ．,5100nn N ∀∈≥ C. 00,5100nn N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．43310+ B ．43310- C. 43310-+ D ．43310--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 36226+3266346 D ．53610. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b -=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）A ．8 B．．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a = ．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是 ．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且22cosB a ac b =-，则B = ． 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率. 19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD A B A A AB AC ===，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-. ①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当 ()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. ± 14. 甲 15. 9 16.6π（或30°） 三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222nn nn nT --=+++++， ∴2111111122121222222212nn n n n nn n n T --+=++++-=-=--， 所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=， 另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种， 其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况， 则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ， 则AN ⊥平面11B BCC ， 在Rt ABM ∆中可求得AM BM ==AN =， 所以，点A 到平面11B BCC20.解：（1）由12c a =得2234a b =， 把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-， 由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+=∵,,AF MF BF 成等差数列，∴2AF BF MF +=，即42m +=解得125m =或43m =-， 又因为22m -<<，所以43m =-.21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数；②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x 的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x=-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=， 设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数， 又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==， 所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。
2012届高中毕业班第一次模拟试题(理科)及答案
2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数(5)(3)z x x i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x 的取值范围是 A. (,5)-∞ B. (3,)+∞ C. (3,5) D. (5,)+∞ 2．已知集合{0,1,2}M =，集合N 满足N M ⊆，则集合N 的个数是 A.6 B. 7 C. 8 D. 93．已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N =A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)(2,)+∞ 4．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的 A ．充分非必要条件 B.充要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 5．已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x ∈R,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为( ) A ．1 BC.5 D．7．已知,x y 满足3,2,326,39x y x x y y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则2z x y =-的最大值是( ).A. 152B. 92C. 94D. 28．设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量M ∈a ,都有M λ∈a ,则称M 为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A.2{(,)|}x y y x ≥B.0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭C.22{(,)|20}x y x y y +-≥D.22{(,)|32120}x y x y +-<二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．2||2||150x x -->的解集是 ▲ .10．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 ▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有 ▲ 人.12. 离心率23e =的椭圆的两焦点为12,F F ,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为 ▲13．如果实数,x y 满足等式22(2)1x y -+=,那么31y x +-的取值范围是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为 ▲15．（几何证明选讲选做题）如图2，点P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的一切线,D是切点，割线经过圆心O ，若030=∠EFD ，32=PD ，则=PE ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （I ）求{}n a 的通项n a ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,求2122232log log log log n T b b b b =++++ 的值。
2012届高三数学上册第一次月考调研检测试卷(附答案)
2012届高三数学上册第一次月考调研检测试卷（附答案）吉林省桦甸市第四中学2011￣2012学年度高三第一次月考数学试题(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22小题,共150分,共3页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回. 注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上. 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超过答题区域书写的答案无效;试题卷及草纸上的答题无效. 3.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 A共60分) 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求 1. 若集合P=｛x ｜x｜>2｝,Q=｛x��3x>1｝,则CrP∩CrQ= A.(-∞,0) B. C [-2,0] D.[-2,2] 2.已知函数f(x)= A. 9 B C. -9 D. - 3.下列四个数中最大的是 A. (ln2)2 B. ln(ln2) C. ln D.ln2 4.已知函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞) 5.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为 x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 6若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m的取值范围是 A. -1≤m≤1B.m≥-C.m≤1D. - ≤m≤1 7.函数f(x)=log2��x��,g(x)=-x2+2,则f(x)g(x)的图象只可能是8.定义在R上的奇函数f(x)，满足f(3+x)=f(3-x),若x (0,3)时，f(x)= ,则x (-6,-3)时，f(x)等于 A． B． C． D． 9.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)= 为常数)则f(-1)= A.-3 B. -1 C. 1 D.3 10.f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f(x�qy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8) ≤2,则x的取值范围是 A.（8，+∞） B.（8,9 ] C. [8,9] D.（0,8） 11.函数y= 4- 的值域为 A. B. C. D. 12.定义在R上的偶函数f(x)在上是减函数，且f(1)=0,则不等式f( )>0的解集为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二.填空题,本大题共4小题,每题5分,共20分 13、设x (0,1)，幂函数y= 的图象在直线y=x的上方，则实数a的取值范围是 14.已知函数f(x)= 定义域为R,则实数a的取值范围 . 15.函数y=ax+5-3(a>0且a≠1)恒过定点 . 16.定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面关于f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线x=2对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中正确的判断的序号是 . 三.解答题(本大题共6个小题,共70分) 17.(本小题满分12分)设集合A=｛x|log (x-3)≥-2｝, 求实数a的取值范围.(其中a>0) 18.(本题满分12分)已知x>1,y>1且2logxy-2logyx+3=0.求x2-4y2的最小值.19.(本小题满分12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x吨之间的函数关系式可以近似地表示为y= 已知此生产线年产量最大为210吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 20.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2. (1)求函数f(x)的表达式并画出其大致图象; (2)若当x∈[a,b]时,f(x)∈若0<a<b≤2,求a、b的值. 21、(本小题满分12分) 已知函数f(x)= （a>0，a≠1）,如果对于任意x 都有|f(X)|≥1成立，试求a的取值范围。
河北省保定市2024年数学(高考)统编版摸底(评估卷)模拟试卷
河北省保定市2024年数学（高考）统编版摸底(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数，且，若在上有个不同的根，则的值是（）A．0B．C．D．不存在第(2)题设是等比数列，且，，则（）A．12B．24C．30D．32第(3)题若，则（）A．B．7C．D．第(4)题已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（）A．B．C．D．第(5)题设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件第(6)题已知，设甲：，乙：，则（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件第(7)题设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A．B．3C．D．2第(8)题函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题如图，在正三棱柱中，，，则下列结论正确的是（）A．不存在，使得异面直线与垂直B．当时，异面直线和所成角的余弦值为C ．若，当时，三棱锥的外接球的表面积为D．过且与直线和直线所成角都是的直线有两条第(2)题已知是函数图像的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若△PBC 为等边三角形，则下列说法正确的是（ ）A．B．的最小正周期为8C．D ．将图像上所有的点向右平移1个单位长度后得到的图像，是图像的一个对称中心第(3)题已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为__________．第(2)题已知，，则__________．第(3)题已知实数x ，y 满足则的最大值是________．四、解答题（本题包含5小题，共77分。
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河北省保定2012届高三下学期第一次模拟考试
文科数学试题（A卷）
本试卷分第正卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟·
第工卷（选择题共60分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合A={ x｜lgx≤0｝，B= {x｜｜x+1｜>1｝，则A∩B=
A.（-2，1） B.（一co，一2〕U［1，＋co）
C. (0，］ D.（一co，-2) U (0，1]
2.已知i是虚数单位，若1aii是实数，则实数a等于
A.一1 B. 1 C.2 D.一2
3、下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2,）上为减函数的是
A. y=sin2x B. y=2｜cosx｜ C. y=－tanx D. y=cos2x
4.已知等比数列{na}中，有a3a11＝4a7，数列｛bn｝是等差数列，且b7＝a7，则b5＋a3等于
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A. 3 B.一6
C.一15 D. 10
6. 下列所给的四个图象为某同学离开家的距离y与所用时间t
的函数关系
给出下列三个事件：
(1)该同学离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本
再去上学；
(2)该同学骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)该同学出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
其中事件（1）(2)(3)与所给图象分别吻合最好的是
A.④①② B.③①②
C.②①④ D.③②①
7.若，且，则向量的夹角为
A. 0° B. 60° C. 120° D. 150°
8、若a>0且a≠1，b>0，则“logab >0”是“（a一1）（b一1）＞0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的体积是（单位：m3).
A. 4＋26 B. 4＋6 C、23 D、43
10.已知向量＝(cosθ, sinθ)与＝(cosθ, －sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数
f(x)＝sin(2x－θ)的图象的一条对称轴是直线
A. x= B. x=78 C. x=4 D. x=2
11.在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2+2ax-4ay+5a2－4=0上所有的点均在第二象限内，
则实数a的取值范围为
A.（2，＋∞） B.（1，十∞）
C.（一∞，一1） D.（－∞，2)
12.定义域为R的函数f (x)满足f(1)＝l, 且 f (x)的导函数'()fx>12，则满足2f(x)
A、{x｜－1
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的相应位置
上）
13.设α为△ABC的内角，且tanα=－34，则sin2α的值为＿＿＿＿
14、设互不相同的直线l,m,n和平面α、、，给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，,lm，则α∥
②若α∥，,lm，,则l∥m；
③若l，,,mnl∥，则m∥n.
其中真命题的个数为＿＿＿＿＿＿
15.已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线22yxm＝1的离心率为＿＿＿
16.在区间［-1，1］上随机取一个数k,使直线y=k(x+2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概 率为
＿＿＿＿＿
三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知等比数列{na}的前n项和为Sn,S3＝14，S6 =126.
（1)求数列{na}的通项公式；
(2)设122311nTaaaa…＋11nnaa，试求nT的表达式·
18.（本小题满分12分）
为了搞好对水电价格的调研工作，管理部门采用了分层抽样的方法，分别从春之曲、
凤凰城、山水人家三个居民区的相关家庭中，抽取若干户家庭进行调研，有关数据见下表
（单位：户）
（1)求x，y ；
(2)若从春之曲、山水人家两个片区抽取的家庭中随机选2户家庭参加实施办法的听证
会，求这2户家庭分别来自春之曲、山水人家两个居民区的概率．
19.（本小题满分72分）P
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，直线PD与底面ABCD
所成的角等于300，PF=FB, E∈BC,EF∥平面PAC.
(1)试求若BEEC的值；
(2)求三棱锥P一ADC的表面积和体积
20.（本小题满分12分）
已知函数f (x) =x2－ 2.x, g (x) 是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0］，
g(x) ＋fj(x)＝x2．
（1)求函数g(x)在R上的解析式；
(2)若函数h(x)=x［g（x)－()fx＋23］在〔0，十∞）上是增函数，且0，求的
取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点Q(1，22）．
（1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x＋y－1＝0
上，且满足 (O为坐标原点），求实数t的最小值．
请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答
时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC,延长BC到点D，使得CD＝AC,连结AD交⊙O
于点E，连结BE
求证：（1)BE-=DE；
（2)∠D＝∠ACE.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线Cl：1cossinxtyt (t为参数），圆C2 : =1.（极坐标轴与x轴非负半轴重
合）
(1）当3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设f(x)＝1n（｜x-1｜＋m｜x-2｜一3) (m∈R)．
（1)当m=0时，求函数f(x)的定义域；
(2)当01x时，是否存在m使得f (x) ≤0恒成立，若存在求出实数m的取值范
围，若不存在，说明理由．